El documento describe cómo factorizar polinomios de segundo y tercer grado utilizando las propiedades de las diferencias y sumas de cuadrados y cubos. Explica que las expresiones de la forma a2 - b2 y a3 - b3 pueden factorizarse como (a + b)(a - b) y (a - b)(a2 + ab + b2), respectivamente. A continuación, aplica estas propiedades para factorizar una serie de polinomios de ejemplo.

2. Factorize cada polinomio:
x2
- 36
4x2
- 9
64x2
- 25
4x2
+ 9x2
9x2
- 16y2
x3
+ 27
x3
- 64
8x3
+ 1
8x3
+ 125
64x3
- 125

3. Factorize cada polinomio:
x2
- 36 = (x + 6)(x - 6)
4x2
- 9 = (2x + 3)(2x - 3)
64x2
- 25 = (8x + 5)(8x - 5)
4x2
+ 9x2
es un polinomio primo.
9x2
- 16y2
= (3x + 4y)(3x - 4y)
x3
+ 27 = (x + 3)(x2
- 3x + 9)
x3
- 64 = (x - 4)(x2
+ 4x + 16)
8x3
+ 1 = (2x + 1)(4x2
- 2x + 1)
8x3
+ 125 = (2x + 5)(4x2
- 10x + 25)
64x3
- 125 = (4x - 5)(16x2
+ 20x + 25)

4. Toda expresión algebraica de la
forma
a2
- b2
es una diferencia de cuadrados.
Además, podemos demostrar que:
a2
- b2
= (a + b)(a - b)

5. Demostración
Efectuamos el producto
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
= a2
- b2
y luego de simplificar queda
demostrado.

6. Primer Paso
Escribimos el polinomio en la
forma a2
- b2
Segundo Paso
Expresamos la diferencia a2
- b2
como el producto (a + b)(a - b)

7. x2
- 25
Primer Paso
Escribimos el polinomio en la forma a2
- b2
, es
decir, x2
- 25 = x2
- 52
donde a = x, b = 5
Segundo Paso
Expresamos la diferencia a2
- b2
como el
producto (a + b)(a - b).
x2
- 25 = x2
- 52
= (x + 5)(x - 5)
Donde a = x, b = 5

8. 4x2
- 9
Primer Paso
Escribimos el polinomio en la forma a2
- b2
, es
decir, 4x2
- 9 = (2x)2
- 32
donde a = 2x, b = 3
Segundo Paso
Expresamos la diferencia a2
- b2
como el
producto (a + b)(a - b).
4x2
- 9 = (2x)2
- 32
= (2x + 3)(2x - 3)
Donde a = 2x, b = 3

9. 4x2
+ 9
El polinomio 4x2
+ 9 es un polinomio primo.
No se puede factorizar.
Nota
La suma de cuadrados a2
+ b2
no se puede
factorizar.

10. Toda expresión algebraica de la
forma a3
+ b3
es una suma de
cubos y toda expresión de la
forma a3
- b3
es una diferencia de
cubos.
Además, podemos demostrar que:
a3
+ b3
= (a + b)(a2
- ab + b2
)

11. Demostración
Efectuamos el producto
(a + b)(a2
- ab + b2
)
= a3
- a2
b + ab2
+ ba2
- ab2
+ b3
= a3
+ b3
y luego de simplificar queda
demostrado.
Ejercicio: Demuestre que (a - b)(a2
+ ab + b2
) = a3
- b3

12. Primer Paso
Escribimos el polinomio en la forma
a3
- b3
ó a3
+ b3
según sea el caso.

13. Segundo Paso
Aplicamos la fórmula
(a3
+ b3
) = (a + b)(a2
- ab + b2
)
para la suma de cubos ó la fórmula
(a3
- b3
) = (a - b)(a2
+ ab + b2
)
para la diferencia de cubos.

14. x3
+ 27
Primer Paso
Escribimos el polinomio en la forma
a3
+ b3
, es decir, x3
+ 27 = x3
+ 33
Donde a = x, b = 3

15. x3
+ 27
Segundo Paso
Aplicamos la fórmula
(a3
+ b3
) = (a + b)(a2
- ab + b2
)
x3
+ 27 = x3
+ 33
= (x + 3)(x2
- x3 + 32
)
= (x + 3)(x2
- 3x + 9)

16. 64x3
- 125
Primer Paso
Escribimos el polinomio en la forma
a3
- b3
, es decir, 64x3
- 125 = (4x)3
- 53
Donde a = 4x, b = 5

17. 64x3
- 125
Segundo Paso
Aplicamos la fórmula
(a3
- b3
) = (a - b)(a2
+ ab + b2
)
64x3
- 125 = (4x)3
- 53
= (4x - 5)((4x)2
+ 4x(5) + 52
)
= (4x - 5)(16x2
+ 20x + 25)

18. Factorize cada polinomio:
x2
- 36
4x2
- 9
64x2
- 25
4x2
+ 9x2
9x2
- 16y2
x3
+ 27
x3
- 64
8x3
+ 1
8x3
+ 125
64x3
- 125
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19. Factorize cada polinomio:
x2
- 36 = (x + 6)(x - 6)
4x2
- 9 = (2x + 3)(2x - 3)
64x2
- 25 = (8x + 5)(8x - 5)
4x2
+ 9x2
es un polinomio primo.
9x2
- 16y2
= (3x + 4y)(3x - 4y)
x3
+ 27 = (x + 3)(x2
- 3x + 9)
x3
- 64 = (x - 4)(x2
+ 4x + 16)
8x3
+ 1 = (2x + 1)(4x2
- 2x + 1)
8x3
+ 125 = (2x + 5)(4x2
- 10x + 25)
64x3
- 125 = (4x - 5)(16x2
+ 20x + 25)
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