La notación sigma indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado por los índices inferior y superior. Se representa mediante la letra griega sigma con los índices debajo y arriba, y la expresión dentro del símbolo contiene la variable de la suma. Las propiedades de la sumatoria incluyen once propiedades demostradas mediante inducción completa.

2. Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie
de términos que corresponden a una
expresión algebraica y que mediante
alguna expresión se puede generalizar en
un tamaño de intervalo específico,
incrementándose siempre en una unidad.

3. La sumatoria se denota…
Mediante la letra griega sigma (Σ), en cuya
parte inferior y superior se especifica el
tamaño del intervalo en que se
desarrollará. Estos números reciben el
nombre de índice inferior e índice superior.

4. Se representa así:
Donde "n" es un entero y representa el índice superior.
El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y
el índice superior siempre será mayor o igual que el
inferior. La expresión que aparece delante del símbolo
de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este
caso es "Xk".

5. El desarrollo de la expresión mostrada
anteriormente queda así:
Ejemplo:

6. Propiedades de la sumatoria.
Entre las propiedades generales de las
sumatorias reportadas en la literatura se
encuentra las once que se relacionan a
continuación, cuya demostración se realiza
utilizando el procedimiento matemático de
Inducción Completa.

7. Propiedad #1:
Demostración:
Propiedad #2:
Demostración:

8. Propiedad #3:
Demostración:

9. Propiedad #4:
Demostración:

10. Propiedad #5:
Demostración:

11. Generalidades de la notación sigma.
Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto
finito de números, que se denota como sigue:

12. Donde:
S: Magnitud resultante de la suma.
T: Cantidad de valores a sumar.
k: Índice de la suma, que varía entre h y h+t
h: Punto inicial de la sumatoria
h+t: Punto final de la sumatoria
nk: Valor de la magnitud objeto de suma en el punto k
Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando
t→ ∞, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

13. Suma Superior e inferior
Área bajo la curva

14. Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla
en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de
estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular
el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no
pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y
observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2
rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.
Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande,
entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

15. Integral definida
Si la integral tiene definidos los límites de integración es "definida".
En caso de que no aparezcan la integral es "indefinida".
Desde el punto de vista del análisis la integral definida, como
funcional, va del espacio de las funciones en el cuerpo. Es un
elemento del dual del espacio de las funciones.
La integral indefinida va desde el espacio de las funciones en sí
mismo.
En criollo, una te manda a números, porque evalúas la función en los
límites que te dice la integral (esto es la definida). La otra te manda a
funciones, queda indefinida por la constante que se agrega en virtud
del teorema fundamental del cálculo integral.

16. La integral definida de una función representa el área limitada por
la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas
cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores
positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

17. Suma de riemann
La integral de Riemann es una operación sobre una función
continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son
llamados los extremos de la integración. La operación
consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el
valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del
subintervalo conteniendo al punto.

18. Donde n es la cantidad de subintervalos.
Normalmente se nota como:

19. El símbolo , es una "S" deformada. En el caso en que la función f
tenga
varias variables, el dx especifica la variable de integración.
la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de
una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la
función.
Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b],
tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S =
Sf={(x, y)|0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva
correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas
verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el
área del dominio S, si es que se puede medir.

20. Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de
las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más
facilidad.
#1 donde c es una constante.

21. 2#
Si y son integrables en y es una constante, entonces
las siguientes propiedades son verdaderas:
(Se puede generalizar para más de dos
funciones)

22. #3 Si está definida para entonces:
Si es integrable en entonces#4

23. #5 Propiedad de Aditividad del intervalo:
Si es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por y entonces:

24. Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales.
Teorema de Valor Medio para Integrales
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces existe en ´este un punto
α tal que se
verifique la siguiente igualdad:
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una fusió
n f tal que f(x) ≥
0, para todos los valores de x en el intervalo [a, b].
Entonces es el ´área de la región limitada por la curva con ecuación , el eje x y
las rectas con ecuaciones x = a, x = b

26. Debido a la propiedad que establece que existe
numero α en [ a,b] tal que el área del rectáng
ulo a Q
S b, cuya altura es f(α) y que tiene ancho de
(b − a) unidades, es igual al ´área de la re
gión a P
R b. El valor de α no es necesariamente único

27. Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los
métodos de sustitución y cambios de variables.
Calcule las siguientes integrales definidas:
Cambio de variable
Siguiente lamina->

28. Este es el resultado de la integral, aplicando
el teorema fundamental del calculo.