El documento trata sobre el análisis dimensional y la semejanza hidráulica en mecánica de fluidos. Esto permite simplificar experimentos mediante el uso de modelos a escala, aplicando leyes de semejanza como la de Froude, Reynolds y Mach. El análisis dimensional reduce el número de variables requeridas al agrupar magnitudes físicas en números adimensionales.

1. MECANICA
DE LOS
FLUIDOS
Ing. Alejandro Mayori
6 ANALISIS DIMENSIONAL Y
SEMEJANZA HIDRAULICA

2. - Teoría matemática y resultados experimentales
han desarrollado soluciones practicas
- Permite realizar experimentos en modelos a
escala
- Análisis dimensional y la semejanza hidráulica
simplifica las experiencias y el análisis de los
resultados obtenidos
6 ANALISIS DIMENSIONAL Y
SEMEJANZA HIDRAULICA
6.1 Introducción

3. - Toda ec. que exprese una relación física entre
magnitudes debe igualar las magnitudes por
los valores numéricos y por las dimensiones
- Todas las relaciones físicas pueden reducirse a
una relación entre Fuerza, Longitud y Tiempo o
entre Masa, Longitud y Tiempo
6.2 Análisis Dimensional

4. Aplicaciones :
- Conversión de unidades
- Desarrollo de ecuaciones
- Reducción nro.. variables requeridas
experimento
- Establecimiento de los principios para el diseño
de modelos
6.2 Análisis Dimensional

5. - Modelos pueden ser verdaderos o
distorsionados
- Modelos verdaderos esta a escala (semejanza
geométrica) y satisfacen las restricciones de
diseño (semejanza cinemática y dinámica)
- Resultados obtienen modelos son buenos
6.3 Modelos Hidráulicos

6. - Hay semejanza geométrica entre el modelo y el
prototipo cuando las relaciones entre todas las
dimensiones correspondientes u homologas
son iguales
- Lrel = Lmodelo / Lprototipo Lr = Lm / Lp
- Lrel
2 = Amodelo / Aprototipo = Lmodelo
2 / Lprototipo
2
6.4 Semejanza Geométrica

7. - Hay semejanza cinemática entre el modelo y el
prototipo cuando
- 1 Las trayectorias de las partículas móviles
homologas son geométricamente semejantes
- 2 Las relaciones entre velocidades de las
partículas homologas son iguales
- Velocidad Vm/Vp = (Lm/Tm )/ (Lp/Tp ) = Lr/Tr
- Aceleracion am/ap = (Lm/Tm
2)/(Lp/Tp
2) = Lr/Tr
2
- Caudal Qm/Qp = (Lm
3/Tm)/(Lp
3/Tp)= Lr
3/Tr
6.5 Semejanza Cinemática

8. - Hay semejanza dinámica entre el modelo y el
prototipo cuando las relaciones entre fuerzas
homólogas son iguales
- Las condiciones para la semejanza completa se
obtiene del 2 principio de Newton Σ F = m a
- Entre modelo y prototipo se desarrolla la
siguiente relación de fuerzas
- ΣFuerzasmodelo
ΣFuerzasprototipo
= Mmam
Mpap
6.6 Semejanza Dinámica

9. - Fr =
Fuerzam
Fuerzap
= Mmam
Mpap
=
ρmLm
3
ρpLp
3
Lr
Tr
2 =ρrLr
2 (
Lr
Tr
) 2
6.7 Relación entre Fuerzas de Inercia
(Ecuación Newtoniana)
- Fr = ρr Lr
2 Vr
2 = ρr Ar Vr
2

10. - Euler = M a
p A
=
ρL3(L/T2)
p L 2 =
ρV2
p
6.8 Relación entre Fuerzas
de Inercia a las de Presión (Nro. Euler)
6.9 Relación entre Fuerzas
de Inercia a las Viscosas (Nro. Reynolds)
- Reynolds= M a
t A
=
M a
m ( 𝑑𝑉
𝑑𝑦
)A
=
ρL2V2
m ( 𝑉
𝐿
)L2
=
ρVL
m

11. - Froud2= M a
M 𝑔
=
ρL2V2
ρg L3 =
V2
g L
6.10 Relación entre Fuerzas
de Inercia a las Gravitatorias (Nro. Freud)
6.11 Relación entre Fuerzas
de Inercia a las Elásticas (Nro. Cauchy)
- Cauchy = M a
E A
=
ρL2V2
E L2 =
ρV2
E
- A su raíz se le conoce nro. de March

12. - Weber = M a
s L
=
ρ L2 V2
s L
=
ρ L V2
s
6.12 Relación entre Fuerzas de Inercia a
las de Tensión Superficial (Nro. Weber)
6.13 Relación de Tiempos
- Las relaciones de tiempos gobernadas
por la viscosidad, la gravedad, la
tensión superficial o la elasticidad son :
- Tr = Lr
2 /vr Tr = Lr /gr
- Tr = Lr
3 rr /sr Tr = Lr / Er /rr

13. •EXPERIMENTACIÓN MECÁNICADE FLUIDOS
•ADIMENSIONALES MECÁNICA DE FLUIDOS
•SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos
Leyes de semejanza
Semejanza de Froude
Semejanza de Reynolds
Semejanza de Mach
6.13 Metodología

15. Las ecuaciones fundamentales de un flujo no
son generalmente suficientes para una solución
completa del problema.
En Mecánica de fluidos que pueden intervenir
hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible
la experimentación. Afortunadamente, en un
problema concreto, no influirán más de 6;
pero todavía es excesivo.

16. Mediante el análisis dimensional podemos formar
agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas
en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con
ello se reduce el número de variables a (n - m):
n = número de magnitudes físicas que intervienen
m = número de magnitudes básicas que intervienen

17. Cuantas menos agrupaciones resulten, menos
experiencias hay que hacer: una agrupación
requeriría una experiencia; dos agrupaciones
varias experiencias (10 por ejemplo) para
construir una curva, y tres nos llevaría a varias
(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).
Una ventaja adicional que nos proporciona la
teoría dimensional es la de predecir los resultados
de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando
con un modelo a escala.

18. Para establecer los posibles adimensionales,
supongamos que intervienen a la vez todas
las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,
de gravedad, de fricción, de elasticidad y de
tensión superficial.
Expresemos la resultante (Σ F), o fuerza de
inercia (Fi),que provoca la aceleración del
flujo, en función de la velocidad u:
- ΣF = F = ma =
ρL3 L
T2 = ρL2 u2

19. Fuerza de presión (p):
Fuerza elástica (K):
Fuerza tensión superficial (s)
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa (μ):
Fp = l2 p
Fg = l3ρ g
Fr = l2 t = l u μ
Fs = l s
FK = l2 K

20. Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
l2 p + l3 𝜌 g + l u μ + l2 K + l s = 𝜌 l2 u2
expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con
frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar
de las 8 (dimensionales).
f (l, p, ρ, g, u, μ, K, s) = 0
- Φ (
𝑝
𝜌u2 ,
lg
u2
, 𝜇
𝜌𝑙u
,
𝐾
𝜌u2 ,
s
𝜌lu2) = 0

21. - Φ (
𝑝
𝜌u2 ,
lg
u2
, 𝜇
𝜌𝑙u ,
𝐾
𝜌u2 ,
s
𝜌l u2) = 0
Número de Reynolds Re =
𝜌𝑙u
𝜇
Número de Mach Ma =
𝑢
𝐾/𝜌
=
𝑢
𝑎
Número de Weber We =
𝑢
s/𝜌𝑙
Coeficiente de person Cp =
𝑝
𝜌u2
Número de Froude Fr =
𝑢
𝑙𝑔
- Φ (
𝑝/𝜌
u2/2
,
𝑢
𝑙𝑔
, 𝜌𝑙u
𝜇
,
𝑢
𝐾/𝜌
,
𝑢
s/𝜌𝑙
) = 0

22. - Φ (
𝑝/𝜌
u2/2
,
𝑢
𝑙𝑔
, 𝜌𝑙u
𝜇
,
𝑢
𝐾/𝜌
,
𝑢
s/𝜌𝑙
) = 0
(
𝑝/𝜌
u2/2
) = f (Fr, Re, Ma, We)
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l
y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
(
𝑝/𝜌
u2/2
) = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales
cuya intervención sea nula o poco importante

23. No es necesario ensayar con el mismo fluido
que utilice el prototipo. El agua y el aire son
los fluidos que generalmente se utilizan.
Los modelos se hacen de materiales diversos
madera, escayola, metales, hormigón, plástico
etc.
6.14 Ensayos con Modelos

24. Los ensayos de canalizaciones, puertos,
presas, aliviaderos, etc., se hacen en los
laboratorios de hidráulica.
Los ensayos de modelos de aviones, y en
general de cuerpos sumergidos, se hacen
en túneles de viento y en túneles de
agua.
Los ensayos de barcos se hacen en los
llamados canales hidrodinámicos

25. Leyes de semejanza
Existe semejanza cinematica en dos corrientes fluidas
cuando las lineas de flujo de una lo sean respecto a las
homologas de a otra. Para ello es necesario
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos
Deben ser semejantes
a) Semejanza geométrica
- λ = Lp / Lm ; λ2 = Lp
2 / Lm
2
; λ3 = Lp
3 / Lm
3

26. a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la
fuerza predominante es la de gravedad: semejanza
de Froude, Frp = Frm
b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo
subsónico la fuerza predominante es la de
viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem
c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo
supersónico la fuerza predominante es la
compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam
d) En láminas de líquido muy delgadas prima la
tensión superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem

27. Frp = Frm
Semejanza de Froude
y si gp=gm, como es lo habitual:
Por ejemplo, si λ = 25, up /um=5.
Relación de velocidades
𝑢 𝑝
𝑙p 𝑔p
=
𝑢 𝑚
𝑙m 𝑔m
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
= λ
𝑔 𝑝
𝑔m
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
= λ

28. Relación de caudales (Q = S u)
Relación de fuerzas (F = γ l 3)
𝑄 𝑝
𝑄 𝑚
=
𝑆 𝑝
𝑆 𝑚
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
𝑄 𝑝
𝑄 𝑚
= λ5/2
𝐹 𝑝
𝐹 𝑚
=
γ 𝑝
γ 𝑚
λ3
y si γ p = γ m, como es lo habitual:
𝐹 𝑝
𝐹 𝑚
= λ3
Por ejemplo, si λ = 25, Fp /Fm = 15625.

