Este documento describe las distribuciones Chi-cuadrado y t-student, incluyendo sus definiciones, parámetros, representaciones gráficas y tablas. También incluye ejemplos resueltos de aplicaciones de distribuciones binomiales, Poisson, hipergeométrica y normal para calcular probabilidades en contextos de producción, seguros de vida, pagos de facturas y calidad de importaciones.

1. DISTRIBUCION CHI
CUADRADA
RESPONSABLE:
PROF. CARLOS MIGUEL SANTA CRUZ VERA
AÑO LECTIVO 2020

2. INDICE
1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO. 3
1.1 DEFINICIÓN DE LA CHI-CUADRADO. 3
1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CHI-CUADRADO. 4
1.3 DISTRIBUCIÓN T-STUDENT. 8
1.4 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN T-STUDENT. 8
1.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA T-STUDENT. 9
2. EJERCICIOS RESUELTOS. 13
1.6 PRODUCCIÓN DE EMPAQUES (UNIDADES DEFECTUOSAS). 13

3. 1. Distribución Chi-cuadrado.
La distribución Chi-cuadrado es muy utilizada para probar o analizar la forma como se comportan los
datos en un proceso, esto se efectúa a través de la prueba para la bondad de ajuste, la cual se explica y
analiza en el acápite sobre de Pruebas de hipótesis.
1.1 Definición de la Chi-cuadrado.
Sean X1, X2, X3,..., Xv variables aleatorias independientes que se distribuyen normalmente con una media
de cero (0) y una desviación típica o estándar de uno (1), es decir variables que se distribuyen como
normales estandarizadas; la sumatoria de cada una de estas variables normales estandarizadas al cuadrado
recibe el nombre de Chi-cuadrado (ji-cuadrado) con v grados de libertad.
La Chi-cuadrado se identifica con el símbolo .
Fórmula (69) Sumatoria de normales estandarizadas al cuadrado.
La función de densidad de probabilidad de la Chi-cuadrado, está dada por:

4. Para X > 0 Fórmula (70) Parámetros de la distribución
Chi-cuadrado.
La media y la varianza de la distribución Chi-cuadrado, se expresan en términos de los grados de libertad,
así:
Fórmula (71)
Fórmula (72)
El símbolo Г es la función Gamma definida en cálculo como:
En caso de desear ampliar información sobre Г(n), remitirse al tema de la distribución t student, donde se
visualizan algunas explicaciones al respecto.
1.2 Representación gráfica de la Chi-cuadrado.
La curva de la función de densidad de probabilidad de la Chi-cuadrado cambia dependiendo del valor
específico que asuma v. Ejemplo: Para la Chi-cuadrado con v = 4 grados de libertad, la función queda
definida así:

5. Se tabula esta función para diferentes valores de X y se obtienen los respectivos valores de f(X), puntos
que se ubican en el plano cartesiano, dando forma a la curva de densidad de probabilidad de la Chi-
cuadrado, así:
Ilustración 1 Representación gráfica de la densidad de probabilidad de la Chi-cuadrado
La función de distribución de probabilidad acumulativa para la distribución Chi-cuadrado, se utiliza para
calcular áreas bajo la curva a la izquierda de un valor específico de X, las cuales representan
probabilidades, se expresa así:
X f (X)
10, 0,02378074
0,2 0,04524187
3,0 0,0645531
4,0 0,08187308
5,0 0,0973501
6,0 0,11112273
70, 0,12332042
,80 0,13406401
0,9 0,14346633
1 0,15163267
2 0,18393972
3 0,16734762
4 0,13533528
5 0,10260625
6 0,0746806
7 0,05284542
8 0,03663128
9 0,02499524
10 0,01684487
11 0,01123862
12 0,00743626
13 0,00488618
14 0,00319159
15 0,00207407
Distribución Chi-cuadrado para v = 4
Valores de X

6. La tabla de la Chi-cuadrado se desprende de la función de distribución de probabilidad acumulativa y
hace referencia específicamente a:
Fórmula (73)
Donde (1 – α) representa el valor de la probabilidad acumulativa o el valor del área bajo la curva de la
Chi-cuadrado a la izquierda del valor específico de χ2
.
En la tabla de la Chi, el encabezado de las columnas representa diferentes valores de (1 - α), el
encabezado de las filas representa diferentes valores de v grados de libertad y cada cruce al interior de la
misma representa el valor de una Chi-cuadrado ; datos éstos importantes para utilizarla
acertadamente. Por ejemplo:
Figura 57. Diseño de la tabla de la Chi-cuadrado

