El documento describe diferentes operaciones matemáticas con funciones, incluyendo suma, resta, producto, cociente y composición. Explica que la suma de funciones f(x) y g(x) es f(x)+g(x), la resta es f(x)-g(x), y el producto es f(x)×g(x). También define la composición de funciones f(g(x)) como aplicar primero g(x) y luego f(x) al resultado. Proporciona ejemplos para ilustrar cada operación.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general ax2 + bx + c = 0, métodos de resolución como factorización y la fórmula cuadrática, y propiedades del discriminante Δ. Resuelve varios ejemplos para ilustrar los métodos. También aplica ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones de equilibrio de mercado y determinar puntos de utilidad cero en negocios.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas que involucran calcular áreas, volúmenes y otras cantidades mediante el uso de integrales dobles. Cada problema contiene la formulación del problema, la solución paso a paso y el resultado final de la integral doble correspondiente.
El documento trata sobre los límites al infinito. Explica que el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a es infinito positivo si para cualquier número A positivo existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A. También presenta los objetivos generales y específicos de aprender sobre los límites y su aplicación al estudio de la derivada. Finalmente, incluye ejemplos de cálculo de límites al infinito para funciones polinómicas y racionales.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales que deben satisfacerse simultáneamente. Describe métodos para clasificar y resolver sistemas, incluyendo sustitución, igualación, gráficos y métodos matriciales como Gauss-Jordan. El objetivo es encontrar valores de las variables que satisfagan todas las ecuaciones en el sistema.
Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.AbyDialy0804
1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales.
2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero.
3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas con funciones, incluyendo suma, resta, producto, cociente y composición. Explica que la suma de funciones f(x) y g(x) es f(x)+g(x), la resta es f(x)-g(x), y el producto es f(x)×g(x). También define la composición de funciones f(g(x)) como aplicar primero g(x) y luego f(x) al resultado. Proporciona ejemplos para ilustrar cada operación.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general ax2 + bx + c = 0, métodos de resolución como factorización y la fórmula cuadrática, y propiedades del discriminante Δ. Resuelve varios ejemplos para ilustrar los métodos. También aplica ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones de equilibrio de mercado y determinar puntos de utilidad cero en negocios.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas que involucran calcular áreas, volúmenes y otras cantidades mediante el uso de integrales dobles. Cada problema contiene la formulación del problema, la solución paso a paso y el resultado final de la integral doble correspondiente.
El documento trata sobre los límites al infinito. Explica que el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a es infinito positivo si para cualquier número A positivo existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A. También presenta los objetivos generales y específicos de aprender sobre los límites y su aplicación al estudio de la derivada. Finalmente, incluye ejemplos de cálculo de límites al infinito para funciones polinómicas y racionales.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales que deben satisfacerse simultáneamente. Describe métodos para clasificar y resolver sistemas, incluyendo sustitución, igualación, gráficos y métodos matriciales como Gauss-Jordan. El objetivo es encontrar valores de las variables que satisfagan todas las ecuaciones en el sistema.
Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.AbyDialy0804
1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales.
2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero.
3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.
El documento habla sobre la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada mide la pendiente de la recta tangente y representa la razón de cambio de una función. Luego, detalla 7 reglas básicas para derivar funciones como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, menciona que la segunda derivada se usa para determinar puntos de inflexión y concavidad.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
El documento explica la matriz hessiana, introducida en 1844 por Ludwig Otto Hess. La matriz hessiana contiene las segundas derivadas parciales de una función y se usa para determinar si un punto crítico es un máximo, mínimo o punto silla evaluando el signo de su determinante. El documento describe los pasos para encontrar puntos críticos y construir la matriz hessiana de una función.
Este documento explica los conceptos de valor esperado y varianza para variables aleatorias continuas. Define el valor esperado como la integral de la función de densidad de probabilidad, y la varianza como la integral de la diferencia al cuadrado entre el valor y el valor esperado. Presenta ejemplos numéricos y propiedades importantes como que el valor esperado de una suma es la suma de los valores esperados, y que la varianza de una constante es cero. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar el cálculo de media y varianza.
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
Este documento explica la función raíz cuadrada, incluyendo su ecuación general, cómo expresarla como f(x), y cómo graficarla. Muestra ejemplos de funciones raíz cuadrada específicas, y cómo trasladar o reflejar sus gráficas mediante desplazamientos o reflexiones. Finalmente, proporciona ejercicios para graficar funciones raíz cuadrada dadas y determinar sus dominios y rangos.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logaríticas. Explica que la función exponencial con base a se define para todos los números reales x y que las funciones exponenciales más comunes son las de base 2, 3, 10 y e. También define la función logarítmica y explica que el logaritmo en base a de un número x es el número y tal que a elevado a y es igual a x. Además, resume algunas aplicaciones como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el pH.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
Problemas de aplicación de ecuaciones lineales - ejerciciosYandri Alcívar
Este documento presenta 30 problemas de matemáticas relacionados con ecuaciones y sus aplicaciones. Los problemas cubren una variedad de temas como números, fracciones, álgebra, geometría y más. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones para encontrar valores desconocidos.
1) El documento explica cómo aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en tramos y usando rectángulos.
2) Al dividir en más tramos, las aproximaciones superiores e inferiores del área convergen al área real.
3) También presenta propiedades de la integral definida y cómo usarla para calcular áreas entre funciones.
1. La solución de la inecuación está dada por el intervalo Cs=(-∞;1/5).
2. El dominio de la función es Df={∀x∈R/x≠0} y la función es impar.
3. La función h(x) no es continua ya que no cumple las condiciones de continuidad.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas. Incluye temas como funciones definidas en tramos, operaciones entre funciones, tipos de funciones como racionales y trigonométricas, y gráficas de funciones. También proporciona ejemplos y soluciones de problemas relacionados con funciones.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
Este documento presenta el contenido de un libro de texto sobre álgebra lineal. Incluye un prefacio, agradecimientos, un examen diagnóstico y 8 capítulos sobre diferentes temas del álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, determinantes, espacios vectoriales y transformaciones lineales, entre otros. Además, contiene apéndices sobre inducción matemática, números complejos y error numérico, así como soluciones a problemas impares y un índice.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1) La factorización consiste en expresar expresiones algebraicas como producto de factores. Esto incluye encontrar factores comunes y descomponer trinomios y diferencias de cuadrados.
2) Se explican varios métodos de factorización como encontrar factores comunes monomios y polinomios, descomponer trinomios de la forma x2 + bx + c, y factorizar diferencias de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.
3) Se proveen más de 100 ejercicios para practicar estos métodos de factorización.
Este documento presenta los contenidos y aprendizajes esperados de la unidad 1 de cálculo y geometría analítica I. Se introducen conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente, ecuación de la recta a partir de puntos o pendiente, y representación gráfica de ecuaciones de recta.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
Este documento define ecuaciones de segundo grado y describe métodos para resolverlas, incluyendo descomposición en factores, completar un cuadrado perfecto y la fórmula general. También cubre ecuaciones incompletas, literales y con radicales. Se explica cómo graficar funciones cuadráticas usando los puntos de corte y el vértice.
El documento habla sobre la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada mide la pendiente de la recta tangente y representa la razón de cambio de una función. Luego, detalla 7 reglas básicas para derivar funciones como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, menciona que la segunda derivada se usa para determinar puntos de inflexión y concavidad.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
El documento explica la matriz hessiana, introducida en 1844 por Ludwig Otto Hess. La matriz hessiana contiene las segundas derivadas parciales de una función y se usa para determinar si un punto crítico es un máximo, mínimo o punto silla evaluando el signo de su determinante. El documento describe los pasos para encontrar puntos críticos y construir la matriz hessiana de una función.
Este documento explica los conceptos de valor esperado y varianza para variables aleatorias continuas. Define el valor esperado como la integral de la función de densidad de probabilidad, y la varianza como la integral de la diferencia al cuadrado entre el valor y el valor esperado. Presenta ejemplos numéricos y propiedades importantes como que el valor esperado de una suma es la suma de los valores esperados, y que la varianza de una constante es cero. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar el cálculo de media y varianza.
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
Este documento explica la función raíz cuadrada, incluyendo su ecuación general, cómo expresarla como f(x), y cómo graficarla. Muestra ejemplos de funciones raíz cuadrada específicas, y cómo trasladar o reflejar sus gráficas mediante desplazamientos o reflexiones. Finalmente, proporciona ejercicios para graficar funciones raíz cuadrada dadas y determinar sus dominios y rangos.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logaríticas. Explica que la función exponencial con base a se define para todos los números reales x y que las funciones exponenciales más comunes son las de base 2, 3, 10 y e. También define la función logarítmica y explica que el logaritmo en base a de un número x es el número y tal que a elevado a y es igual a x. Además, resume algunas aplicaciones como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el pH.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
Problemas de aplicación de ecuaciones lineales - ejerciciosYandri Alcívar
Este documento presenta 30 problemas de matemáticas relacionados con ecuaciones y sus aplicaciones. Los problemas cubren una variedad de temas como números, fracciones, álgebra, geometría y más. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones para encontrar valores desconocidos.
