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Análisis de la varianza de dos factores ínter grupo Hasta el momento, nos hemos limitado al estudio de técnicas de contraste de medias con una sola variable independiente. Ahora ampliaremos los contenidos estudiados a los diseños factoriales con dos o más variables independientes. En concreto desarrollaremos los llamados diseños de clasificación cruzada que son aquellos en los que todos los niveles de uno de los factores se combinan con todos los niveles de otro.
La interacción entre dos factores A x B En el tema anterior vimos que la variable dependiente podía expresarse como una combinación lineal de tres factores aditivos mediante la ecuación del modelo lineal general. Sin embargo ahora con dos factores, necesitamos incluir en el modelo un término nuevo que recoja precisamente la influencia de éste: Este nuevo término es equivalente a la explicación que para αj dijimos en su momento. Sin embargo, en este modelo no estamos considerando la influencia conjunta o efecto atribuible a la combinación de los diferentes niveles de ambos factores a la cual llamaremos componente de interacción
Acerca del término interacción Tal y como podemos observar en esta tabla nos encontramos con dos factores A x B (2 x 3) con 6 condiciones experimentales. Medias marginales del factor A Medias de las J x K condiciones experimentales Medias marginales del factor B
Ejemplo 1. Ahora vemos que el comportamiento de la variable en A es diferente según sea el nivel de B en que se encuentre.
Ejemplo 2. Vemos que las medias de la vd son mayores en A2 que en A1 para el nivel B1. El patrón de medias se invierte en B2 y vuelve a ser el mismo en B3 pero con medias de menor tamaño que en B1
El Modelo de ANOVA de dos factores de efectos fijos completamente aleatorizados.
Grados de libertad
Medias Cuadráticas
La Tabla resumen del Anova de dos factores de efectos fijos completamente aleatorizados. Efecto principal A Efecto principal B Efecto Interacción A x B
Continuando con nuestro ejemplo, del efecto de la práctica previa, sobre el rendimiento queremos incluir un nuevo factor denominado Motivación por la tarea con dos niveles alta y baja motivación. Tendremos por tanto 5 sujetos por condición experimental en un diseño factorial 3 x 2 (6 condiciones experimentales). Practica previa Sin práct.                               5’                                      10’ Alta Mot.             Baja Mot. Alta Mot.             Baja Mot. Alta Mot.             Baja Mot.
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Hipótesis nulas del efecto de interacción del factor A y B Es decir la diferencia de al menos dos medias cualesquiera de la misma fila o de la misma columna es la misma que la diferencia entre los promedios marginales correspondientes a estas casillas.
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Análisis de varianza multifactorial de efecto fijo Modelo Corregido Contiene toda la variabilidad ínter grupo
Podemos observar en la gráfica que el rendimiento aumenta a medida que se incrementa el tiempo de práctica de igual forma entre los sujetos motivados y menos motivados. No existe por tanto indicios gráficos que nos haga dudar de la decisión de no rechazo de la Ho de la interacción.
Además del rendimiento, hemos medido en cado uno de los sujetos la variable Nº de errores cometidos en el experimento. La tabla adjunta presenta las medias marginales y por condición experimental.
El intervalo de confianza (ic) en el anova multifactorial ínter sujeto
Comparaciones de motivación por cada nivel de tiempo Comparaciones par a par de niveles de tiempo por cada nivel de motivación.
Comparaciones Múltiples Comparaciones planeadas o a priori Podemos aplicar la misma prueba F planeada que describimos para el caso de un solo factor con la salvedad de que los grados del término de error son ahora N – JK. Comparaciones a posteriori post-hoc Sidak o Bonferroni tal y como en el anova de una via Contrastes de efectos simples En raras ocasiones, estamos en realidad interesados en el estudio de las JK(JK-1)/2 comparaciones de las condiciones experimentales, por razones ya sobradamente conocidas en relación a la necesidad de corregir el error Tipo I. En general el estudio de un efecto significativo de la interacción consiste en comparar las medias de un factor en cada uno de los niveles del otro. A este tipo de contraste se le denomina de Efecto simple.
Contrastes de efectos simples Si consideramos nuestro diseño, habríamos de realizar 2x3(6-1)/2 = 15 comparaciones par a par.  Sin embargo si nuestro interés se centra en comparar por pares los K=2 niveles del factor B en los J=3 niveles del factor A tendríamos en realidad que realizar JK(K-1)/2 = 3 comparaciones. Pero si quisiésemos los J=3 niveles de A en los K=2 niveles de B tendríamos sólo JK(J-1)/2 = 6 comparaciones.  Así en nuestro ejemplo, tenemos efecto principal significativo del factor A con J=3  (Tiempo de prac.), del factor B con K= 2 (Motivación) y de la interacción AB (JK=6). Podríamos querer por tanto conocer las diferencias a posteriori para A para B y para la Interacción:
Gráfica de medias de la interacción A x B (Tiempo de práctica previa x Motivación (3 x 2)
J=3 niveles del factor A en los K=2 niveles del B Diferencias entre los grupos de práctica previa en cada nivel de motivación  (JK(J-1)/2 = 6 comparaciones)
K=2 niveles del factor B en los J=3 niveles del factor A Diferencias entre los grupos de motivación en cada nivel de práctica previa (JK(K-1)/2=3) Observa las coincidencias de los efectos simples significativos con la gráfica de intervalos de confianza calculados anteriormente
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ANOVA de medidas repetidas en los dos factores.  Medias Cuadráticas de error del Diseño Intra
La Tabla resumen del Anova de dos factores. Modelo No Aditivo Cada efecto tiene su propio error:  Efecto x Sujeto
Anova multifactorial medidas repetidos no aditivo en SPSS En un estudio sobre memoria se registró el número de errores de 6 sujetos bajo condiciones de Recuerdo (A1) y de Evocación (A2) y en distintos intervalos temporales (B1 después de una hora, B2 de un día y B3 1 semana). ¿Qué podemos concluir acerca de la influencia de las variables mencionadas sobre el número de errores que cometen los sujetos?.
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Comprobación del supuesto de esfericidad Condi no tiene significación porque no se realiza la corrección para variables con dos niveles Asumimos la esfericidad de la matriz de varianzas y covarianzas. No hay que corregir los grados de libertad (p > 0,05)
La Tabla resumen del Anova de dos factores. Modelo No Aditivo De haber necesitado la corrección por no esfericidad, el efecto de interacción condi x tiempo no habría sido significativo (p > 0.05). Pero dado que la matriz resultó ser esférica dicho efecto si es significativo (p < 0.05)
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El intervalo de confianza (IC) en el ANOVA multifactorial de medidas 	Repetidas no aditivo
Comparaciones post-hoc Sólo resultan significativas las diferencias entre Recuerdo y Evocación en el nivel 3 del tiempo transcurrido (1 semana)
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Anova2

  • 1. Análisis de la varianza de dos factores ínter grupo Hasta el momento, nos hemos limitado al estudio de técnicas de contraste de medias con una sola variable independiente. Ahora ampliaremos los contenidos estudiados a los diseños factoriales con dos o más variables independientes. En concreto desarrollaremos los llamados diseños de clasificación cruzada que son aquellos en los que todos los niveles de uno de los factores se combinan con todos los niveles de otro.
  • 2. La interacción entre dos factores A x B En el tema anterior vimos que la variable dependiente podía expresarse como una combinación lineal de tres factores aditivos mediante la ecuación del modelo lineal general. Sin embargo ahora con dos factores, necesitamos incluir en el modelo un término nuevo que recoja precisamente la influencia de éste: Este nuevo término es equivalente a la explicación que para αj dijimos en su momento. Sin embargo, en este modelo no estamos considerando la influencia conjunta o efecto atribuible a la combinación de los diferentes niveles de ambos factores a la cual llamaremos componente de interacción
  • 3. Acerca del término interacción Tal y como podemos observar en esta tabla nos encontramos con dos factores A x B (2 x 3) con 6 condiciones experimentales. Medias marginales del factor A Medias de las J x K condiciones experimentales Medias marginales del factor B
  • 4. Ejemplo 1. Ahora vemos que el comportamiento de la variable en A es diferente según sea el nivel de B en que se encuentre.
  • 5. Ejemplo 2. Vemos que las medias de la vd son mayores en A2 que en A1 para el nivel B1. El patrón de medias se invierte en B2 y vuelve a ser el mismo en B3 pero con medias de menor tamaño que en B1
  • 6. El Modelo de ANOVA de dos factores de efectos fijos completamente aleatorizados.
  • 9. La Tabla resumen del Anova de dos factores de efectos fijos completamente aleatorizados. Efecto principal A Efecto principal B Efecto Interacción A x B
  • 10. Continuando con nuestro ejemplo, del efecto de la práctica previa, sobre el rendimiento queremos incluir un nuevo factor denominado Motivación por la tarea con dos niveles alta y baja motivación. Tendremos por tanto 5 sujetos por condición experimental en un diseño factorial 3 x 2 (6 condiciones experimentales). Practica previa Sin práct. 5’ 10’ Alta Mot. Baja Mot. Alta Mot. Baja Mot. Alta Mot. Baja Mot.
  • 11. Hipótesis nulas del efecto principal del factor A, B
  • 12. Hipótesis nulas del efecto de interacción del factor A y B Es decir la diferencia de al menos dos medias cualesquiera de la misma fila o de la misma columna es la misma que la diferencia entre los promedios marginales correspondientes a estas casillas.