7. Figura 58. Tabla de la distribución de la Chi-cuadrado

8. 1.3 Distribución t-student.
La distribución t-student se utiliza para analizar pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza.
(Para visualizar detalles al respecto, remitirse al acápite sobre pruebas de hipótesis e intervalos de
confianza).
La variable aleatoria t-student se define como el cociente entre la variable aleatoria normal estandarizada
y la raíz cuadrada de la variable aleatoria Chi-cuadrado, dividida en sus grados de libertad.
Fórmula (74)
La siguiente es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria t-student, para t que toma
valores desde menos infinito hasta más infinito y v valores mayores que cero:
─∞ < t < +∞, v > 0.
Fórmula (75)
1.4 Parámetros de la distribución t-student.
La media y la varianza para esta distribución están dadas por:
para v > 1 Fórmula (76)
para v > 2 Fórmula (77)
En la función dada el símbolo Г identifica a la función Gamma, definida en cálculo como:

9. Otras fórmulas útiles para calcular Г(n), el valor gamma de un número n, son:
para n entero
para 0 < n < 1
Para calcular se aplica la fórmula para 0 < n < 1, así:
1.5 Representación gráfica de la t-student.
La forma que toma la función de densidad de probabilidad de la t-student se asemeja a la forma de una
normal, existen muchas curvas de la t-student dependiendo del valor que asuma v en un caso específico, y
de los valores de Z. Esta función es simétrica respecto a t = 0, punto de referencia que constituye el punto
donde la función se maximiza.
Ejemplo:

10. Caso particular de la forma que toma la función de densidad de probabilidad de la t student, para v = 5
grados de libertad. De igual manera se puede trabajar para cualquier valor de v.
Se tiene la función definida:
Para v = 5, se tiene:
En resumen, la función t-student a graficar queda definida así:
Se tabula la función para diferentes valores de t; los valores de t se ubican en el eje X del plano
cartesiano, y los valores que arroje f(t,5) se ubican en el eje Y.

11. t f(t)
-10 0,00010798
-9 0,00019652
-8 0,00038051
-7 0,00079383
-6 0,00181367
-5 0,00462963
-4 0,01349746
-3 0,04555394
-2 0,17146776
-1 0,5787037
-0,8 0,69674314
-0,6 0,81173756
-0,4 0,90983137
-0,2 0,97637894
0 1
0,2 0,97637894
0,4 0,90983137
0,6 0,81173756
0,8 0,69674314
1 0,5787037
2 0,17146776
3 0,04555394
4 0,01349746
5 0,00462963

12. 6 0,00181367
7 0,00079383
8 0,00038051
9 0,00019652
10 0,00010798
Ilustración 2 Tabulación de la función t-student para diferentes valores de t y para v = 5
El gráfico respectivo se observa a continuación, luego de ubicar las coordenadas indicadas (X, Y).
Figura 60. Gráfica de la función t-student para diferentes valores de t y para v = 5
Ilustración 3 Tabla de la t-student
Distribución t-student
Valores de t

13. 2. Ejercicios resueltos.
1.6 Producción de empaques (unidades defectuosas).
El 20% de los empaques producidos por una máquina son defectuosos. Determinar la probabilidad de que
de cuatro empaques tomados al azar:
a) Exactamente uno sea defectuoso.
b) Ninguno sea defectuoso.
c) Por lo menos uno sea bueno.
d) Entre uno y tres sean buenos.

14. Solución
Distribución binomial
a) Característica de interés: defectuosos
La probabilidad de que de cuatro empaques tomados al azar, exactamente uno sea defectuoso es de
0,4096. Si se toman cuatro empaques al azar, el grado de certeza de que exactamente uno sea defectuoso
es del 40,96%.
b) Característica de interés: defectuosos
Si se toman cuatro empaques al azar producidos por esta máquina, la probabilidad de que ninguno sea
defectuoso es de 0,4096. Si se toman cuatro empaques al azar producidos por esta máquina, el grado de
certeza de que ninguno sea defectuoso es del 40,96%.
c) Característica de interés: buenos

15. Si se toman cuatro empaques al azar producidos por esta máquina, la probabilidad de que por lo menos
un empaque sea bueno es de 0,9984. Si se toman cuatro empaques al azar producidos por esta máquina, el
grado de certeza de que por lo menos un empaque sea bueno es del 9,84%.
d) Característica de interés: buenos
Si se toman cuatro empaques al azar producidos por esta máquina, la probabilidad de que entre uno y tres
empaques sean buenos es de 0,5888. Si se toman cuatro empaques producidos por esta máquina, el grado
de certeza de que entre uno y tres empaques sean buenos es de 58,88%.
Venta de seguros de vida.
Un vendedor de seguros vende pólizas a cinco hombres, todos de la misma edad (48 años) y en buen
estado de salud. La probabilidad de que un hombre de esa edad viva 30 años más es de 2/3. Hallar la
probabilidad de que dentro de 30 años:
a) Vivan solamente dos de los hombres.
b) Vivan al menos tres de los hombres.
Solución
Distribución binomial

16. 1. a)
Si se venden pólizas de seguro de vida a cinco hombres, todos de la misma edad y en buen estado de
salud, la probabilidad de que dentro de 30 años vivan solamente dos hombres es de 0,161321; el grado de
certeza de que dentro de 30 años vivan solamente dos hombres es del 16,13%.
2. b)
Si se venden pólizas de seguro de vida a cinco hombres,
todos de la misma edad y en buen estado de salud, la
probabilidad de que dentro de 30 años vivan como
mínimo tres hombres es de 0,795037; el grado de
certeza de que dentro de 30 años vivan por lo menos
tres hombres es del 79,5%.
Pago de facturas por parte de los usuarios de una compañía de teléfonos celulares.
Los clientes de una compañía de teléfonos celulares llegan a la caja registradora para pagar sus facturas
con una rapidez promedio de 15 clientes cada media hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de nueve clientes en 15 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen entre cinco y ocho clientes en 10 minutos?
Solución

17. 1. Distribución Poisson
Al definir la unidad de tiempo “minuto”, el valor de λ queda expresado así:
La conversión de λ se obtiene a través de una regla de tres:
Clientes Minutos
15 30
1
3. a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
La probabilidad pedida es también puede expresarse como
Metodología 1: Evaluar la función de densidad de probabilidad para 10, 11, 12, 13, 14 y 15 éxitos,
efectuar la sumatoria para obtener la probabilidad pedida.
Metodología 2: Tener presente que la sumatoria de todas las vale 1, , por tal motivo
. En este caso, se debe calcular la probabilidad de la siguiente
manera:

18. El resultado obtenido al aplicar cada una de éstas metodologías es el mismo, por tal motivo se puede
elegir trabajar con cualquiera de las dos, generalmente se elige la más corta, en este caso sería la
metodología 1, sin embargo se muestra el procedimiento de la metodología 2, así:
Se obtiene la sumatoria:
La probabilidad de que lleguen más de nueve clientes en 15 minutos es de 0,22359. El grado de certeza de
que lleguen más de nueve clientes en 15 minutos es del 22,4%

19. b) Con un minutos y un
La probabilidad de que lleguen entre cinco y ocho clientes en 10 minutos es de 0,49141. El grado de
certeza de que lleguen entre cinco y ocho clientes en 10 minutos es del 49,14%.
1.7 Importación de chapas para puertas de seguridad e inspección de calidad.
Una compañía importadora de chapas para puertas de seguridad recibió un pedido de 25 chapas de las
cuales siete son defectuosas. Cada que se recibe un pedido de 25 unidades se toma una muestra de cinco
unidades para inspeccionar la calidad en que llegan. El pedido sólo es aceptado si la muestra de chapas
trae como máximo dos unidades defectuosas. Cuando llega un lote de 25 unidades, calcular la
probabilidad de que éste sea aceptado.
Solución
Distribución hipergeométrica.
Unidad defectuosa se asocia con un éxito.
Tamaño de la población: chapas.
Número de éxitos en la población:
Número de “no éxitos” en la población: Tamaño de la muestra:

