Adasda

1. METODO DE GAUSS Y GAUSS JORDAN

2. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Carl Friedrich Gauss (1777-
1855) fue un matemático,
astrónomo y físico aleman
que influyó en multitud de
ramas de las matemáticas.
Fue un niño prodigio del que se cuentan muchas
anécdotas infantiles.
Es considerado como “el príncipe de las
matemáticas” y muchos lo consideran el matemático
más grande de todos los tiempos.
Si quieres conocer más de su vida y su obra pulsa
aquí.

3. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
El método de Gauss para resolver sistemas de
ecuaciones es, en cierta forma, una
generalización del tradicional método de
reducción.
Consiste en trabajar directamente con los
coeficientes del sistema escritos en un cuadro,
es decir, una matriz, de forma que cada fila
contiene los coeficientes de las incógnitas y
del término independiente de cada ecuación.

4. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Para utilizar el método de Gauss se realizan
unas transformaciones en las filas de esa
matriz hasta que conseguimos que los
elementos por debajo de la diagonal principal
sean todos nulos.

5. METODO DE GAUSS
 El método de Gauss consiste en transformar un
sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma
que este sea escalonado.

6. METODO DE GAUSS
 EJEMPLO:
 Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss,
debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del
sistema de ecuaciones lineales con la notación.
 Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en
una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

7. METODO DE GAUSS
 Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas,
multiplicaciones y divisiones.
Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos
de la fila.
• En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que
cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del
sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la forma
siguiente:
 d1 = x
• d2 = y
• d3 = z

8. METODO DE GAUSS
 Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este método con un ejemplo
concreto.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
 Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial

9. METODO DE GAUSS
 Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz
para así convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:
 Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la
primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por
el inverso de 2, o sea ½. Veamos como nos queda:

10. METODO DE GAUSS
 Debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos
el opuesto de los números que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3
será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos números por cada uno de los
elementos de la fila primera y estos se adicionarán a los números de sus respectivas columnas Por
ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los
elementos de la primera fila y se añadirá el resultado con el número correspondiente de la columna de
la segunda fila.

11. METODO DE GAUSS
 A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz,
observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso,
encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables
 x= 1
y= -1
z= 2
 Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como último paso:

12. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Las transformaciones permitidas son las
siguientes:
1) Se pueden cambiar entre sí dos filas.
2) Se pueden multiplicar o dividir por un
número distinto de cero todos los elementos de
una fila.
3) A una fila se le puede sumar otra
multiplicada por un número.

13. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Vamos a ver el método con un ejemplo
concreto.
Queremos resolver el sistema siguiente:
x + 2y - z = 2
2 x + 3y – 3z = -1
x + y + z = 6

14. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Vamos a ver el método con un ejemplo
concreto.
Queremos resolver el sistema siguiente:
x + 2y - z = 2
2 x + 3y – 3z = -1
x + y + z = 6
Lo primero es escribir el sistema mediante
la matriz ampliada.

15. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
1 2 -1 2
2 3 -3 -1
1 1 1 6
En primer lugar le restamos a la segunda
fila la primera multiplicada por 2.

16. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
1 2 -1 2 1 2 -1 2
2 3 -3 -1 F2-2·F1 0 -1 -1 -5
1 1 1 6 1 1 1 6
En primer lugar le restamos a la segunda
fila la primera multiplicada por 2.

17. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
1 2 -1 2 1 2 -1 2
2 3 -3 -1 F2-2·F1 0 -1 -1 -5 F3-F1
1 1 1 6 1 1 1 6
1 2 -1 2
0 -1 -1 -5
0 -1 2 4
El siguiente paso es restarle a la tercera
fila la primera.

18. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
1 2 -1 2 1 2 -1 2
2 3 -3 -1 F2-2·F1 0 -1 -1 -5 F3-F1
1 1 1 6 1 1 1 6
1 2 -1 2 1 2 -1 2
0 -1 -1 -5 F3-F1 0 -1 -1 -5
0 -1 2 4 0 0 3 9
Y por último le restamos a la tercera fila la
segunda.

19. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
1 2 -1 2 1 2 -1 2
2 3 -3 -1 F2-2·F1 0 -1 -1 -5 F3-F1
1 1 1 6 1 1 1 6
1 2 -1 2 1 2 -1 2
0 -1 -1 -5 F3-F1 0 -1 -1 -5
0 -1 2 4 0 0 3 9
Una vez conseguido un sistema escalonado
se reconstruye el sistema.

20. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Una vez conseguido un sistema escalonado se
reconstruye el sistema y se resuelve comenzando
por la ecuación con menos incógnitas.
x + 2y - z = 2
- y - z = -5
3z = 9

21. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Una vez conseguido un sistema escalonado se
reconstruye el sistema y se resuelve comenzando
por la ecuación con menos incógnitas.
x + 2y - z = 2
- y - z = -5
3z = 9 z = 3

22. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Una vez conseguido un sistema escalonado se
reconstruye el sistema y se resuelve comenzando
por la ecuación con menos incógnitas.
x + 2y - z = 2
- y - z = -5 y = 5-z = 2
3z = 9 z = 3

23. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Una vez conseguido un sistema escalonado se
reconstruye el sistema y se resuelve comenzando
por la ecuación con menos incógnitas.
x + 2y - z = 2 x = 2-2y+z = 1
- y - z = -5 y = 5-z = 2
3z = 9 z = 3

24. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER
SISTEMAS
Una vez conseguido un sistema escalonado se
reconstruye el sistema y se resuelve comenzando
por la ecuación con menos incógnitas.
x + 2y - z = 2 x = 2-2y+z = 1
- y - z = -5 y = 5-z = 2
3z = 9 z = 3
La solución es, por tanto: x=1, y=2, z=3.