Este documento presenta una guía sobre factorización de expresiones algebraicas. Explica diferentes tipos de factorización como factor común monomio y polinomio, diferencia y suma de cuadrados y cubos, y trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos resueltos de cada caso y un taller de ejercicios para practicar la aplicación de las técnicas de factorización. El objetivo es desarrollar la habilidad de los estudiantes para resolver problemas algebraicos mediante la factorización.

1.  TALLER DE FACTORIZACION

LUIS MANUEL GARCÍA REALES
Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Humanas y Bellas Artes
Ciencia de la Información y la Documentación, Bibliotecología y Archivística
Metodología y Estrategias EAD/Virtual
Bogotá D.C.
2014

2. FACTORIZACION
 FACTORIZACIÓN Competencia Utilizar adecuadamente las expresiones
algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones
problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando
las propiedades y operaciones algebraicas
 Indicadores de logro Factoriza expresiones con base en los casos
desarrollados
 Conocimientos previos Para afrontar el tema de factorizaciones preciso tener
conocimientos fuertes de los productos notables y haberse ejercitados
eficientemente mediante la realización de ejercicios. Adicionalmente se
requiere tener conocimientos, habilidades y destrezas en: Operaciones con los
Conjuntos Numéricos Propiedades de las operaciones de los Conjuntos
Numéricos- Expresiones algebraicas y polinomios

3. FACTORIZACION
 Justificación En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al
planteamiento de ecuaciones, como movimiento parabólico en física,
problemas de utilidad en economía, diseño y construcción de estructuras
ingenieriles, entre otros, para las cuales es necesario encontrar raíces o
soluciones y una manera de encontrar esas raíces es aplicar procesos de
factorización a los polinomios asociados a estas ecuaciones. Igualmente la
factorización permite realizar simplificaciones y reducción a mínimas
expresiones, lo que hace menos engorrosas las derivadas y las integrales en
cálculo.

4. FACTORIZACION
 Factor común monomio Resulta cuando el factor común de todos los términos
del polinomio es un monomio.
 Ejemplo: Factorizar : 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1) Vemos como 2 y x2 están
multiplicando en ambos términos, por lo tanto 2x2 sale como factor
común: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1) Recordar y repasar: El término 2x2 es el
Máximo Común Divisor (MCD) de los dos términos
 Factor común polinomio Resulta cuando el factor común que aparece es un
polinomio. Normalmente hay que hacer la agrupación debida para obtenerlo.
 Ejemplo : Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Vemos como (x + 3) está
multiplicando en ambos términos [tanto a a como a b], por lo tanto (x + 3)
sale como factor común: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)

5. FACTORIZACION
 Ejemplo : Factorizar: ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)
Sacamos factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)Nos quedó factor
común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide : Por lo tanto:
ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
 11. Ejemplo: Factorizar: 2a2 + 4a – 8b – 4abPor observación agrupamos: ( 2a2
– 4ab ) + ( 4a – 8b )En cada binomio hay factor común: 2a(a – 2b) + 4(a –
2b)Resulta un factor común polinomio: (a – 2b) 2a(a – 2b) + 4(a – 2b) Luego
se divide: Por lo tanto: 2a2 – 4ab + 4a – 8a = (a – 2b)(2a + 4)

6. FACTORIZACION
 Factorizar un Binomio de la forma: xn ± yn. 3.1 Factorizar la diferencia de dos
cuadrados. Por multiplicación se obtiene: (a + b)(a - b) = a2 -
b2. Recíprocamente, se puede escribir: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Por lo tanto la
diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus raíces
cuadradas por su diferencia.
 Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes:9x2 – 16y2 = (3x)2 - (4y)2 =
(3x + 4y)(3x – 4y) (7a + 3)2 - (5a - 4)2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 – 5a + 4) =
(12a - 1)(2a + 7).
 Factorizar de la suma de dos cubos. Del producto notable:(a + b)(a2 - ab +
b2) = a3 + b3,se deduce bilateralmente: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).La
suma de los cubos de dos términos es igual a la suma de las raíces cúbicas de
esos términos por el cuadrado imperfecto de la diferencia.
 Ejemplo. Factorizar:27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) =
(3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2

7. FACTORIZACION
 Factorizar de la diferencia de dos cubos. Similar que para la suma de dos
cubos, del producto notable:(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3se obtiene
inversamente: a3- b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
 La diferencia de los cubos de dos términos es igual a la diferencia de las
raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la suma.
 Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3 125a3- b3c3= (5a)2 - (bc)2= (5a - bc)(25a2
+ 5a·bc +b2c2) = (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2)

8. FACTORIZACION
 Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)Un trinomio cuadrado perfecto es un
trinomio en el que dos de sus términos son positivos y son cuadrados perfectos
y el tercero corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los
términos positivos. ¡Recuerda! Una cantidad es un cuadrado perfecto si
corresponde al cuadrado de otra cantidad.
 Regla para factorizar un TCP:
 1. Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal.
 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio.
 3. Se calcula el doble de la primera raíz por la segunda y se compara con el
término de la mitad del trinomio.
 Si el resultado es igual, los dos términos del binomio se separan por el signo
del segundo término y el binomio que se forma se eleva al cuadrado.

9. FACTORIZACION
Descomposición factorial de una expresión algebraica que combina un trinomio cuadrado
con perfecto con una diferencia de cuadrados (caso especial). Se ilustra con varios
ejemplos resueltos cómo expresar un polinomio que contiene un trinomio cuadrado
perfecto y una diferencia de cuadrados como el producto de factores.
Lo primero que debe hacerse es identificar si se tiene un trinomio cuadrado perfecto y
agrupar para factorizarlo. Luego con lo que queda se debe verificar que se tenga una
diferencia de cuadrados para poder factorizar la expresión completa.

10. FACTORIZACION
 Teniendo en cuenta estos procedimientos, el método para factorizar una expresión
algebraica combinando ambos casos es el siguiente: Lo primero que debemos hacer es
identificar si se tiene un trinomio cuadrado perfecto y agruparlo para factorizarlo.
Luego con la expresión resultante se debe verificar que se tenga una diferencia de
cuadrados para poder factorizar la expresión completa, para ver de manera más clara
como se aplica este método se propone resolver el siguiente problema:
 Factorizar la siguiente expresión: a^2+2ab+b^2-x^2, para resolver este problema,
vemos que lo primero que debemos hacer es identificar el trinomio cuadrado perfecto,
agruparlo y factorizarlo, en nuestro caso vemos que a^2+2ab+b^2 es un trinomio
cuadrado perfecto, factorizando este trinomio, la expresión algebraica queda de la
siguiente manera: a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2-x^2, vemos que esta nueva expresión es una
diferencia de cuadrados que se puede factorizar entonces de la siguiente manera:
a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2-x^2=(a+b+x)(a+b-x).

11. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 1-Polinomio
 1) X 4 − 16
 X 4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)
 Las raíces son X = −2 y X = 2
 2x3 − 7x2 + 8x − 3
 P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

12. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 (x −1) · (2x2 − 5x + 3)
 P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1)2 · (2x −3) = 2 (x − 3/2) · (x −1)2
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

13. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 2) x3 − x2 − 4
 {±1, ±2, ±4 }
 P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
 P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
 P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

14. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 3) (x − 2) · (x2 + x + 2 )
 x2 + x + 2 = 0
 (x − 2) · (x2 + x + 2 )
 Raíz: x = 2.

15. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 2) MONOMIOS
 1) x(x)^2 +x = x(x +1)
 Factor común: x porque x(x) = x^2 y x(1) = x
 –> la solución es: x(x +1)
 2) 3a^3 -a^2 = a^2(3a -1)
 Factor Común: a^2 porque a^2(3a) = 3a^3 y a^2(-1) = -a^2
 –> la solución es: a^2(3a -1)
 3) x^3 -4x^2 = x^2(x -4)
 Factor común: x^2 porque x^2(x) = x^3 y x^2(-4) = -4x^2
 –> la solución es: x^2(x-4)

16. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 3) BINOMIOS
 1) Factorizar el monomio 24xy3z2.
 –> la solución es: 24xy3z2 = 2 • 2 • 2 • 3 • x • y • y • y • z
 2) Factorizar el monomio -35a3b.
 –> la solución es: -35a3b = -1 • 5 • 7 • a • a • a • b
 3) Encontrar los factores de x2 - 9.
 –> la solución es: x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

17. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 4) Suma de dos cubos y Trinomio perfecto cuadrado
 1) Se puede expresar como 9x2 como 9x2= (3x)(3x)
 2) x4 se puede descomponer como x4=(x2 )(x2)
 3) Un trinomio es cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o
el producto de dos binomios iguales.
 x2 + 2xy + y2 se puede expresar como:
 a-cuando se utiliza el signo más la expresión es:
 (x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
 b-con signo menos:
 (x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy + y2
 c- o en una sola expresión
 (x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2

18. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 5) Trinomio Cuadrados perfectos
 x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )
 4x2 + 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )
 x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )
 25a2 + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

19. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 1) (Todos los términos son positivos)
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x
Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo

20. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION
 2) (Con términos negativos)
x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3
x -3
3.x2.(-3) 3.x.(-3)2
-9x2 27x
Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3

21. EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION

3) (Con todos los términos negativos)
-x3 - 75x - 15x2 - 125 = (-x - 5)3
-x -5
3.(-x)2.(-5) 3.(-x).(-5)2
-15x2 -75x
Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos
"triple-productos"
 Dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.