20. Se pide calcular
La probabilidad de que un lote de 25 unidades sea aceptado es de 0,8869565. El grado de certeza de que
un lote de 25 chapas sea aceptado es del 88,70%
1.8 Volumen de exportación mensual de una compañía de electrodomésticos.
El volumen de exportación mensual (en millones de pesos) de una compañía de electrodomésticos
presenta un comportamiento normal, con una media de $22.500 y una desviación típica o estándar de
$2.250. Calcular la probabilidad de que:
a) El volumen de exportación mensual sea mayor a $21.000 millones.
b) El volumen de exportación mensual se encuentre entre $24.000 y $26.000 millones.
c) El volumen de exportación mensual no sea superior a $19.000 millones.

21. Solución
4. a)
La probabilidad de que el volumen de exportación mensual sea mayor o igual a $21.000 millones es de
0,7486. El grado de certeza de que el volumen de exportación sea mayor o igual a $21.000 millones es del
74,86%.
5. b)

22. La probabilidad de que el volumen de exportación mensual se encuentre entre $24.000 y $26.000
millones es de 0,1920. El grado de certeza de que el volumen de exportación mensual se encuentre entre
$24.000 y $ 26.000 millones es del 19,20%.
6. c)
La probabilidad de que el volumen de exportación mensual se encuentre por debajo (menor o igual) de
$19.000 millones es de 0,0594. El grado de certeza de que el volumen de exportación sea como máximo
de $19.000 millones es del 5,94%.
10.8.6 Vida útil de las pilas de una cierta marca.

23. La vida útil de las pilas de una cierta marca está distribuida normalmente. Si el 6,68% de las pilas duran
más de 56 horas y el 30,85% duran menos de 52 horas, ¿cuál es la media y la desviación estándar?
Solución
Distribución normal
vida útil de las pilas (en horas).
Estandarizando, se obtienen las siguientes expresiones estadísticas:
Se busca en la tabla de la normal estandarizada, el valor de la probabilidad 0,9332 y se extrae el valor de
, de igual manera se busca la probabilidad 0,3085 y se encuentra un
.
Plantear el siguiente sistema de ecuaciones de 2x2, las dos incógnitas son precisamente µ y σ .
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
Se resuelve simultáneamente el sistema por algún método algebraico (igualación, sustitución, reducción
o determinantes) o por métodos de álgebra lineal (eliminación Gaussiana, Jordan Gauss, pivoteo, entre
otros).

24. Por el método de igualación: se despeja la misma variable en ambas ecuaciones, se iguala quedando una
ecuación en términos de una sola variable, se despeja la variable, el valor encontrado se sustituye en
alguna de las ecuaciones para hallar el valor de la otra variable.
Igualando se tiene:
Se despeja el valor de σ, así:
Se sustituye el valor de σ en alguna de las ecuaciones, así:

25. La vida útil media de las pilas y su desviación típica o estándar es de horas y horas.
La representación gráfica se muestra a continuación:
1.9 Llegada de clientes a un banco.
Los clientes llegan a un banco con una rapidez promedio de 20 clientes por hora. Si un cliente acaba de
llegar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de 10 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue en el lapso de tiempo entre tres
y siete minutos?
Solución
Distribución exponencial
a) clientes/hora minutos

26. Se expresa el valor de λ y de X en la misma unidad de tiempo. Para pasar el valor de X dada en minutos, a
horas, se puede resolver la siguiente regla de tres simple:
Hora Minutos
1 60
10
La probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de 10 minutos es de 0,966. El grado de certeza
de que el siguiente cliente llegue dentro de 10 minutos es de 96,6%.
7. b)
Utilizando regla de tres simple se pasa lo expresado en minutes, a horas.
La probabilidad de que el siguiente cliente llegue en el lapso de tiempo entre tres y siete minutos es de
0,2706. El grado de certeza de que el siguiente cliente llegue en el lapso de tiempo entre tres y siete
minutos es del 27,06%.
1.10 Producción de circuitos electrónicos y su vida útil.

27. El departamento de producción de una compañía efectúa un experimento para analizar la vida útil (en
horas) de un circuito electrónico, para ello somete los circuitos de varios lotes de producción bajo las
mismas condiciones, encontrando que la vida útil se encuentra distribuida uniformemente entre 2.500 y
3.000 horas. Si se selecciona de manera aleatoria un circuito electrónico:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dure menos de 2.670 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su vida útil se encuentre entre 2.800 y 2.950 horas?
Solución
Distribución uniforme continua
8. a)
Si se selecciona un circuito electrónico de manera aleatoria, el grado de certeza de que éste dure menos de
2.670 horas es del 34%.
9. b)
Si seleccionamos un circuito electrónico de manera aleatoria, el grado de certeza de que dure entre 2.800
y 2.950 horas es del 30%.
2. Ejercicios de aplicación propuestos.
1.11 Unidades defectuosas en un proceso de manufactura.
Todos los días se seleccionan de manera aleatoria, seis unidades de un proceso de manufactura, con el
propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base en información
pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0,12.
La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de seis unidades tenga dos o más
defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día, la producción se detenga?

28. 1.12 Campaña de mercadeo para un club nacional de automovilistas.
Un club nacional de automovilistas comienza una campaña telefónica con el propósito de mercadear y
aumentar el número de personas afiliadas al club. Con base en experiencia previa se sabe que una de cada
20 personas que reciben la llamada, se une al club.
Si en un día 14 personas reciben la llamada telefónica, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos tres
personas de ellas se unan al club?
1.13 Pago de compras con tarjeta de crédito en un almacén.
El 38% de los clientes de un almacén pagan sus compras con tarjeta de crédito, si se selecciona una
muestra aleatoria de 25 clientes:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco clientes paguen con tarjeta de crédito?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos ocho clientes paguen con tarjeta de crédito?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre cinco y nueve clientes no paguen con tarjeta de
crédito?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo (como máximo) dos clientes no paguen con
tarjeta de crédito?
1.14 Control de calidad en cajas de bombillas.
Supóngase que en una caja con bombillas, el 10% son defectuosas. Cuál es la probabilidad de que una
muestra al azar de cinco bombillas contenga:
a) Por lo menos una defectuosa.
b) Por lo menos tres defectuosas.
c) Exactamente una defectuosa.
d) Como máximo, una defectuosa.
1.15 Asistencia tarde al trabajo por parte de empleados.

29. El 30% de los empleados de una compañía llegan tarde al trabajo. Si se eligen 10 personas al azar, cuál es
la probabilidad de que:
a) Tres lleguen tarde.
b) Como mínimo, tres lleguen tarde.
c) Como máximo, cinco lleguen tarde.
1.16 Preferencias por determinado candidato a la presidencia.
El 70% de los antioqueños creen en el candidato A para la presidencia. Si seleccionamos nueve
antioqueños al azar, cuál es la probabilidad de que:
a) Crean tres o menos.
b) Crean más de cuatro.
c) Crean menos de dos.
1.17 Hogares con televisión por cable.
El 75% de los hogares del área metropolitana de Medellín tienen televisión por cable. Si se analizan 18
hogares, cuál es la probabilidad de que el número de ellos que tenga cable sea:
a) Mayor que uno.
b) Cinco o menos.
c) Entre siete y ocho, inclusive.
d) Diecisiete o más.
1.18 Tiempo de llegada de estudiantes a una biblioteca.
Los alumnos llegan a la biblioteca con una rapidez promedio de 50 alumnos por hora. Si un alumno acaba
de llegar, cual es la probabilidad de que el siguiente usuario llegue:
a) Dentro de 15 minutos.
b) Dentro de 10 minutos.
c) Después de 12 minutos.
d) Entre en el lapso de tiempo de ocho a 13 minutos.