  • 13. El análisis de la varianza de dos factores en el SPSS
  • 14. Análisis de varianza multifactorial de efecto fijo Modelo Corregido Contiene toda la variabilidad ínter grupo
  • 15. Podemos observar en la gráfica que el rendimiento aumenta a medida que se incrementa el tiempo de práctica de igual forma entre los sujetos motivados y menos motivados. No existe por tanto indicios gráficos que nos haga dudar de la decisión de no rechazo de la Ho de la interacción.
  • 16. Además del rendimiento, hemos medido en cado uno de los sujetos la variable Nº de errores cometidos en el experimento. La tabla adjunta presenta las medias marginales y por condición experimental.
  • 17.
  • 18. El intervalo de confianza (ic) en el anova multifactorial ínter sujeto
  • 19. Comparaciones de motivación por cada nivel de tiempo Comparaciones par a par de niveles de tiempo por cada nivel de motivación.
  • 20. Comparaciones Múltiples Comparaciones planeadas o a priori Podemos aplicar la misma prueba F planeada que describimos para el caso de un solo factor con la salvedad de que los grados del término de error son ahora N – JK. Comparaciones a posteriori post-hoc Sidak o Bonferroni tal y como en el anova de una via Contrastes de efectos simples En raras ocasiones, estamos en realidad interesados en el estudio de las JK(JK-1)/2 comparaciones de las condiciones experimentales, por razones ya sobradamente conocidas en relación a la necesidad de corregir el error Tipo I. En general el estudio de un efecto significativo de la interacción consiste en comparar las medias de un factor en cada uno de los niveles del otro. A este tipo de contraste se le denomina de Efecto simple.
  • 21. Contrastes de efectos simples Si consideramos nuestro diseño, habríamos de realizar 2x3(6-1)/2 = 15 comparaciones par a par. Sin embargo si nuestro interés se centra en comparar por pares los K=2 niveles del factor B en los J=3 niveles del factor A tendríamos en realidad que realizar JK(K-1)/2 = 3 comparaciones. Pero si quisiésemos los J=3 niveles de A en los K=2 niveles de B tendríamos sólo JK(J-1)/2 = 6 comparaciones. Así en nuestro ejemplo, tenemos efecto principal significativo del factor A con J=3 (Tiempo de prac.), del factor B con K= 2 (Motivación) y de la interacción AB (JK=6). Podríamos querer por tanto conocer las diferencias a posteriori para A para B y para la Interacción:
  • 22. Gráfica de medias de la interacción A x B (Tiempo de práctica previa x Motivación (3 x 2)
  • 23. J=3 niveles del factor A en los K=2 niveles del B Diferencias entre los grupos de práctica previa en cada nivel de motivación (JK(J-1)/2 = 6 comparaciones)
  • 24. K=2 niveles del factor B en los J=3 niveles del factor A Diferencias entre los grupos de motivación en cada nivel de práctica previa (JK(K-1)/2=3) Observa las coincidencias de los efectos simples significativos con la gráfica de intervalos de confianza calculados anteriormente
  • 25. Tamaño del efecto y potencia en el ANOVA de dos vías en SPSS
  • 26. Eta cuadrado Eta cuadrado Parcial
  • 27. ANOVA de medidas repetidas en los dos factores. Medias Cuadráticas de error del Diseño Intra
  • 28. La Tabla resumen del Anova de dos factores. Modelo No Aditivo Cada efecto tiene su propio error: Efecto x Sujeto
  • 29. Anova multifactorial medidas repetidos no aditivo en SPSS En un estudio sobre memoria se registró el número de errores de 6 sujetos bajo condiciones de Recuerdo (A1) y de Evocación (A2) y en distintos intervalos temporales (B1 después de una hora, B2 de un día y B3 1 semana). ¿Qué podemos concluir acerca de la influencia de las variables mencionadas sobre el número de errores que cometen los sujetos?.
  • 30.
  • 32. Comprobación del supuesto de esfericidad Condi no tiene significación porque no se realiza la corrección para variables con dos niveles Asumimos la esfericidad de la matriz de varianzas y covarianzas. No hay que corregir los grados de libertad (p > 0,05)
  • 33. La Tabla resumen del Anova de dos factores. Modelo No Aditivo De haber necesitado la corrección por no esfericidad, el efecto de interacción condi x tiempo no habría sido significativo (p > 0.05). Pero dado que la matriz resultó ser esférica dicho efecto si es significativo (p < 0.05)
  • 34. Gráfica de Interacción condi x tiempo
  • 35. El intervalo de confianza (IC) en el ANOVA multifactorial de medidas Repetidas no aditivo
  • 36. Comparaciones post-hoc Sólo resultan significativas las diferencias entre Recuerdo y Evocación en el nivel 3 del tiempo transcurrido (1 semana)
  • 37. En la condición de Recuerdo sólo resulta significativa la diferencia de errores entre 1 hora y un día (p < .05). En la condición de Evocación resultan significativas las diferencias entre 1 hora y 1 día y 1 día frente a una semana.