29. Relación de potencias (P = F u)
y si γ p = γ m,
𝑃 𝑝
𝑃 𝑚
=
𝐹 𝑝
𝐹 𝑚
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
= λ3 λ1/2
Por ejemplo, si λ = 25, Pp /Pm = 78125.

30. Semejanza de Reynolds
𝑅𝑒 𝑝 = 𝑅𝑒 𝑚
Relación de velocidades.
𝑙 𝑝
𝑢 𝑝
ν 𝑝
=
𝑙 𝑚
𝑢 𝑚
ν 𝑚
Por ejemplo, si λ = 25, up / um = 1/25
Con la semejanza de Froude, había que
ensayar con una velocidad 5 veces menor, y
con la Reynolds con una velocidad 25 veces
mayor. Por lo que no es posible que se
cumplan ambos a la vez, salvo que la escala
sea la unidad
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
=
ν 𝑝
𝑙 𝑚
ν 𝑚
𝑙 𝑝
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
=
ν 𝑝
ν 𝑚
1
λ

31. ṁ𝑝
ṁ 𝑚
=
ρ 𝑝
𝑠 𝑝
𝑢 𝑝
ρ 𝑚
𝑠 𝑚
𝑢 𝑚
=
ρ 𝑝
ρ 𝑚
λ2 ν 𝑝
ν 𝑚
1
λ
=
ρ 𝑝
ρ 𝑚
ν 𝑝
ν 𝑚
λ
Relación de caudales ṁ = ρ Q = ρ S u
ṁ𝑝
ṁ 𝑚
=
μ 𝑝
μ 𝑚
λ

32. F 𝑝
F 𝑚
=
l 𝑝
𝑢 𝑝
𝜇 𝑝
l 𝑚
𝑢 𝑚
𝜇 𝑚
= λ
𝜈 𝑝
𝜈 𝑚
1
λ
ρ 𝑝
ρ 𝑚
Relación de fuerzas (F = l u 𝝁)
F 𝑝
F 𝑚
= (
𝜈 𝑝
𝜈 𝑚
)2 ρ 𝑝
ρ 𝑚
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo
estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo
cortante en el modelo contrarresta su
menor superficie de rozamiento

33. Relación de Match
Ma p = Ma m
Relación de Velocidades
𝑢 𝑝
𝐾 𝑝
/𝜌 𝑝
=
𝑢 𝑚
𝐾 𝑚
/𝜌 𝑚
𝑢 𝑝
𝑢 𝑚
=
𝑎 𝑚
𝑎 𝑚

34. Relación de Fuerzas (F = K S )
ṁ𝑝
ṁ 𝑚
=
ρ 𝑝
𝑠 𝑝
𝑢 𝑝
ρ 𝑚
𝑠 𝑚
𝑢 𝑚
=
ρ 𝑝
ρ 𝑚
λ2 𝑎 𝑝
𝑎 𝑚
Relación de Caudales (ṁ = ρ Q = ρ S u )
F 𝑝
F 𝑚
=
𝐾 𝑝
𝑆 𝑝
𝐾 𝑚
𝑆 𝑚
=
𝐾 𝑝
𝐾 𝑚
λ2
y como 𝑎 = 𝐾/𝜌
F 𝑝
F 𝑚
=
𝜌 𝑝
𝜌 𝑚
(
𝑎 𝑝
𝑎 𝑚
)2 λ2

35. José Agüera Soriano 2011 17

36. José Agüera Soriano 2011 18

37. José Agüera Soriano 2011 19

38. José Agüera Soriano 2011 20

39. José Agüera Soriano 2011 21

40. José Agüera Soriano 2011 22

41. José Agüera Soriano 2011 23

42. José Agüera Soriano 2011 24

43. José Agüera Soriano 2011 25

44. José Agüera Soriano 2011 26

45. José Agüera Soriano 2011 27

46. José Agüera Soriano 2011 28

47. José Agüera Soriano 2011 29

48. José Agüera Soriano 2011 30

49. José Agüera Soriano 2011 31

50. José Agüera Soriano 2011 32

51. José Agüera Soriano 2011 33

52. José Agüera Soriano 2011 34

53. José Agüera Soriano 2011 35

54. José Agüera Soriano 2011 36

55. José Agüera Soriano 2011 37