30. 1.19 Número de estudiantes que llegan a una biblioteca.
Los alumnos llegan a la biblioteca con una rapidez promedio de 50 alumnos por hora.
Cuál es la probabilidad de que lleguen:
a) Tres alumnos en los próximos 15 minutos (es decir, dentro de 15 minutos).
b) Dos alumnos en los próximos 10 minutos. c) Entre Tres y seis alumnos en los próximos
10 minutos.
c) Entre 20 y 30 alumnos en los próximos 30 minutos.
d) Menos de tres alumnos en los próximos 12 minutos.
1.20 Tiempo de llegada de clientes a la caja registradora.
Los clientes de un supermercado llegan a la caja registradora con una rapidez promedio de dos clientes
por minuto. Si un cliente acaba de llegar, cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue:
a) En medio minuto (es decir, dentro de medio minuto).
b) Dentro de un minuto.
c) Dentro de minuto y medio.
d) Dentro de dos minutos y medio.
e) Entre el lapso de tiempo de uno a 2,5 minutos.
Número de clientes que llegan a la caja registradora.
Los clientes de un supermercado llegan a la caja registradora con una rapidez promedio de dos clientes
por minuto. Cuál es la probabilidad de que lleguen:
a) Tres clientes en el próximo minuto.
b) Cuatro clientes en el próximo minuto.
c) Tres clientes en los próximos dos minutos
d) Cinco clientes en el próximo minuto y medio.
e) Entre uno y tres clientes por minuto.

31. 1.21 Tiempo y número de clientes que llegan a una compañía de teléfonos celulares.
Los clientes de una compañía de teléfonos celulares llegan a la caja registradora para pagar sus facturas
con una rapidez promedio de 15 clientes cada media hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de nueve clientes en 15 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen entre cinco y ocho clientes en 10 minutos?
c) Si acaba de llegar un cliente, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue
dentro de 5 minutos?
d) Si acaba de llegar un cliente, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue en
el lapso de tres a 10 minutos?
1.22 Proceso de selección y contratación de personal en una entidad financiera.
El jefe de personal de una entidad financiera debe contratar ocho personas entre 35 candidatos para el
cargo de analista de cartera, 24 de los candidatos tienen título profesional y el resto son estudiantes de los
últimos semestres. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de los contratados tengan título profesional?
1.23 Firma de asesores en comercio internacional para nuevos proyectos.
De los 20 ejecutivos de una firma de asesores en comercio internacional, se seleccionan 12 para ser
enviados a Francia a estudiar nuevos proyectos con empresas de ese país. Ocho de los ejecutivos ya tienen
experiencia con casos similares. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de los enviados tengan experiencia
previa en proyectos similares?
1.24 Cálculo de áreas bajo la curva de la distribución normal estandarizada.
Hallar el área bajo la curva normal:
a) Entre y
b) Entre y

32. c) Entre y
d) A la izquierda de
e) A la derecha de
Nota: graficar cada numeral.
1.25 Ventas anuales a crédito.
Las ventas anuales a crédito (por club) de un almacén se distribuyen normalmente, con
una media y una desviación típica o estándar de: (millones de pesos) y
(millones de pesos). Calcular las siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que las ventas anuales por club estén por debajo de $38,7 millones.
b) Probabilidad de que las ventas anuales por club sean superiores a $ 31,5 millones.
c) Probabilidad de que las ventas anuales por club se encuentren entre $30,2 y $37,5
millones.
Nota: graficar cada numeral y analizar resultados obtenidos.
1.26 Gasto semanal en loncheras para niños.
Si el gasto semanal en loncheras para niños de preescolar se encuentra distribuido normalmente con una
media de $10 mil y una desviación estándar de $2 mil, emplear la tabla y calcular las siguientes
probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
Nota: graficar cada numeral y analizar los resultados obtenidos.
1.27 Estatura de los alumnos de un colegio.

33. Suponiendo que las estaturas X de los alumnos de un colegio se encuentran distribuidas normalmente con
una media igual a 169 cm y una desviación estándar igual a 3 cm, calcular las siguientes probabilidades
(empleando la tabla):
a) Probabilidad de que un estudiante tenga una estatura inferior a 165 cm.
b) Qué porcentaje de alumnos tendrá una estatura entre 165 y 170 cm.
Nota: graficar y analizar resultados.
1.28 Peso promedio de las frutas de un cargamento a transportar.
El peso promedio de las frutas de un gran cargamento es de 15 lb. Con una desviación estándar de 1,62
lb.; si sus pesos están distribuidos normalmente, ¿qué porcentaje de frutas tendrá un peso entre 15 lb y 18
lb? Graficar.
1.29 Duración de las baterías de una cierta marca.
Si la vida media de cierta marca de baterías es de 30 meses, con una desviación estándar de seis meses,
¿qué porcentaje de estás baterías puede esperarse que tengan una duración de 24 a 36 meses? Se supone
que su duración tiene una distribución normal. Graficar.
10.9.21 Salario medio mensual.
En cierto negocio, el salario medio mensual es de $386.000 y la desviación estándar es de $4.500. Si se
supone que los salarios tienen una distribución normal, ¿qué porcentaje de empleados percibe salarios
entre $380.000 y $385.000? Graficar.

