Este documento presenta apuntes sobre el tema de cálculo integral. Explica conceptos como notación sumatoria, sumas de Riemann, definición de integral definida, teorema de existencia, propiedades de la integral definida, función primitiva, teorema fundamental del cálculo, cálculo de integrales e integral impropia. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Este documento trata sobre integrales múltiples. Explica conceptos como áreas de regiones planas y volúmenes de regiones sólidas utilizando integrales dobles e integrales triples en coordenadas rectangulares y polares. Incluye ejemplos para calcular estas áreas y volúmenes mediante el uso de estas integrales.
Este informe presenta el concepto de gradiente y sus propiedades. El gradiente es un vector que indica la dirección de máxima variación para una propiedad escalar en un punto dado. El documento incluye ejemplos de cálculo del gradiente y su uso para determinar la ecuación de un plano tangente.
Este documento resume los Teoremas Fundamentales del Cálculo, incluyendo el Teorema del Valor Intermedio, el Teorema del Valor Medio para Integrales, el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. También explica métodos como el cambio de variable, sustitución trigonométrica, sustitución recíproca e integración por partes para evaluar integrales definidas.
Este documento describe las distribuciones de probabilidad gamma y beta. La distribución gamma depende de dos parámetros k y λ y se usa para modelar variables como el tiempo entre eventos. La distribución beta también depende de dos parámetros α y β y se usa para modelar fracciones entre 0 y 1. Ambas distribuciones son útiles para modelar diferentes tipos de datos continuos.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como notación de operadores diferenciales, propiedades de operadores, polinomios diferenciales y ecuaciones características. Explica cómo expresar ecuaciones diferenciales en términos de operadores diferenciales lineales y cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer, segundo y orden superior mediante el uso de operadores diferenciales.
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE (Mecánica, Electrónica, Telecomu...WILIAMMAURICIOCAHUAT1
El cálculo diferencial proporciona información sobre el comportamiento de las funciones
matemáticas. Todos estos problemas están incluidos en el alcance de la optimización de funciones y pueden resolverse aplicando cálculo
condiciones de equilibrio primera ley de newtonCarlos Saldaña
Este documento presenta información sobre las condiciones de equilibrio de partículas en el plano según la primera ley de Newton. Explica que para que un cuerpo esté en equilibrio traslacional la suma de fuerzas en cada eje debe ser cero, y para el equilibrio rotacional la suma de momentos debe ser cero. Además, incluye ejemplos numéricos de problemas de equilibrio y su resolución mediante diagramas de cuerpo libre y aplicación de las ecuaciones de equilibrio.
Este documento trata sobre integrales múltiples. Explica conceptos como áreas de regiones planas y volúmenes de regiones sólidas utilizando integrales dobles e integrales triples en coordenadas rectangulares y polares. Incluye ejemplos para calcular estas áreas y volúmenes mediante el uso de estas integrales.
Este informe presenta el concepto de gradiente y sus propiedades. El gradiente es un vector que indica la dirección de máxima variación para una propiedad escalar en un punto dado. El documento incluye ejemplos de cálculo del gradiente y su uso para determinar la ecuación de un plano tangente.
Este documento resume los Teoremas Fundamentales del Cálculo, incluyendo el Teorema del Valor Intermedio, el Teorema del Valor Medio para Integrales, el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. También explica métodos como el cambio de variable, sustitución trigonométrica, sustitución recíproca e integración por partes para evaluar integrales definidas.
Este documento describe las distribuciones de probabilidad gamma y beta. La distribución gamma depende de dos parámetros k y λ y se usa para modelar variables como el tiempo entre eventos. La distribución beta también depende de dos parámetros α y β y se usa para modelar fracciones entre 0 y 1. Ambas distribuciones son útiles para modelar diferentes tipos de datos continuos.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como notación de operadores diferenciales, propiedades de operadores, polinomios diferenciales y ecuaciones características. Explica cómo expresar ecuaciones diferenciales en términos de operadores diferenciales lineales y cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer, segundo y orden superior mediante el uso de operadores diferenciales.
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE (Mecánica, Electrónica, Telecomu...WILIAMMAURICIOCAHUAT1
El cálculo diferencial proporciona información sobre el comportamiento de las funciones
matemáticas. Todos estos problemas están incluidos en el alcance de la optimización de funciones y pueden resolverse aplicando cálculo
condiciones de equilibrio primera ley de newtonCarlos Saldaña
Este documento presenta información sobre las condiciones de equilibrio de partículas en el plano según la primera ley de Newton. Explica que para que un cuerpo esté en equilibrio traslacional la suma de fuerzas en cada eje debe ser cero, y para el equilibrio rotacional la suma de momentos debe ser cero. Además, incluye ejemplos numéricos de problemas de equilibrio y su resolución mediante diagramas de cuerpo libre y aplicación de las ecuaciones de equilibrio.
El documento proporciona una introducción al método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica los conceptos básicos como maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales, y cómo el método simplex itera entre soluciones factibles para encontrar una solución óptima moviéndose de un vértice a otro en la región factible. Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del algoritmo simplex.
