El documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad como la distribución de Bernoulli y la distribución binomial. Explica la definición y fórmula de cada distribución con ejemplos. Luego, presenta varios ejercicios resueltos sobre la aplicación de estas distribuciones para calcular probabilidades en diferentes escenarios como sacar una carta de una baraja, obtener defectos en una producción industrial, y otros.

1. Procesos industriales área manufactura
Probabilidad y estadística; Distribuciones de
probabilidad.
Danny Chavarría Martinez
2-D
-¿Qué tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero.
-Bien... Dando probabilidad y estadística... Respondo.
-¡Ah! Probabilidad... Yo suelo jugar a la lotería... Dice mientras me pasa la cuchilla. -Cuando compro un número, tal y
como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de probabilidad de ganar y un 50%
de perder.
-¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi
cuello...

2. Distribución de Bernoulli
Definición: Es una variable discreta que consiste en dos posibles resultados,
denominados como Éxito y Fracaso, siendo éxito denominado como X=1 resultando
en éxito y X=0 en caso contrario.
Formula: 𝑷(𝒙) = 𝒑 𝒙
(𝟏 − 𝒑) 𝟏−𝒙
𝒙 = 𝟎, 𝟏
Ejemplo:
Si se lanza una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga águila?
-Siendo p= ½ siendo esto porque solo hay dos resultados, entonces la probabilidad de
que solo caiga águila es del 0.5%
Ejercicios:
1- Si tenemos 9 cartas, enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la
carta con el numero 9?
La probabilidad de que obtengamos la carta 9 es:
P(x=1) = (1/9)1
(8/9)0
=1/9 = 0.111
La probabilidad de NO obtener la carta 9 es:
P(x=0) = (1/9)0
(8/9)1
=8/9 = 0.888
2- Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darle un premio
a aquel que escoja, pero la maestra lo seleccionara con los ojos cerrados ¿Cuál
es la probabilidad de que escoja al número 16?
La probabilidad de que escoja al alumno 16:
P(x=1) = (1/16)1
(15/16)0
=1/16 = 0.0625
La probabilidad de que escoja a cualquier otro alumno:
P(x=0) = (1/16)0
(15/16)1
=15/16 = 0.9375
3- Se hace una rifa de un automóvil, y se venden 500 boletos ¿Qué probabilidad
hay de que al momento de sacar el boleto gane el boleto con el numero 500?
La probabilidad de que salga el boleto 500 es:
P(x=1) = (1/500)1
(499/500)0
=1/500 = 0.002
La probabilidad de que NO salga el boleto con 500 es:
P(x=0) = (1/500)0
(499/500)1
=499/500 = 0.998

3. 4- En una industria se reporta que de un lote de 700 piezas 1 sale defectuosa,
sabiendo esto ¿Cuál es la probabilidad de que sea la pieza 458 la que sufra de
ese error?
La probabilidad de que sea la pieza 458 la que tenga un defecto es:
P(x=1) = (1/700)1
(699/700)0
=1/700 = 0.001428
La probabilidad de que No sea esa pieza la que resulte con el defecto es:
P(x=0) = (1/700)0
(699/700)1
=699/700 = 0.9985
5- Un jugador de basquetbol lanzara 20 tiros a la canasta, ¿Cuál es la probabilidad
de que enceste 7 veces?
La probabilidad de que enceste 7 veces es:
P(x=1) = (7/20)1
(13/20)0
=7/20 = 0.35
La probabilidad de que NO enceste 7 veces es:
P(x=0) = (7/20)0
(13/20)1
=13/20 = 0.65

