El documento presenta 12 problemas de trigonometría relacionados con ángulos trigonométricos, sus medidas en los sistemas sexagesimal y centesimal, y ecuaciones trigonométricas. Los problemas involucran convertir entre sistemas, resolver ecuaciones cuadráticas y trigonométricas, y calcular medidas de ángulos dados relaciones entre sus funciones trigonométricas.

1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1. Si se cumple :
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ángulo; entonces R es igual a:
A) rad
120
 B) rad
60

C) rad
40

D) rad
30

E) rad
120
5
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
SOLUCIÓN
Recordar:
  222
2 bababa 
Agrupando, tenemos:
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

   2
222
2
222
23
12 RCS
RCS
RCS
RCS
RCS
RCS
R 














5
12

R

60

R RESPUESTA B
2. Si los ángulos congruentes de un triángulo isósceles miden (6x)g
y ( 5x + 4)° ,entonces el
complemento de la medida del tercer ángulo en el sistema radial es igual a:
A) rad
10

B) rad
5

C) rad
12

D) rad
20

E) rad
8

SOLUCIÓN
Recordar: A + B+ C =180° ; A = B
Sea: A = (6x)g
y B = (5x + 4)°
Resolviendo: trabajando en un solo sistema
(6𝑥) 𝑔
.
9°
10 𝑔
= (5𝑥 + 4)°
27𝑥 = 25𝑥 + 20
𝑋 = 10
Reemplazando: A = B=54° ⇒ C = 72°
⇒ 𝐶 (72°) = 18°.
𝜋
180
=
𝜋
10
RESPUESTA A

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3. Si la diferencia de dos ángulos es 100g
y su suma es 3  rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos, respectivamente , son:
A) 315° y 225° B) 325° y 215° C) 300° y 240° D) 290° y 250° E) 315° y 235°
(Examen ordinario– UNS 2014 II)
SOLUCIÓN
Según los datos: 𝑎 – 𝑏 = 100 𝑔
= 90°
𝑎 + 𝑏 = 3 𝜋 = 540°
2 𝑎 = 630° ⇒ 𝑎 = 315° 𝑦 𝑏 = 225° RESPUESTA A
4. Si las raíces de una ecuación cuadrática: 02
 cbxax , son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo . Entonces el número de radianes de dicho ángulo
solamente en términos de b y c es:
A)
1
19
1800 






b
c

B) bc19 C)
1
19800
19 






b
c
D)
1
1800
19








c
b
E) 





b
c
19
SOLUCIÓN
Recordar:
 La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: 𝑥2
− 𝑆𝑢𝑥 + 𝑃 = 0 y las propiedades de
suma y producto de raíces
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo
𝑆𝑢 = 𝑆 + 𝐶 = −
𝑏
𝑎
⇒ 19𝑘 = −
𝑏
𝑎
…(1)
𝑃 = 𝑆. 𝐶 =
𝑐
𝑎
⇒ 90𝐾2
=
𝑐
𝑎
……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
90𝐾
19
= −
𝑐
𝑏
⇒ 𝐾 = −
19𝑐
90𝑏
Calculando 𝑅 =
𝜋
20
(−
19𝑐
90𝑏
) = −
19𝜋
1800
(
𝑏
𝑐
)
−1
RESPUESTA D
5. La suma de dos ángulos está dada por la siguiente igualdad:      111 baba g
Hallar dichos ángulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba
A) 25° y 40° B) 45° y 27° C)40° y 38° D) 20° y 45° E) 10° y 25°
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II)
SOLUCIÓN
Según la expresión      111 baba g
, por ser una equivalencia de un centesimal y
sexagesimal, entonces el número en centesimal debe ser múltiplo de diez y el número
sexagesimal múltiplo de 9.
b = 1 y a = 8
 7280 g
⇒ 𝑥 − 𝑦 = 18°
La diferencia entre los ángulos tiene que ser 18° ∴ 𝑥 = 45° 𝑒 𝑦 = 27° RESPUESTA B
6. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’
A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’ D) 62º1’ E) 60º2’

3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
SOLUCIÓN
Recordar: 61´ = 1° + 1´
Según los datos:
xºy’ +
yºz’
zºx’
62° 1´ RESPUESTA D
7. Si a y b son dos números reales positivos hallar el máximo número de radianes de un ángulo que
satisface la siguiente igualdad: 22
22
)()(
)()(
baba
baba
SC



Si: S y C son lo conocido.
A)

380
B)

190
C)

19
D)
190

E)
380

SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
 (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏
 (𝑎 + 𝑏)2
+ (𝑎 − 𝑏)2
= 2(𝑎2
+𝑏2)
 (𝑎 − 𝑏)2
≥ 0 ⇒
2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2 ≤ 1
Reduciendo la expresión:
 22
2
19
ba
ab
k

 ,
2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2 ≤ 1 ⇒ 𝑘 =
1
19
Reemplazando:
𝑅 =
𝜋
20
(
1
19
) =
𝜋
380
RESPUESTA E
8. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´´´. ZYXrad 
32

; Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060







cb
acbacba ´´´º´´´º
Convirtiendo en un solo sistema





 


 180
32
´´´ ZYX
 6255
8
45
,´´´ ZYX ⇒ 𝑋°𝑌′
𝑍′′
= 5°37′30
𝑋 = 5 , 𝑌 = 37 𝑦 𝑍 = 30
Reemplazando:
x XZY 5 = √37 − 30 + 5 ∗ 5
5
= √32
5
= 2 RESPUESTA A
9. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de la
ecuación:
3x2 - 19x + 30 = 0

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A)   B)  C)   D)  E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
 La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: 𝑥2
− 𝑆𝑢𝑥 + 𝑃 = 0 y las propiedades de suma y
producto de raíces
Resolviendo
𝑆𝑢 = 𝑆 + 𝐶 =
19
3
⇒ 19𝑘 =
19
3
…(1)
𝑃 = 𝑆. 𝐶 =
30
3
⇒ 90𝐾2
= 10 ……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
90𝐾
19
=
30
19
⇒ 𝐾 =
1
3
Calculando 𝑅 =
𝜋
20
(
1
3
) =
𝜋
60
RESPUESTA E
10. Si S y C son la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
... 32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A)  B)  C)  D)  E) 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo:
1
𝑆
=
1
𝐶
( .. 32
111
1
CCC
)
1
𝑆
=
1
𝐶
(1 +
1
𝑆
) ⇒ C = S + 1
𝐾 = 1
Calculando 𝑅 =
𝜋
20
(1) =
𝜋
20
RESPUESTA D

11. De la figura mostrada:
Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800
SOLUCIÓN
Según el gráfico, convirtiendo en un solo sistema:
 ∝ 𝑔
(
9°
10 𝑔) − 𝜃° = 90° ⇒ 9 ∝ −10θ = 900 RESPUESTA D

5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
12. Determine la medida circular de un ángulo que verifica:
S
C
ostérn
RRR




















 min""...........
2
1
1
1
1
1
1
1
A) rad
n
10
1)( 
B)
10
n
C)
9
n
D)
9
1n
E) 9n
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K
Resolviendo
(
𝑅+1
𝑅
) (
𝑅+2
𝑅+1
) (
𝑅+3
𝑅+2
) … . (
𝑅+𝑛
𝑅+𝑛−1
) =
10𝑘
9𝑘
⇒ (
𝑅+𝑛
𝑅
) =
10
9
∴ 𝑅 = 9𝑛 RESPUESTA E
13. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medición angular cuya unidad es “un grado
C” (1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono.
A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c
E) 320c
SOLUCIÓN
Recordar:
 Suma de ángulos internos de un polígono:𝑆 = 180°(𝑛 − 2) ⇒ 𝑆 = 180°(5 − 2)
𝑆 = 180°. 3 = 540°
Según los datos
90° = 40 𝑐
… (*6)
540° = 240 𝑐
RESPUESTA D
14. Determinar la medida en el sistema centesimal para un ángulo cuyas medidas en los
sistemas convencionales cumplen la relación:
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo:
(𝐾)(𝑆3
+ 𝐶2
+ 𝑅) =
12
5
(𝑆3
+ 𝐶2
+ 𝑅) ⇒ 𝐾 =
12
5
Calculando 𝐶 = 10 (
12
5
) = 24 RESPUESTA B
15. Si:

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S





 ; Hallar el número de radianes de dicho ángulo.
(S y C son lo conocido)
A) 
3600
441
B) 
3600
551
C) 
3600
361
D) 
3600
641
E) 
3600
241
SOLUCIÓN
Recordar:

𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇒
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
⇒𝑆𝑢𝑚𝑎𝑠
⇒𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
(Proporcionalidad)
 
4 3 2S C 20R 12 3 2S C R
9 10 5
    


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 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Igualamos la expresión a un término “m” y resolvemos:
m
C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S 







𝑆 +
𝑆
𝑚
= 𝐶 −
𝐶
𝑚
= 𝑚
𝑆(𝑚 + 1) = 𝐶(𝑚 − 1) ⇒
𝑚 + 1
𝑚 − 1
=
10
9
Aplicando proporcionalidad
m = 19
Calculando el número en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:
𝑆 +
𝑆
𝑚
= 𝑚 ⇒ 𝑆 =
361
20
.
𝜋
180
⇒ 𝑅 =
361𝜋
3600
RESPUESTA C
16. Siendo  el número de radianes de un ángulo positivo, verifica la igualdad:
11.8.3 




Hallar: . Si:   
A)
9
32
B)
64
9
C)
32
9
D)
16
9
E)
9
64
SOLUCIÓN
Sea 𝑎 = √
𝜃
𝜋
Haciendo cambio de variable y resolviendo: 3𝑎 +
8
𝑎
= 11
3𝑎2
− 11𝑎 + 8 = 0
(3𝑎 − 8)(𝑎 − 1) = 0
𝑎 =
8
3
∨ 𝑎 = 1
√
𝜃
𝜋
=
8
3
∨ √
𝜃
𝜋
= 1 ⇒ 𝜃 =
64
9
𝜋 ∨ 𝜃 = 𝜋 RESPUESTA B
17. Si el ángulo AOC es obtuso, hallar los valores que puede tomar “”.
A)  18151215 ;;  B)  15121518 ;;  C)  15651518 ;;  D)  15;12 E)  18;12
SOLUCIÓN
Recordar:
 90° <∝< 180° (obtuso)
Reemplazando: 90° < 60° + 3 ∝ −150° +∝2
< 180
90° < ∝2
+ 3 ∝ −90° < 180°
90° < ∝2
+ 3 ∝ −90° ∧ ∝2
+ 3 ∝ −90° < 180°

7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
∝2
+ 3 ∝ −180° > 0 ∧ ∝2
+ 3 ∝ −270° < 0
(∝ −12)(∝ +15) > 0 ∧ (∝ −15)(∝ +18) < 0
∴  15121518 ;;  RESPUESTA B
18. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(
S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x 





Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo en
sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ángulo en el sistema radial.
A) rad
200
1048 
B) rad
200
9048 ,
C) rad
100
1048 
D) rad
2
9,048 
E) rad
300
1048 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo ambas ecuaciones
Aplicamos proporcionalidad en (1)
𝑥 + 1
𝑥 − 1
⇒ 𝑥 =
8𝐶 + 2𝑆
0,4𝐶 + 10𝑆
𝑥 =
49
47
Reemplazando (1) en (2)
𝐶 𝑥
= √𝑆
47
⇒ √(10𝑘)4947
= √9𝑘
47
⇒ 𝑘 =
√0,948
10
∴ 𝑅 =
𝜋
20
( √0,948
10
) =
√0,948
𝜋
200
RESPUESTA B
19. Si C y R son los números que representan las medidas de un ángulo trigonométrico en los
sistemas centesimales y radial respectivamente, tal que:
𝐶 = 𝑅 + 2𝑅2
+ 3𝑅3
+ 4𝑅4
+ ⋯
Calcular la medida del ángulo en el sistema radial.
A)
rad
2
10