Este documento describe las funciones hiperbólicas, incluidas las definiciones del seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Explica cómo se derivan de las áreas bajo una hipérbola y una circunferencia. Incluye gráficos de las funciones y propiedades importantes. Finalmente, describe cómo las funciones hiperbólicas se aplican a una máquina de cadenas colgantes y catenarias para modelar el comportamiento físico.
Este documento trata sobre límites y continuidad en cálculo. Explica conceptos como rapidez promedio, límites de funciones, reglas para calcular límites, y la definición formal de límite. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar estos conceptos.
El documento presenta 8 ejercicios numéricos para aproximar raíces de funciones utilizando diferentes métodos como bisección, Newton-Raphson, secante y regla falsa. Se pide aplicar estos métodos para funciones como exp(-x^3)-2x+1, sen(x) y x^2-1 comenzando en diferentes intervalos y hasta alcanzar criterios de parada de precisión. Adicionalmente, se grafica la función exp(-x^3)-2x+1 para visualizar su comportamiento.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como el método de las diferencias divididas de Newton, la interpolación de Lagrange e interpolación de Hermite. Explica cómo calcular polinomios interpoladores usando estos métodos y cómo estimar el error de interpolación. También presenta la fórmula de Newton-Gregory ascendente y descendente para interpolación polinómica.
Este documento presenta conceptos clave sobre flujo eléctrico. Explica que el flujo eléctrico representa el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie y puede ser positivo, negativo o cero. También define la relación matemática entre flujo eléctrico, campo eléctrico y área superficial. Además, discute cómo la presencia de carga eléctrica dentro de una superficie cerrada afecta el flujo a través de dicha superficie de acuerdo a la ley
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitasFrancisco Reyes
Este documento presenta el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Explica cómo calcular las derivadas parciales, determinantes y realizar iteraciones para aproximar las raíces de las ecuaciones. Luego aplica el método a varios ejemplos numéricos de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 incógnitas.
Polinomios de Taylor. Formas cuadráticasJIE MA ZHOU
Este documento presenta los polinomios de Taylor como una herramienta para aproximar funciones. Explica que el polinomio de Taylor de grado 1 aproxima una función de manera más precisa que el plano tangente, mientras que el polinomio de grado 2 ofrece una aproximación aún más exacta si la función es dos veces diferenciable. Además, demuestra matemáticamente que la aproximación mejora a medida que el grado del polinomio de Taylor aumenta.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) La definición de función de varias variables y representación gráfica; (2) El concepto de curvas de nivel y su relación con la gráfica de una función; (3) Definiciones topológicas como entornos, conjuntos abiertos y cerrados que son necesarias para definir límites; (4) La extensión del concepto de límite y continuidad para funciones de varias variables. El objetivo es familiarizar al lector con estas nociones básicas
Los métodos de intervalos se basan en el cambio de signo de una función cerca de una raíz, lo que requiere al menos dos valores que delimitan un intervalo que contenga la raíz. Estos métodos utilizan estos cambios de signo para ubicar la raíz al establecer un intervalo inicial.
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con curvas en coordenadas polares. Explica cómo definir una curva mediante su ecuación polar, calcular la pendiente de la tangente, y analizar simetrías. También incluye ejemplos como la cardioide y la lemniscata para ilustrar estas ideas.
Este documento presenta un estudio sobre el método numérico de la regla de Simpson. Brevemente describe que el objetivo es investigar este método para integrar funciones definidas tabular o gráficamente y aplicarlo a problemas comunes en ingeniería. Explica que la regla de Simpson usa polinomios de grado superior para aproximar la función, resultando en una integración más precisa que otros métodos. Luego desarrolla las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, incluyendo sus fórmulas y errores asociados. Finalmente presenta ej
Este documento presenta la planificación de un curso de optimización que consta de 5 semanas. Cada semana se cubrirán aproximadamente 2 temas. Habrá un parcial a mediados del curso y un proyecto final al final del curso. El documento también incluye conceptos teóricos básicos de optimización como funciones objetivo, restricciones y regiones factibles.
Este documento explica el centro de masa y el teorema de Pappus. Define el centro de masa como el punto que representa el balance de una forma y cómo calcularlo mediante momentos. También explica cómo calcular el centroide de una región y da un ejemplo para una región rectangular. Finalmente, el teorema de Pappus establece que el volumen de un sólido de revolución es igual al área de la sección multiplicada por la distancia recorrida por su centroide durante la rotación.
Aplicaciones de las derivadas en ingenieríaPaul Nùñez
Este documento presenta varios problemas de ingeniería que involucran el uso de derivadas para encontrar dimensiones, valores o condiciones que maximicen o minimicen alguna cantidad. Los problemas cubren diversas áreas como ingeniería civil, eléctrica, mecánica, industrial, química y de petróleos. Los problemas buscan determinar cosas como la forma óptima de una estructura, la corriente o potencia máxima en un circuito eléctrico, las dimensiones para mayor resistencia o volumen en una pieza, y condiciones para minimizar costos
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadEnely Freitez
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y sus soluciones. En primer lugar, calcula la probabilidad de obtener diferentes resultados al sumar los números de una pieza de dominó. Luego, determina la probabilidad de que dos artículos escogidos al azar de un grupo sean defectuosos o no defectuosos. Finalmente, resuelve otros problemas relacionados con extraer pelotas de una urna o seleccionar piezas de ajedrez.