34. 10.9.22 Notas en un examen de legislación.
Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipificadas de 0,8 y –0,4
respectivamente, en un examen de legislación. Si sus puntuaciones fueron 88 y 64 respectivamente, hallar
la media y la desviación típica (o estándar) de las puntuaciones del examen.
10.9.23 Peso de un grupo de deportistas.
La media del peso de 500 deportistas (mayores de edad) es de 75,5k y la desviación típica es de 6k.
Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos deportistas pesan:
a) Entre 60 y 75,5k.
b) Más de 92,5k.
1.30 Gasto semanal en transporte por parte de un grupo de empleados.
El gasto promedio semanal en transporte de un grupo de empleados es de $15.000 y la desviación
estándar es de $3.500. Se sabe que 647 empleados tienen un gasto mayor de $16.300 ¿Cuál es el número
total de empleados?
1.31 Publicación sobre los salarios mensuales de contadores.
Una revista publicó un estudio donde se indica que los salarios mensuales para contadores titulados
presenta un comportamiento normal con una media de $2.800.000 y una desviación típica o estándar de
$435.000. Cuál es la probabilidad de que:
a) Un contador titulado gane entre $1.500.000 y $3.000.000.
b) Un contador titulado gane más de $2.598.000.
Graficar cada caso e interpretar.
1.32 Fabricación de neumáticos y su vida útil.
Una fábrica de neumáticos produce llantas con una vida útil media de 85.000 Km y una desviación
estándar de 6.800 Km. La vida útil se encuentra distribuida normalmente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta dure más de 91.000 Km?

35. b) Hallar el valor del Kilometraje límite donde el 7,3% de los neumáticos duran menos de
dicho valor (en Km).
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático dure entre 80.000 Km y 93.000 Km?
Graficar cada caso e interpretar.
Comisión mensual obtenida por un grupo de vendedores.
El nivel de comisión mensual obtenida por un grupo de vendedores se encuentra distribuido normalmente.
El 3,15% ganan por concepto de comisión, más de $980.000; el 85,3% obtienen menos de $574.000.
Determinar la comisión promedio y la desviación estándar.
Graficar.
1.33 Vida útil de circuitos electrónicos.
La vida útil media de un circuito electrónico es de 1.200 horas, y la desviación típica o estándar es de 250
horas. Si la vida útil se distribuye normalmente, ¿cuál es la probabilidad de que el circuito dure más de
1.300 horas? Graficar e interpretar.
1.34 Producción de arandelas: unidades aceptables y defectuosas.
La media de los diámetros de una muestra de arandelas producidas por una máquina es de 0,502 pulgadas,
y la desviación típica, de 0,005 pulgadas. Las arandelas se consideran buenas o aceptables si su diámetro
se encuentra entre 0,496 y 0,508 pulgadas. Determinar el porcentaje de arandelas defectuosas producidas
por la máquina, si se sabe que los diámetros presentan una distribución normal. Graficar e interpretar.
1.35 Costo de trascripción e impresión de trabajo de tesis.
Un digitador estima que el costo de transcribir e imprimir una tesis para obtener título profesional es una
variable aleatoria que se distribuye normalmente con una media de $1.700.000 y una desviación típica de
$95.000. ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de transcribir e imprimir una tesis se encuentre entre
$1.320.000 y 1.900.000? Graficar.
1.36 Puntaje en proceso de admisión para laborar en una empresa.

