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![𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 = (−∞, -2] U (1, +∞)
Asíntotas verticales (A.V)
El posible punto que origina A.V es x= 1
Como la función no esta definida en los puntos próximos y a la derecha de 1, entonces
sólo calculamos los límites a la derecha de ambas funciones.
lim
𝑥→1
+ 4𝑥 + 8 = 4.1 + 8 = 12 > 0 y lim
lim
𝑥→1
+ 𝑥 − 1 = 1 − 1
lim
𝑥→1
+f(x) = lim
𝑥→1
+
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
Por otro lado lim
𝑥→1
+ g(x)= lim
𝑥→1
+
− f(x) = −∞
Entonces x= 1 es una Asíntota vertical.
= 0 positivamente, entonces:
= lim
𝑥→1
+
4𝑥+8
𝑥−1
=
2
0
= +∞
Asíntotas horizontales (A.H)
lim
𝑋→±∞
f x = lim
𝑋→±∞
4𝑥+8
𝑥−1
= lim
𝑋→±∞
4𝑥+8
𝑥
𝑥−1
𝑥](https://image.slidesharecdn.com/diap-140409192216-phpapp01/85/Ejercicios-resueltos-10-320.jpg)
Subido porLaura Paola Bastidas
Ejercicios resueltos.
Este documento presenta algunos conceptos fundamentales sobre límites, continuidad y asintotas de funciones. Resume los teoremas del límite de sen(x)/x cuando x tiende a cero y de (1-cos(x))/x cuando x tiende a cero. Explica las condiciones para que una función sea continua en un punto y cómo determinar las asintotas verticales y horizontales de una función dada por su gráfica. Proporciona ejemplos resueltos de cálculo de límites y determinación de continuidad y asintotas.
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- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA. MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA. UNIVERSIDAD YACAMBÚ. Bastidas Laura. ACP-133-00562 Teixeira Nelson. ACP-133-00729
- 2. Se pueden resolveraplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. RECORDEMOS 𝜋 rad= 180° TEOREMA 1) lim 𝑥→0 sen 𝑥 𝑥 = 1 2) lim 𝑥→0 1−cos 𝑥 𝑥 = 0
- 3. 1) E f(a)Que el punto x = a tenga imagen. 2) E lim 𝑥→𝑎 f(x) Que exista el límite de la función en el punto x = a. 3) f(x)= lim 𝑥→𝑎 f(x) Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto. Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: Si al menos una de las condiciones se deja de cumplir, entonces la función no es continua.
- 4. Una asíntota, esuna recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite hacia el cual la gráfica se aproxima indefinidamente, pero nunca lo toca y mucho menos lo salta. En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, practicaremos las siguientes. Son rectas verticales asociadas a la función, se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma 𝑓(𝑥)= 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) (al igual que las horizontales), y su resultado siempre debe ser +∞ ó -∞. Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Se determinan haciendo que la variable independiente “x” tienda al infinito, lo que trae como consecuencia, que la función tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar y mucho menos sobrepasar.
- 5. 1) Si 𝑓(𝑥)= −4𝑠𝑖 𝑥 − 2 𝑥3 2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 2 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 Hallar: 𝑎) lim 𝑥→−2 f(x) 𝑏) lim 𝑥→2 f(x) Resolvemos. 𝑎) lim 𝑥→−2 f(x) lim 𝑥→−2 + 𝑥3 2 = (−2)3 2 = −8 2 = -4 lim 𝑥→−2 − -4 = -4 Entonces, como lim 𝑥→−2 + f(x) = lim 𝑥→−2 − f(x) ⟹ lim 𝑥→−2 f(x) = -4 𝑏) lim 𝑥→2 f(x) lim 𝑥→2 + x-1 = 2-1 = 1 lim 𝑥→2 − 𝑥3 2 = 23 2 = 8 2 = 4 Como lim 𝑥→2 + f(x) ≠ lim 𝑥→2 − f(x) entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 f(x) no existe.
- 6. 2) Hallar Resolvemos. Sea 𝑦= 𝑥 − 𝜋 6 ⇒ 𝑥 = 𝑦 + 𝜋 6 Sea 𝑥 → 𝜋 6 ⇒ 𝑦 → 0 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 𝐶𝑜𝑠𝑦.𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 −𝑠𝑒𝑛𝑦.𝑠𝑒𝑛 𝜋 6 − 3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 𝐶𝑜𝑠𝑦. 3 2 −𝑠𝑒𝑛𝑦. 1 2 − 3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 3 2 𝐶𝑜𝑠𝑦− 3 2 − 1 2 .𝑠𝑒𝑛𝑦 lim 𝑥→ 𝜋 6 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝜋 6 𝐶𝑜𝑠𝑥 − 3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 𝐶𝑜𝑠 𝑦.𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 − 3 2 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 3 2 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 − 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑦 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 𝑦 3 2 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 − 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 lim 𝑦→0 𝑆𝑒𝑛𝑦 𝑦 3 2 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 𝑦 − 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 lim 𝑦→0 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 3 2 lim 𝑦→0 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 𝑦 − 1 2 lim 𝑦→0 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑦 1 3 2 . 0 − 1 2 . 1 = 1 0− 1 2 = 1 − 1 2 = -2
- 7. 3) Hallar lim 𝑥→0 1− 𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑥2 𝑆𝑒𝑎 𝜃 = 2𝑥 𝑆𝑖 𝑥 → 0 ⇒ 𝜃 → 0 Resolvemos. lim 𝑥→0 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2𝑥)2 lim 𝑥→𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃2 lim 𝑥→𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃) lim 𝑥→𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃) lim 𝑥→𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃) lim 𝑥→𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 . lim 𝑥→𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 . lim 𝑥→𝜃 1 1 + cos𝜃 1.1. 1 1+cos(0) 1 1+1 = 1 2
- 8. 4) Hallar ay b sabiendo que la siguiente función es continua en -2 𝑓 𝑥 = 𝑥3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2 𝑘𝑥2 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > −2 Como la función es continua en -2, entonces es continua por la derecha y por la izquierda de -2 f es continua por la derecha de -2, entonces: 𝑓 −2 = lim 𝑥→−2 + 𝑓(x) lim 𝑥→−2 + 𝑘𝑥2 − 2𝑥(−2)3 = −8 = 𝑘 −2 2 − 2 −2 −8 = 4𝑘 + 4 4𝑘 = −8 − 4 4𝑘 = −12 𝑘 = −12 4 Resolvemos. 𝑘 = −3
- 9. 5) Hallar lasasíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación 𝑥𝑦2-𝑦2-4x-8= 0 Resolvemos. “Despejamos y” 𝑥𝑦2 -𝑦2 -4x-8=0 ⟹ 𝑥𝑦2 -𝑦2 = 4𝑥 + 8 ⟹ 𝑦2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8 𝑦2 = 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 𝑦 = ± 4𝑥+8 𝑥−1 La gráfica de la función es la unión de las funciones: 𝑓(𝑥)= 4𝑥+8 𝑥−1 y 𝑔(𝑥)= − 4𝑥+8 𝑥−1 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 y 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 son iguales: 4𝑥+8 𝑥−1 ≥ 0 ⟹ 4(𝑥+2) 𝑥−1 ≥ 0 ⟹ 𝑥+2 𝑥−1 ≥ 0 Raíces del numerador: x+2= 0 ⟹ 𝑥 = −2 Raíces del denominador: x-1= 0 ⟹ 𝑥 = 1 + + + - - - + + + −∞ +∞−𝟐 𝟏 X= -3 ⟹ −3+2 −3−1 = −1 −4 = + X= 0 ⟹ 0+2 0−1 = 2 −1 = - X= 2 ⟹ 2+2 2−1 = 4 1 = +
- 10. 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 =𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 = (−∞, -2] U (1, +∞) Asíntotas verticales (A.V) El posible punto que origina A.V es x= 1 Como la función no esta definida en los puntos próximos y a la derecha de 1, entonces sólo calculamos los límites a la derecha de ambas funciones. lim 𝑥→1 + 4𝑥 + 8 = 4.1 + 8 = 12 > 0 y lim lim 𝑥→1 + 𝑥 − 1 = 1 − 1 lim 𝑥→1 +f(x) = lim 𝑥→1 + 4𝑥 + 8 𝑥 − 1 Por otro lado lim 𝑥→1 + g(x)= lim 𝑥→1 + − f(x) = −∞ Entonces x= 1 es una Asíntota vertical. = 0 positivamente, entonces: = lim 𝑥→1 + 4𝑥+8 𝑥−1 = 2 0 = +∞ Asíntotas horizontales (A.H) lim 𝑋→±∞ f x = lim 𝑋→±∞ 4𝑥+8 𝑥−1 = lim 𝑋→±∞ 4𝑥+8 𝑥 𝑥−1 𝑥
- 11. = lim 𝑋→±∞ 4𝑥 𝑥 + 8 𝑥 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 = lim 𝑋→±∞ 4+ 8 𝑥 1− 1 𝑥 =lim 𝑋→±∞ lim 𝑋→±∞ 4+ 8 𝑥 lim 𝑋→±∞ 1− 1 𝑥 = lim 𝑋→±∞ lim 𝑋→±∞ 4 + lim 𝑋→±∞ 8 𝑥 lim 𝑋→±∞ 1 − lim 𝑋→±∞ 1 𝑥 = 4 1 = 2 lim 𝑋→±∞ g(x)= lim 𝑋→±∞ -f(x)= - lim 𝑋→±∞ f(x)= -2 Entonces Y=-2 y Y=2 son A.H
- 12.
- 13. 6) Sea g(x)=2𝑥2 + 𝑥 Calcular: 𝑔′ 𝑥 por definición Resolvemos. 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥) ℎ 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 2(𝑥 + ℎ)2 + 𝑥 + ℎ − (2𝑥2 + 𝑥) ℎ 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 2 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥 ℎ 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥 ℎ 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + ℎ ℎ 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ(4𝑥 + 2ℎ + 1) ℎ 𝑔′ 𝑥 = lim ℎ→0 4𝑥 + 2ℎ + 1 = 4𝑥 + 2 0 + 1 = 4𝑥 + 1
- 14. 7) Hallar ay b para que la función dada sea continua en su dominio 𝑓 𝑥 = −2, 𝑠𝑖 𝑥 < −1 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 Resolvemos. Como la función es continua en su dominio, tenemos: 𝑎) lim 𝑥→−1 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim 𝑥→−1 + 𝑓 𝑥 lim 𝑥→−1 − f(x) lim 𝑥→−1 + (ax+b)= lim 𝑥→−1 − (-2) 𝑎 −1 + 𝑏 = −2 −𝑎 + 𝑏 = −2 𝑏) lim 𝑥→3 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim 𝑥→3 + f(x)= lim 𝑥→3 − f(x) lim 𝑥→3 + 2= lim 𝑥→3 − (ax+b) 2= a(3+b) 1 3a+b=2 2 Formamos un sistema de ecuaciones con 1 y 2 3 1 −𝑎 + 𝑏 = −2 3𝑎 + 𝑏 = 2 ⇒ −3𝑎 + 3𝑏 = −6 3𝑎 + 𝑏 = 2 4b= -4 b= −4 4 ⇒ 𝑏 = −1
- 15. Sustituyendo b=1 enecuación 2 3a+b= 2 3a+(-1)=2 3a-1=2 3a=2+1 3a=3 3a= 3 3 a=1 Los valores son; a=1 y b=-1
- 16. No permitas quenadie diga que eres incapaz de hacer algo. Si tienes un sueño, debes conservarlo. Si quieres algo, sal a buscarlo, y punto. ¿Sabes?, las personas que no logran conseguir sus sueños suelen decirle a los demás que tampoco podrán cumplir los suyos. Con dedicación, todo se puede. Esperamos habernos dado a entender, y servirles de ayuda, gracias.