1. El documento presenta nueve ejercicios resueltos sobre probabilidades y variables aleatorias. En el primer ejercicio, se calculan las probabilidades de que entre 10 unidades dos o a lo sumo dos sean defectuosas, y que por lo menos una lo sea. En el segundo, la probabilidad de que todas las personas con reserva obtengan mesa en un restaurante con 20 mesas y 25 reservas. En el tercer ejercicio, se calculan probabilidades relacionadas con fallos de componentes siguiendo una distribución de Poisson.
Ejercicios de parametrizacion de curvas calculo vectorial.ualvarezhernandez
Este documento presenta la parametrización de tres curvas: una parábola definida por la ecuación y=x^2-1, una circunferencia definida por x^2+y^2=2, y una elipse definida por 3x^2+2y^2=6. Se muestra el procedimiento para parametrizar cada curva utilizando funciones trigonométricas de t. El autor concluye que los ejercicios de calculo vectorial propuestos por el profesor son útiles para aprender la materia.
En esta presentación aprenderás a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo integral en un ejemplo concreto.
Utilizaremos este Teorema para calcular un límite utilizando también la regla de L´Hôpital.
El documento resume el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Explica la regla de Barrow como consecuencia directa del teorema y describe la suma de Riemann como método para calcular el área bajo una curva cuando no es posible usar el Teorema Fundamental del Cálculo. Finalmente, define las notaciones de suma abierta y suma pertinente.
El documento proporciona una introducción al método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica los conceptos básicos como maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales, y cómo el método simplex itera entre soluciones factibles para encontrar una solución óptima moviéndose de un vértice a otro en la región factible. Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del algoritmo simplex.
Este documento describe las funciones hiperbólicas, incluidas las definiciones del seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Explica cómo se derivan de las áreas bajo una hipérbola y una circunferencia. Incluye gráficos de las funciones y propiedades importantes. Finalmente, describe cómo las funciones hiperbólicas se aplican a una máquina de cadenas colgantes y catenarias para modelar el comportamiento físico.
Este documento trata sobre límites y continuidad en cálculo. Explica conceptos como rapidez promedio, límites de funciones, reglas para calcular límites, y la definición formal de límite. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar estos conceptos.
El documento presenta 8 ejercicios numéricos para aproximar raíces de funciones utilizando diferentes métodos como bisección, Newton-Raphson, secante y regla falsa. Se pide aplicar estos métodos para funciones como exp(-x^3)-2x+1, sen(x) y x^2-1 comenzando en diferentes intervalos y hasta alcanzar criterios de parada de precisión. Adicionalmente, se grafica la función exp(-x^3)-2x+1 para visualizar su comportamiento.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como el método de las diferencias divididas de Newton, la interpolación de Lagrange e interpolación de Hermite. Explica cómo calcular polinomios interpoladores usando estos métodos y cómo estimar el error de interpolación. También presenta la fórmula de Newton-Gregory ascendente y descendente para interpolación polinómica.
Este documento presenta conceptos clave sobre flujo eléctrico. Explica que el flujo eléctrico representa el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie y puede ser positivo, negativo o cero. También define la relación matemática entre flujo eléctrico, campo eléctrico y área superficial. Además, discute cómo la presencia de carga eléctrica dentro de una superficie cerrada afecta el flujo a través de dicha superficie de acuerdo a la ley
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitasFrancisco Reyes
Este documento presenta el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Explica cómo calcular las derivadas parciales, determinantes y realizar iteraciones para aproximar las raíces de las ecuaciones. Luego aplica el método a varios ejemplos numéricos de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 incógnitas.
Polinomios de Taylor. Formas cuadráticasJIE MA ZHOU
Este documento presenta los polinomios de Taylor como una herramienta para aproximar funciones. Explica que el polinomio de Taylor de grado 1 aproxima una función de manera más precisa que el plano tangente, mientras que el polinomio de grado 2 ofrece una aproximación aún más exacta si la función es dos veces diferenciable. Además, demuestra matemáticamente que la aproximación mejora a medida que el grado del polinomio de Taylor aumenta.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) La definición de función de varias variables y representación gráfica; (2) El concepto de curvas de nivel y su relación con la gráfica de una función; (3) Definiciones topológicas como entornos, conjuntos abiertos y cerrados que son necesarias para definir límites; (4) La extensión del concepto de límite y continuidad para funciones de varias variables. El objetivo es familiarizar al lector con estas nociones básicas
Los métodos de intervalos se basan en el cambio de signo de una función cerca de una raíz, lo que requiere al menos dos valores que delimitan un intervalo que contenga la raíz. Estos métodos utilizan estos cambios de signo para ubicar la raíz al establecer un intervalo inicial.
