Este documento presenta conceptos básicos sobre regresión lineal múltiple. Explica la función de regresión poblacional, las variables dependientes e independientes, y los supuestos del modelo clásico de regresión. También describe el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros, y cómo interpretar los coeficientes y realizar inferencia estadística sobre ellos.

1. Especialización en Diseño de Soluciones FinancierasEconometría Financiera

2. Conceptos BásicosEl análisis de regresión consiste en la estimación de la media o valor promedio de la variable dependiente con base en los valores conocidos o fijos de las variables independientes. Básicamente, lo que interesa es “explicar en términos de las variables x”Función de Regresión PoblacionalFunción de Regresión Lineal PoblacionalVariable: Dependiente, ExplicadaRespuesta, RegresandoVariable: Independiente, Explicativa, Control, RegresoraEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

3. Conceptos BásicosEspecificación Estocástica de la FRLPRecoge todos aquellos factores que influyen sobre y y no forman parte de las variables x:No hay disponibilidad de informaciónVariables centrales vs. Variables periféricasPrincipio de Parsimonia Este término es fundamental para la interpretación… si los factores contenidos en u permanecen constantes (no cambian ó son fijos); entonces existe un efecto lineal de x sobre y: Sí entonces Error, Perturbación, Residuo … InnovaciónEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

4. Conceptos BásicosDel término error se desprende otra importante conclusión. Recordemos que el valor esperado de y dados unos valores de la variables x se puede expresar como: Si se obtiene el valor esperado de yise puede ver que: Este resultado implica los errores y las variables explicativas son independientes y además que el valor esperado de los errores es igual a cero.Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

5. Conceptos BásicosSupuestos del Modelo Clásico de Regresión LinealLineal en los Parámetros Los coeficientes ó parámetros NO tienen potencias diferentes de 1Muestreo Aleatorio De la población se puede tomar una muestra aleatoria de tamaño nMedia Condicional Cero El error u tiene un valor esperado de cero dado cualquier valor de las variables independientes.Colinealidad Imperfecta En la muestra, ninguna de las variables independientes es constante y no hay relaciones lineales exactas entre ellas.Homoscedasticidad La varianza del término error ui, condicionada a las variables explicativas, es la misma para todas las combinaciones de resultados de estas variables. Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

6. Mínimos Cuadrados OrdinariosEste método consiste en minimizar una función de erroresal cuadrado. Recordemos que tenemos un valor observado para la variable dependiente. Una vez estimamos la función de regresión esta puede escribirse como:De tal forma que el residuo puede escribirse como:Dado que hay uno n residuos:Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

7. Mínimos Cuadrados OrdinariosAplicar MCO consiste en encontrar los coeficientes que hacen que la suma de los residuos al cuadrado sea lo más pequeña posible. Es decir:Específicamente, solucionar:Encontrando las condiciones de primer orden y despejando llegamos a: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

8. Mínimos Cuadrados OrdinariosIntroducción a EViewsEconometricViews (EViews) es el software tradicional para la estimación de modelos econométricos.Un software con amplios procedimientos, muy sencillo de utilizar y con algoritmos de optimización de punta.Presentación en Ventanas – Módulos, aunque permite la programaciónOtros: Especializados en Series de Tiempo: RATS – TSPEspecializados en Cortes Transversales: LIMDEP – SASVideo: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

9. Mínimos Cuadrados OrdinariosIntroducción a EViewsMenú PrincipalEn File se encuentran los comandos básicos para iniciar el trabajo en Eviews:New: Crea los archivos de trabajo o workfileOpen, Save, Save as: son las funciones tradicionalesEn Quick se encuentran comandos muy importantes para el desarrollo de modelos y Helpes muy interesante (teoría y comandos)Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

10. Mínimos Cuadrados OrdinariosIntroducción a EViewsPara comenzar el trabajo con EViews es necesario importar los datos: La Base de Datos se organiza en EXCELRecordar:Para importar los datos correctamente es necesario tener en cuenta… La celda donde comienza la base de datos; el primer dato en la esquina superior izquierda (B2)

11. El número de variables (4)

12. El nombre de la hoja

13. El nombre del archivo y su ubicación (ojalá que no sea una ruta muy larga)

14. Cerrar el archivo de Excel antes de importar los datosEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

15. Mínimos Cuadrados OrdinariosIntroducción a EviewsCrear el workfileEn Workfilestructuretype se especifica la estructura de los datos de tal forma que:Regular frequency: Se usa cuando se tienen datos organizados en el tiempo (datos anuales, semestrales, mensuales, diarios, etc.) “Series de tiempo”

16. Unstructured: Para datos sin estructura. Solo se introduce el número de observaciones “cortes transversales”

17. Balanced Panel: Para datos de panel balanceadosSi se tienen datos con una frecuencia regular hay que indicar la fecha de inicio y la fecha de finalización de la serie:Anuales: start date 1990 – End date 2000

18. Semestrales: start date 1990:01 – 2000:02

19. Mensuales: start date 1990:01 – 2000:12

20. etc…Si no se tiene claridad como ingresar los datos, lo mejor es dejarlos sin estructura!!!Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

21. Mínimos Cuadrados OrdinariosIntroducción a EviewsImportar los datos… desde el workfile por la pestaña procEn ReadText – Lotus Excel se ubica el archivo de Excel; se selecciona y se hace clic en abrir. Si no abre, verifique que el archivo de Excel esté cerrado.En la ventana Excel SpreadsheetImport se debe indicar: La celda donde comienzan los datos (B2)

22. El nombre de la hoja donde se encuentra la base de datos (hoja1)

23. El nombre ó número de variables (4)

24. OKEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

25. Mínimos Cuadrados OrdinariosIntroducción a EviewsEl worfile ha sido creadoDeben quedar las variables en el workfileEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

26. Mínimos Cuadrados OrdinariosInterpretación de Coeficientes y Forma FuncionalLos estimadores (menos la constante) tienen interpretación de efecto parcial. Para un modelo como…El coeficiente es el valor pronosticado para cuando Ahora bien, si…Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

27. Mínimos Cuadrados OrdinariosInterpretación de Coeficientes y Forma FuncionalAplicaciones: Taller 1: Tasa Optima de Cobertura.Problema: Se le pide cubrir una posición larga en el S&P 500 ó una de las acciones que lo constituyen tomando una posición corta en el futuro del S&P 500. Para encontrar el numero de contratos de futuros que se deben vender en corto para cubrir óptimamente la posición larga se estima un modelo donde la variable dependiente son los retornos del activo a cubrir en el mercado spot y la variable independiente son los retornos del precio futuro del activo. La pendiente del modelo es la tasa optima de cobertura.Datos: sandphedge.wf1 Plantear modelo econométrico.Estimar el modelo e Interpretar según el problema que se plantea.Estimar el modelo en niveles.Investigar sobre el tema del problema.Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

28. Mínimos Cuadrados OrdinariosInterpretación de Coeficientes y Forma FuncionalNo siempre las variables se miden en sus unidades naturales ó lo que llamaremos en niveles. En ocasiones, las tasas de crecimiento o los crecimientos porcentuales de las variables resultan más útiles desde el punto de vista práctico. Diferentes formas funcionales dan lugar a diferentes interpretaciones de los coeficientes. El comando log hace referencia al lnEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

29. Mínimos Cuadrados OrdinariosInterpretación de Coeficientes y Forma FuncionalAplicaciones:Taller 2: ¿Cómo responde una acción a los movimientos del Índice de Mercado?1. Supongamos que tenemos un modelo que relaciona el precio de cierre de una acción cualquiera con el índice del mercado. El modelo que se plantea es: Dado que este modelo no es lineal es necesario “transformarlo” para poder hacer su estimación por M.C.O. Estimación del Modelo.Interpretación de coeficientes.Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

30. Mínimos Cuadrados OrdinariosInterpretación de Coeficientes y Forma Funcional2. Supongamos ahora que la tasa de crecimiento del precio de cierre de la acción se relaciona únicamente con el tiempo a partir de un modelo como: Estimación del Modelo.Interpretación de coeficientes.Supongamos que ahora se piensa que el precio de cierre de la acción depende de la tasa de crecimiento del índice de mercado así: Estimación del Modelo.Interpretación de coeficientes.Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

31. Valores Esperados y Varianzas en los Estimadores Si los estimadores (coeficientes) del modelo se calculan por M.C.O. entonces satisfacen las siguientes propiedades: Linealidad

32. Insesgamiento

33. EficienciaTeorema de Gauss Markov:Dados los supuestos del modelo de regresión lineal, los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados, tienen varianza mínima; es decir, son MELI. Teorema de Insesgamiento: Bajo los supuestos SRLM1 al SRLM4 se tiene que: Teorema Varianza Muestrales de los Estimadores de MCO: Bajo los SRLM1 a SRLM5 se tiene que:Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

34. Valores Esperados y Varianzas en los Estimadores Sin embargo la varianza del modelo ó de los residuos, no se conoce y por lo tanto hay que estimarla: Recordar que es el número de datos (observaciones)es el número de coeficientes ó parámetros estimadosMedidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2Las medidas de bondad de ajuste ayudan a determinar que tan bien explican las variables independientes a la dependiente. Cada valor observado puede descomponerse en el valor estimado y en el residuo: Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

35. Medidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2Ahora se puede definir: SRCSTCSECEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

36. Medidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2Como se puede observar: El porcentaje en la variación de y que es explicado por las variaciones en las xLas x explican a la variable y en R2Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

37. Medidas de Bondad de Ajuste: El Coeficiente de Determinación R2Para poder comparar entre modelos debe cumplirse: El tamaño de la muestra debe ser el mismo.

38. La variable dependiente debe ser la misma y debe estar expresada en las mimas unidades.

39. Ambos modelos deben tener constante.

40. Los modelos deben tener el mismo número de variables explicativas.

41. Ninguno de los modelos debe contener variables rezagadas De los siguientes modelos, ¿Cuál es el mejor?Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

42. Inferencia Estadística en el MCRLPara poder realizar pruebas de hipótesis sobre los coeficientes del modelo, es necesario hacer un supuesto sobre la distribución de los errores:Si entonces es posible construir intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.Prueba de Jarque – BeraPara verificar si los errores del modelo ó cualquier serie se distribuye normalmente, la prueba JB evalúa la siguiente hipótesis nula:Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

43. Inferencia Estadística en el MCRLSin embargo, aunque los errores no se distribuyan normalmente, dado que se hace uso de muestras y que la varianza es estimada, una buena aproximación para hacer inferencia estadística es la distribución t-student. Intervalos de ConfianzaEspecifican un rango dentro del cual, con 1 – α de probabilidad, se encuentra el verdadero coeficiente poblacional. Pruebas de Hipótesis: Prueba de Significancia IndividualSon necesarias para probar que los betas estimados no son, estadísticamente, iguales a cero. Si lo fueran, las variables independientes no tendrían una relación lineal estadísticamente significativa con la variable dependiente.Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

44. Inferencia Estadística en el MCRLLas pruebas de significancia estadística tienen una hipótesis nula como:Si en valor absoluto tcal < tcr NO SE RECHAZA H0 y por lo tanto el coeficiente es estadísticamente igual a cero. Si en valor absoluto tcal > tcr SE RECHAZA H0 y por lo tanto el coeficiente No es estadísticamente igual a cero.Interpretación del p-value: El p-valor es la probabilidad de cometer error tipo I: Cuando se rechazar la H0 siendo verdadera Si prob < α SE RECHAZA H0

45. Si prob > α NO SE RECHAZA H0Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

46. Inferencia Estadística en el MCRL :Prueba de Significancia ConjuntaEsta prueba de hipótesis, testea si todas las variables explicativas ó independientes conjuntamente, son significativas estadísticamente para explicar a la variable dependiente.Las Hipótesis que se evalúan son:Si la H0 NO SE RECHAZA entonces ninguna variable explicativa se relaciona estadísticamente con la variable dependiente. Por el contrario, si la H0 SE RECHAZA entonces existe al menos una variable explicativa que se relaciona estadísticamente. La prueba utiliza un distribución F de Fischer:Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

47. Inferencia Estadística en el MCRL :Prueba de Significancia ConjuntaAplicaciones: Taller 3: ¿De que depende el precio de una acción? ¿Son válidas las hipótesis?Se busca establecer si los retornos mensuales de la acción de Microsoft pueden ser explicados por cambios inesperados en un conjunto de variables económicas y financieras. Las variables son:Microsoft: Precio de la acción en dólaresSANDP: Índice S&P 500 en puntosCPI: Índice de precios al consumidor en puntosPPII: Índice de precios industriales al productor en puntosUSTB3M: Rendimiento de las letras del tesoro a tres meses en porcentajeUSTB6M: Rendimiento de las letras del tesoro a seis meses en porcentajeUSTB1Y: Rendimiento de las letras del tesoro a un año en porcentajeUSTB3Y: Rendimiento de las letras del tesoro a tres años en porcentajeUSTB10Y: Rendimiento de las letras del tesoro a diez años en porcentajeM1: Efectivo disponible (Moneda circulante) en miles de millones de dólaresCREDIT: Valor de los créditos concedidos a los consumidores en millones de dólaresBAA-AAA SPREAD: Diferencia en el rendimiento entre un portafolio calificado BAA y otro calificado AAA en porcentajeEconometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz

48. Inferencia Estadística en el MCRL :Prueba de Significancia ConjuntaAplicaciones: Taller 3: ¿De que depende el precio de una acción? ¿Son válidas las hipótesis?Datos: macro.wf1Investigar en que consiste un modelo APT (ArbitragePricingTheory)Plantear un modelo econométrico donde muestre que variables utilizaría para explicar los rendimientos mensuales de la acción de Microsoft. Escriba la ecuación eligiendo 4 variables explicativas:De acuerdo a las variables elegidas en el punto anterior; explique para cada una: por qué la eligió, es decir argumente porqué tiene relación con la variable dependiente y qué signo (+ ó -) esperaría para esta variable en los resultados de la estimación:Estime el modelo que tiene planteado y escriba la ecuación resultante y explique cada uno de los coeficientes del modeloEvalúe la bondad de ajuste del modelo; ¿Qué tan bien explican las variables que usted eligió los cambios en los rendimientos mensuales de Microsoft? ¿Y sí a su modelo se le agrega una variable adicional ó tal vez tiene una de más?¿Qué variables son significativas? Plantee la hipótesis y la conclusión.Econometría Financiera – Prof.: Jhon Díaz