1) El documento explica cómo aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en tramos y usando rectángulos.
2) Al dividir en más tramos, las aproximaciones superiores e inferiores del área convergen al área real.
3) También presenta propiedades de la integral definida y cómo usarla para calcular áreas entre funciones.
1. La solución de la inecuación está dada por el intervalo Cs=(-∞;1/5).
2. El dominio de la función es Df={∀x∈R/x≠0} y la función es impar.
3. La función h(x) no es continua ya que no cumple las condiciones de continuidad.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas. Incluye temas como funciones definidas en tramos, operaciones entre funciones, tipos de funciones como racionales y trigonométricas, y gráficas de funciones. También proporciona ejemplos y soluciones de problemas relacionados con funciones.
1. El documento presenta ejercicios propuestos relacionados con funciones de variable real, incluyendo determinar dominios y rangos, identificar gráficas de funciones, y analizar propiedades como monotonía, simetría y asíntotas. Se proponen más de 30 ejercicios con diferentes niveles de complejidad sobre este tema.
Este documento presenta el contenido de un libro de texto sobre álgebra lineal. Incluye un prefacio, agradecimientos, un examen diagnóstico y 8 capítulos sobre diferentes temas del álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, determinantes, espacios vectoriales y transformaciones lineales, entre otros. Además, contiene apéndices sobre inducción matemática, números complejos y error numérico, así como soluciones a problemas impares y un índice.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1) La factorización consiste en expresar expresiones algebraicas como producto de factores. Esto incluye encontrar factores comunes y descomponer trinomios y diferencias de cuadrados.
2) Se explican varios métodos de factorización como encontrar factores comunes monomios y polinomios, descomponer trinomios de la forma x2 + bx + c, y factorizar diferencias de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.
3) Se proveen más de 100 ejercicios para practicar estos métodos de factorización.
Este documento presenta los contenidos y aprendizajes esperados de la unidad 1 de cálculo y geometría analítica I. Se introducen conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente, ecuación de la recta a partir de puntos o pendiente, y representación gráfica de ecuaciones de recta.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
Este documento define ecuaciones de segundo grado y describe métodos para resolverlas, incluyendo descomposición en factores, completar un cuadrado perfecto y la fórmula general. También cubre ecuaciones incompletas, literales y con radicales. Se explica cómo graficar funciones cuadráticas usando los puntos de corte y el vértice.
Este documento define ecuaciones de segundo grado y describe métodos para resolverlas, incluyendo descomposición en factores, completar un cuadrado perfecto y la fórmula general. También cubre ecuaciones incompletas, literales y con radicales. Se explica cómo graficar funciones cuadráticas usando los puntos de corte y el vértice.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
Este documento presenta información sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Explica que una ecuación es una igualdad con al menos una incógnita y que las ecuaciones de primer grado son aquellas con incógnitas elevadas a la primera potencia. También describe los diferentes métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo el uso de la fórmula general, factorización y gráficamente.
Este documento presenta información sobre funciones cuadráticas y cúbicas. Explica que las funciones cuadráticas tienen la forma f(x)=ax2+bx+c y pueden tener 0, 1 o 2 raíces dependiendo del discriminante. También describe cómo calcular el vértice de una parábola cuadrática. Las funciones cúbicas tienen la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d y pueden tener 1, 2 o 3 raíces. El documento incluye ejemplos de cómo analizar y graficar funciones cuadráticas y c
El documento explica cómo calcular el máximo común divisor (MCD) de monomios y polinomios. Se define el MCD como la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y grado que está contenida en cada uno de los términos. Se describe el procedimiento para encontrar el MCD, el cual incluye hallar el MCD de los coeficientes, identificar las letras comunes con su menor grado, y escribir el resultado. Se proveen ejemplos para ilustrar el proceso.
1) El documento describe los diferentes aspectos que se analizarán para realizar un análisis completo de las gráficas de funciones, incluyendo el dominio, la imagen, los ceros, los conjuntos de positividad y negatividad, los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, la ordenada al origen y los extremos absolutos.