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con curvas en coordenadas polares. Explica cómo definir una curva mediante su ecuación polar, calcular la pendiente de la tangente, y analizar simetrías. También incluye ejemplos como la cardioide y la lemniscata para ilustrar estas ideas.
Este documento presenta un estudio sobre el método numérico de la regla de Simpson. Brevemente describe que el objetivo es investigar este método para integrar funciones definidas tabular o gráficamente y aplicarlo a problemas comunes en ingeniería. Explica que la regla de Simpson usa polinomios de grado superior para aproximar la función, resultando en una integración más precisa que otros métodos. Luego desarrolla las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, incluyendo sus fórmulas y errores asociados. Finalmente presenta ej
Este documento presenta la planificación de un curso de optimización que consta de 5 semanas. Cada semana se cubrirán aproximadamente 2 temas. Habrá un parcial a mediados del curso y un proyecto final al final del curso. El documento también incluye conceptos teóricos básicos de optimización como funciones objetivo, restricciones y regiones factibles.
Este documento explica el centro de masa y el teorema de Pappus. Define el centro de masa como el punto que representa el balance de una forma y cómo calcularlo mediante momentos. También explica cómo calcular el centroide de una región y da un ejemplo para una región rectangular. Finalmente, el teorema de Pappus establece que el volumen de un sólido de revolución es igual al área de la sección multiplicada por la distancia recorrida por su centroide durante la rotación.
Aplicaciones de las derivadas en ingenieríaPaul Nùñez
Este documento presenta varios problemas de ingeniería que involucran el uso de derivadas para encontrar dimensiones, valores o condiciones que maximicen o minimicen alguna cantidad. Los problemas cubren diversas áreas como ingeniería civil, eléctrica, mecánica, industrial, química y de petróleos. Los problemas buscan determinar cosas como la forma óptima de una estructura, la corriente o potencia máxima en un circuito eléctrico, las dimensiones para mayor resistencia o volumen en una pieza, y condiciones para minimizar costos
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.
Teoria de Conjunto y Técnicas de Conteo aplicado a ProbabilidadEnely Freitez
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y sus soluciones. En primer lugar, calcula la probabilidad de obtener diferentes resultados al sumar los números de una pieza de dominó. Luego, determina la probabilidad de que dos artículos escogidos al azar de un grupo sean defectuosos o no defectuosos. Finalmente, resuelve otros problemas relacionados con extraer pelotas de una urna o seleccionar piezas de ajedrez.
1. El documento presenta nueve ejercicios resueltos sobre probabilidades y variables aleatorias. En el primer ejercicio, se calculan las probabilidades de que entre 10 unidades dos o a lo sumo dos sean defectuosas, y que por lo menos una lo sea. En el segundo, la probabilidad de que todas las personas con reserva obtengan mesa en un restaurante con 20 mesas y 25 reservas. En el tercer ejercicio, se calculan probabilidades relacionadas con fallos de componentes siguiendo una distribución de Poisson.
Ejercicios de parametrizacion de curvas calculo vectorial.ualvarezhernandez
Este documento presenta la parametrización de tres curvas: una parábola definida por la ecuación y=x^2-1, una circunferencia definida por x^2+y^2=2, y una elipse definida por 3x^2+2y^2=6. Se muestra el procedimiento para parametrizar cada curva utilizando funciones trigonométricas de t. El autor concluye que los ejercicios de calculo vectorial propuestos por el profesor son útiles para aprender la materia.
En esta presentación aprenderás a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo integral en un ejemplo concreto.
Utilizaremos este Teorema para calcular un límite utilizando también la regla de L´Hôpital.
El documento resume el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Explica la regla de Barrow como consecuencia directa del teorema y describe la suma de Riemann como método para calcular el área bajo una curva cuando no es posible usar el Teorema Fundamental del Cálculo. Finalmente, define las notaciones de suma abierta y suma pertinente.
Este documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que la integral de la derivada de una función es igual a la función, excepto por una constante. Específicamente, describe cómo las sumas de Riemann se utilizan para calcular el área bajo una curva mediante la suma de rectángulos infinitesimales, y cómo esto se representa formalmente mediante la notación del cálculo integral.
Este documento trata sobre la derivada y el cálculo integral. Explica brevemente la historia del cálculo integral desde Arquímedes hasta su desarrollo completo en el siglo XVIII. También define conceptos como la derivada, integral definida e indefinida, y métodos para calcular la integral como la suma de Riemann e integración por partes.
El documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. 1) Proporciona un método para calcular integrales definidas sin necesidad de calcular límites de sumas de Riemann. 2) Muestra que la derivación e integración son procesos inversos. 3) Explica que si F es una primitiva continua de f, entonces F'(c)=f(c) para todo c en el intervalo.
El documento resume el teorema fundamental del cálculo. Establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la integral de la derivada de una función continua es igual a la función. También introduce conceptos como funciones primitivas, sumas de Riemann e integración como cálculo de áreas.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, la derivada de la integral de una función es igual a la función original, y la integral de la derivada de una función es igual a la función original más una constante. Este teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y es fundamental en el análisis matemático.
Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Define el valor promedio de una función en un intervalo usando integrales definidas. Enuncia el TFC y cómo puede usarse para calcular integrales definidas cuando se conoce una antiderivada. Incluye ejemplos resueltos de aplicar el TFC y la regla del trapecio para aproximar integrales.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo. En particular, 1) explica que la derivación e integración de una función son operaciones inversas, 2) introduce la notación sigma para representar sumas, y 3) define la suma de Riemann como un método para aproximar el área bajo la gráfica de una curva mediante subdivisiones.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA CARRERA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓNJorge Iván Alba Hernández
El documento presenta los resultados de una investigación sobre la utilidad del cálculo integral en la ingeniería en computación. La investigación incluyó entrevistas y encuestas a ingenieros y estudiantes que mostraron que el cálculo integral es una herramienta útil en diversas aplicaciones como análisis de circuitos, señales, series de Fourier y modelado 3D. Aunque su uso no es directo, contribuye al desarrollo del pensamiento ingenieril. La mayoría de encuestados reconocen su importancia y lo ven como parte fundamental de su formación.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo, incluyendo: (1) la definición del teorema como la afirmación de que la derivación e integración son operaciones inversas, (2) una discusión sobre cómo el teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y (3) detalles sobre cómo el teorema permite calcular integrales definidas mediante el uso de funciones primitivas.
El documento presenta un cuadernillo de apuntes sobre cálculo integral. Introduce el teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Explica cómo aproximar el área bajo una curva mediante sumas de Riemann y define la integral definida. Finalmente, describe propiedades clave como la existencia de funciones primitivas y cómo calcular integrales definidas mediante el teorema fundamental.
1) El documento explica el concepto de sumatoria y sus propiedades, así como la integral de Riemann y sus conceptos fundamentales como partición, suma inferior y suma superior. 2) Describe las propiedades de las funciones integrales y los teoremas fundamentales del cálculo integral. 3) Explica conceptos como integral indefinida, funciones primitivas y métodos para calcular integrales como descomposición y cambio de variable.
Este documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann y la integración. Introduce la definición del área de una región plana limitada por una función continua mediante el límite de sumas. Luego define las sumas de Riemann como una generalización de este concepto que permite calcular magnitudes como longitudes, valores medios y volúmenes. Finalmente, presenta las propiedades básicas de las funciones integrables y los teoremas fundamentales del cálculo integral.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
El documento resume las propiedades y conceptos fundamentales de las sumatorias, integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado, y que las integrales definidas calculan el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos infinitesimales. También resume 10 propiedades clave de las integrales definidas y explica el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.
Este documento presenta conceptos clave del cálculo integral, incluyendo la medida aproximada de figuras amorfas, la suma de Riemann, la definición de integral definida, el teorema fundamental de cálculo y el cálculo de integrales definidas e impropias. Explica cómo la integración puede usarse para estimar el área bajo una curva y describe métodos como la suma de Riemann para aproximar este cálculo.
El documento describe métodos numéricos para aproximar el valor de integrales que no pueden resolverse analíticamente usando el Teorema Fundamental del Cálculo. Introduce las fórmulas de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio, que aproxima el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de cada trapecio formado. Cuanto mayor sea el número de subintervalos, mejor será la aproximación a la integral verdadera.
El documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann. Explica que las sumas de Riemann permiten calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de los rectángulos formados. También define formalmente las sumas de Riemann y explica que al aumentar el número de subintervalos, las sumas superior e inferior convergen al valor real del área.
1) La sumatoria o notación sigma se usa para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. 2) Se representa con la letra griega mayúscula Σ y expresa la suma desde un límite inferior hasta un límite superior. 3) Existen fórmulas para calcular sumatorias de forma más rápida, como la suma de los n primeros números naturales.
El documento describe los objetivos de aprendizaje relacionados con el cálculo integral. Los objetivos incluyen comprender la notación sigma, calcular áreas mediante sumas superiores e inferiores, establecer la integral definida como un límite de suma, demostrar propiedades geométricas de la integral definida, aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo y métodos de sustitución y cambio de variables, y aplicar integrales en ingeniería para calcular distancias y áreas.