4. Distribución Binomial
Definición: Es una probabilidad de distribución discreta el cual mide el número
de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes.
Formula: 𝑷(𝒙 = 𝒌)
𝒏!
𝒌! (𝒏−𝒌)!
𝑷 𝒌
(𝟏 − 𝑷) 𝒏−𝒌
𝒙 ∽ 𝑩𝒊𝒏(𝒏, 𝒑)
Ejemplo:
Sabiendo que 𝒙 ∽ 𝑩𝒊𝒏(𝟐𝟓, 𝟎. 𝟏), Se toma una muestra de 15 piezas de una
población grande en la cual el 5% de los elementos esta defectuoso.
a) Determina la probabilidad de que ninguna de las muestras este defectuosa.
𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝟐𝟓!
𝟎! (𝟐𝟓 − 𝟎)!
(𝟎. 𝟏) 𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟐𝟓−𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟕𝟏𝟕𝟎𝟎 ó 𝟕. 𝟏𝟕%
Ejercicios:
1- La empresa Dts industries fabrica 2,500 piezas de computadoras, si se toma
una muestra de 100 piezas, Si se sabe que 𝒙 ∽ 𝑩𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎, 𝟎. 𝟎𝟔)
a) Probabilidad de que ninguna pieza presente algún defecto.
b) Probabilidad de que 5 piezas tenga algún defecto.
c) Probabilidad de que 10 piezas tengan algún defecto.
a) 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝟏𝟎𝟎!
𝟎! (𝟏𝟎𝟎−𝟎)!
𝟎. 𝟎𝟒 𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟒) 𝟏𝟎𝟎−𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟖𝟕𝟎
b) 𝑷(𝒙 = 𝟓)
𝟏𝟎𝟎!
𝟓! (𝟏𝟎𝟎−𝟓)!
𝟎. 𝟎𝟒 𝟓
(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟒) 𝟏𝟎𝟎−𝟓
= 𝟎. 𝟏𝟓𝟗𝟓𝟏𝟎
c) 𝑷(𝒙 = 𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝟎!
𝟏𝟎! (𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟎)!
𝟎. 𝟎𝟒 𝟏𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟒) 𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟔𝟎𝟓
2- Determina la probabilidad de la variable aleatoria X si 𝒙 ∽ 𝑩𝒊𝒏(𝟏𝟖, 𝟎. 𝟓𝟑)
Determine P(X=3), P(X=6) y P(X=9)
a) 𝑷(𝒙 = 𝟑)
𝟏𝟖!
𝟑! (𝟏𝟖−𝟑)!
(𝟎. 𝟓𝟑) 𝟑
(𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟑) 𝟏𝟖−𝟑
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟓𝟒𝟗𝟗
b) 𝑷(𝒙 = 𝟔)
𝟏𝟖!
𝟔! (𝟏𝟖−𝟔)!
(𝟎. 𝟓𝟑) 𝟔
(𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟑) 𝟏𝟖−𝟔
= 0.47808055
c) 𝑷(𝒙 = 𝟗)
𝟏𝟖!
𝟗! (𝟏𝟖−𝟗)!
(𝟎. 𝟓𝟑) 𝟗
(𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟑) 𝟏𝟖−𝟗
= 𝟎. 𝟏𝟕𝟗𝟓𝟒𝟕𝟏𝟒𝟒

5. 3- En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta
imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el
automóvil.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga
imperfección?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga
imperfección?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga
imperfección?
𝒙 ∽ 𝑩𝒊𝒏(𝟒, 𝟎. 𝟓)
a) 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝟒!
𝟎! (𝟒−𝟎)!
(𝟎. 𝟓) 𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟒−𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟓
b) 𝑷(𝒙 = 𝟏)
𝟒!
𝟏! (𝟒−𝟏)!
(𝟎. 𝟓) 𝟏
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟒−𝟏
= 𝟎. 𝟐𝟓
𝑷(𝒙 ≥ 𝟏)
c) 𝑷(𝒙 = 𝟏)
𝟒!
𝟏! (𝟒−𝟏)!
(𝟎. 𝟓) 𝟏
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟒−𝟏
= 𝟎. 𝟐𝟓 +
𝑷(𝒙 = 𝟐)
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
(𝟎. 𝟓) 𝟐
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟒−𝟐
= 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 +
𝑷(𝒙 = 𝟑)
𝟒!
𝟑! (𝟒 − 𝟑)!
(𝟎. 𝟓) 𝟑
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟒−𝟑
= 𝟎. 𝟐𝟓 +
𝑷(𝒙 = 𝟒)
𝟒!
𝟒! (𝟒−𝟒)!
(𝟎. 𝟓) 𝟒
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟒−𝟒
=0.0625
𝟎. 𝟐𝟓 + 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟕𝟓
4- Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual
10% de los elementos está defectuoso.
a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra
esté defectuoso.
b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos.
c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la
muestra estén defectuosos.
d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra
tenga defectos.
a) 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝟓!
𝟎! (𝟓−𝟎)!
(𝟎. 𝟏) 𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟎
= 𝟎. 𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗
b) 𝑷(𝒙 = 𝟏)
𝟓!
𝟏! (𝟓−𝟏)!
(𝟎. 𝟏) 𝟏
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟏
= 𝟎. 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟓

6. c) 𝑷(𝒙 = 𝟏)
𝟓!
𝟏! (𝟓−𝟏)!
(𝟎. 𝟏) 𝟏
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟏
= 𝟎. 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟓
𝑷(𝒙 = 𝟐)
𝟓!
𝟐! (𝟓 − 𝟐)!
(𝟎. 𝟏) 𝟐
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟕𝟐𝟗 +
𝑷(𝒙 = 𝟑)
𝟓!
𝟑! (𝟓 − 𝟑)!
(𝟎. 𝟏) 𝟑
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟑
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟏 +
𝑷(𝒙 = 𝟒)
𝟓!
𝟒! (𝟓 − 𝟒)!
(𝟎. 𝟏) 𝟒
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟒
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓 +
𝑷(𝒙 = 𝟓)
𝟓!
𝟓! (𝟓 − 𝟓)!
(𝟎. 𝟏) 𝟓
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟓
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟎. 𝟎𝟕𝟐𝟗 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟓𝟓𝟏 ó 𝟖. 𝟓𝟓𝟏%
d) 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝟓!
𝟎! (𝟓−𝟎)!
(𝟎. 𝟏) 𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟎
= 𝟎. 𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗 +
𝑷(𝒙 = 𝟏)
𝟓!
𝟏! (𝟓 − 𝟏)!
(𝟎. 𝟏) 𝟏
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟏
= 𝟎. 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟓 +
𝑷(𝒙 = 𝟐)
𝟓!
𝟐! (𝟓 − 𝟐)!
(𝟎. 𝟏) 𝟐
(𝟏 − 𝟎. 𝟏) 𝟓−𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟕𝟐𝟗
𝟎. 𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗 + 𝟎. 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟕𝟐𝟗 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟏𝟒𝟒 ó 𝟗𝟗. 𝟏𝟒𝟒%
5- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito,
cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de
los bits son independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que seis de los bits sean 1?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos de los bits sean 1?
a) 𝑷(𝒙 = 𝟖)
𝟖!
𝟖! (𝟖−𝟖)!
(𝟎. 𝟏) 𝟖
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟖−𝟖
= 0.00390625
b) 𝑷(𝒙 = 𝟑)
𝟖!
𝟑! (𝟖−𝟑)!
(𝟎. 𝟓) 𝟑
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟖−𝟑
= 𝟎. 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓
c) 𝑷(𝒙 = 𝟔)
𝟖!
𝟔! (𝟖−𝟔)!
(𝟎. 𝟓) 𝟔
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟖−𝟔
= 𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟑𝟕𝟕𝟓
d) 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝟖!
𝟎! (𝟖−𝟎)!
(𝟎. 𝟓) 𝟎
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟖−𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓
𝑷(𝒙 = 𝟏)
𝟖!
𝟏! (𝟖−𝟏)!
(𝟎. 𝟓) 𝟏
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟖−𝟏
=0.03125
𝑷(𝒙 = 𝟐)
𝟖!
𝟐! (𝟖−𝟐)!
(𝟎. 𝟓) 𝟐
(𝟏 − 𝟎. 𝟓) 𝟖−𝟐
= 0.109375
𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟒𝟓𝟑𝟏

7. Distribución de Poisson
Definición: Es una distribución de probabilidad discreta que expresa a
partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra
un determinado número de eventos durante un cierto periodo de tiempo.
Formula: 𝒑(𝒙) = 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝒆−𝝀 𝝀 𝒙
𝒙!
Ejemplo:
Una central telefónica recibe en promedio 4 llamadas por hora, calcula las
siguientes probabilidades:
P(x=0), P(x=1) P(x=2)
𝒑(𝒙 = 𝟎)𝒆−𝟒
𝟒 𝟎
𝟎!
= 𝟎. 𝟏𝟖𝟑𝟏𝟓𝟔𝟑𝟖
𝒑(𝒙 = 𝟏)𝒆−𝟒
𝟒 𝟏
𝟏!
= 𝟎. 𝟕𝟑𝟕𝟔𝟐𝟓𝟓𝟐
𝒑(𝒙 = 𝟐)𝒆−𝟒
𝟒 𝟐
𝟐!
= 𝟎. 𝟏𝟒𝟔𝟓𝟐𝟓𝟏𝟏𝟏
Ejercicios:
1- Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de 2-D son inteligentes
¿Cuál es la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de
ellos sean muy inteligentes?
n=100
p=0.03
λ= 100*0.03= 3
x=5
𝒑(𝒙 = 𝟓)𝒆−𝟑
𝟑 𝟓
𝟓!
= 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟖𝟏
2- La producción de televisiones en LG trae asociada una probabilidad de
defecto 2%, si se toma un lote o una muestra de 85 televisores, obtener
la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.
n=85
p=0.02
λ= 85*0.02= 1.7
x=4
𝒑(𝒙 = 𝟒)𝒆−𝟏.𝟕
𝟏. 𝟕 𝟒
𝟒!
= 𝟎. 𝟎𝟔𝟑𝟓𝟕𝟒𝟔

