Este documento describe el diseño de cuadrado latino para experimentos. Explica que este diseño permite controlar dos factores además del tratamiento, como bloques de filas y columnas. Incluye la definición del modelo estadístico para analizar los datos de un diseño de cuadrado latino usando ANOVA de tres vías, así como un ejemplo del diseño para comparar el efecto de cinco dietas en ratas organizadas en bloques de camadas y peso.

1. Sexta sección
DISEÑO DE CUADRADO LATINO
MSc. Edgar Madrid Cuello.
Dpto. de Matemática, UNISUCRE
Análisis y diseño de experimentos
Octubre 2015
MSc. Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosDISEÑO DE CUADRADO LATINO

2. Sexta sección
DCL
Denición (Generalidades)
En algunas situaciones experimentales pueden inuir dos factores,
distintos de los tratamientos, en la variable de respuesta y es
posible lograr aún más precisión si se bloquizan las unidades de
acuerdo con estos factores; si un segundo factor es candidato como
criterio de bloque, se puede usar el arreglo de cuadrado latino para
diseñar el experimento.
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3. Sexta sección
DCL
Denición (Generalidades)
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4. Sexta sección
DCL
Ejemplo (Relación entre la cosecha de trigo y la tasa de siembra)
Las prácticas del cultivo de trigo como la cantidad de semillas
plantadas, el espaciamiento de las y la fecha de siembra tiene
efectos directos en la cosecha. Las prácticas de cultivo para
optimizar la producción se establecen con experimentos en cultivos
nuevos.a .
a
Kuehl. Robert Diseño de experimentos 2a. Ed., THOMSON, LEARNING.
Mexico, 2000.
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5. Sexta sección
DCL
Ejemplo (Objetivo de investigación:)
En cierto caso, un investigador deseaba determinar la tasa de
siembra óptima para una nueva especie de trigo, con alto contenido
de extracto de semolina, importante para la elaboración de pastas.
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6. Sexta sección
DCL
Ejemplo (Diseño del tratamiento: )
Se usaron cinco tasas de siembra (30, 80, 130, 180 y 230 lb/acre)
para el diseño del tratamiento. Con base en otros cultivos comunes
al área, estas tasas de siembra deben incluir la tasa de producción
óptima.
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7. Sexta sección
DCL
Ejemplo (Diseño del experimento:)
El experimento se llevó a cabo en un campo irrigado con un
gradiente de agua en una dirección del área experimental. Además,
se sabía que los campos experimentales de la granja tienen
diferencias en el suelo creadas por la pendiente requerida para la
irrigación. En general, estas diferencias de suelo eran
perpendiculares a los canales de irrigación. El investigador hizo un
bloque de las parcelas con un arreglo de renglones y columnas para
controlar los gradientes de suelo y agua en dos direcciones sobre el
campo experimental. Los tratamientos de la tasa de siembra se
asignaron de manera aleatoria a las parcelas en un arreglo de
cuadrado latino de 5 X 5.
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8. Sexta sección
DCL
Ejemplo
Los bloques por la del campo coinciden con el gradiente de
irrigación, y los bloques por renglón-columna corresponden al
gradiente perpendicular del suelo en relación con el gradiente de
irrigación. Los tratamientos tienen un arreglo de cuadrado latino
donde cada uno aparece una vez en cada bloque de renglón y una
vez en cada bloque de columna.
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9. Sexta sección
DCL
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10. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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11. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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12. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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13. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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14. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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15. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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16. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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17. Sexta sección
DCL
Denición (Modelo estadístico y análisis para el DCL)
En un diseño de cuadrado latino hay tres factores: dos que son
variables de control y el factor de tratamientos. Los datos de un
DCL se analizan mediante un ANOVA de tres vías con una
observación por celda, suponiendo que todas las interacciones entre
factores son insignicantes. Así:
yijl = µ + τj + αi + βl + εijl
donde αi es el efecto jo de la la i, con i αi = 0;βl es el efecto
jo de la columna l, con l βl = 0; τj es el efecto jo del
tratamiento con j τj = 0y εijl es el efecto residual que incluye el
error experimental y pequeños componentes de las interacciones.
Se supone que los errores son independientes y normales N(0, σ2).