2) Se define el dominio natural como el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida y se explican los criterios para determinar el dominio de diferentes tipos de funciones como polinó
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
Este documento ofrece una guía para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica que estas ecuaciones contienen términos cuadráticos, lineales y constantes de la forma ax2 + bx + c = 0. Se detallan métodos como la fórmula general, completar un trinomio cuadrado perfecto, factorización y gráfico. También cubre ecuaciones incompletas puras y mixtas, resolviéndolas mediante pasos como sacar factores comunes y despejar. El objetivo es ayudar a estudiantes que tienen
1) El documento habla sobre los conceptos de límites y continuidad de funciones. 2) Explica qué es un límite matemáticamente y cómo calcular límites laterales. 3) Describe diferentes tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos o en el infinito.
1) El documento introduce el concepto de límite matemático como el valor al que se acerca una función cuando se acerca a un punto determinado o al infinito.
2) Explica cómo calcular límites laterales y diferentes tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito.
3) Detalla reglas para calcular límites cuando hay indeterminaciones como el cociente de polinomios, la resta de fracciones o raíces, entre otros.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
1) El capítulo introduce el concepto de límite matemático como el valor al que se acerca una función cuando se acerca a un punto determinado.
2) Explica cómo calcular límites laterales y diferentes tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito.
3) Detalla reglas para calcular límites en casos de indeterminación como límites de polinomios, cocientes de polinomios, restas y raíces.
Este documento explica las ecuaciones de primer y segundo grado. Define una ecuación como una igualdad entre expresiones algebraicas que contienen incógnitas y constantes. Explica que las ecuaciones de primer grado contienen términos de potencia 1, mientras que las de segundo grado contienen términos cuadráticos. Presenta métodos para resolver ecuaciones de primer grado, como la traslación, y de segundo grado, como la factorización, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
1) El documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo las partes de una expresión algebraica, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas, y productos notables.
2) Se explican conceptos como variables, coeficientes, exponentes y operadores.
3) También se detallan reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas, así como para desarrollar productos notables como el cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, y cubos de sumas y diferencias.
1) El documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo las partes de una expresión algebraica, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas, y productos notables.
2) Se explican conceptos como variables, coeficientes, exponentes y operadores.
3) También se detallan reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas, así como para desarrollar productos notables como el cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, y cubos de sumas y diferencias.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. DOMINIO Y RANGO página 89
3.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las x).
b) Que la gráfica ocupe parte del plano horizontalmente (sobre el eje de las x).
c) Que la gráfica ocupe todo el plano verticalmente (sobre el eje de las y).
d) Que la gráfica ocupe parte del plano verticalmente (sobre el eje de las y).
Por ejemplo, si se grafica la ecuación de la cir-
cunferencia
( ) ( )
2 2
2 3 49x y− + + =
como puede verse en la figura 3.1, la gráfica no
ocupa todo el espacio horizontal ni verticalmente.
En x la gráfica ocupa el espacio que va desde
hasta , o sea en el intervalo5x = − 9x =
; mientras que en y la gráfica ocupa el5 9x− ≤ ≤
espacio que va desde hasta , es10y = − 4y =
decir en el intervalo . Fuera de esos10 4y− ≤ ≤
dos intervalos no existe gráfica.
Lo anterior significa que al tabular para hacer la
circunferencia anterior, a la variable x solamente se le pueden dar valores que vayan de 5x = −
hasta . En otras palabras, cada vez que se le dé un valor a la x que esté dentro del interva-9x =
lo , se obtiene un valor para la y ; pero si se le da un valor fuera de ese intervalo no5 9x− ≤ ≤
se obtiene nada para y .
9-5
-10
4
figura 3.1
2. DOMINIO Y RANGOpágina 90
Por ejemplo, si , sustituyendo en la ecuación de la circunferencia se obtiene:5x =
( ) ( )
2 2
2 3 49x y− + + =
( ) ( )
2 2
5 2 3 49y− + + =
( )
2
9 3 49y+ + =
( )
3
3 49 9y + = −
( )
2
3 40y + =
3 40y + = ±
3 6 32y .+ = ±
6 32 3y .= ± −
de donde
1 6 32 3y .= + −
(corresponde al punto A en la figura 3.2)1 3 32y .=
2 6 32 3y .= − −
(corresponde al punto B en la figura 3.2).2 9 32y .= −
En cambio, si se le da un valor de , como está fuera del intervalo de la gráfica, no se11x =
obtiene nada para la y. Haciéndolo:
( ) ( )
2 2
11 2 3 49y− + + =
( )
22
9 3 49y+ + =
( )
2
81 3 49y+ + =
( )
2
3 49 81y + = −
( )
2
3 32y + = −
lo cual no es posible porque ninguna cantidad elevada al cuadrado da un número negativo.
-10
4
51 2 3 4 6 7
A(5; 3.32)
B(5; -9.32)
figura 3.2
3. DOMINIO Y RANGO página 91
3.2 DOMINIO
El dominio, en términos no técnicos, son todos los valores que se le pueden dar a la variable
x con los cuales la variable dependiente y adquiere a su vez un valor real y bien determinado. O
bien, son todos los valores que se le pueden dar a la variable x con los cuales se obtiene su gráfi-
ca.
Obsérvese que en el ejemplo de la circunferencia anterior no se le pudo dar a la x el valor de
porque no se podía obtener nada para la variable y; significa que no pertenece11x = 11x =
al dominio. Visto en la gráfica, en no hay gráfica.11x =
Los valores que no puede tomar la variable x son dos: los que hacen cero el denominador o
los que hacen negativa una raíz cuadrada. En realidad hay más, pero en este curso solamente se
tomarán en cuenta esos dos.
De tal manera que el dominio de cualquier función (al menos de las que se verán en este cur-
so) se puede sintetizar en la siguiente regla:
Para encontrar los valores que hacen cero el denominador (o los denominadores), se iguala a
cero el denominador y se resuelve la ecuación que resulta. Para encontrar los valores que hacen
negativa una raíz cuadrada se construye una desigualdad haciendo el subradical menor que cero.
Se deduce de lo anterior que toda función que no tenga denominadores con variable allí y que
El dominio es el conjunto de puntos o valores que puede tomar la variable
independiente x en los cuales está definida la función.
El dominio de cualquier función son todos los valores o números de la recta
numérica, desde hasta , que queden después de quitar todos− ∞ + ∞
aquellos que hacen cero el denominador (o denominadores) o que hagan
negativa una raíz cuadrada.
4. DOMINIO Y RANGOpágina 92
no tenga raíces cuadradas, su dominio son todas las x , es decir, toda la recta numérica, escrito:
.x− ∞ < < + ∞
Ejemplo 1: Hallar el dominio de .( ) 3 2f x x= +
Solución: Como no hay denominadores ni raíces cuadradas, no hay que quitar de la recta numérica
nada; por lo tanto, el dominio son todas las x. Esto quiere decir que se le puede dar a la x
cualquier valor y siempre se obtendrá un número real al hacer la cuenta .3 2x +
Ejemplo 2: Hallar el dominio de .( )
2 1
2
x
f x
x
+
=
−
Solución: En este caso no hay raíces cuadradas, pero sí existe un denominador con variable. Enton-
ces debe buscarse el valor que hace cero ese denominador y excluirlo de la recta numérica.
El valor que hace cero el denominador se obtiene haciendo
2 0x − =
de donde
2x =
Este es el único valor que no puede tomar la x , por lo tanto el dominio son todos los de la
recta numérica menos el 2, lo cual se escribe de cualquiera de las siguientes formas:
2x ≠
o bien
2 2x x< >∪
o también
.( ) ( )2 2, ,−∞ + ∞∪
La figura 3.3 es la gráfica correspondiente
a la función . Nótese que
2 1
2
x
y
x
+
=
−
para no existe gráfica, para todos2x =
los demás valores de x , sí.
figura 3.3
5. DOMINIO Y RANGO página 93
Ejemplo 3: Hallar el dominio de .3y x= −
Solución: Obsérvese que si la x vale , en-0x =
tonces que no existe, por lo3y = −
tanto la x no puede tomar ese valor. En
c a m b i o , s i , e n t o n c e s7x =
, lo que significa que la x4 2y = =
sí puede tomar el valor de 7. La gráfica
corresponde a la figura 3.4.
Para localizar los valores que sí puede
tomar la x , deben encontrarse primero
los valores no válidos que son los que
hacen negativa la raíz cuadrada, o sea,
los menores que cero, los cuales se obtie-
nen planteando la desigualdad
3 0x − <
de donde se obtiene que . Significa que todas las x menores que 3 hacen que la raíz3x <
cuadrada se vuelva negativa; por lo tanto, todas las equis menores que tres no son válidas.
Quitándolas de la recta numérica quedan las equis que sí son válidas, o sea el dominio, las
cuales son todas las equis mayores o iguales que tres. Nótese que si es válida.3x =
El dominio es
3x ≥
Ejemplo 4: Hallar el dominio de la función ( )
3
7
x
f x
x
−
=
−
Solución: En este caso existe un denominador con variable y una raíz cuadrada. Entonces deben eli-
minarse todas las equis que hacen cero el denominador y las que hacen negativa la raíz
cuadrada.
figura 3.4
6. DOMINIO Y RANGOpágina 94
a) Valor que hace cero el denominador:
7 0x − =
7x =
Nota: es la asíntota en la gráfica,7x =
figura 3.5. Dicha gráfica se acerca
por cualquiera de sus dos ramas a la
asíntota, pero nunca llegan a cortarse
porque en la ecuación la x no puede
valer .7x =
b) Valores que hacen negativa la raíz cua-
drada:
3 0x − <
3x <
Significa que las equis que no son válidas son todas las menores que tres y además la que
vale 7. Quitándolas de toda la recta numérica quedan las que sí son válidas, o sea el domi-
nio. Es importantísimo notar que no se elimina.3x =
Entonces el dominio es
3 7 7x x≤ < >∪
que también se puede escribir como
) ( )3 7 7, , + ∞⎡⎣ ∪
o bien
3 con 7x , x≥ ≠
figura 3.5
7. DOMINIO Y RANGO página 95
Ejemplo 5: Hallar el dominio de ( ) 2
20
x
f x
x x
=
+ −
Solución: La gráfica correspondiente es la de la figura 3.6, en la que se puede notar que en 5x = −
y en (donde están las asíntotas), no hay gráfica, que son los valores en donde el4x =
denominador se hace cero, lo cual se calcula así:
(éste es el denominador)2
20 0x x+ − =
de donde
1 5x = −
2 4x =
Quitando esos dos valores de la recta numérica se obtiene el dominio:
figura 3.6
8. DOMINIO Y RANGOpágina 96
lo cual se escribe
5 4x ≠ − ≠
o bien
5 5 4 4x x x< − − < < >∪ ∪
o también así
( ) ( ) ( )5 5 4 4, , ,−∞ − − ∞∪ ∪
Ejemplo 6: Hallar el dominio de ( )
2
2 15
8
x x
f x
x
+ −
=
−
Solución: Los valores no válidos para la x son los que hacen negativa la raíz cuadrada y además el
que hace cero el denominador.
a) Los valores que hacen negativa la raíz cuadrada se obtienen haciendo
2
2 15 0x x+ − <
Resolviendo la ecuación
2
2 15 0x x+ − =
se llega a que
1
2
5
3
x
x
= −
=
5 3 +
9. DOMINIO Y RANGO página 97
Probando con :0x =
( )2
0 2 0 15 0+ − <
15 0 cierto− <
Por lo tanto
Son todas las equis que están entre -5 y 3, o sea
5 3x− < <
Como son las equis que hacen negativa la raíz cuadrada, deben eliminarse de la recta
numérica.
b) El valor que hace cero denominador es
8 0x − =
de donde
8x =
valor que debe eliminarse también de la recta numérica. Lo que queda en la recta nu-
mérica son los valores que sí son válidos, o sea el dominio. Nótese que lo5x = −
mismo que no se eliminan.3x =
Finalmente, el dominio es
5 3 con 8x x , x≤ − ≥ ≠∪
que también puede escribirse como
5 3 8 8x x x≤ − ≤ < >∪ ∪
10. DOMINIO Y RANGOpágina 98
La gráfica correspondiente es la mostrada en la figura 3.7.
Ejemplo 7: Hallar el dominio de ( )
3 1
11
x
f x
x
−
=
+
Solución: La gráfica correspondiente es la mostrada en la figura 3.8.
figura 3.7
figura 3.8
11. DOMINIO Y RANGO página 99
Obsérvese que en (valor que hace cero el denominador) hay una asíntota y que11x = −
entre y no hay gráfica por ser los valores de la x que hacen negativa la11x = − 3x =
raíz cuadrada, como se verá a continuación:
a) Los valores que hacen negativa la raíz cuadrada son:
3 1
0
11
x
x
−
<
+
Como la fracción es negativa por ser menor que cero, hay dos posibilidades: Una, que
sea ; la otra que sea . Hay que analizar opción por opción.
+
−
−
+
Opción I: : Significa que el numerador es mayor que cero (positivo) mientras que el
+
−
denominador es menor que cero (negativo).
Haciendo el numerador mayor que
cero:
3 1 0x − >
3 1x >
1
3
x >
Haciendo el denominador menor que
cero:
11 0x + <
11x < −
Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo,
se trata de una intersección.
La intersección se muestra en la siguiente gráfica:
11
1
3
no hay intersección
12. DOMINIO Y RANGOpágina 100
Opción II: : Significa que el numerador es menor que cero (negativo) mientras que
−
+
el denominador es mayor que cero (positivo).
Haciendo el numerador menor que
cero:
3 1 0x − <
3 1x <
1
3
x <
Haciendo el denominador mayor que
cero:
11 0x + >
11x > −
Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo,
se trata de una intersección.
La intersección se muestra en la siguiente gráfica:
Segunda solución parcial:
1
11
3
x− < <
Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, pero como
solamente existe una solución parcial (la segunda), ella es toda la solución total.
1
11
3
x− < <
No perder de vista que esta solución total son los valores que hacen negativa la raíz
cuadrada, los que deben eliminarse de la recta numérica.
11
1
3
intersección
13. DOMINIO Y RANGO página 101
b) Los valores que hacen cero el denominador son:
11 0x + =
11x = −
Quitando de toda la recta numérica los valores que hacen negativa la raíz cuadrada y los
que hacen cero el denominador, queda:
De manera que el dominio es
1
11
3
x x< − ≥∪
11
+
SÍ SÍ SÍNONO
( ]
1
3
14. DOMINIO Y RANGOpágina 102
EJERCICIO 11
Determinar el dominio de las siguientes funciones:
1) 2)y x= 3y x=
3) 4)5 1y x= + 2
y x=
5) 6)2
y x= − y x= −
7) 8)y x= 2y x= +
9) 10)y x= − y x= −
11) 12)5 3y x= − 8 1y x= +
13) 14)2 9y x= − − 5 1y x= − +
15) 16)2
25y x= − 2
16y x= −
17) 18)2
3 14 5y x x= − − 2
2 5 7y x x= − + +
19) 20)
1
1
x
y
x
+
=
−
2
1
1
x
y
x
+
=
−
21) 22)
2
3 4
x
y
x
=
−
5 4
4
x
y
x
−
=
23) 24)2
2
4
x
y
x
=
− 2
16
2 32
y
x
=
−
25) 26)3
11
y
x
= 2
1
3
y
x
=
+
27) 28)2
13
2 1
y
x
=
+ 2
2 11
36
x
y
x
−
=
−
29) 30)
3 7
2 5
x
y
x
+
=
−
11 3
13
x
y
x
−
=
+
31) 32)
12 5
3 13
x
y
x
−
=
+
2
25
6
x
y
x
−
=
+
15. DOMINIO Y RANGO página 103
33) 34)
2
42
3 31
x x
y
x
+ −
=
−
2
2 15
7
x x
y
x
− −
=
−
35) 36)
2
2 8
11
x x
y
x
+ −
=
−
2
2
30
100
x x
y
x
+ −
=
−
37) 38)
5
2
x
y
x
+
=
−
2
5 1
y
x
=
−
39) 40)
1
9 2
x
y
x
−
=
−
6
y
x
=
−
41) 42)
2
2 2
3 10
x
y
x x
−
=
− − 2
9
3 14 5
x
y
x x
−
=
− −
43) 44)
2
77
2 5 19
y
x x
=
− +
2 3
7
x
y
x
−
=
+
45) 46)
8
11
x
y
x
−
=
+
2 9
1
x
y
x
−
=
−
47) 48)2
49
x
y
x
=
−
2
20
11
x x
y
x
− −
=
−
49) 50)2
1
x
y
x
−
=
+ 2
2
49
x
y
x
− −
=
+
16. DOMINIO Y RANGOpágina 104
3.3 RANGO
El rango de una función es equivalente al dominio, solamente que mientras éste es sobre el
eje de las x , el rango es sobre el eje de las y .
Analizado la función desde su gráfica, aunque de manera no muy formal se puede decir que
el dominio es el intervalo de valores de la x en la que existe su gráfica, mientras que el rango es
el intervalo de valores de la y en la que existe su gráfica.
Por ejemplo, obsérvese en la figura 3.9 la
gráfica correspondiente a la ecuación de la
circunferencia
( ) ( )
2 2
2 4 36x y− + + =
respecto del eje x , la gráfica existe en el inter-
valo : éste es el dominio. Mien-4 8x− ≤ ≤
tras que respecto del eje y , la gráfica existe en
el intervalo : éste es el rango.10 2y− ≤ ≤
Para calcular el dominio, tal como ya se
estudió al inicio de este capítulo, estando des-
pejada la y , se eliminan los valores de la x
que hacen cero el denominador o negativa la
raíz cuadrada. De la misma forma, para calcu-
lar el rango, estando despejada ahora la x , se
eliminan los valores de la y que hacen cero el
denominador o negativa la raíz cuadrada.
Ejemplo 1: Obtener el dominio y el rango de la circunferencia de la figura 3.9.
Solución: Para obtener el dominio, primero debe despejarse la y de la ecuación correspondiente a la
circunferencia:
( ) ( )
2 2
2 4 36x y− + + =
( ) ( )
2 2
4 36 2y x+ = − −
( )
2
4 36 2y x+ = − −
( )2
4 36 4 4y x x+ = − − +
figura 3.9
17. DOMINIO Y RANGO página 105
2
4 4 32y x x+ = − + +
2
4 4 32y x x= − + − + +
a) Los valores que hacen cero el denominador: no hay.
b) Los valores que hacen negativa la raíz cuadrada son
2
4 32 0x x− + + <
que resolviendo conforme alguno de los
métodos ya estudiados en este curso se
obtiene que lo valores más chicos que
menos cuatro y los más grandes que ocho
hacen negativa la raíz cuadrada (ver figu-
ra 3.10), por lo que deben eliminarse. En-
tonces solamente quedan los valores
comprendidos entre menos cuatro y ocho,
incluidos ambos. Éste es el dominio.
El dominio es
(comprobarlo en la figura 3.9)4 8x− ≤ ≤
Para obtener el rango, primero debe despejarse la x de la ecuación correspondiente a
la circunferencia:
( ) ( )
2 2
2 4 36x y− + + =
( ) ( )
2 2
2 36 4x y− = − +
( )
2
2 36 4x y− = − +
( )2
2 36 8 16x y y− = − + +
2
2 36 8 16x y y− = − − −
2
2 8 20x y y− = − − +
2
2 8 20x y y= + − − +
figura 3.10
18. DOMINIO Y RANGOpágina 106
Una vez despejada la variable x se hace el mismo análisis que para el dominio, es decir,
se buscan los valores, ahora de la variable y, que hacen cero el denominador y negativa la
raíz cuadrada y se eliminan de la recta numérica. Lo que queda es el rango.
En este caso no hay valores que hagan cero el denominador porque no hay denominador.
En cambio, los valores que hacen negativa la raíz cuadrada son:
2
8 20 0y y− − + <
Resolviendo esta desigualdad por el método de intervalos, se llega a que
Significa que las yes menores que - 10 y las mayores que 2 hacen negativa a la raíz cua-
drada, por lo que deben eliminarse de la recta numérica. Haciéndolo quedan los valores
entre - 10 y 2 incluidos estos extremos, de manera que el rango es
(comprobarlo en la figura 3.9)10 2y− ≤ ≤
Ejemplo 2: Hallar el dominio y el rango de .
2
2
4 3x
y
x
−
=
Solución: El dominio, como no hay raíz cuadrada, son los valores que quedan luego de quitar aque-
llos que hacen cero el denominador, es decir que , o sea . Por lo tanto, el2
0x = 0x =
dominio es
0x ≠
Para calcular el rango, primero se despeja la x:
2
2
4 3x
y
x
−
=
2 2
4 3x y x= −
2 2
3 4x y x+ =
( )2
3 4x y + =
19. DOMINIO Y RANGO página 107
2 4
3
x
y
=
+
4
3
x
y
=
+
4
3
x
y
=
+
2
3
x
y
=
+
Luego de obtener una expresión con la variable x despejada, se analizan los valores de la
variable y que hacen cero el denominador y que hacen negativa la raíz cuadrada.
Valores que hacen cero el denomina-
dor:
Valores que hacen negativa la raíz
cuadrada:
3 0y + =
3y = −
3 0y + <
3y < −
Eliminando estos valores de la recta numérica, lo que queda son los valores válidos, es
decir, el rango.
El rango es
3y >
20. DOMINIO Y RANGOpágina 108
EJERCICIO 12
Determinar el rango de las siguientes funciones:
1) 2)5 3y x= −
1
y
x
=
3) 4)
1
4
y
x
=
−
4
2 5
y
x
=
+
5) 6)
2
2 7
y
x
=
− 6
x
y
x
=
−
7) 8)
1
4
x
y
x
−
=
+
2
2
9
2
x
y
x
−
=
9) 10)
2
2
16 7x
y
x
+
=
2
25x
y
x
+
=