8. 3- En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso, calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar, 3 de ellos hablen
ruso.
n=20
p=0.15
λ= 3
x=3
𝒑(𝒙 = 𝟑)𝒆−𝟑
𝟑 𝟑
𝟑!
= 𝟎. 𝟐𝟐𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖
4- Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen problemas
de vista, si tomamos una muestra de 50 personas al azar, calcular la
probabilidad de que 10 de ellos tengan problemas de vista.
n=50
p=0.20
λ= 10
x=10
𝒑(𝒙 = 𝟏𝟎)𝒆−𝟏𝟎
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟏𝟎!
= 𝟎. 𝟏𝟐𝟓𝟏𝟏
5- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros, calcular la
probabilidad de que en 5 registros exista algún problema.
n=40
p=0.08
λ= 3.2
x=5
𝒑(𝒙 = 𝟓)𝒆−𝟑.𝟐
𝟑. 𝟐 𝟓
𝟓!
= 𝟎. 𝟏𝟏𝟑𝟗𝟕𝟗𝟑

9. Distribución Exponencial
Definición: Es una distribución continua, nos ayuda a calcular un
evento antes de que suceda sin embargo a este tiempo se le conoce
como Tiempo de espera.
Formula: 𝒑(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝟏 − 𝒆−𝝀𝒙
Ejemplo:
El fabricante de baterías ofrece un año de garantía, ofreciendo cambiar
gratuitamente el producto si presenta problemas antes de 1 año. Si la
vida útil de estas baterías es de un promedio de 10 años, calcular el
porcentaje de las baterías que fallaran antes de un año.
𝒑(𝑿 ≤ 𝟏) = 𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏(𝟏)
= 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟏𝟔𝟐
Ejercicios:
1- En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser
atendido es cajas al pagar es de 7minutos, determine la probabilidad
de que.
a) Un cliente espere menos de 4 minutos
b) Un cliente espere más de 9 minutos
𝒑(𝑿 ≤ 𝟒) = 𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕(𝟒)
= 𝟎. 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏
𝒑(𝑿 ≥ 𝟗) = 𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕(𝟗)
= 𝟎. 𝟕𝟐𝟑𝟓𝟒𝟔
2- El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación tiene distribución
exponencial con media de dos años.
a) ¿Cuál es el valor del parámetro λ?
b) ¿Cuál es la mediana del tiempo de vida de dicho fusible?
𝜆 = 0.5
𝒑(𝑿 ≤ 𝟏) = 𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟓(𝟏)
= 𝟎. 𝟑𝟗𝟑𝟒𝟔𝟗
3- Una investigadora de catalizadores afirma que los diámetros, en
micrones, de los poros de un nuevo producto que ella ha fabricado
sigue una distribución exponencial con parámetro λ = 0.25.
a) ¿Cuál es la media del diámetro de los poros?
𝒑(𝑿 ≤ 𝟏) = 𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟐𝟓(𝟏)
= 𝟎. 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟏𝟔
4- Alguien argumenta que el tiempo de espera, en minutos, entre las
visitas a un sitio web tiene una distribución exponencial con
parámetro λ = 1.
a) Sea X el tiempo de espera hasta la siguiente visita. Si la
afirmación es verdadera, ¿a qué es igual P(X = 5)?
𝒑(𝒙 = 𝟓)𝟏 − 𝒆−𝟏(𝟓)
= 𝟎. 𝟗𝟗𝟑𝟐𝟔𝟐𝟎𝟓𝟑

10. 5- Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de
Poisson a una razón media de dos por segundo. Sea T el tiempo de
espera, en segundos, entre las emisiones.
a) Determine P (T = 2).
𝒑(𝒙 = 𝟐)𝟏 − 𝒆−𝟏(𝟐)
= 𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝟔𝟔𝟒𝟕𝟏𝟔