Este documento trata sobre las integrales definidas y sus propiedades. Explica conceptos como la notación sigma para sumatorias, el cálculo del área bajo una curva dividiéndola en rectángulos, la definición formal de integral definida, y propiedades como los teoremas fundamentales del cálculo y el teorema del valor medio. También cubre temas como sustitución y cambio de variables en integrales.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
1) El documento explica conceptos fundamentales de la integral definida como el área limitada entre la gráfica de una función y los ejes. 2) También presenta el teorema fundamental del cálculo y cómo la integral definida es igual a la diferencia entre las antiderivadas evaluadas en los límites. 3) Finalmente, muestra ejemplos de cómo se usan las integrales en ingeniería para calcular distancias, áreas y costos totales.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica los conceptos fundamentales de las sumatorias y las integrales definidas. Una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un límite inferior y superior, denotados por sigma. El área bajo una curva puede aproximarse dividiéndola en rectángulos, y al tomar más rectángulos la aproximación es mejor. La integral definida es el límite de la suma de Riemann, y representa el área exacta bajo la curva. Los teoremas fundamentales del cálculo establecen que la derivada de una integral
1) La derivada tiene múltiples aplicaciones como estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de funciones, concavidad y convexidad. 2) Algunas aplicaciones importantes son determinar velocidad y aceleración, puntos críticos, derivación implícita y cálculo de máximos y mínimos. 3) Las derivadas son útiles en muchas áreas como física, ingeniería, negocios y economía.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
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Este documento describe los diferentes tipos de carga laboral, incluyendo carga física, mental y desgaste mental. La carga de trabajo se refiere a la cantidad de actividad asignada sin entorpecer las operaciones totales. La carga física depende del esfuerzo requerido, mientras que la carga mental se refiere al procesamiento de información. El desgaste mental puede ocasionar estrés, dolor de cabeza, colitis y problemas cardiovasculares.
Este documento describe los equipos de trabajo autodirigidos (ETAD), los cuales son equipos a los que se les plantea una meta o problema y son autónomos en cómo resolverlo. Los líderes de estos equipos se enfocan más en el desarrollo de los participantes que en controlar sus actividades. Los ETAD son equipos naturales dueños de un producto o proceso cuyos miembros comparten visión, valores y metas e implementan acciones de manera autodirigida.
El documento contiene dos reportes de defectos de teléfonos. Cada reporte incluye el número de serie, fecha, persona que reportó el problema, modelo afectado, descripción del defecto, técnico asignado y condiciones especificadas versus actuales.
El documento describe la dependencia de Bayer en el sistema de información Adaptiv de SunGard para gestionar el riesgo financiero, realizar cálculos de riesgo, y cumplir con los requisitos regulatorios. Adaptiv proporciona análisis de riesgo de crédito, gestión de operaciones, y soluciones analíticas que ayudan a Bayer a mejorar la toma de decisiones, acelerar la comercialización de productos, y cumplir con las normas contables.
Este documento describe la televisión como un sistema de información masiva que transmite imágenes y sonido a distancia. Discuten las ventajas y desventajas de la televisión como medio de comunicación. Entre las ventajas se encuentran su accesibilidad y su capacidad para transmitir programación diversa a una amplia audiencia. Entre las desventajas están la posible influencia negativa de la programación en los niños y la holgazanería que puede fomentar. El documento concluye que la televisión no es inherentemente buena o
PROTOCOLO DE KIOTO. DESARROLLO SUSTENTABLE.Genesis Acosta
El Protocolo de Kioto es un acuerdo internacional vinculado a la Convención Marco de las Naciones Unidas sobre el Cambio Climático que establece metas de reducción de gases de efecto invernadero para 37 países industrializados. El objetivo es reducir las emisiones de estos países en un promedio de 5% respecto a los niveles de 1990 durante el período 2008-2012. El protocolo ofrece flexibilidad a los países en cómo pueden cumplir sus objetivos a través de mecanismos como el mercado de carbono y el mecanismo de desar
Este documento presenta conceptos básicos sobre calidad, probabilidad y estadística, mejora continua y administración de calidad de manera holística. Incluye una unidad sobre filosofías de la calidad con criterios de evaluación, competencias, conocimientos, habilidades y actividades de aprendizaje. También presenta las bases filosóficas de Deming como los 14 puntos de Deming, las 7 enfermedades mortales de la gerencia, el premio Deming y el ciclo de Deming.
Unidad 1 calidad aplicada a la gestión empresarialGenesis Acosta
Este documento presenta información sobre conceptos y definiciones clave relacionados con la calidad aplicada a la gestión empresarial. Explica las diferentes corrientes filosóficas de la calidad, desde la inspección de productos hasta la gestión de calidad total, así como los conceptos de control de calidad, aseguramiento de calidad y mejora continua. Además, enfatiza la importancia de la participación del personal y la satisfacción del cliente para lograr una gestión efectiva de la calidad en las organizaciones.
Cuestionario unidad 2 valores y ética ambiental. desarrollo sustentable.Genesis Acosta
El documento resume conceptos clave relacionados con la ecología y los recursos naturales. Explica que un ecosistema está compuesto por organismos vivos y su hábitat, y que existen tres tipos principales de ciclos biogeoquímicos que mueven elementos entre seres vivos y el ambiente. También define la biodiversidad como la variedad de seres vivos, y explica que los recursos naturales pueden ser renovables, no renovables o inagotables. Finalmente, define un fenómeno natural como un cambio natural que ocurre por sí solo.
Cuestionario de la unidad 3 de desarrollo sustentable escenario socio culturalGenesis Acosta
El documento trata sobre conceptos relacionados con el escenario socio-cultural en el desarrollo sustentable. Define socio-cultura como la combinación de sociedad y cultura. Explica que una organización social es un grupo de personas que interactúan para alcanzar objetivos comunes y que la diversidad cultural se refiere a la convivencia entre distintas culturas. Además, describe los fenómenos poblacionales como hechos que afectan a una sociedad como el crecimiento demográfico y analiza conceptos como el desarrollo humano, í
Cuestionario de apoyo desarrollo sustentable unidad 5Genesis Acosta
El documento trata sobre el desarrollo sustentable y el escenario modificado. Explica conceptos como el crecimiento demográfico, las causas del cambio climático, los tipos de seguridad, la contaminación ambiental, la desertificación, la migración humana y los servicios públicos.