,
B)
rad






2
101

,
C) 




  rad
2
1,0;rad
2
1,0
D) 










 




  rad
2
1,01;rad
2
1,01
E)





  rad
2
;rad
2
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y R =
πK
20
 1 + R + R2
+ R3
+ ⋯ =
1
1−R
Según los datos: C = R + 2R2 + 3R3 + 4R4 + ⋯
Resolviendo: C = R (1 + 2R + 3R2
+ 4R3
+ 5R4
+ ⋯ )

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C
𝑅
= [(1 + R + R2
+ R3
+ R4
+ ⋯ ) + (R + 2R2
+ 3R3
+ 4R4
+ ⋯ )]
C
𝑅
=
1
1 − R
+ 𝐶 ⇒ (1 − 𝑅)2
=
𝑅
𝐶
1 − 𝑅 = ±0,1√
𝜋
2
∴ 𝑅 = 1 ± 0,1√
𝜋
2
RESPUESTA D
20. Siendo S, C, y R los convencionales para un ángulo trigonométrico donde S y C son las
soluciones de la ecuación: 𝑥2
− 𝑛𝑥 + 𝑚 = 0 ; {𝑚; 𝑛}  ℝ+
Calcule:
m
n
1,36
A)
3
1
B)
6
1
C)
9
1
D)
3
2
E)
2
1
SOLUCIÓN
La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: 𝑥2
− 𝑆𝑢𝑥 + 𝑃 = 0 y las propiedades de suma y
producto de raíces
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo
𝑆𝑢 = 𝑆 + 𝐶 = 𝑛 ⇒ 19𝑘 = 𝑛…(1)
𝑃 = 𝑆. 𝐶 = 𝑚 ⇒ 90𝐾2
= 𝑚 ……….. (2)
Igualando el valor de K en (1) y (2):
𝑛
19
=
√ 𝑚
3√10
….. (3)
Calculando:
n
√36,1m
=
n√10
19√m
En (3)…
𝑛√10
19√ 𝑚
=
1
3
RESPUESTA A
21. Calcular la medida de un ángulo en radianes desde “S” y “C” son los números de grados
sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)
C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A)   B)  C)   D)  E) 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos tenemos:
𝑆
𝐶
=
9
10
=
𝑥2+𝑥−6
𝑥2+𝑥−2
9(𝑥2
+ 𝑥 − 2) = 10(𝑥2
+ 𝑥 − 6)
𝑥2
+ 𝑥 − 42 = 0
(𝑥 − 6)(𝑥 + 7) = 0
𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = −7 ⇒ 𝑥 = 6
Calculando 𝑆 = (6 + 3)(6 − 2)°
S= 54°⇒ 𝑅 = 36° (
𝜋
180°
) =
𝜋
5
RESPUESTA E

9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
22. Si:
Calcular “x” donde S y C son lo convencional para un ángulo
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos tenemos:
𝑆
𝐶
=
9
10
=
𝑥2
√ 𝑥
270
⇒ 𝑥
5
2 = 243
𝑥 = √24325
→ 𝑥 = 9 RESPUESTA E
PROBLEMA DE REPASO
1. Si: ; Calcular: K = b - a + 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
SOLUCIÓN
Convertimos en un solo sistema la expresión:
𝑎°𝑏′
=
𝜋
16
(
180
𝜋
) = 11,25°
Tenemos 11° y 0,25° que serán convertidos a minutos
0,25*60’=15’
𝑎°𝑏′
= 11°15
′→
𝑎 = 11 𝑦 𝑏 = 15
∴ 𝐾 = 𝑏 − 𝑎 + 1 = 5 RESPUESTA C
2. De la condición: ; Calcule:
A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E)10
SOLUCIÓN
Según los datos tenemos: 5° =
𝜋
36
⇒ 𝑥 = 36°
∴
𝑥°
10 𝑔
=
36°
9°
= 4 RESPUESTA B
3. Para un cierto ángulo se cumple que la suma del número de grados sexagesimales con el doble
del número de grados centesimales y con el triple del número de radianes es igual a 1740 + 9.
Calcule el número de radianes de dicho ángulo.
A)    B) 2 C) 3  D) 4 E)5
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos tenemos: 𝑆 + 2𝐶 + 3𝑅 = 1740 + 9𝜋
9𝑘 + 20𝑘 +
3𝜋𝑘
20
= 1740 + 9𝜋
2x 10
S ; C
27 x
 
rad aºb'
16

 
5º rad
x


xº
g10

10. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 10
580𝑘 + 3𝜋𝑘
20
= 1740 + 9𝜋
𝑘 (
580 + 3𝜋
20
) = 3(580 + 3𝜋) ⇒ 𝑘 = 60
∴ 𝑅 =
60𝜋
20
= 3𝜋 RESPUESTA C
4. Calcular:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
SOLUCIÓN
Recordar: 1° = 60´ y 1g
= 100m
Reemplazando 𝑀 = √
122′
2′ +
202′
2′ − 18 ⇒ 𝑀 = √144
∴M = 12 RESPUESTA C
5. Siendo S y C el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que
cumple:
S = x - 1 .............. (i)
C = x + 2 ............ (ii)
Calcular la medida del ángulo en radianes
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos tenemos:
𝑆
𝐶
=
𝑥−1
𝑥+2
=
9
10
10x-10 = 9x+18
X = 28
Calculando 𝑆 = 28° − 1°
S= 27°⇒ 𝑅 = 27° (
𝜋
180°
) =
3𝜋
20
RESPUESTA D
6. La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es 95. Calcule
la medida de dicho ángulo en el sistema internacional.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Por dato: 𝑆 + 𝐶 = 95 ⇒ 𝑘 = 5
∴ 𝑅 =
𝜋
20
(5) =
𝜋
4
RESPUESTA E
g m2º2' 2 2
M 18
m2' 2
  
10
 3
10
 5
18
 3
20
 2
25

rad
12

rad
10
 rad
8

rad
6

rad
4


11. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
7. Determine la medida radial de un ángulo que cumple que la diferencia de los números de
minutos centesimales y sexagesimales de dicho ángulo es igual a 460.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Por dato: 100𝐶 – 60𝑆 = 460
𝑘 = 1
∴ 𝑅 =
𝜋
20
(1) =
𝜋
20
𝑟𝑎𝑑 RESPUESTA D
8. Sea f la función definida por la regla








 

1
1
2
1
x
x
C
S
R
xf )( , donde S, C y R
Son los números de las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial
respectivamente.
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. 










137

coscos ff
F
II. 










119

senfsenf
F
III. 










105

cscsec ff
v
A) VVV B) VFV C) VFF D) VVF E) FFV
SOLUCIÓN
Reduciendo la función: 𝑓(𝑥) =
400
𝑘2 𝜋2 90𝑘2
(
𝑆
𝐶
)
𝑥
⇒ 𝑓(𝑥) =
400
𝜋2
(0,9) 𝑥
La expresión es una exponencial afín decreciente lo cual indica que a mayor valor de la variable
la función será menor, por lo tanto
I. La variable de función depende de una función coseno, que es decreciente en el primer
cuadrante, por lo tanto si el ángulo es mayor la variable será menor lo cual indica que la
expresión es falsa.
II. La variable de función depende de una función seno, que es creciente en el primer
cuadrante, por lo tanto si el ángulo es mayor la variable será mayor, lo cual indica que la
expresión es falsa.
III. La variable de función depende de una función secante y cosecante, la cosecante es mayor
que la secante entre 0° y 45° , lo cual indica que la expresión es Verdadera.
RESPUESTA E
9. La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia de los mismos 18
g
. Determinar la
medida circular del menor de los ángulos.
rad
5