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18. Sexta sección
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
Denición (Tabla del ANOVA para un diseño de cuadrado latino)
F. variación df SC MC MC Esperada F
Tratamientos A k − 1 SCA MCA σ2 + k τ2
j /(k − 1) MCA
MCE
Filas k − 1 SCF MCF σ2 + k α2
j /(k − 1)
Filas k − 1 SCC MCC σ2 + k β2
l /(k − 1)
Error (k − 1)(k − 2) SCE MCE σ2
Total k2 − 1 SCT
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19. Sexta sección
DCL
Ejemplo
Para comparar el efecto de cinco dietas, estas se administraron a
cinco camadas, de cinco ratas cada una, mediante un diseño de
cuadrado latino con camadas como las y ratas ordenadas por peso
como columnas. De esta manera se eliminaron las variaciones
asignables a las diferencias en los pesos y en la herencia. La
variable de respuesta fue el contenido de proteína en el hígado
(mg/100 g de peso corporal). Los resultados se dan en la tabla
(adaptado de John y Quenouille, 1977). [1]
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20. Sexta sección
DCL
Ejemplo
Para comparar el efecto de cinco dietas, estas se administraron a
cinco camadas, de cinco ratas cada una, mediante un diseño de
cuadrado latino con camadas como las y ratas ordenadas por peso
como columnas. De esta manera se eliminaron las variaciones
asignables a las diferencias en los pesos y en la herencia. La
variable de respuesta fue el contenido de proteína en el hígado
(mg/100 g de peso corporal). Los resultados se dan en la tabla
(adaptado de John y Quenouille, 1977). [1]
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21. Sexta sección
DCL
Para construir la tabla del ANOVA se calculan las siguientes sumas:
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22. Sexta sección
DCL
Ejemplo
Suponiendo que se chequearon los supuesto de normalidad, de
varianzas homogéneas (para las raciones y entre bloques) y el
supuesto de aditividad.
C =
1
k2
i l
yijl
2
(1)
SCT = y2
ijl − C (2)
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23. Sexta sección
DCL
Ejemplo
Suponiendo que se chequearon los supuesto de normalidad, de
varianzas homogéneas (para las raciones y entre bloques) y el
supuesto de aditividad.
C =
1
k2
i l
yijl
2
(1)
SCT = y2
ijl − C (2)
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24. Sexta sección
DCL
Ejemplo
Suponiendo que se chequearon los supuesto de normalidad, de
varianzas homogéneas (para las raciones y entre bloques) y el
supuesto de aditividad.
C =
1
k2
i l
yijl
2
(1)
SCT = y2
ijl − C (2)
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25. Sexta sección
DCL
Ejemplo
SCA =
1
k
j
y2
.j. − C (3)
SCC =
1
k
l
y2
..l − C (4)
SCF =
1
k
i
y2
i .. − C (5)
SCE = SCT − SCA − SCC − SCF (6)
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26. Sexta sección
DCL
Ejemplo
SCA =
1
k
j
y2
.j. − C (3)
SCC =
1
k
l
y2
..l − C (4)
SCF =
1
k
i
y2
i .. − C (5)
SCE = SCT − SCA − SCC − SCF (6)
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27. Sexta sección
DCL
Ejemplo
SCA =
1
k
j
y2
.j. − C (3)
SCC =
1
k
l
y2
..l − C (4)
SCF =
1
k
i
y2
i .. − C (5)
SCE = SCT − SCA − SCC − SCF (6)
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28. Sexta sección
DCL
Ejemplo
SCA =
1
k
j
y2
.j. − C (3)
SCC =
1
k
l
y2
..l − C (4)
SCF =
1
k
i
y2
i .. − C (5)
SCE = SCT − SCA − SCC − SCF (6)
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29. Sexta sección
DCL
Ejemplo
SCA =
1
k
j
y2
.j. − C (3)
SCC =
1
k
l
y2
..l − C (4)
SCF =
1
k
i
y2
i .. − C (5)
SCE = SCT − SCA − SCC − SCF (6)
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30. Sexta sección
DCL
Para construir la tabla del ANOVA se calculan las siguientes sumas:
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31. Sexta sección
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F)
letra 4 50812.24 12703.06 1.01 0.4387
peso 4 14087.44 3521.86 0.28 0.8847
camada 4 52425.44 13106.36 1.05 0.4241
Residuals 12 150423.12 12535.26
Si se tiene un solo dato faltante, se puede hacer una estimación,
mediante la fórmula:
˜yijl =
k (yi.. + y .j. + y ..l) − y ...
(k − 1)(k − 2)
donde las primas indican los totales del renglón, la columna y el
tratamiento con el valor faltante, y y .. es el gran total con el valor
faltante.
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32. Sexta sección
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F)
letra 4 50812.24 12703.06 1.01 0.4387
peso 4 14087.44 3521.86 0.28 0.8847
camada 4 52425.44 13106.36 1.05 0.4241
Residuals 12 150423.12 12535.26
Si se tiene un solo dato faltante, se puede hacer una estimación,
mediante la fórmula:
˜yijl =
k (yi.. + y .j. + y ..l) − y ...
(k − 1)(k − 2)
donde las primas indican los totales del renglón, la columna y el
tratamiento con el valor faltante, y y .. es el gran total con el valor
faltante.
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33. Sexta sección
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F)
letra 4 50812.24 12703.06 1.01 0.4387
peso 4 14087.44 3521.86 0.28 0.8847
camada 4 52425.44 13106.36 1.05 0.4241
Residuals 12 150423.12 12535.26
Si se tiene un solo dato faltante, se puede hacer una estimación,
mediante la fórmula:
˜yijl =
k (yi.. + y .j. + y ..l) − y ...
(k − 1)(k − 2)
donde las primas indican los totales del renglón, la columna y el
tratamiento con el valor faltante, y y .. es el gran total con el valor
faltante.
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34. Sexta sección
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F)
letra 4 50812.24 12703.06 1.01 0.4387
peso 4 14087.44 3521.86 0.28 0.8847
camada 4 52425.44 13106.36 1.05 0.4241
Residuals 12 150423.12 12535.26
Si se tiene un solo dato faltante, se puede hacer una estimación,
mediante la fórmula:
˜yijl =
k (yi.. + y .j. + y ..l) − y ...
(k − 1)(k − 2)
donde las primas indican los totales del renglón, la columna y el
tratamiento con el valor faltante, y y .. es el gran total con el valor
faltante.
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35. Sexta sección
DCL
Denición (Eciencia relativa)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DBA, suponiendo
que el factor la son los bloques, es:
ER =
MCC + (k − 1)MCE
(k)MCE
(7)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DCA, es:
ER =
MCC + MCF + (k − 1)MCE
(k + 1)MCE
(8)
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36. Sexta sección
DCL
Denición (Eciencia relativa)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DBA, suponiendo
que el factor la son los bloques, es:
ER =
MCC + (k − 1)MCE
(k)MCE
(7)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DCA, es:
ER =
MCC + MCF + (k − 1)MCE
(k + 1)MCE
(8)
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37. Sexta sección
DCL
Denición (Eciencia relativa)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DBA, suponiendo
que el factor la son los bloques, es:
ER =
MCC + (k − 1)MCE
(k)MCE
(7)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DCA, es:
ER =
MCC + MCF + (k − 1)MCE
(k + 1)MCE
(8)
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38. Sexta sección
DCL
Denición (Eciencia relativa)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DBA, suponiendo
que el factor la son los bloques, es:
ER =
MCC + (k − 1)MCE
(k)MCE
(7)
La eciencia relativa del DCL con respecto a un DCA, es:
ER =
MCC + MCF + (k − 1)MCE
(k + 1)MCE
(8)
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39. Sexta sección
Bibliográa
Díaz, A., Diseño estadístico de experimentos, Universidad de
Antioquia, 2a edición, Medellin, 2009
Gutiérrez, H. and De la Vara, R., Análisis y diseño de
experimentos. Mc Graw Hill, 3a edición Mexico, D.F., 2012.
Montgomery, D. Diseño y análisis de experimentos.
Iberoamérica S.A., Mexico, D.F., 1991.
Kuehl, R.O. and Osuna, M.G. Diseño de experimentos:
principios estadísticos de diseño y análisis de investigación.2a.
Ed., Thomson Learning. Mexico, 2001.
Samuels, M.L. and Witmer, J.A. and Schaner, A.A.,
Fundamentos de estadística para las ciencias de la vida,
Pearson, 4a edición, Madrid. 2012
MSc. Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosDISEÑO DE CUADRADO LATINO