Rendimientos a escala: constantes, crecientes y decrecientesGenesis Acosta
El documento describe tres tipos de rendimientos a escala: constantes, crecientes y decrecientes. Los rendimientos constantes significan que si se duplican los insumos, la producción también se duplicará. Los rendimientos crecientes ocurren cuando la especialización del trabajo aumenta la productividad a mayor escala. Los rendimientos decrecientes pueden ocurrir debido a problemas de comunicación que dificultan la gestión eficiente a mayor escala.
Este documento describe los sistemas de información aplicados a la logística y la cadena de suministros. Explica definiciones clave como logística y cadena de suministros, y describe la evolución de los sistemas de información logísticos desde la década de 1970. También define los sistemas de información logísticos y discute algunos modelos existentes, incluidos los sistemas de información logísticos, el flujo de información logística y los sistemas logísticos de información. Finalmente, presenta ej
1. Instituto Tecnológico de Acapulco
SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ACAPULCO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICO
ADMINISTRATIVO
INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL
CALCULO INTEGRAL
PROFESOR: JOSE LUIS SOTELO.
UNIDAD 1
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO
INTEGRANTES DE EQUIPO:
BEATRIZ ISABEL ALMAGUER T.
CÉSAR IVÁN GOMÉZ SANTAMARÍA
JOCELYN BELLO BONILLA
GENÉSIS GARCÍA ACOSTA
VIRIDIANA GALEANA NIEVES
ANA SILVIA RAMÍREZ LARA
FECHA: lunes, 07 de Junio del 2010.
2. UNIDAD 1
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
TAREA: INVESTIGACIÓN.
1.2.- NOTACION SUMATORIA
Este tema es uno de los más simples de cálculo integral.
A continuación se explicará paso a paso como resolver un ejercicio de este tema:
1.- Identificar cual es el número con el que vas a empezar a sumar. Ese número esta debajo de este signo .
2.- Después de haber identificado el número tienes que identificar otro número para saber hasta que
número vas a terminar de sumar. Ese número se encuentra arriba de este signo: .
3.- Después de haber identificado los números, entonces pones los números que vas a sumar delante del
signo igual que debes de poner enseguida del signo: .
4.- Sumas los números y esta terminado tu ejercicio.
5.- Si hay letra debajo del símbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numérico hasta que llegues al
número que esta arriba del símbolo suma.
A continuación se te muestra un ejemplo:
1.- 4n=0 n=0+1+2+3+4=10
2.- 7k=1k (k+1)=1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)=143
La notación se lee:
Suma de x sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n. o simplemente suma de x
sub-i, donde i va de 1 a n.
La letra debajo del operador se llama índice de la suma, en la expresión:
Note que el índice de la suma es i
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
NOTACION SUMATORIA ABIERTA: esta notación va e una representación de sumatoria a cada uno de los
elementos que la componen por ejemplo:
= + +
3. NOTACION SUMATORIA PERTINENTE: esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la
representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida,
por ejemplo:
+ + =
Ejemplo #1: Si =3 =9 =11
Encontrar:
Solución: = + +
=3=9+11
=23
Ejemplo #2: Si = 1 =2 =-1
Encontrar:
Solución: = + +
= + +
= 1+4+1
=6
1.3.- SUMAS DE RIEMANN:
Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su
nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
DEFINICIÓN:
Consideremos lo siguiente:
Una función f donde D es un subconjunto de los números reales
l= [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos tales que a =
Crean una partición de l
P=
4. Si P es una partición con n elementos de l, entonces la suma de Riemann de f sobre l con la
partición P se define como:
S=
Donde La elección de y; en este intervalo es arbitraria
Si = para todo i, entonces denominamos S con la Suma de Riemann por la izquierda.
Si = , entonces denominamos S con la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada Suma Trapezoidal.
1.4.- DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA:
Si f(x) está definida en el intervalo [a, b] (única condición impuesta por Riemann, puesto que ahora
la definición de Integral Definida va a ser mucho más amplia que la que dimos para el Cálculo del
área bajo una curva)
Si existe el límite tal como lo hemos definido arriba…
Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y lo escribimos
A y b se le llaman límites inferior y superior de integración.
1.5.- TEOREMA DE EXISTENCIA:
Es un teorema con un enunciado que comienza existe (n)…o más generalmente para todos x,
y….existe (n)….Esto es, en términos de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado
involucrado el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es
usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo el enunciado de que la función seno es una
continua, o cualquier teorema asentó en la notación 0.
¿Existirá una solución al problema?