rad
10

rad
15

rad
20

rad
40


12. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 12
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Según los datos: 𝑎 + 𝑏 = 18° =
𝜋
10
𝑎 − 𝑏 = 18 𝑔
=
9𝜋
100
2 𝑏 =
𝜋
10
−
9𝜋
100
⇒ 𝑏 =
𝜋
200
RESPUESTA D
10. La medida de un ángulo en un sistema “M” es igual a la cuarta parte de la suma de su número
de grados centesimales y 3 veces su número de grados sexagesimales. ¿Cuántas unidades en el
sistema “M” le corresponden a un ángulo llano?
A) 75 B) 165 C) 180 D) 185 E) 215
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos: 𝑎 𝑀
=
𝐶+3𝑆
4
⇒ 𝑎 𝑀
=
37𝐾
4
Calculando k y resolviendo la ecuación:
4𝑎 𝑀
37
=
𝑆
9
…….dividimos entre 180 ambos términos
𝑎 𝑀
185
=
𝑆
180
∴ 𝑎 𝑚
= 185 RESPUESTA D
11. Si se cumple que:
Siendo “θ” el número de radianes. Halle la medida de dicho ángulo.
A) 40
g
B) 90° C) 30° D) E) 200
g
SOLUCIÓN
Sea 𝑎 = √
2𝜃
𝜋
Haciendo cambio de variable y resolviendo: 𝑎 +
4
𝑎
= 5
𝑎2
− 5𝑎 + 4 = 0
(𝑎 − 4)(𝑎 − 1) = 0
𝑎 = 4 ∨ 𝑎 = 1
√
2𝜃
𝜋
= 4 ∨ √
2𝜃
𝜋
= 1 ⇒ 𝜃 = 8 𝜋 ∨ 𝜃 =
𝜋
2
= 90° RESPUESTA B
12. Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo que cumple
con:
Hallar el valor de:
A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1
rad
2

rad
3

rad rad
200

rad
300

2
4 5
2
 
 
 
rad
S 13 C 2
x .
2 3
2x 
 
4x 1x 

13. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Calculando k y resolviendo la ecuación:
9𝑘−13
2
=
10𝐾−2
3
⇒ 𝑘 = 5
𝑥2𝑥
= 16 ⇒ 𝑥 = 2
Reemplazando
√4𝑥 + 1
𝑥
= √4(2) + 1 ⇒ 𝑥 = 3 RESPUESTA B
13. Señale la medida circular de un ángulo que verifique:
  
osmintér"n"
......
2S
1
1
1S
1
1
S
1
1
C
n2




















 Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo.
A)
180
n
B)
200
n
C)
225
n
D)
135
n
E)
315
n
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo
2𝑛
𝐶
= (
𝑆+1
𝑆
) (
𝑆+2
𝑆+1
) (
𝑆+3
𝑆+2
) … . (
𝑆+𝑛
𝑆+𝑛−1
)
2𝑛
𝐶
=
𝑆 + 𝑛
𝑆
⇒ 18𝑛 = 90𝑘 + 10𝑛
𝐾 =
4𝑛
45
∴ 𝑅 =
𝜋
20
(
4𝑛
45
) =
𝜋𝑛
225
RESPUESTA C
14. Señale la medida circular del ángulo cuyos números de grados sexagesimales y centesimales
se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + … ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +…
Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:
A) rad
20
3
B) rad
20
7
C) rad
10
9
D) rad
20
9
E) rad
23
5
SOLUCIÓN
Recordar: 1 + 3 + 5 + 7 … = 𝑛2
2 + 4 + 6 + 8 + … = 𝑛(𝑛 + 1 )
Además tener en cuenta que la suma de números impares tiene que ser múltiplo de 9 y la
suma de números pares múltiplo de 10.
𝑛 = 9 ⇒ 𝑆 = 81°
∴ 𝑅 = 81° (
𝜋
180°
) =
9𝜋
20
RESPUESTA D
15. Determine un ángulo en radianes si se cumple: 1
b
a
C1
b
a
S 
A) rad
5

B) rad
10

C) rad
20

D) rad
25

E) rad
50

SOLUCIÓN

14. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 14
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos tenemos:
𝑆
𝐶
=
𝑎
𝑏
−1
𝑎
𝑏
+1
=
9
10
… por proporcionalidad
2
𝑎
𝑏
2
=
19
1
⇒
𝑎
𝑏
= 19
Calculando 𝑆 = 19° − 1°
S= 18°⇒ 𝑅 = 18° (
𝜋
180°
) =
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑 RESPUESTA B
16. El doble del número de grados sexagesimales de un ángulo disminuido en su número de
grados centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ángulo que cumple dicha
condición.
A) rad
20
3
B)
40
3
C)
50
3
D)
80
3
E)
100
3
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según el enunciado:
2𝑆−𝐶
8
=
3
4
Resolviendo: 8𝑘 = 6 ⇒ 𝑘 =
3
4
∴ 𝑅 = 𝜋
20
(
3
4
) = 3𝜋
80
RESPUESTA D
17. Se crea un nuevo sistema de medición angular “R” tal que su unidad (1R
) es la 240ava
parte
del ángulo de una vuelta.
Exprese en el sistema “R” un ángulo que mide rad
4

.
A) 27R
B) 30R C) 32R
D) 36R
E) 40R
SOLUCIÓN
Según los datos:
 1 𝑅
=
1
240
(2𝜋)
∴
𝜋
4
= 30
𝑅
RESPUESTA B
18. Calcular la medida radial de un ángulo para el cual se cumple:
27S + 13 = 81C
siendo S y C lo convencional para el mismo ángulo.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo: (33) 𝑆+13
= (34) 𝐶
⇒ 3𝑆 + 39 = 4𝐶
5
 3
20
 5
12
 2
9
 3
10


15. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
15 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
27𝑘 + 39 = 40𝑘 ⇒ 𝑘 = 3
∴ 𝑅 =
3𝜋
20
RESPUESTA B
19. Sí
mg
CBA 9013 ´´´ , calcular:
B
CA 
A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9
SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060







cb
acbacba ´´´º´´´º
Convirtiendo a un solo sistema: 13,9 𝑔
. (
9°
10 𝑔) =12,51°
Tenemos 12° quedando 0,51° los que se convertirán en minutos:
0,51 * 60 = 30,6’
Ahora tenemos 30° quedando 0,6’ los que se convertirán en segundos:
0,6 * 60 = 36’’
⇒ 𝑎°𝑏′
𝑐′′
= 12°30′
36′′
∴
𝐴+𝐶
𝐵
=
12+36
30
= 1,6 RESPUESTA C
20. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo trigonométrico que cumplen:
Calcular: “R”
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:

𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇒
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
⇒𝑆𝑢𝑚𝑎𝑠
⇒𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Aplicando proporcionalidad y reemplazando:
4𝑆
2𝐶
=
6𝑅
4𝜋
⇒ 𝑅 =
6𝜋
5
RESPUESTA A
21. Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
SOLUCIÓN
Un número centesimal es múltiplo de 10
∴
⇒ 𝑥 = 0
210 𝑔
= 189° = 𝑎𝑏𝑐° ⇒ 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 8 𝑦 𝑐 = 9
∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 18 RESPUESTA C
2S C 3R 2
2S C 3R 2
  

  
6
5
 3
4
 3
5
 5
6
 4
3

2S C 3R 2
2S C 3R 2
  

  
  
g o
x 2 x 1 x abc  