La derivada tiene múltiples aplicaciones en diversos campos como las matemáticas, las ciencias, la ingeniería y la economía. Representa la pendiente de una función y se utiliza para determinar velocidades, aceleraciones, puntos extremos, análisis de curvas y tasas de cambio. Sus usos incluyen optimización de costos, modelado de fenómenos físicos y análisis cuantitativo y cualitativo de funciones.

1. Bachiller: Carlos Mata
Profesora: Ranielina Rondón
Derivadas

2. Resultado de un límite y representa la pendiente de
la recta tangente de la gráfica de la función en un
punto.
Sea f una función definida en todo el número de
algún intervalo l, la derivada de f es aquella función
denotada por f’, tal que su valor en cualquier
número x de l, está dado por:

3. La matemática es una ciencia, que está en todos lados, y la
derivada que forma parte de esta, también lo está, es muy útil
para saber si una función es creciente o decreciente,
encontrar máximos y mínimos, concavidad, puntos de
inflexión, etc. Un ejemplo de lo que estamos hablando, se da
en el ámbito financiero, por ejemplo, si conocemos la función
ganancia y costo de una empresa por mes, la derivada nos
ayuda a encontrar cuáles son esos puntos máximos de
ganancia y mínimos de los costos, para que dicha empresa
pueda ser rentable.
También nos permite saber a partir de que punto (tiempo) la
función, tanto la de ganancia como la de costo, pudiera
crecer o decrecer y tomar las medidas correctivas.

4. ¿Por qué es tan importante la aplicación de la
derivada?
La derivada tiene un amplio uso en muchas áreas de
la ciencia, como por ejemplo la Astronomía, la
mecánica, etc.
Nos permite calcular por ejemplo (de maneras mas
rápida, no necesariamente más fácil) las
velocidades de objetos en movimientos respecto al
tiempo. Si conocemos la posición del objeto en el
tiempo, es decir X(t), con tan solo derivar X(t) con
respecto al tiempo encontraríamos la velocidad,
esto es V(t)= d[X(t)]/dt

5. Donde [A], [B], [P], [Q], son las
concentraciones de los reactivos y de
los productor, a, b, p y q son
coeficiente estequiométricos.

6. Y la derivada material con respecto al tiempo es:
A partir de allí se puede buscar, velocidad, aceleración del
fluido.

7. Puntos de inflexión, concavidad. Que los podemos interpretar
como los parámetros y variables, necesario para resolver los
problemas en cualquier campo de estudio de los antes
mencionados.

8. Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado
frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y
máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de
la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de
signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.
Teorema valor máximo y mínimo:
Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo
abierto I que contiene a C. Si f es derivable en el intervalo, excepto
posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue.
1. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo
relativo en (c, f(c)).
2. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo
relativo en (c, f (c)).
3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c,
entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

9. f(x) = x^3 – 3x + 2
f’(x) = 3x^2 – 3 = 0 x = - 1 x = 1
Candidatos a extremos: -1 y 1.
f’’(x) = 6x
f’’(-1) = -6 < 0 Máximo
f’’(1) = 6 > 0 Mínimo
f(-1) = (-1)^3 – 3(1) + 2 = 4
f(1) = (1)^3 – 3(1) + 2 = 0
Máximo(-1, 4) Mínimo(1,0)

10. f(x) = 3x – x^3
f’(x) = 3-3x^2
f’(x) = 0 x= -1 x= 1
Candidatos a extremos: -1 y 1.
f’’(x) = -6x
f’’( - 1) = 6 > 0 Mínimo
f’’(1) = -6 < 0 Máximo
f(-1) = 3 . (-1) – (-1)^3 = -2
f(1) = 3 . 1 – 1^3 = 2
Máximo ( - 1, - 2) Mínimo(1,2)

11. En la rama de las matemáticas, encontramos el tema de las
derivadas, éstas tienen cierta aplicación en distintos ámbitos
en la vida
Relativamente su uso se aplica para analizar cuantitativa y
cualitativamente diferente tipo de funciones en la actividad
humana.

12. La derivada es un limite por lo tanto una aplicación en la vida
diaria de la derivada seria también del limite. La derivada se
utiliza mucho en la Ing. Industrial, para reducir costos al
fabricar un producto, esto se llama optimización.
También se utiliza en la administración y economía para
calcular razones de cambio cuando se tiene una función que
indica el crecimiento o decrecimiento económico Los Ing.
Químicos las utilizan para representar fenómenos

13. En el campo de física viene acompañada de la
integración, sirve para el calculo del trabajo
o energía utilizada, cálculos de cargas en
una superficie y en circuitos eléctricos.
Son las bases de la mayoría de las ingenierías

14. En los movimientos acelerados la primera derivada de la
función espacio nos da la aceleración y la segunda velocidad
instantánea, eso que no permite saber con que velocidad
pasa un ciclista por un punto determinado de la carrera, con
que velocidad saca el tenista o con que velocidad tira el balón
el futbolista.

15. En conclusión las derivadas en la vida diaria vendrían siendo:
 Extremos relativos
 Extremos absolutos
 Aplicaciones de máximos y mínimos
 Aceleración, concavidad
 Análisis de las gráficas
 Tasas relacionadas
 Elasticidad de demanda

16. Gracias