La función es un concepto importante en matemáticas que se puede usar para determinar las relaciones entre magnitudes. El término función fue utilizado por primera vez por Descartes en 1637 y luego por Leibniz en 1694 para referirse a aspectos de una curva como su pendiente. Las funciones lineales y cuadráticas son funciones importantes que se pueden aplicar en diferentes áreas y tienen características específicas.

1. Uno de los conceptos mas
importantes en matemáticas es el
de la función, ya que se puede usar
en numerosas situaciones de la
vida cotidiana, y determinar las
relaciones que existen entre
magnitudes tanto en Matemáticas,
Física, Economías, etc. Y poder
calcular el valor de una de ellas en
función de otras de las que
depende.

2. Durante el siglo XVII. El aspecto más positivo del mundo reside en sus aportes científicos
La Matemática de este siglo se denomina “El Barroco matemático”
El termino función, fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René
Descartes para designar una potencia “xn” de la variable “x”.
Fue en 1694 que el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para
referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta que recientemente, su uso
ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet quien escribió:
"Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos
variables “x” y “y “están asociadas de tal forma que al asignar un valor a “x” entonces, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a “y”, se dice que y es una
función (unívoca) de “x”.

3. Esta fórmula nace de saber que la pendiente es siempre la tangente del ángulo que se
forma entre los dos catetos tga = cateto adyacente / cateto opuesto “m= tga= medida
de b / medida de x”
La funcion lineal es una de las mas sencilla de trabajar y es de suma importancia en el
estudio de las ciencias. Ella es el punto de partida para lograr obtener buenos modelos
sobre el comportamiento de la naturaleza.

4. Las funciones lineales representan casos de proporcionalidad directa, esto quiere decir que si
“x” aumenta, “f(x)” también aumenta pero de forma directamente proporcional, dependiendo
de una constante: la pendiente “m”.
Estas funciones se pueden aplicar en muchas situaciones por ejemplo en economía (uso de la
oferta y la demanda) los economistas se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la
oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico.

5. Caracteristicas:
Una función lineal se representa según la fórmula "f(x) = mx + b", en donde m representara la
pendiente de la recta dibujada en un gráfico cartesiano y "b" la ordenada al origen. "M" y "b"
magnitudes constantes a diferencia de "x" que representa una magnitud variable e
independiente. La pendiente es un indicador de la inclinación. Esa inclinación representa
cuanto varía la función por cada unidad que aumenta "x". Este valor se calcula "m= b/ x", .
El dominio de una función lineal está integrado por el conjunto de los
números reales, tanto por positivos y negativos, como enteros y
decimales.

6. “M” representa un número real(R) y se le llama pendiente.
“B” es un valor constante y pertenece al conjunto real(R) .
Si “m” tiene signo positivo, la función lineal crece.
Si “m” tiene signo negativo, la función lineal decrece.
El punto (0, b), es el punto donde la función corta el eje de las ordenadas (y).
Casos particulares:
*Si b=0, entonces es y=ax
Si la función lineal es b=0, entonces la grafica es una recta que pasa por el origen de
coordenadas
*si b=0 y a=1, entonces es y=x
La grafica es una recta que pasa por el origen de ordenadas y es bisectriz del primer y tercer
cuadrante
Si b=0 y a=0 entonces y=0
Función nula

7. Todos los gráficos se leen del margen izquierdo hacia el derecho, de esa forma te das cuenta si
la función es creciente o decreciente

8. Las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la ciencia, la ingeniería, etc. La
parábola con forma de U puede describir trayectorias pueden ser incorporadas en
estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y
faros de los carros, etc. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y
pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la
determinación de valores mínimos y máximos.
Casos particulares:

9. Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí
puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene
todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término
lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática,
obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

10. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los
valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos
de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola
convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la
ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x −
5

11. Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x
+ 3

12. Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

13. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o
los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de
x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo
que f(x) = 0.

14. Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y
un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para
resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de
intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones
cuadráticas.

15. Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje
de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y)
está cortado en +3

16. Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es
decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo
que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola: