1) La derivada tiene múltiples aplicaciones como estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de funciones, concavidad y convexidad. 2) Algunas aplicaciones importantes son determinar velocidad y aceleración, puntos críticos, derivación implícita y cálculo de máximos y mínimos. 3) Las derivadas son útiles en muchas áreas como física, ingeniería, negocios y economía.

1. Aplicaciones de la derivada
Aymar Peña
CI: 26904827
Instituto Universitario de Tecnologia
‘Antonio José de Sucre’
Barquisimeto-Lara

2. La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la
derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de
una función, concavidad y convexidad, entre otros.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,
constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y
Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien
entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de
una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de
esta teoría no dejan de aparecer.

3.  La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista
teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas de
las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en
ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería,
física e incluso en los negocios y la economía, etc. Algunas de las aplicaciones más
notables de las derivadas se explican a continuación:
 1. Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en
la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la
tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del
mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x es el punto cuya
velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.
 2. Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico
es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.

4.  3. Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina
optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los
valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del
menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc.
Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo /
máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo
absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del
dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, , para todos
los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.
 4. Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método
de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada
de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y
más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos
términos de las Series Taylor.

5.  5. Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en
el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del
comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de
máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así
aumentar la productividad total del comercio. También resulta conveniente analizar
el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.
 6. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la
óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función
lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es
más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de
cualquier función lineal.

6.  Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que
se Mueve en Línea Recta.
Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o
(-¥,a), (-¥,¥)) si es derivable en todo número del intervalo.
 Velocidad
Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a
velocidad (instantánea) del objeto en el instante t esta dada por:
V(t)= ds /dt = f ´(t)
La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de
la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo.
 Aceleración
Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta
numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por:
a(t)= dv /dt =f"(t)

7.  Derivación Implícita
No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por ejemplo, la curva que presenta la ecuación: x2+y2=16
es una circunferencia y no representa una función.
Sin embargo, la semicircunferencia superior sí representa una función; y la semicircunferencia inferior también la
representa. Podemos obtener dos funciones diferentes a partir de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas.
La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0,0), y radio 4 su ecuación es entonces:
x2 + y2 = 16
Esto quiere decir que un punto (x,y) está en la circunferencia, si y sólo si, satisface la ecuación. Por ejemplo: (0,-4)
pertenece a la circunferencia porque:
02 + (-4)2 = 0 + 16 = 16
Efectivamente, estas funciones se pueden obtener despejando y de la ecuación:
x2 + y2 = 16 implica y2 = 16 - x2
Sin embargo, no siempre es factible despejar funciones a partir de una ecuación dada, aunque sepamos que hay dos o más
funciones implícitas definidas. Y, aún así, podríamos estar interesados en, por ejemplo, determinar la ecuación de la recta
tangente a la curva en algunos de sus puntos.
Resulta que es posible derivar una función implícita aun cuando no podamos despejarla de la ecuación que la define.
Basta sencillamente con derivar ambos miembros de la ecuación que la define, teniendo en cuenta, eso sí, que una de las
variables es función de la otra. El siguiente ejemplo ilustra el método llamado derivación implícita.

8.  Derivada de Orden Superior:
Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv,........... , fn Tal que:
f"(x)=[f´(x)]´
f´´´(x)=[f"(x)]´
f iv (x)=[f´´´(x)]´
.
.
.
f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ .
Funciones Crecientes y Decrecientes:
Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde x1 y
x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.
Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre
que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

9.  Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos
Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b):
Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].
Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]
Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos
Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f´( x) existe en todos los
puntos de (a,b) excepto posiblemente en c:
Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)<0 para todos los
valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.
Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)>0 para todos los
valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.
Máximos y Mínimos Absolutos
Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:
F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función.
F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función.
Teorema del Valor Extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en
[a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo.
Punto Crítico
Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:
f´(c)=0 ii). f´(c) no existe

10.  Concavidad y Criterio de la derivada Segunda:
La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c,f (c))
Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese
intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado.
Definición. La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c,f (c))
Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo,
se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado.
Teorema
Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces:
Si f" (x)>0 , " x Î (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
Si f" (x)<0 , " x Î (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b)
Definición. Un punto (c,f(c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una función f, se denomina
punto de inflexión de la gráfica de f.
Teorema. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si existe f"(c), entonces f"(c)=0.

11.  Problemas Máximos y Mínimos
El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial Hubble. Un modelo para la
velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible
sólido se desprendieron en t=126 s. Se expresa mediante:
V(t)=0.0001302t3 - 0.09029t2 + 23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este modelo, estime los valores máximos y mínimos
absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares.
Solución: Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De modo
que primero debemos derivar para hallar la aceleración:
A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3-0.09029t2+23.61t-3.083) = 0.003906t2 -0.18058t + 23.61
Ahora el método cerrado a la función continua a en el intervalo 0 < t < 126
Su derivada es a`(t)=0.007812t-0.18058
El único número crítico ocurre cuando a`(t)=0
t1=0.18058/0.007812 » 23.12
Al evaluar a(t) en el número crítico y los extremos tenemos:
a(0)=23.61 a(t1) » 21.52 a(126) » 62.87
De modo que la aceleración máxima es aproximadamente 62.87 pies/s2 y la aceleración mínima es como de 21.52
pies/s2.