36. El puntaje obtenido en un examen por un grupo de personas durante el proceso de admisión para laborar
en una empresa se distribuye normalmente con una media de 700 puntos y una desviación típica de 120
puntos. Se decide no tener como referencia de posibles alternativas de elección al 5% de personas con
puntaje más bajo. ¿Cuál es ese puntaje mínimo necesario para ser tenido en cuenta dentro del proceso de
admisión? Graficar.
1.37 Tiempo de servicio en una compañía de reparación de fotocopiadoras.
Una compañía de reparación de fotocopiadoras sabe que el tiempo invertido en hacer un servicio se puede
representar como una variable aleatoria normal con una media de 75 minutos y una desviación típica de
20 minutos. ¿Qué proporción de servicios se hacen en menos de una hora? Graficar.
1.38 Tiempo de espera en un restaurante.
El tiempo que tardan en recibir su orden después de hacerla, en un prestigioso restaurante de la ciudad,
promedia 10 minutos. De acuerdo a estudios previos, se sabe que la distribución del tiempo de espera en
ser atendido se distribuye exponencialmente.
a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor de 12 minutos.
b) Probabilidad de que el tiempo de espera sea menor o igual a 10 minutos.
1.39 Tiempo de servicio en una agencia de viajes.
El tiempo de servicio en una agencia de viajes se distribuye exponencialmente con una media de cuatro
minutos. Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea:
a) Mayor de cuatro minutos.
b) Menor de cuatro minutos.
c) Menor de dos minutos.
d) Entre dos y cinco minutos.
1.40 Control de calidad en producción de bombillas eléctricas.

37. El departamento de control de calidad de una empresa productora de bombillas eléctricas efectúa un
análisis de la duración del producto que fabrica, encuentra que la vida útil se distribuye exponencialmente
con una media de 1000 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bombilla falle dentro de 500 horas?
b) Probabilidad de que la bombilla falle dentro de 1000 horas.
c) Probabilidad de que la bombilla falle dentro de 1500 horas.
d) Probabilidad de que la bombilla falle dentro de 2000 horas.
1.41 Vida útil de transistores importados por una firma nacional.
Los transistores importados por una firma nacional distribuidora de productos afines tiene una vida útil
media de 25 horas. El jefe de compras de esta empresa desea saber:
a) Cuál es la probabilidad de que un transistor dure más de 30 horas.
b) Si el jefe de compras adquiere 1.720 transistores, ¿cuántos de ellos duran menos de 20
horas?
1.42 Transporte de mercancía en camiones hacia una bodega.
A una bodega llegan en promedio cuatro camiones durante una hora para ser descargados, hallar:
a) El tiempo promedio en minutos entre la llegada de cada camión.
b) Suponga que acaba de llegar un camión. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que
transcurra para la llegada del próximo camión sea menor de 10 minutos?
1.43 Servicio de taxis en un aeropuerto local.
La empresa “Súper-Taxis” programa la llegada de sus taxis al aeropuerto local con una tasa media de
llegada de 12 taxis por hora. El gerente de una multinacional acaba de arribar al el aeropuerto y tiene que
ir al centro de la ciudad para cerrar un gran negocio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga que esperar
más de cinco minutos para tomar un taxi?
1.44 Inducción y entrenamiento a un nuevo empleado.
El tiempo promedio para entrenar a un nuevo empleado como asesor de servicio al cliente es de dos
semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado pueda ser formado como máximo, en una semana y
media (1,5 semanas)?

38. 1.45 Tiempo de llegada de clientes para pago de servicios públicos.
Los clientes llegan a pagar sus cuentas de servicios públicos en una caja registradora a razón de 10
clientes por hora. Si acaba de llegar un cliente, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente llegue dentro
de los próximos 15 minutos?
1.46 Contenido de cerveza envasada por botella.
El contenido promedio de cerveza envasado por botella en una compañía es de 17,4 onzas, su contenido
se considera aceptable si se encuentra entre 16,3 onzas y 18,5 onzas, siguiendo una distribución uniforme.
Si se selecciona aleatoriamente un envase, ¿cuál es la probabilidad de que su contenido esté entre 16,8 y
17,2 onzas?
1.47 Empaque de leche en polvo en una compañía de procesamiento de lácteos.
Una compañía dedicada al procesamiento de lácteos y sus derivados empaca bolsas de leche en polvo
para la venta, el contenido de las bolsas se encuentra distribuido uniformemente entre 1,9 y 2,2 libras.
a) ¿Cuál es el peso promedio de la bolsa de leche en polvo?
b) Si se selecciona aleatoriamente una bolsa de leche en polvo, ¿cuál es la probabilidad de
que su peso se encuentre entre 2 y 2,13 libras?
c) Probabilidad de que su peso sea inferior a 2,15 libras.