Valor esperado y varianza para v.a continuas

1. Valor esperado y Varianza de
variables aleatorias continuas
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

2. Valor esperado de v.a continuas
Suponga que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de
probabilidad 𝑓(𝑥)
La media o valor esperado de X, denotada como 𝜇 o 𝐸 𝑋 , es
𝜇 = 𝐸 𝑋 = −∞
∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3. Ejemplo
Para la medición de la corriente en el alambre de cobre la media de X será:
𝐸 𝑋 =
0
20
𝑥𝑓 𝑥 = 0.05𝑥2/2
20
0
= 10
Interpretación : El promedio de la corriente medida en un alambre delgado de
cobre es de 10 miliamperios.

4. Varianza de v.a continuas
La varianza de X, denotada como 𝑉(𝑋) o 𝜎2, es
𝜎2
= 𝑉 𝑋 = −∞
∞
𝑥 − 𝜇 2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞
∞
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝜇2
La desviación estándar de X es 𝜎 = 𝑉 𝑋
1
2

5. Ejemplo
Para la medición de la corriente en el alambre de cobre la varianza de X será:
𝑉 𝑋 =
0
20
𝑥 − 10 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0,05 𝑥 − 10 3/3
20
0
= 33.33
Desviación estándar :
𝜎 = 𝑉 𝑋
1
2 = 33.33 = 5,77
Interpretación : Existe una variación en la medición de corriente en el alambre
de cobre con respecto a la media de 5.77 miliamperios

6. Ejemplo
Para la operación de taladrado del ejemplo anterior el valor esperado de X es
𝐸 𝑋 =
12.5
∞
𝑥𝑓(𝑥)
Puede aplicarse la integración por partes .
𝐸 𝑋 = −𝑥𝑒−20 𝑥−12.5 −
𝑒−20 𝑥−12.5
20
∞
12.5
= 12.5 + 0.05 = 12.55
Interpretación : el diámetro promedio que hay en la operación de taladrar un
agujero es de 12.55 milímetros .

7. Ejemplo
Para la operación de taladrado la varianza de X es
𝑉 𝑋 =
12,5
∞
𝑥 − 12,55 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Puede integrarse por partes dos veces y ver que 𝑉 𝑋 =0.0025
Desviación estándar :
𝜎 = 𝑉 𝑋
1
2 = 0.0025 = 0.05
Interpretación : Existe una variación en el diámetro de un agujero realizado con taladro con
respecto a la media de 0.05 milímetros

8. Propiedades de medias y varianzas de
variables aleatorias
Si a y b son constantes entonces :
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una v.a X
es la suma o diferencia de valores esperados de las funciones. Es decir,
𝐸 𝑔 𝑋 ± ℎ 𝑋 = 𝐸[𝑔 𝑋 ] ± 𝐸[(ℎ 𝑋 ]
Sean X y Y dos variables independientes. Entonces,
𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸(𝑋) ∗ 𝐸(𝑌)

9. Otras propiedades del valor esperado
El valor esperado tiene ciertas propiedades que se presentan a continuación,
las cuales son de utilidad para aplicaciones futuras.
Sean a y b dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria. Entonces:
1. E(a) = a
2. E(bX) = b E(X)
3. E(X + a) = E(X) + E(a) = E(X) + a
4. E(a + bX) = E(a) + b E(X) = a + b E(X)

10. Debido a que la varianza se define en términos del valor esperado, también
ella posee propiedades, algunas de las cuales se presentan a continuación.
Sean “a” y “b” dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria.
Entonces:
1. Var (X) no puede ser negativa
2. Var (a) = 0
3. Var (X + a) = Var (X) + Var(a) = Var(X)
4. Var (bX) = b2 Var (X)
5. Var (a + bX) = b2 Var (X)
Las propiedades de la desviación estándar son las mismas que las de la
variancia y lo único que se debe hacer es tomar la raíz cuadrada de los valores
de la variancia.

11. Ejercicio
1. Dada una variable aleatoria definida en el intervalo [2,3] con función de
densidad obtener media y varianza.
2. La pdf de ventas semanas de grava X fue :
𝑓 𝑥 =
3
2
1 − 𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜
Calcular media y varianza.