Sea R= [a, b] x [c, d] c tal que ( ) . Si f(x, y) y
1.6.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Para facilitar el cálculo de una integral definida, sin tener que recurrir a la definición dada en el
capítulo anterior, en donde se estableció que:
5. Se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales:
Si a>b, entonces:
Si f(a) existe, entonces:
Si k es una constante cualquiera, entonces:
Si la función f es integral en [a, b] y k es una constante arbitraria, entonces:
Si las funciones f y g son integrales en [a, b], entonces f ± g también es integrable en [a, b]:
Si f es integrable en [a, b] [a, c] y [c. b], y a entonces:
Si f es integrable en un intervalo cerrado I y (a, b, c) entonces:
Si f es integrable en [a, b] y f(x) [a, b] entonces:
Si las funciones f y g son integrales en [a, b] y f(x) g (x) x [a, b] entonces:
6. Sea f continua en [a, b]. Si m es el valor mínimo absoluto y M el valor máximo absoluto de f en [a,
b] y
m f(x) M, a x
Entonces:
m(b-a)
1.7.- FUNCIÓN PRIMITIVA
Es la relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área.
Es la razón del porque se llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (lo más generalmente dominio).
F es una primitiva de f y sólo si f es la derivada de F: F´= f.
Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente resulta que la
diferencia F (b)-F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico
notarla sin mencionar a F, sino solamente a f.
F (b) – F(a) =
1.8.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Descubierto por distintos caminos de Newton y Leibniz.
Este teorema viene a decir que la derivación y la integración son operaciones inversas y que para
calcular la integral se realiza una antiderivación que consiste en hallar una función primitiva F(x) de
aquella a la que se le quiere calcular la integral f(x) y operar de la siguiente forma.
El teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo
cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de la [a, b] por:
F(x)
El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son
operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la
función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema
7. fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función
a integrar.
ENUNCIADO DE LOS TEOREMAS:
Teorema Fundamental Del cálculo:
Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x
de [a, b] por:
F(x)
Entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F´(x)
= fx
Segundo Teorema Fundamental Del Cálculo:
Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b] es decir, F es una primitiva
de f entonces:
COLORARIO:
Si f es una función continua en [a, b ], entonces f es integrable en [a, b] y F, definida por:
F(x)=
Es una primitiva de f en [a, b]. Además:
1.9.- CALCULO DE INTEGRALES:
La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema
fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:
1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F´= f.
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la
integral tienen singularidades en el camino de integración.
8. 4.-Por tanto el valor de la integral es F(b)- F(a).
Nótese que la integral no es realmente la primitiva, si no que el teorema fundamental permite
emplear las primitivas para evaluar las integrales definidas.
A menudo, el paso difícil es encontrar la primitiva de f. Entonces se debe utilizar alguna técnica
para evaluar integrales:
Integración por cambio de variable.
Integración por partes.
Integración por sustitución trigonométrica.
Integración por fracciones parciales.
1.10.- INTEGRAL IMPROPIA:
Es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de
integración se acercan a un número real específico.
APUNTES
FIGURAS AMORFAS
Son figures amorfas aquellas que no se pueden ser identificadas o reconocidas.
Ejemplo:
Existe la teoría de que para calcular el área de una figura amorfa es que hay que dividir en figuras
conocidas.
Ejemplo:
9. El objetivo principal del Cálculo Integral es encontrar áreas y volúmenes.
El principal punto del Cálculo Integral, es obtener el área de figuras amorfas.
NOTACIÓN SUMATORIA
Formula:
1+2+3=6
14
Ejercicio: Calcular el área bajo la curva que describe la función 4= f(x)= y = , en el intervalo
[0,1]
1) Gráficar:
B=1h h= f(1) = =1
A= bxh =1x1 = 1
2) = ½ h= f( ) = =
10. = (
=
3) =
( =
=
=
AT =
AT =
4)
=
= h=
.:
AT = +
Si factorizó [ ]
Nota: + + =
Determinar por el método el área de la región limitada por la parábola:
11. Conjuntos de separación en: 0 y los puntos muestran
f(x) = [0, 1]
Por sumas de Riemann
Gráfica:
4) F( )= <
f (.1)=
f (.3)=
f (.5)=
f (.7)=
f (.9)=
Sustituyendo
Rp=
Factorizó 2 = [.01+.09+.25+.49+.81]
= 2[1.65]
= .33 U.A.
Familia
Rp=
P=0.2< .4 <0.6 <.08 <1
Calcular la longitud de de la base de los rectángulos:
.2 – 0 =0.2
.4 - .2 = .2
.6 – 4 = .2
.8 - .6 = .2
1 - .8 = .2
TAREA: Hallar el área bajo f(x)= utilizando Sumas de Riemann con particiones:
12. 0 puntos muestra
5) Rp =
Rp = f (
Sustituimos los valores de f . Entonces:
Rp = (0.01)(0.2)+(0.09)(0.2)+(0.25)+(0.49)(0.2)
Rp = 0.002+0.001+0.050+0.098+0.162 = 0.313 V.A.
R= .33
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y sea g una función, tal que:
F´(x)=f(x)
G´(x)=f(x)
Para toda x en [a, b] entonces: