1. Dominio y recorrido de funciones
Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente (x).
Recorrido: Llamado también imagen, codominio o rango es
el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).
Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: “conjunto de
valores que puede tomar x…” ¿por qué decimos puede?
Porque no todos los valores son válidos, por ejemplo, si la función
es: vemos que si a x le das el valor cero, te
queda:
El valor infinito no lo podemos representar si no es con un signo o
una palabra.
El infinito no es un número, es un concepto, una idea, luego, no nos
vale como valor numérico de y.
Otro caso sería el de la función:
A x no le podemos dar el valor de un número negativo, por
ejemplo: porque los números negativos no tienen raíz
cuadrada. (Ningún número multiplicado por sí mismo -incluido su
signo- puede darte un valor negativo).
Como nos hemos referido a conjunto de números válidos que damos
a la variable independiente (X) como dominio y al conjunto de
2. valores que recibe la variable dependiente (Y) recorrido podemos
representarlos para la función :
En amarillo, el conjunto de valores de x con su
correspondiente imagen del valor de la variable dependiente y en el
conjunto Y teniendo en cuenta que función es.
¿Cómo serían las representaciones gráficas de las
funciones y de
Veamos la correspondiente a
3. Si a x le das el valor -1, el valor de y será:
Si a x le das el valor -1,5, el valor de y será: , etc.
Tal como lo tienes en la tabla de la izquierda.
Llevamos estos valores al eje de coordenadas y notarás que las
ramas de las dos figuras que obtenemos se aproximan a los ejes a
medida aumentan los valores de x. Por grande que sea el valor de x ,
por ejemplo, 1234, tendríamos:
Aunque x fuese mayor que un número 20 cifras, el cociente nunca
sería cero, luego y puede valer 0,000000….. y todos los ceros que
quieras que siempre aparecerá un valor que represente un valor que
no sea igual a cero.
Esto hace que las ramas y los ejes parece que tiendan a juntarse.
Analizamos la función:
En la siguiente figura puedes ver los valores que hemos dado a x:
4. Han sido positivos porque no existe la raíz cuadrada de un
número negativo.
Notarás que no hemos obtenido una línea recta como representación
gráfica, esto se debe a que el exponente de x no ha
sido 1 sino
Ejemplo 1
1) f(x) = 3x + 1
Dom (f) = R
Calculamos el recorrido:
5. Está bien definida para cualquier valor de y, por tanto:
Im (f) = R
gráfico
Ejemplo 2
1) f(x) = -3x2
6. Dom (f) = R
Calculamos el recorrido:
Para que esté bien definida:
Im (f) = (-∞ , 0]
gráfico
7. Ejemplo3
El dominio de f está formado por todos los números reales,
excepto por aquellos que anulan el denominador.
Luego si x = 0 , la función f no está definida.
Dom (f) = R - {0}
Calculamos el recorrido:
Para que esté bien definida no puede ser: y = 0
Además, no existe ningún valor de y para el que x tenga valor 0:
