Este documento resume cinco tipos de funciones: 1) Función racional, que es el cociente de dos polinomios; 2) Función trigonométrica, definida por relaciones en triángulos rectángulos; 3) Función valor absoluto, que contiene una expresión algebraica dentro de símbolos de valor absoluto; 4) Función exponencial, cuya derivada es la misma función y tiene por dominio los números reales; 5) Función logarítmica, que es la inversa de la función exponencial.

1. Funciones
Bachiller : Danluis Marín
Puerto la cruz 18/12/2017

2. Índice
• Función racional
• Función trigométrica
• Función valor absoluto
• Función exponencial
• Función logarítmica

3. Función racional
Una función racional es aquella que se obtiene al dividir dos
polinomios. Si P y Q son funciones polinomiales y f es la
función definida por como:
Entonces, f es una función racional. En las funciones
racionales, la variable x no puede tomar el valor que hace
cero al denominador, por eso, el dominio de f es el conjunto
de todos los números reales excepto los ceros de Q.

4. Como identificar una función racional
La representación de este tipo de funciones viene dada por
medio de una hipérbola. Por tanto las características más
representativas serán sus asíntotas: la vertical y la horizontal,
Además, se define el centro de la hipérbola como el punto
donde se cortan ambas asíntotas

5. Como se grafica la función racional

6. Como se calcula el dominio y rango de
la función racional
En este tipo de funciones, lo primero que hacemos es
establecer si existen valores para los cuales la función no está
definida. Recordemos que la división por cero no está definida
en los reales. Para ello, igualamos el denominador a cero:
X – 3 = 0 , luego X = 3.
esto significa que para x=3 la función no está definida.

7. Por tanto, el dominio estará formado por todos los reales
excepto para x=3. Es decir, habrá una asíntota vertical en x=3 y
además será punteada, porque la función se acerca a este
valor pero nunca lo toca.
Dom f(x) = R – {3} ; También podemos expresar el Dominio
como
Dom f(x) = (– ∞ , 3) U (3 , + ∞ )
Para calcular el valor del Rango, vamos ahora a despejar a X y
averiguar si existen valores de "y" para los cuales no esté
definida la función. Para ello vamos a reemplazar f(x) por y,
para simplificar las operaciones:

8. Para calcular el valor del Rango, vamos ahora a
despejar a X y averiguar si existen valores de "y" para
los cuales no esté definida la función. Para ello vamos
a reemplazar f(x) por y, para simplificar las
operaciones:

9. Para que se cumpla la regla de que el denominador sea diferente
de cero, hacemos que y -1=0 , de donde tenemos que Y =1. Esto
significa que habrá una asíntota horizontal (punteada) en y=1, lo
cual significa que la función se acercará cada vez más a este valor
pero nunca lo tocará.
Esto podemos comprobarlo fácilmente en la gráfica.
Luego, la función estará definida en todos los valores de Y menos
en “y = 1”.
Rango = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )

10. Ejemplo

11. Función trigonométrica
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como
el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo
asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son
funciones cuyos valores son extensiones del concepto de
razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en
una circunferencia unitaria
Definiciones más modernas las describen como series infinitas
o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales,
permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e
incluso a números complejos.

12. Como identificar una función
trigonométrica
puede representar de esta forma el resto de las funciones
trigonométricas:
y = tan(x) tangente
y = sec(x) secante
y = csc (x) cosecante
y = cot(x) cotangente

13. como se grafica la función
trigonométrica

14. Como se calcula el rango y el
dominio
Cualquier otro número real está bien, pero no -3, porque
poner un -3 por X hace el denominador igual a 0, y no se
puede dividir por 0. (. Una fracción con un 0 en el
denominador representa un número que no existe) Con
funciones trigonométricas, el dominio (valores de entrada) es
medidas de los ángulos - ya sea en grados o radianes.
Algunas de las funciones trigonométricas tienen restricciones
en sus dominios, también. Por ejemplo, la función tangente
tiene un dominio que no se puede incluir de 90 grados o 270
grados, entre los muchos otros valores

15. esta situación ocurre en una función tal como h(X) = 3X + 2.
En esta ecuación, tanto el dominio y el rango son ilimitadas.
Usted puede poner en cualquier número real, y se puede
obtener una potencia de cualquier número real que puedas
imaginar. Los rangos pueden llegar a ser restringida, sin
embargo. Por ejemplo, la función de k(X) = X2 + 6 siempre
tendrá resultados que son o bien el número 6 o algún número
positivo mayor que 6. Nunca se puede obtener un número
negativo o un número inferior a 6 como una salida. Los rangos
de algunas funciones trigonométricas están restringidas,
también. Por ejemplo, la salida de la función seno nunca
excede de 1 o va más baja que -1.Source:

16. Ejemplo
Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que
para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que
aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo
opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

17. Función valor absoluto
Es una función que contiene una expresión algebraica dentro
de los símbolos de valor absoluto. El valor absoluto de un
número es su distancia desde 0 en la recta numérica.
La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |,
está definida como

18. Como se identifica la función valor
absoluto
El valor absoluto siempre será mayor o igual que cero y nunca
negativo
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un
número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números
reales es la distancia entre ellos
La función valor absoluto es una función continua definida
por trozo

19. Como se grafica la función valor
absoluto
Podemos afirmar que el vértice de la grafica es V = (2,1) y
como a=2 es positivo la grafica se abre hacia arriba. Pero para
graficarla con exactitud debemos escribir la función en partes
para x < h y para x > h

20. Ejemplo
f(x) = | 3x - 2 |

21. Función exponencial
Es conocida formalmente como la función real ex, donde e es
el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función
tiene por dominio de definición el conjunto de los números
reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la
misma función.
Se denota equivalentemente como f(x)=ex o (x), donde es la
base de los logaritmos naturales y corresponde a la función
inversa del logaritmo natural.

22. Como identificar una función
exponencial
La forma general para una función exponencial es y = b·ax
donde están constantes a y b. b se puede considerar el valor
inicial. Esto es porque, cuando x = 0, ax = 1, tan b·ax = b. El
valor de a determina el índice de crecimiento o el
decaimiento.

23. Como se grafica
una función exponencial es sencilla de graficar es
la gráfica tiene al eje de las x como una asíntota en la izquierda,
y aumenta muy rápido en la derecha.
.

24. Como se calcula el domino y rango
Tiene como dominio a todos los reales y como rango a los
reales positivos (mayores que 0), pero
f(x) = e^(1/x)
se comporta de manera diferente: su dominio son los reales
exceptuando el 0 (ya que en la división 1/x el denominador 0
no está permitido) y su rango es ahora el conjunto de los
reales positivos (mayores que 0), exceptuando el 1 [debido a
que para obtener como resultado el 1 se requiere que la
división 1/x dé 0, y en este caso no hay número x que cumpla
tal condición].

25. Ejemplos
la función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos
de los valores que toma esta función, f:ℜ → R
• f(-3) = 2‾³ = 1/2³ = 1/8
• f(-1/2) = 2-1/2 = 1/21/2 = 1/√2
• f(1) = 2¹ = 2

26. Función logarítmica
• La función logarítmica es aquella función que está
compuestas de la siguiente manera.
Donde “a” puede tomar cualquier valor tal que “a” es mayor a
0 y distinto de 1 y “x” es mayor a 0.
Es importante hacer notar que tanto “a” como “x” deben ser
positivos, dado que no existe el logaritmo de 0 o de un
número negativo.
Ésta función se dice que es la inversa de la función
exponencial que tiene la siguiente forma .
En consecuencia a lo anterior

27. Como identificar una función
logarítmica
La función g(x)=log(x−3) no está definida en x=1, pues el
argumento del logaritmo, 1−3=−2, es un número negativo. x=1
no está en el dominio de la función g.

28. Como se grafican
Las gráficas de estas dos relaciones deben tener en general la
misma forma. Como se muestra en la gráfica, las dos curvas
son simétricas en la línea y = x. Otra manera de decirlo, si
rotas la curva roja sobre la línea y = x, va a coincidir con la
curva azul. (Esto tiene sentido, porque y en la primera tabla se
vuelve x en la segunda tabla y viceversa.)

29. la ecuación x = 2y normalmente se escribe como una función
logarítmica (también llamada función log). La función
logarítmica de x = 2y se escribe como y = log2 x o f(x) = log2 x.
El número 2 se sigue llamando base. En general y = logb x se
lee como, “y igual al logaritmo base b de x.” Al igual que con
las funciones exponenciales, b > 0 y b ≠ 1.
Puedes ver en la gráfica que el rango (valores de y) de la
función exponencial (en rojo) es todos los números reales
positivos. Como la entrada y la salida se han cambiado, el
dominio (valores de x) de la función logarítmica (en azul) es
todos los números reales positivos.
De manera similar, el dominio de la función exponencial (en
rojo) es todos los números reales. El rango de la función
logarítmica (en azul) es todos los números reales.

30. Como se calcula el rango y el
dominio
Básicamente se refiere al hecho de los dos conjuntos de
valores (dominio y rango), pertenecientes a los dos tipos de
variables implícitas en una función (independiente y
dependientes).
En los cuales los valores contenidos en cada uno de ellos, son
el resultado o parte de la definición de una función
logarítmica. Por ello tendemos a especificar de manera
individual lo que el (dominio y rango) de una función
logarítmica representa, mediante el uso de aquel
conocimiento de las características y propiedades que ya
tenemos sobre las operaciones matemáticas fundamentales
(suma, resta, multiplicación, división, potenciación y y
radicación) o las funciones algebraicas.

31. Esto nos permite especificar de una manera clara y concisa, cuales
valores de un conjunto principal (números reales) pueden ser
tomados por la función como (dominio) y arrogar un resultado
(rango).
Tal como se muestra en el siguiente ejemplo:
Para el cálculo o especificación del dominio de una función
logarítmica, de antemano ya conocemos por las propiedades de
una función logarítmica base que estas se encuentran definidas por
default en un dominio:
Más aun no conocemos para cual de ese intervalo de valores no se
encontrará definida la función en su (dominio) y por consecuencia
también para su (rango). Para descubrir tal cosa analizamos la
operación o función que constituye la integridad de la función
logarítmica, en este caso la fracción o división (1/x-2); por lo que
conocemos de la división o las funciones racionales sabemos que
estas no se encuentran definidas en concreto para un
denominador/divisor igual a cero.

32. Ejemplos
La función f x = log2 x , es la inversa de f x = 2 x
La función f x = log 3 x , es la inversa de f x = 3 x
La función f x = log 7 x , es la inversa de f x = 7 x
La función f x = log x , es la inversa de f x = 10 x , cuando no se m
escribe la base se asume que es base 10.
La función f x = ln x , es la inversa de f x = e x , la inversa de la
función exponencial con base e se conoce como logaritmo
natural.