Este documento contiene tres problemas relacionados con vectores. El primer problema encuentra la magnitud y dirección de la resultante de dos vectores dados sus longitudes y el ángulo entre ellos. El segundo problema determina el ángulo entre dos vectores cuando se conoce la magnitud de su resultante. El tercer problema halla la magnitud de un vector y la de la resultante de dos vectores dados algunos ángulos y una longitud.

1. 3.1) Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de :
a)0° b)60° c) 90° d) 150° e)180°
Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más
pequeño.
Solución:
Formulade la resultante:
R = √ 𝑎2 + 𝑏2 + 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝜃
a) A=6 B=9
𝑅 = √62 + 92 + 2.6.9. cos0
R = 15
Comoel ánguloes0° tambiénsudirecciónserá0°, esdecirla resultante se encuentraenel eje
donde estáncontenidoslosotrosdosvectores. 𝛼 = 0
b)
B=9 9 β α
R
60° ´- 120°
β 60°
A=6 6
𝑅 = √62 + 92 + 2.6.9. cos60
R= 3√19

2. ley de senos
3√19
𝑠𝑒𝑛120
=
6
𝑠𝑒𝑛𝛼
α = arcsen(
6 𝑠𝑒𝑛 120
3√19
) = 23. 41°
Pero como : (α + β) = 60
β= 60 – 23.41
β= 36.59°
C ) β α
9 9 9
R
90°
6 6
𝑅 = √62 + 92 + 2.6.9.cos90
R= 3√13
ley de senos
3√13
𝑠𝑒𝑛90
=
9
𝑠𝑒𝑛𝛽

3. β = arcsen(
9 𝑠𝑒𝑛 90
3√13
) = 56.3°
d)
9
R
150° α 9
6 6 30°
𝑅 = √62 + 92 + 2.6.9.cos150
R = 4.85°
ley de senos
4.85
𝑠𝑒𝑛30
=
9
𝑠𝑒𝑛𝛼
α = arcsen(
9 𝑠𝑒𝑛 30
4.85
) = 68.1°

4. e)
180°
6 9
Como son coloniales se pueden sumar o restar directamente teniendo en cuenta su
direccion entonces la resultante será:
R= 9 – 6
R = 3
Como ambos forman 180° , su resultante tambienestara enel mismoeje que lossostiene es
decirtambiénformaraunángulode 180°.
R=180°
3.2) Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de
longitud, cuando su resultante tiene:
a) 20 unidades y b) 12 unidades dibujar.
Solución:
a)
15 R=20
𝜃
10

5. Despejamos el ángulo de la fórmula de la resultante:
R = √𝑎2 + 𝑏2 + 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝜃
𝑅2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 2. 𝑎. 𝑏𝑐 cos 𝜃
COS 𝜃 =
R2−a2+b2
2.𝑎.𝑏
COS 𝜃 =
202
− 102
+ 152
2.10.15
𝜃 = 75.5°

6. b)
R=12
15
𝜃 10
COS 𝜃 =
R2−a2+b2
2.𝑎.𝑏
COS 𝜃 =
122
− 102
+ 152
2.10.15
𝜃 = 127.1°

7. 3.3) dos vectores forman un ángulo de 110°. Uno de ellos tiene 20
unidades d longitud y hace un ángulo de 40° con el vector sumar de
ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector
suma.
Solución:
A 70°
110° 40°
110
B=20
ley de senos
𝐴
𝑠𝑒𝑛40
=
20
𝑠𝑒𝑛70
A= 13.68

8. R = √𝑎2 + 𝑏2 + 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝜃
R = √13.682 + 202 + 2.13,68.20.cos 110
R=19.99