El documento explica las derivadas, que representan la pendiente de la tangente a una curva en un punto y miden la tasa de cambio de una función. Tiene aplicaciones como calcular velocidad y aceleración, optimizar funciones para encontrar máximos y mínimos, y construir carreteras con curvas naturales. Incluye ejemplos de derivadas de funciones y su uso para resolver problemas de física y economía.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO “ANTONIO JOSE DE SUCRE”
(UTS)
SAN CRISTOBAL, ESTADO – TACHIRA
APLICACIÓN DE DERIVADAS
Génesis Rosales
C.I 29.753.182

2. Introducción
La derivada representa un papel fundamental en las Matemáticas debido a su
gran cantidad de aplicaciones en la ciencia, la tecnología o la economía:
 Cálculo de la velocidad y la aceleración instantánea de cualquier objeto en
movimiento.
 Para la optimización de funciones, cálculo de máximos y mínimos. En procesos
productivos es fundamental conocer las condiciones en qué podemos obtener
los mayores beneficios
 Construir carreteras de modo que las curvas se puedan tomar de la forma más
natural posible.
Como muchos de los conceptos matemáticos que estudiamos, el concepto de
derivada es fruto de varios siglos de evolución.

3. ¿Qué es una derivada?
La derivada de una función está representada gráficamente como
una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta
pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el
nombre de derivada.
Esta línea, está colocada sobre el punto más extremo (superior o inferior) de la
curva, por lo que a su vez está determinando un límite al que la función llega, en
relación al incremento que consiga la variable estudiada por las alteraciones que
reciba.
En fin, para comprender más el significado de la derivada, es aquella que se
utiliza para medir las evoluciones o los cambios de una variable en relación a
otra.

4. Ejemplo:

5. Siglo XVII
Sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que
hoy llamamos derivadas e integrales. Desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos
(teorema fundamental del cálculo).

6. Tabla de derivadas

8. Algunas de las aplicaciones más notables de
las derivadas se explican a continuación:
 Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra
su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la
localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la
tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del
mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x es el punto cuya
velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.
 Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto
crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
 Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina
optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de
los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del
menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc.
Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo /
máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo
absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del
dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, , para todos
los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.

9.  Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método
de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una
cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución
mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de
algunos términos de las Series Taylor
 Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en
el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del
comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de
máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así
aumentar la productividad total del comercio. También resulta conveniente
analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la
ganancia.
 Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la
óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función
lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta
es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al
gráfico de cualquier función lineal.

10. Ejercicio
¿Qué función crece más rápido en el punto x=1/2 f(x)=7x3-x2-5x+3 ó g(x)=24x4-3x+2 ?
Consideraciones previas
Para estudiar la rapidez del crecimiento (o decrecimiento) de una función en un punto estudiamos su
primera derivada en el punto, que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la función en el
punto. Recuerda que:
y−f(a)=f'(a)⋅(x−a)
En este caso, en a=1/2. Aquella que tenga un valor mayor será la que crezca más rápido.
Resolución
f'(x)=21x2−2x−5⇒f'(0.5)=21(0.5)2−2(0.5)−5=−0.75g'(x)=96x3−3⇒g'(0.5)=96(0.5)3−3=9
Como vemos, la función f es decreciente en el punto señalado, y la función g es la que crece más
rápidamente en él.

11. Formulas
 f'(x0)>0
 D(f+g)=f'+g' ; D(f−g)=f'−g‘
 f'(x0)<0
 f(x)=xn⇒f'(x)=n⋅xn−1 ∀n∈R
 y−f(a)=f'(a)⋅(x−a)

12. Ejercicio 2
 Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la
expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de
kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha
velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función
crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto,
si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa
de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1

13. v ‘ + 1 - 2
y crece decrece
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece
de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:
v(x)= (2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.
LA GRÁFICA:

14. Conclusión
Comprendimos que las derivadas sirven para solucionar problemas de física y
todas las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor,
mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la
economía para hallar valores mínimos y máximos los cuales son importantes para
proyectar en economía. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de
una función trigonométrica. Es decir tiene un numero sin fin de aplicaciones en
las cuales toma un papel importante