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Movimiento gradualmente variado

El documento describe el movimiento gradualmente variado en canales. Este tipo de flujo ocurre cuando la profundidad (calado) varía suavemente a lo largo del canal, haciendo que la velocidad también varíe entre secciones. Se presentan las hipótesis utilizadas para estudiar este movimiento y conceptos clave como corrientes peraltadas, deprimidas, ríos, torrentes, pendientes suaves y fuertes. Finalmente, se introduce la ecuación general para describir este tipo de flujo permanente.

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395 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.1 Introducción El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes. El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento gradualmente variado. La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.). La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente La pérdida de carga en una sección es la misma que correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada. La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,
396 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras. Las principales son las siguientes i) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado. Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1. Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de corriente no tienen curvatura y, por lo tanto, no hay componentes de la aceleración normales a la dirección de la corriente. Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1. P' P N M Flujo convexo M Flujo cóncavo P' P N M N P Flujo uniforme
397 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII ii) El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no es un ‘‘canal prismático’’. iii) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del tirante. iv) La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la velocidad media varía. v) La pendiente del canal es pequeña, de modo que a) La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo del canal. b) No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande, la alta velocidad da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose, eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente para velocidades mayores de 6 m/s. En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un punto de la corriente. Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente. Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o normalmente al fondo. vi) El factor de sección Z y el factor de capacidad K , que se definen a continuación, son funciones exponenciales del tirante. y cosθy cos θy θ 2
398 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales El factor de sección Z se define de la siguiente manera dAZ = (8-1) siendo TAd = , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así T A Z 3 = (8-2) A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial. Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo del movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes YX SCRV = (8-3) YX SCARQ = (8-4) Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente S es 1/2. Luego, 2 1 SCARQ X = (8-5) K Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión X CAR . En consecuencia, X CARK = (8-6) Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la capacidad de conducción de la sección transversal. De las últimas expresiones se deduce inmediatamente que 2 1 KSQ = (8-7) Luego, 2 1 S Q K = (8-8) Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,
399 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII 2 1 CARK = (8-9) Si se utiliza la ecuación de Manning, n AR K 3 2 = (8-10) 8.2 Definiciones fundamentales Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente, rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se denomina normal ( ny ). En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y, por lo tanto, la velocidad media de la corriente). Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, la corriente se eleva y, por lo tanto, se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hace mayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento gradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su tirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de remanso, (Figura 8.3). Podría ser también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída la energía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguas arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así una corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en la Figura 8.3. Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida y Eje Hidráulico Vertedero Corriente peraltada y > y y Corriente deprimida y < y yn yn yc n n
400 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado. Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientes peraltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’, entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado. Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras definiciones. Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente. En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio, en un torrente es menor. Figura 8.4 Ríos y torrentes En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condiciones de aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo. Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientes suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuertes los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico. A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientes fuertes se les denomina tipo S, del ingles steep. Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes Pendiente suave (tipo M) y > y Pendiente fuerte (tipo S) y < y c y yn n c n c n y yc y Río ( y > y ) y Torrente ( y < y ) yc c y c c
401 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y son pendientes fuertes los que dan torrentes. Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, un lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa. Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave), puede escurrir un río o un torrente. La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento crítico en movimiento uniforme. Zonas En función de las posiciones relativas (magnitud) que tienen el tirante crítico cy , el normal ny , así como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas Zona 1 n c yy yy > > Zona 2 cn nc yyy yyy << << Zona 3 n c yy yy < < 8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado, que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en la Figura 8.6. La energía total H es zy g V H ++= 2 2 (8-11) Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo es pequeña. El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayor que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal. El tirante del movimiento gradualmente variado y está comprendido entre el crítico y el normal. El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.
402 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 2g 2 V y H (1) (2) z dx SE Línea de energía Superficie libre SW θ 0 S Fondo x Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado La variación de esta energía a lo largo del canal es dx dH , siendo x la ordenada en la dirección de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene dx zy g V d dx dH       ++ = 2 2 (8-12) La pendiente 0S del fondo se define como el seno del ángulo θ . La pendiente ES de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de Manning. La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si asciende en la dirección del flujo. La variación de energía H∆ es siempre negativa en la dirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema.La variación de la elevación del fondo z∆ puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6, z∆ es negativa. Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección de escurrimiento, se tendrá que dx dz S −== θsen0
403 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII 3 4 22 2 2 R nV RC V dx dH SE −=−=−= Luego, ESS dx y g V d −=−       + 0 2 2 ( 8-12a) Pero       + y g V 2 2 es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto, ESS dx dE −= 0 (8-13) Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que 2 1 F dy dE −= Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene 2 0 1 F SS dx dy E − − = (8-14) que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado. Como el cuadrado del número de Froude es 3 2 2 gA TQ F = (8-15) se tiene que, 3 2 0 1 gA TQ SS dx dy E − − = (8-16)
404 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ). Según la definición de factor de capacidad 2 1 ES Q K = para cualquier sección del M. G. V. 2 1 0S Q Kn = para el movimiento uniforme Luego, 2 0     = K K S S nE Según la definición de factor de sección T A Z 3 = para cualquier sección g Q Zc = para condiciones críticas Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas el número de Froude es igual a 1, por lo tanto T A ggdV cc == ; T A g A Q Vc == T A g A Q =2 2 ; 2 32 cZ T A g Q == Luego, 3 22 gA TQ Z Zc =      Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a
405 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII 2 2 0 1 1       −     − = Z Z K K S dx dy c n (8-17) que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado. Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variación de la superficie libre con respecto al fondo del canal. Aplicación a una sección rectangular muy ancha Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene n y n AR K n n 3 5 3 2 == (para condiciones normales) n y n AR K 3 5 3 2 == (para cualquier sección del M. G. V.) 3 2 ccc ydAZ == (para flujo crítico) 2 3 ydAZ == (para cualquier sección del M. G. V.) Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene 3 3 10 0 1 1       −       − = y y y y S dx dy c n (8-18) que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning) en movimiento gradualmente variado. Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimiento gradualmente variado sería
406 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 3 3 0 1 1       −       − = y y y y S dx dy c n (8-19) Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor (constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo. La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así 2 2 0 1 1       −       − = c n Q Q Q Q S dx dy (8-20) siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado, nQ es el gasto para un flujo normal cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, cQ es el gasto crítico para una profundidad .y Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguiente ecuación dgA Q RAC Q S dx dy 2 2 22 2 0 1− − = (8-21) siendo d el tirante hidráulico T A Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la ecuación del movimiento gradualmente variado es 3 2 3 2 0 1 gA bQ dx db gA yQ SS dx dy E α α − +− = (8-22)
407 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos dx g V d dx dy SSE       ++−=− 2 2 0 α (1) Pero, ( ) dx dA A g Q dx dA g Q dx gA Q d dx g V d 3 2222 22 2 22 22 − − −==       =             +−= dx db y dx dy b gA Q 3 2 Reemplazando en (1)       +−+−=− dx db y dx dy b gA Q dx dy SSE 3 2 0 α De donde, 3 2 3 2 0 1 gA bQ dx db gA yQ SS dx dy E α α − +− = que es la expresión buscada. 8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico El signo de dx dy en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características del eje hidráulico. Así, Si 0> dx dy , entonces el tirante y aumenta en la dirección de la corriente. La superficie libre se levanta. Esta condición se da en los ríos peraltados y en los torrentes deprimidos. S0 y La superficie libre se levanta ( )0> dx dy SW
408 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Si 0< dx dy , entonces el tirante y disminuye en la dirección de la corriente. La superficie libre desciende. Se da en los ríos deprimidos y en los torrentes peraltados. Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos casos especiales. ¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace igual al tirante crítico? Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que cZZ = , por lo tanto en la ecuación diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces → dx dy infinito lo que implicaría que para cyy = el eje hidráulico debería ser vertical, tal como se aprecia en la Figura 8.7. Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy = Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( cyy = ) el eje hidráulico tiene una gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar, por lo tanto, una distribución hidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las inmediaciones de cyy = . S0 y La superficie libre desciende ( ) dx dy 0 WS yyc y = yc
409 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII ¿Qué ocurre cuando el tirante se acerca a cero? En el caso más general el valor de dx dy se hace indeterminado. Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para 0=y se obtiene que → dx dy infinito, lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio, si hubiéramos usado la fórmula de Chezy (8-19) se tendría que 3 3 0 c n y y S dx dy = lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo. ¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal? Entonces 0= dx dy lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto, de un movimiento uniforme( )WSS =0 . ¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente? Entonces, 0S dx dy → o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal. 8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del primer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que, algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro. La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17 es
410 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 2 2 0 1 1       −     − = Z Z K K S dx dy c n En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades Numerador y denominador positivos Numerador y denominador negativos Numerador positivo y denominador negativo Numerador negativo y denominador positivo Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variado, que son los siguientes - Río peraltado en pendiente suave (M1) - Río peraltado en pendiente fuerte (S1) - Torrente deprimido en pendiente suave (M3) - Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) - Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) - Río deprimido en pendiente suave (M2) PRIMERA POSIBILIDAD 0> dx dy Numerador y denominador positivos Como el numerador es positivo esto significa que 01 2 2 >− K Kn lo que necesariamente implica nKK > . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante normal ( nyy > ). Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada. 0> dx dy 0< dx dy
411 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII Como el denominador también es positivo, esto significa que 01 2 2 >− Z Zc Lo que necesariamente implica cZZ > ( cyy > ). Se trata por lo tanto de un río. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se tiene un río. Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado. Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dos primeros casos del movimiento gradualmente variado. Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Por lo tanto, cn yyy >> Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 1. Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava. Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que corresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también serán menores. Esta curva es la más conocida y estudiada, pues se presenta frecuentemente. Usualmente se le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta nyy = , de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo. Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hay una presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumento en la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc. Río peraltado en pendiente suave M1 y yc yn
412 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Luego, nc yyy >> Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima del tirante crítico y del normal (ZONA 1). Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de cyy = , que la realiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas abajo. Es una curva convexa. Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa o compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendiente es fuerte. Esta curva es de longitud limitada. Prosiguiendo con la discusión tenemos que SEGUNDA POSIBILIDAD 0> dx dy Numerador y denominador negativos Como el numerador es negativo esto implica que 01 2 2 <− K Kn lo que nos conduce a KKn > ( yyn > ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal. Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida. Como el denominador también es negativo se tiene que 01 2 2 <− Z Zc Río peraltado en pendiente fuerte y ycyn S1 SALTO
413 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII Lo que implica ZZc > . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( cyy < ). Se trata por lo tanto de un torrente. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativo se trata de un torrente. Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que por cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros dos casos de movimiento gradualmente variado. Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Luego, yyy cn >> Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava. Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible. Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en un estrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel ny que está determinado por las condiciones de aguas abajo. Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico, Por lo tanto, Torrente deprimido en pendiente suave M3 n yyc SALTO y Torrente deprimido en pendiente fuerte S3 yn yc y
414 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales yyy nc >> Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muy poco frecuente. Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura, que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente de muy fuerte a fuerte. Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en la dirección del escurrimiento, lo que implica la condición 0< dx dy TERCERA POSIBILIDAD 0< dx dy Numerador positivo y denominador negativo Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltada y denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado. Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente fuerte. Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente Corriente peraltada nyy > Torrente cyy < No hay solución posible Pendiente suave cyy > Por lo tanto, no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación de signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente. Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Luego, Torrente peraltado en pendiente fuerte yn yc S2 y
415 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII nc yyy >> Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en la ZONA 2. La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es una curva cóncava, asintótica hacia aguas abajo. Nótese que al corresponder este caso a 0< dx dy la superficie libre desciende en la dirección del escurrimiento. El eje hidráulico debe ser normal a cyy = . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección. CUARTA POSIBILIDAD 0< dx dy Numerador negativo y denominador positivo El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río. Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente. Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Luego, cn yyy >> Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2. Es una curva convexa del tipo M2. Río deprimido en pendiente suave yn yc M2 y
416 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a cyy = . El eje hidráulico es asintótico a nyy = . Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, un cambio de pendiente, etc. Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible. Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V. Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del movimiento gradualmente variado. En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación TABLA 8.1 RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS CASOS DEL MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO + 0 NUMERADOR DENOMINADOR CORRIENTE PERALTADA MOVIMIENTO UNIFORME CORRIENTE DEPRIMIDA RIO CRISIS TORRENTE general del M. G. V. que se presenta en la Tabla 8.1.
417 MovimientogradualmentevariadoCapítuloVIII Pendiente Suave cn yy > nyy > RIO PERALTADO M1 (CONCAVA) 0> dx dy cn yyy >> RIO DEPRIMIDO M2 (CONVEXA) 0< dx dy cyy < TORRENTEDEPRIMIDO M3 (CÓNCAVA) 0> dx dy cyy > RIO PERALTADO S1 (CONVEXA) 0> dx dy nc yyy >> TORRENTE PERALTADO S2 (CONCAVA) 0< dx dy nyy < TORRENTEDEPRIMIDO S3 (CONVEXA) 0> dx dy yn yc CASO 6 CASO 1 CASO 3 Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 0 dx dy son los ubicados en la ZONA 2. yn yc CASO 5 CASO 2 CASO 4 Pendiente fuerte nc yy >
418 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales yn yc 2n y 1 10 S S02 M1 P Río uniforme que empieza en el punto P S > >c 10 S S02 y 8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las otras características permanecen constantes. Los seis casos generales son - De pendiente suave a pendiente más suave - De pendiente suave a pendiente menos suave - De pendiente suave a pendiente fuerte - De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte - De pendiente fuerte a pendiente más fuerte - De pendiente fuerte a pendiente suave Los cuatro casos especiales son - De pendiente suave a pendiente crítica - De pendiente crítica a pendiente suave - De pendiente crítica a pendiente fuerte - De pendiente fuerte a pendiente crítica 1. De pendiente suave a pendiente más suave Sean 1ny e 2ny los tirantes normales en cada uno de los dos tramos. En el primer tramo, por ser pendiente suave, cn yy > 1 . En el segundo tramo, por ser pendiente suave también se cumple que cn yy > 2 El tirante normal del segundo tramo es mayor porque su pendiente es menor que la del primero. Por lo tanto, 12 nn yy >
419 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipo M1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo. 2. De pendiente suave a pendiente menos suave Por consideraciones similares a las anteriores se tiene que 12 nn yy < En ambos tramos se cumple que cn yy > 1 (pendiente suave) cn yy > 2 (pendiente menos suave) Como 2ny está más cerca de cy que 1ny , se dice que la pendiente es menos suave. El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto P empieza un río uniforme. 3. De pendiente suave a pendiente fuerte En el tramo de aguas arriba hay un río que al aproximarse al cambio de pendiente se deprime (M2) y tiende a acercarse normalmente a cyy = , como un río deprimido en pendiente suave. Inmediatamente aguas abajo del cambio de pendiente el torrente se peralta (S2), arrancando normalmente a cyy = como un torrente peraltado en pendiente fuerte. yn yc 2 n y 1 10 S S02 M2 P Río uniforme S < < 20 S Sc01 yc y yn yc 2 n y 1 10 S S02 S < <c S S01 yc M2 S2 20 (río deprimido en pendiente suave) (torrente peraltado en pendiente fuerte) SUAVE FUERTE yy >n 1 c y < y 2 n c
420 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3. 5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo. El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendiente más fuerte que la de aguas arriba. 6. De pendiente fuerte a pendiente suave Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un salto yn yc 2 n y 1 10 S S02 S > > cS S02 yc S2 (torrente peraltado en pendiente fuerte) yy <n1 c y < y 2n c P 10 ny > 1 y 2 n FUERTE MAS FUERTE yn1 yc y 2n S > >S 10 Sc 01 S 20 S 20 P S3 y FUERTE MENOS FUERTE y < 1n c yy <n2 c n y < 1 yn2 Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo. Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba.
421 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII hidráulico hay dos tirantes conjugados: 21 yy < (al respecto se puede ver la ecuación 7-90). En el presente caso de cambio de pendiente, 1ny es el tirante 1y del salto. Para el tirante 1y ( 1ny ) existe un tirante conjugado 2y que puede ser igual, mayor o menor que 2ny . Si 22 nyy < el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas arriba. Si 22 nyy > entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2. Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta. 7. De pendiente suave a pendiente crítica El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entre el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con cyy = . En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico. 8. De pendiente crítica a pendiente suave yn 1 y 2 n c y yc c FUERTE SUAVE 1 n y < y y > 2 n 1 n y 2 cn y > y 0 1 S > 0 2 S S0 2 10 S yn1 S < S 10 0 1 S cS c y SUAVE CRITICA y > 1 n c yy =n 2 c c y M2 y = yc n 2
422 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte. 9. De pendiente crítica a pendiente fuerte Se compara al cambio de pendiente fuerte a más fuerte 10. De pendiente fuerte a pendiente crítica Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte. 8.7 Curva de remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento y = yn1 y CRITICA SUAVE y = 1n c yy >n2 c c Sc 10S n2 y yc y >n2 y 1n y = yn1 c n 2 y yc S2 CRITICA FUERTE y = yn2 c y yn1 c FUERTE CRITICA
423 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII gradualmente variado (M. G. V.). El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa como sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definición de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decir que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm). No siempre es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados, indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil. Para la obtención de la curva de remanso presentaremos, siguiendo a Ven Te Chow, tres métodos - Integración gráfica - Aproximaciones sucesivas - Integración directa Método de la integración gráfica Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. Examinemos la siguiente figura Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que Eje hidráulico (M. G. V.)y 1 y 2 y x1 x2 x 0
424 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales dy dy dx dxxxx y y x x ∫∫ ==−= 2 1 2 1 12 Nótese que dy dx es igual a la inversa del primer miembro de la ecuación general del M. G. V.. Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es posible. Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se conoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a continuación. i) Suponer un valor para el tirante ii) Calcular el valor correspondiente de dx dy a partir de la ecuación general del M. G. V.. iii) Calcular dy dx , que es la inversa del valor anterior.. iv) Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes supuestos) y los valores obtenidos para dy dx . El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y, y las ordenadas 1       dy dx 2 dx  dy    y y1 2 y x dx dy Eje hidráulico (M. G. V.)
425 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII dy dx correspondientes a los valores de y. Luego, Area dy dy dx x y y∫== 2 1 Al medir esta área se tiene el valor de x . v) Finalmente se obtendrá una curva de este tipo dx dy y ∆A1 2 ∆A ∆A3 De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de A∆ . Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla d y d x y A P R K Z ∆ A x d y d x Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro, radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de x . Los valores acumulados de A∆ dan la longitud x de la curva de remanso. Por último se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso. Método de subdivisión en tramos
426 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos, considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme. En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud x∆ en el que aparecen las secciones 1 y 2. 1α g2 V1 2 SE WS 2 V 2 g 2 2α h =f 1 y y2 S0 S ∆x0 S ∆xE ∆x z1 2z Plano de referencia Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene xS g V y g V yxS E ∆++=++∆ 22 2 2 22 2 1 110 αα de donde, ( ) EEESSx E ∆=−=−∆ 120 y por lo tanto, ESS E x − ∆ =∆ 0 El valor de ES se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de Manning
427 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII 3 4 22 R Vn SE = Para un tramo (de longitud x∆ ) el valor de ES es el promedio de los respectivos valores de ES al principio y al final del tramo. A continuación se presentan las situaciones típicas de cálculo.Si se trata de la entrega a un lago, el cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o mínimo según el caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos típicos). Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante maxy determinado por la condición de entrega al lago. Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante miny determinado por la grada. Si se trata de un canal que termina en una grada, para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal. Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular lo siguiente M. G. V. n y Lagomaxy y n y ymin x = 0 y = ymin M. G. V. y
428 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales A : Area (en función de la geometría de la sección) R : Radio hidráulico PAR = V : Velocidad media AQV = Vh : Energía de velocidad g V hV 2 2 = E : Energía específica g V y 2 2 + E∆ : Diferencia de energía específica entre dos secciones 12 EEE −=∆ ó ( 21 EE − ) ES : Pendiente de la línea de energía en esa sección 2 32       = R Vn SE ES : Pendiente media de la línea de energía para un tramo dado 2 21 EE E SS S + = x∆ : Distancia ESS E x − ∆ =∆ 0 Acumulando los valores de x∆ se obtiene la distancia desde el origen escogido. Metodo de la integración directa En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado (8-17) es 2 2 0 1 1       −     − = Z Z K K S dx dy c n Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
429 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado del factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir N ycK 1 2 = (8-23) 1c es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene ( ) ( )N ycK 1lnln2 = Derivando con respecto a y se llega a ( ) N N yc dydyNyc dy Kd 1 1 1ln 2 − = De donde, ( ) y N dy Kd 2 ln = (8-24) Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es n AR K 3 2 = tal como aparece en la ecuación 8-10. Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene           = n AR K 3 2 lnln Derivando con respecto a y se llega a ( ) dy dA Ady dR Rdy Kd 11 3 2ln += Introducimos ahora, las conocidas expresiones, (ec. 7-9) T dy dA =
430 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales (ec. 1-8) P A R = y se obtiene, ( ) A T dy dR Rdy Kd += 1 3 2ln Pero, P dy dP RT dy P A d dy dR − =       = Reemplazando se llega a ( ) A T P dy dP RT Rdy Kd +       − = 1 3 2ln ( )       −= dy dP RT Ady Kd 25 3 1ln Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene       −= dy dP RT Ay N 25 3 1 2 De donde,       −= dy dP RT A y N 25 3 2 (8-25) que es la expresión general del exponente hidráulico N para cualquier sección transversal. Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que             ++             + −             +             + = b y z b y z b y z b y z N 2 2 121 1 3 8 1 21 3 10 (8-26) siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
431 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII Para una sección rectangular ( 0=z ) se obtiene       + −= b y b y N 21 3 8 3 10 (8-27) Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación by es muy pequeña y tiende a cero, con lo que 3 10 =N (8-28) Para obtener el exponente hidráulico M se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante M ycZ 2 2 = (8-29) M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus características se establecen a continuación Tomando logaritmos ( ) ( )M ycZ 2lnln2 = Derivando con respecto a y , ( ) dy dy y M dy Zd = ln 2 se llega a ( ) y M dy Zd 2 ln = (1) Pero, TAZ 3 = (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con respecto a y se obtiene ( ) dy dT TA T dy Zd 2 1 2 3ln −= (2) Igualando (1) y (2) se obtiene       −= dy dT T A T A y M 3 (8-30)
432 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal (condiciones críticas). Para un canal trapecial,     +    +       +−      + = b y z b y z b y z b y z b y z M 121 12213 2 (8-31) siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal. Para el caso particular de una sección rectangular ( 0=z ), se obtiene 3=M (8-32) Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado se considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente N ycK 1 2 = N n ycK 1 2 = M ycZ 2 2 = M c ycZ 2 2 = Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene M c N n y y y y S dx dy       −       − = 1 1 0 (8-33) que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier sección transversal, en función de los exponentes hidráulicos. Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza 310=N (ec. 8-28) y 3=M (ec. 8-32) se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para un canal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18, previamente establecida. Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirante normal ny existe la relación u , se tiene
433 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII ny y u = (8-34) Como se recuerda, si u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que 1 se trata de corrientes deprimidas. Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a M c N y y u S dx dy       −       − = 1 1 1 0 De acá se obtiene du u u y y uS y dx N MNM n c N n         −       + − −= − 11 1 1 0 Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N y M son constantes para el tramo considerado. Luego, (8-35) Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven Te Chow la denomina función del flujo variado y la representa como (8-36) Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar J N uv = (8-37) siendo 1+− = MN N J (8-38) Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así (8-39) ( )JvF N J v dv N J du u u v J u N MN , 11 00 = − = − ∫∫ − ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 , cdu u u y y u du u S y x u N MN M n c u N n +         −       + − −= ∫∫ − 00 0 11
434 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales De donde, (8-40) Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a ( ) ( ) cJvF N J y y NuFu S y x M n cn +               +−= ,, 0 (8-41) Ven Te Chow usa la siguiente notación, ( ) ( )[ ] cJvFBNuFuAx ++−= ,, (8-42) siendo, 0S y A n = N J y y B M n c       = ny y u = J N uv = 1+− = MN N J A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dos secciones 1 y 2, de modo que ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ },,,, 12121212 JvFJvFBNuFNuFuuAxxxL −+−−−==−= (8-43) Los exponentes hidráulicos N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.) y del tirante. A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular ( ) ∫ − = v J v dv JvF 0 1 ,
435 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII el valor correspondiente del exponente hidráulico N . Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango de variación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentes secciones transversales. Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unas tablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante muchos años. Más tarde se recalcularon para 4,58,2 << N y fueron publicadas por Bakhmettef en 1932. La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores de N comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se ha tomado. En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de u y de N los correspondientes a la función ( )NuF , . La Tabla 8.2 sirve también para la función ( )JvF , reemplazando u por v y N por J . Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicas de la sección transversal. El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente 1. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) y determinar el tirante normal ny 2. Calcular el tirante crítico cy 3. Se supone que para un tramo determinado ( x∆ ) los exponentes hidráulicos N y M son constantes. Se calcula N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, o alguna de sus simplificaciones) 4. Se calcula J , con la ecuación 8-38 5. Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valores de u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37) 6. Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene ( )NuF , , ingresando con los valores previamente calculados de u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones. 7. Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene ( )JvF , , ingresando con los valores de v y de J previamente calculados 8. Se calcula la longitud x∆ correspondiente mediante la ecuación 8-43
436 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales TABLA 8.2 FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,161 0,181 0,202 0,223 0,244 0,265 0,286 0,307 0,329 0,351 0,372 0,395 0,418 0,442 0,465 0,489 0,514 0,539 0,565 0,592 0,619 0,648 0,676 0,691 0,706 0,722 0,738 0,754 0,771 0,787 0,804 0,822 0,840 0,858 0,878 0,898 0,918 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,161 0,181 0,201 0,222 0,243 0,263 0,284 0,305 0,326 0,348 0,369 0,392 0,414 0,437 0,460 0,483 0,507 0,531 0,557 0,582 0,608 0,635 0,663 0,678 0,692 0,707 0,722 0,737 0,753 0,769 0,785 0,804 0,819 0,836 0,855 0,874 0,892 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,181 0,201 0,221 0,242 0,262 0,283 0,304 0,325 0,346 0,367 0,389 0,411 0,433 0,456 0,479 0,502 0,525 0,550 0,574 0,599 0,626 0,653 0,667 0,680 0,694 0,709 0,724 0,738 0,754 0,769 0,785 0,802 0,819 0,836 0,854 0,868 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,201 0,221 0,241 0,262 0,282 0,303 0,324 0,344 0,366 0,387 0,408 0,430 0,452 0,475 0,497 0,521 0,544 0,568 0,593 0,618 0,644 0,657 0,671 0,684 0,698 0,712 0,727 0,742 0,757 0,772 0,787 0,804 0,820 0,837 0,854 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,221 0,241 0,261 0,282 0,302 0,323 0,343 0,364 0,385 0,407 0,428 0,450 0,472 0,494 0,517 0,540 0,563 0,587 0,612 0,637 0,650 0,663 0,676 0,690 0,703 0,717 0,731 0,746 0,761 0,776 0,791 0,807 0,823 0,840 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,241 0,261 0,281 0,302 0,322 0,343 0,363 0,384 0,405 0,426 0,448 0,470 0,492 0,514 0,536 0,559 0,583 0,607 0,631 0,644 0,657 0,669 0,683 0,696 0,709 0,723 0,737 0,751 0,766 0,781 0,796 0,811 0,827 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,261 0,281 0,301 0,322 0,342 0,363 0,383 0,404 0,425 0,446 0,468 0,489 0,511 0,534 0,556 0,579 0,603 0,627 0,639 0,651 0,664 0,677 0,689 0,703 0,716 0,729 0,743 0,757 0,772 0,786 0,802 0,817 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,281 0,301 0,321 0,342 0,362 0,383 0,403 0,424 0,445 0,466 0,488 0,509 0,531 0,554 0,576 0,599 0,623 0,635 0,647 0,659 0,672 0,684 0,697 0,710 0,723 0,737 0,750 0,764 0,779 0,793 0,808 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,301 0,321 0,341 0,362 0,382 0,403 0,423 0,444 0,465 0,486 0,508 0,529 0,551 0,574 0,596 0,620 0,631 0,643 0,655 0,667 0,680 0,692 0,705 0,718 0,731 0,744 0,758 0,772 0,786 0,800 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,321 0,341 0,361 0,382 0,402 0,423 0,443 0,464 0,485 0,506 0,528 0,550 0,572 0,594 0,617 0,628 0,640 0,652 0,664 0,676 0,688 0,701 0,71 3 0,726 0,739 0,752 0,766 0,780 0,794 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
437 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 0,999 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 0,940 0,961 0,985 1,007 1,031 1,056 1,083 1,110 1,139 1,171 1,201 1,238 1,272 1,314 1,357 1,401 1,452 1,505 1,564 1,645 1,737 1,833 1,969 2,055 2,164 2,294 2,477 2,792 3,523∞ 3,317 2,587 2,273 2,090 1,961 1,779 1,651 1,552 1,472 1,404 1,346 1,295 1,250 1,209 1,172 1,138 1,107 1,078 1,052 1,027 0,913 0,933 0,954 0,976 0,998 1,022 1,046 1,072 1,099 1,129 1,157 1,192 1,223 1,262 1,302 1,343 1,389 1,438 1,493 1,568 1,652 1,741 1,866 1,945 2,045 2,165 2,333 2,621 3,292∞ 2,931 2,266 1,977 1,807 1,711 1,531 1,410 1,334 1,250 1,195 1,139 1,089 1,050 1,014 0,981 0,950 0,921 0,892 0,870 0,850 0,890 0,909 0,930 0,950 0,971 0,994 1,017 1,041 1,067 1,094 1,121 1,153 1,182 1,228 1,255 1,294 1,338 1,351 1,435 1,504 1,582 1,665 1,780 1,853 1,946 2,056 2,212 2,478 3,097∞ 2,640 2,022 1,757 1,602 1,493 1,340 1,232 1,150 1,082 1,026 0,978 0,935 0,897 0,864 0,833 0,805 0,780 0,756 0,734 0,713 0,872 0,890 0,909 0,929 0,94 9 0,970 0,992 1,015 1,039 1,064 1,091 1,119 1,149 1,181 1,216 1,253 1,294 1,340 1,391 1,449 1,518 1,601 1,707 1,773 1,855 1,959 2,106 2,355 2,931∞ 2,399 1,818 1,572 1,428 1,327 1,186 1,086 1,010 0,948 0,896 0,851 0,812 0,777 0,746 0,718 0,692 0,669 0,647 0,627 0,608 0,857 0,874 0,892 0,911 0,930 0,950 0,971 0,993 1,016 1,040 1,065 1,092 1,120 1,151 1,183 1,218 1,257 1,300 1,348 1,403 1,467 1,545 1,644 1,707 1,783 1,880 2,017 2,250 2,788∞ 2,184 1,649 1,419 1,286 1,191 1,060 0,967 0,896 0,838 0,790 0,749 0,713 0,681 0,652 0,626 0,602 0,581 0,561 0,542 0,525 0,844 0,861 0,878 0,896 0,914 0,934 0,954 0,974 0,996 1,019 1,043 1,068 1,095 1,124 1,155 1,189 1,225 1,266 1,311 1,363 1,423 1,497 1,590 1,649 1,720 1,812 1,940 2,159 2,663∞ 2,008 1,506 1,291 1,166 1,078 0,955 0,868 0,802 0,748 0,703 0,665 0,631 0,601 0,575 0,551 0,529 0,509 0,490 0,473 0,458 0,833 0,849 0,866 0,883 0,901 0,919 0,938 0,958 0,979 1,001 1,024 1,048 1,074 1,101 1,131 1,163 1,197 1,236 1,279 1,328 1,385 1,454 1,543 1,598 1,666 1,752 1,873 2,079 2,554∞ 1,856 1,384 1,182 1,065 0,982 0,866 0,785 0,723 0,672 0,630 0,595 0,563 0,536 0,511 0,488 0,468 0,450 0,432 0,417 0,402 0,823 0,839 0,855 0,872 0,889 0,907 0,925 0,945 0,965 0,985 1,007 1,031 1,055 1,081 1,110 1,140 1,173 1,210 1,251 1,297 1,352 1,417 1,501 1,554 1,617 1,699 1,814 2,008 2,457∞ 1,725 1,279 1,089 0,978 0,900 0,790 0,714 0,656 0,608 0,569 0,535 0,506 0,480 0,457 0,436 0,417 0,400 0,384 0,369 0,356 0,815 0,830 0,846 0,862 0,879 0,896 0,914 0,932 0,952 0,972 0,993 1,015 1,039 1,064 1,091 1,120 1,152 1,187 1,226 1,270 1,322 1,385 1,464 1,514 1,575 1,652 1,761 1,945 2,370∞ 1,610 1,188 1,007 0,902 0,828 0,725 0,653 0,598 0,553 0,516 0,485 0,457 0,433 0,411 0,392 0,374 0,358 0,343 0,329 0,317 0,808 0,823 0,838 0,854 0,870 0,887 0,904 0,922 0,940 0,960 0,980 1,002 1,025 1,049 1,075 1,103 1,333 1,166 1,204 1,246 1,296 1,355 1,431 1,479 1,536 1,610 1,714 1,889 2,293∞ 1,508 1,107 0,936 0,836 0,766 0,668 0,600 0,548 0,506 0,471 0,441 0,415 0,392 0,372 0,354 0,337 0,322 0,308 0,295 0,283 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
438 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 1,003 0,981 0,960 0,922 0,887 0,855 0,827 0,800 0,775 0,752 0,731 0,711 0,692 0,674 0,658 0,642 0,627 0,613 0,580 0,551 0,525 0,501 0,480 0,460 0,442 0,425 0,409 0,395 0,369 0,346 0,326 0,308 0,292 0,277 0,264 0,252 0,241 0,230 0,190 0,161 0,139 0,122 0,098 0,081 0,069 0,060 0,053 0,023 0,825 0,810 0,787 0,755 0,725 0,692 0,666 0,644 0,625 0,605 0,588 0,567 0,548 0,533 0,517 0,505 0,493 0,480 0,451 0,425 0,402 0,381 0,362 0,349 0,332 0,315 0,304 0,292 0,273 0,253 0,235 0,220 0,207 0,197 0,188 0,176 0,166 0,159 0,126 0,104 0,087 0,076 0,060 0,048 0,040 0,034 0,028 0,018 0,694 0,676 0,659 0,628 0,600 0,574 0,551 0,530 0,510 0,492 0,475 0,459 0,444 0,431 0,417 0,405 0,394 0,383 0,358 0,335 0,316 0,298 0,282 0,267 0,254 0,242 0,231 0,221 0,202 0,186 0,173 0,160 0,150 0,140 0,131 0,124 0,117 0,110 0,085 0,069 0,057 0,048 0,036 0,028 0,022 0,019 0,016 0,011 0,591 0,574 0,559 0,531 0,505 0,482 0,461 0,442 0,424 0,408 0,393 0,378 0,365 0,353 0,341 0,330 0,320 0,310 0,288 0,269 0,251 0,236 0,222 0,209 0,198 0,188 0,178 0,169 0,154 0,141 0,129 0,119 0,110 0,102 0,095 0,089 0,083 0,078 0,059 0,046 0,037 0,031 0,022 0,017 0,013 0,011 0,009 0,006 0,509 0,494 0,480 0,454 0,431 0,410 0,391 0,373 0,357 0,342 0,329 0,316 0,304 0,293 0,282 0,273 0,263 0,255 0,235 0,218 0,203 0,189 0,177 0,166 0,156 0,147 0,139 0,132 0,119 0,107 0,098 0,089 0,082 0,076 0,070 0,065 0,060 0,056 0,041 0,031 0,025 0,020 0,014 0,010 0,008 0,006 0,005 0,002 0,443 0,429 0,416 0,392 0,371 0,351 0,334 0,318 0,304 0,290 0,278 0,266 0,256 0,246 0,236 0,227 0,219 0,211 0,194 0,179 0,165 0,153 0,143 0,133 0,125 0,117 0,110 0,104 0,092 0,083 0,075 0,068 0,062 0,057 0,052 0,048 0,044 0,041 0,029 0,022 0,017 0,013 0,009 0,006 0,005 0,004 0,003 0,001 0,388 0,375 0,363 0,341 0,322 0,304 0,288 0,274 0,260 0,248 0,237 0,226 0,217 0,208 0,199 0,191 0,184 0,177 0,161 0,148 0,136 0,125 0,116 0,108 0,100 0,094 0,088 0,082 0,073 0,065 0,058 0,052 0,047 0,043 0,039 0,036 0,033 0,030 0,021 0,015 0,011 0,009 0,006 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,343 0,331 0,320 0,299 0,281 0,265 0,250 0,237 0,225 0,214 0,204 0,194 0,185 0,177 0,169 0,162 0,156 0,149 0,135 0,123 0,113 0,103 0,095 0,088 0,082 0,076 0,070 0,066 0,058 0,051 0,045 0,040 0,036 0,033 0,029 0,027 0,024 0,022 0,015 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,002 0,001 0,001 0,000 0,305 0,294 0,283 0,264 0,248 0,233 0,219 0,207 0,196 0,185 0,176 0,167 0,159 0,152 0,145 0,139 0,133 0,127 0,114 0,103 0,094 0,086 0,079 0,072 0,067 0,062 0,057 0,053 0,046 0,040 0,035 0,031 0,028 0,025 0,022 0,020 0,018 0,017 0,011 0,007 0,005 0,004 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 0,272 0,262 0,252 0,235 0,219 0,205 0,193 0,181 0,171 0,162 0,153 0,145 0,138 0,131 0,125 0,119 0,113 0,108 0,097 0,087 0,079 0,072 0,065 0,060 0,055 0,050 0,046 0,043 0,037 0,032 0,028 0,024 0,022 0,019 0,017 0,015 0,014 0,012 0,008 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
439 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,321 0,341 0,361 0,381 0,402 0,422 0,443 0,463 0,484 0,505 0,527 0,548 0,570 0,592 0,614 0,626 0,637 0,649 0,661 0,673 0,685 0,697 0,709 0,722 0,735 0,748 0,761 0,774 0,788 0,802 0,817 0,831 0,847 0,862 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,361 0,381 0,401 0,421 0,442 0,462 0,483 0,504 0,525 0,546 0,567 0,589 0,611 0,622 0,633 0,644 0,656 0,667 0,679 0,691 0,703 0,715 0,727 0,740 0,752 0,765 0,779 0,792 0,806 0,820 0,834 0,849 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,381 0,401 0,421 0,441 0,462 0,482 0,503 0,523 0,544 0,565 0,587 0,608 0,619 0,630 0,641 0,652 0,663 0,675 0,686 0,698 0,710 0,722 0,734 0,746 0,759 0,771 0,784 0,798 0,811 0,825 0,839 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,421 0,441 0,461 0,481 0,502 0,522 0,543 0,564 0,585 0,606 0,617 0,628 0,638 0,649 0,660 0,672 0,683 0,694 0,706 0,717 0,729 0,741 0,753 0,766 0,778 0,791 0,804 0,817 0,831 0,00 0 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,441 0,461 0,481 0,501 0,522 0,542 0,563 0,583 0,605 0,615 0,626 0,636 0,647 0,658 0,669 0,680 0,691 0,703 0,714 0,726 0,737 0,749 0,761 0,773 0,786 0,798 0,811 0,824 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,441 0,461 0,481 0,501 0,521 0,542 0,562 0,583 0,604 0,614 0,625 0,635 0,646 0,656 0,667 0,678 0,689 0,700 0,712 0,723 0,734 0,746 0,757 0,769 0,782 0,794 0,806 0,819 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,501 0,521 0,541 0,562 0,582 0,603 0,613 0,624 0,634 0,645 0,655 0,666 0,676 0,687 0,698 0,710 0,721 0,732 0,743 0,754 0,766 0,778 0,790 0,802 0,815 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,521 0,541 0,561 0,582 0,602 0,612 0,623 0,633 0,644 0,654 0,665 0,675 0,686 0,696 0,708 0,719 0,730 0,741 0,752 0,763 0,775 0,787 0,799 0,811 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,541 0,561 0,581 0,602 0,612 0,622 0,632 0,643 0,653 0,664 0,674 0,685 0,695 0,706 0,717 0,728 0,739 0,750 0,761 0,773 0,784 0,796 0,808 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,541 0,561 0,581 0,601 0,611 0,622 0,632 0,642 0,653 0,663 0,673 0,684 0,694 0,705 0,716 0,727 0,737 0,748 0,759 0,771 0,782 0,794 0,805 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
440 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 0,999 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 0,878 0,895 0,913 0,931 0,949 0,969 0,990 1,012 1,035 1,060 1,087 1,116 1,148 1,184 1,225 1,272 1,329 1,402 1,447 1,502 1,573 1,671 1,838 2,223∞ 1,417 1,036 0,873 0,778 0,711 0,618 0,554 0,504 0,464 0,431 0,403 0,379 0,357 0,338 0,321 0,305 0,291 0,278 0,266 0,255 0,244 0,235 0,226 0,209 0,195 0,865 0,881 0,897 0,914 0,932 0,950 0,970 0,990 1,012 1,035 1,060 1,088 1,117 1,151 1,188 1,232 1,285 1,351 1,393 1,443 1,508 1,598 1,751 2,102∞ 1,264 0,915 0,766 0,680 0,620 0,535 0,477 0,432 0,396 0,366 0,341 0,319 0,299 0,282 0,26 7 0,253 0,240 0,229 0,218 0,208 0,199 0,191 0,183 0,168 0,156 0,854 0,869 0,885 0,901 0,918 0,935 0,954 0,973 0,994 1,015 1,039 1,064 1,092 1,123 1,158 1,199 1,248 1,310 1,348 1,395 1,454 1,537 1,678 2,002∞ 1,138 0,817 0,681 0,602 0,546 0,469 0,415 0,374 0,342 0,315 0,292 0,272 0,254 0,239 0,225 0,212 0,201 0,191 0,181 0,173 0,165 0,157 0,50 0,138 0,127 0,845 0,860 0,875 0,890 0,906 0,923 0,940 0,959 0,978 0,999 1,021 1,045 1,072 1,101 1,134 1,172 1,217 1,275 1,311 1,354 1,409 1,487 1,617 1,917∞ 1,033 0,737 0,610 0,537 0,486 0,415 0,365 0,328 0,298 0,273 0,252 0,234 0,218 0,204 0,192 0,181 0,170 0,161 0,153 0,145 0,138 0,131 0,215 0,114 0,104 0,838 0,852 0,866 0,881 0,897 0,912 0,930 0,947 0,966 0,986 1,007 1,029 1,054 1,081 1,113 1,148 1,188 1,246 1,280 1,339 1,372 1,444 1,565 1,845∞ 0,951 0,669 0,551 0,483 0,436 0,370 0,324 0,289 0,262 0,239 0,220 0,204 0,189 0,176 0,165 0,155 0,146 0,137 0,130 0,123 0,116 0,11 0 0,105 0,095 0,086 0,832 0,846 0,860 0,874 0,889 0,905 0,921 0,937 0,955 0,974 0,994 1,016 1,039 1,065 1,095 1,128 1,167 1,319 1,250 1,288 1,337 1,404 1,519 1,780∞ 0,870 0,612 0,502 0,440 0,394 0,333 0,290 0,259 0,233 0,212 0,194 0,179 0,165 0,154 0,143 0,135 0,126 0,118 0,111 0,105 0,099 0,094 0,088 0,080 0,072 0,828 0,841 0,854 0,868 0,882 0,898 0,913 0,929 0,946 0,964 0,984 1,003 1,027 1,050 1,080 1,111 1,149 1,197 1,227 1,262 1,309 1,373 1,479 1,725∞ 0,803 0,553 0,459 0,399 0,358 0,300 0,262 0,231 0,209 0,191 0,172 0,158 0,146 0,135 0,125 0,117 0,109 0,102 0,096 0,090 0,085 0,080 0,076 0,068 0,060 0,823 0,836 0,850 0,863 0,877 0,891 0,906 0,922 0,938 0,956 0,974 0,995 1,016 1,040 1,066 1,097 1,133 1,179 1,207 1,241 1,284 1,344 1,451 1,678∞ 0,746 0,526 0,422 0,366 0,327 0,272 0,236 0,208 0,187 0,168 0,153 0,140 0,129 0,119 0,110 0,102 0,095 0,089 0,084 0,078 0,073 0,068 0,064 0,057 0,051 0,820 0,833 0,846 0,859 0,872 0,887 0,901 0,916 0,932 0,949 0,967 0,986 1,006 1,029 1,054 1,084 1,119 1,162 1,190 1,221 1,263 1,319 1,416 1,635∞ 0,697 0,481 0,389 0,336 0,300 0,249 0,214 0,189 0,170 0,151 0,137 0,125 0,114 0,105 0,097 0,090 0,084 0,078 0,072 0,068 0,063 0,059 0,056 0,049 0,044 0,818 0,830 0,842 0,855 0,868 0,882 0,896 0,911 0,927 0,943 0,960 0,979 0,999 1,021 1,044 1,073 1,106 1,148 1,173 1,204 1,243 1,297 1,388 1,596∞ 0,651 0,447 0,360 0,310 0,276 0,228 0,195 0,174 0,154 0,136 0,123 0,112 0,102 0,094 0,086 0,080 0,074 0,068 0,064 0,060 0,055 0,051 0,048 0,042 0,038 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
441 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 0,182 0,70 0,160 0,150 0,142 0,134 0,127 0,120 0,114 0,108 0,103 0,098 0,093 0,083 0,074 0,067 0,060 0,054 0,049 0,045 0,041 0,038 0,035 0,030 0,025 0,022 0,019 0,017 0,015 0,013 0,012 0,010 0,009 0,006 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,145 0,135 0,126 0,118 0,110 0,103 0,097 0,092 0,087 0,082 0,077 0,073 0,069 0,061 0,054 0,048 0,043 0,038 0,034 0,031 0,028 0,026 0,023 0,019 0,016 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,117 0,108 0,100 0,093 0,087 0,081 0,076 0,071 0,067 0,063 0,059 0,056 0,053 0,046 0,040 0,035 0,031 0,027 0,024 0,022 0,020 0,018 0,016 0,013 0,011 0,009 0,008 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,095 0,088 0,081 0,075 0,069 0,064 0,060 0,056 0,052 0,049 0,046 0,043 0,040 0,035 0,030 0,026 0,023 0,020 0,017 0,015 0,014 0,012 0,011 0,009 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,079 0,072 0,066 0,061 0,056 0,052 0,048 0,044 0,041 0,038 0,036 0,033 0,031 0,026 0,023 0,019 0,016 0,014 0,012 0,011 0,010 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,065 0,060 0,054 0,050 0,045 0,042 0,038 0,036 0,033 0,030 0,028 0,026 0,024 0,020 0,017 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,055 0,050 0,045 0,041 0,037 0,034 0,032 0,028 0,026 0,024 0,022 0,021 0,020 0,016 0,013 0,011 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,046 0,041 0,037 0,034 0,030 0,028 0,026 0,023 0,021 0,019 0,018 0,017 0,015 0,012 0,010 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,039 0,035 0,031 0,028 0,025 0,023 0,021 0,019 0,017 0,016 0,014 0,013 0,012 0,010 0,008 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,033 0,030 0,026 0,024 0,021 0,019 0,017 0,016 0,014 0,013 0,012 0,010 0,009 0,008 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
442 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,561 0,581 0,601 0,611 0,621 0,632 0,642 0,652 0,662 0,673 0,683 0,694 0,704 0,715 0,726 0,736 0,747 0,758 0,769 0,780 0,792 0,804 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,581 0,601 0,611 0,621 0,631 0,641 0,652 0,662 0,672 0,683 0,693 0,704 0,714 0,725 0,735 0,746 0,757 0,768 0,779 0,790 0,802 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,580 0,601 0,611 0,621 0,631 0,641 0,651 0,662 0,672 0,682 0,692 0,703 0,713 0,724 0,734 0,745 0,756 0,767 0,778 0,789 0,800 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,580 0,600 0,611 0,621 0,631 0,641 0,651 0,661 0,672 0,682 0,692 0,702 0,713 0,723 0,734 0,744 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,580 0,600 0,610 0,621 0,631 0,641 0,651 0,661 0,671 0,681 0,692 0,702 0,712 0,723 0,733 0,744 0,754 0,765 0,776 0,787 0,798 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
443 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII N u 8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 0,999 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 0,815 0,827 0,839 0,852 0,865 0,878 0,892 0,907 0,921 0,937 0,954 0,972 0,991 1,012 1,036 1,062 1,097 1,136 1,157 1,187 1,224 1,275 1,363 1,560∞ 0,614 0,420 0,337 0,289 0,257 0,212 0,173 0,158 0,140 0,123 0,111 0,101 0,092 0,084 0,077 0,071 0,065 0,061 0,056 0,052 0,048 0,045 0,043 0,037 0,032 0,813 0,825 0,837 0,849 0,862 0,875 0,889 0,903 0,918 0,933 0,949 0,967 0,986 1,006 1,029 1,055 1,085 1,124 1,147 1,175 1,210 1,260 1,342 1,530∞ 0,577 0,391 0,313 0,269 0,237 0,195 0,165 0,143 0,127 0,112 0,101 0,091 0,083 0,075 0,069 0,063 0,058 0,054 0,050 0,046 0,042 0,039 0,037 0,032 0,028 0,811 0,823 0,835 0,847 0,860 0,873 0,886 0,900 0,914 0,929 0,944 0,961 0,980 0,999 1,022 1,047 1,074 1,112 1,134 1,160 1,196 1,243 1,320 1,500∞ 0,546 0,368 0,294 0,255 0,221 0,181 0,152 0,132 0,116 0,102 0,092 0,082 0,074 0,067 0,062 0,056 0,052 0,048 0,045 0,041 0,037 0,034 0,032 0,028 0,024 0,810 0,822 0,833 0,845 0,858 0,870 0,883 0,897 0,911 0,925 0,940 0,957 0,975 0,994 1,016 1,040 1,063 1,100 1,122 1,150 1,183 1,228 1,302 1,476∞ 0,519 0,350 0,278 0,237 0,209 0,170 0,143 0,124 0,106 0,094 0,084 0,075 0,067 0,060 0,055 0,050 0,046 0,043 0,040 0,036 0,033 0,030 0,028 0,024 0,021 0,809 0,820 0,831 0,844 0,856 0,868 0,881 0,894 0,908 0,922 0,937 0,953 0,970 0,989 1,010 1,033 1,053 1,087 1,108 1,132 1,165 1,208 1,280 1,447∞ 0,494 0,331 0,262 0,223 0,196 0,159 0,134 0,115 0,098 0,086 0,077 0,069 0,062 0,055 0,050 0,045 0,041 0,038 0,035 0,032 0,029 0,027 0,025 0,021 0,018 FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
444 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 0,028 0,025 0,022 0,020 0,018 0,016 0,014 0,013 0,011 0,010 0,009 0,009 0,008 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,024 0,021 0,019 0,017 0,015 0,013 0,012 0,011 0,009 0,008 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,021 0,018 0,016 0,014 0,012 0,011 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,016 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
445 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,099 0,119 0,139 0,158 0,178 0,197 0,216 0,234 0,253 0,272 0,291 0,308 0,326 0,344 0,362 0,380 0,397 0,414 0,431 0,447 0,463 0,479 0,494 0,509 0,524 0,540 0,547 0,554 0,562 0,569 0,576 0,583 0,590 0,597 0,603 0,610 0,617 0,624 0,630 0,637 0,643 0,649 0,656 0,662 0,668 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,119 0,139 0,159 0,179 0,198 0,217 0,236 0,255 0,274 0,293 0,311 0,329 0,347 0,355 0,384 0,401 0,419 0,437 0,453 0,470 0,485 0,501 0,517 0,533 0,548 0,556 0,563 0,571 0,579 0,585 0,593 0,599 0,607 0,613 0,620 0,627 0,634 0,641 0,648 0,655 0,661 0,667 0,673 0,680 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,159 0,179 0,199 0,218 0,237 0,256 0,275 0,294 0,313 0,331 0,350 0,368 0,387 0,405 0,423 0,440 0,458 0,475 0,491 0,507 0,523 0,539 0,555 0,563 0,571 0,579 0,586 0,592 0,600 0,607 0,615 0,621 0,629 0,636 0,643 0,650 0,657 0,664 0,670 0,677 0,683 0,689 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,199 0,219 0,238 0,257 0,276 0,295 0,314 0,333 0,352 0,371 0,390 0,407 0,426 0,444 0,461 0,479 0,494 0,512 0,528 0,545 0,561 0,569 0,578 0,585 0,592 0,599 0,607 0,614 0,622 0,629 0,637 0,644 0,651 0,659 0,665 0,671 0,679 0,685 0,692 0,698 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,219 0,239 0,258 0,277 0,296 0,316 0,335 0,354 0,373 0,392 0,409 0,429 0,447 0,464 0,482 0,499 0,516 0,533 0,550 0,566 0,575 0,583 0,590 0,598 0,606 0,613 0,621 0,628 0,635 0,644 0,651 0,658 0,665 0,672 0,679 0,687 0,693 0,700 0,705 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,259 0,278 0,297 0,317 0,337 0,356 0,374 0,393 0,411 0,430 0,449 0,467 0,485 0,502 0,520 0,537 0,554 0,571 0,579 0,578 0,595 0,602 0,610 0,618 0,626 0,634 0,641 0,649 0,657 0,664 0,672 0,679 0,686 0,693 0,700 0,707 0,713 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,259 0,278 0,298 0,318 0,338 0,357 0,375 0,394 0,412 0,432 0,451 0,469 0,487 0,505 0,522 0,540 0,558 0,575 0,583 0,591 0,599 0,607 0,615 0,622 0,631 0,639 0,646 0,654 0,661 0,669 0,677 0,684 0,691 0,699 0,705 0,713 0,719 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,279 0,298 0,318 0,338 0,357 0,376 0,395 0,413 0,433 0,452 0,471 0,489 0,507 0,525 0,543 0,561 0,578 0,587 0,595 0,603 0,611 0,619 0,626 0,635 0,643 0,651 0,659 0,666 0,674 0,682 0,689 0,696 0,704 0,711 0,718 0,724 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,299 0,319 0,339 0,358 0,377 0,396 0,414 0,434 0,453 0,472 0,491 0,509 0,527 0,545 0,563 0,581 0,589 0,598 0,607 0,615 0,623 0,630 0,639 0,647 0,655 0,663 0,671 0,679 0,687 0,694 0,701 0,709 0,715 0,723 0,729 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,299 0,319 0,339 0,358 0,377 0,396 0,415 0,435 0,454 0,473 0,492 0,511 0,529 0,547 0,567 0,583 0,592 0,600 0,609 0,618 0,626 0,634 0,643 0,651 0,659 0,667 0,674 0,682 0,691 0,698 0,705 0,713 0,719 0,727 0,733 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
446 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 0,674 0,680 0,686 0,692 0,698 0,704 0,710 0,715 0,721 0,727 0,732 0,738 0,743 0,749 0,754 0,759 0,764 0,770 0,772 0,775 0,777 0,780 0,782 0,785 0,788 0,790 0,793 0,795 0,800 0,805 0,810 0,815 0,819 0,824 0,828 0,833 0,837 0,842 0,846 0,851 0,855 0,859 0,864 0,868 0,872 0,876 0,880 0,888 0,900 0,908 0,685 0,691 0,698 0,703 0,709 0,715 0,721 0,727 0,733 0,739 0,744 0,750 0,754 0,761 0,767 0,772 0,777 0,782 0,785 0,787 0,790 0,793 0,795 0,797 0,799 0,801 0,804 0,807 0,811 0,816 0,821 0,826 0,831 0,836 0,840 0,845 0,849 0,854 0,858 0,861 0,866 0,870 0,874 0,878 0,882 0,886 0,891 0,898 0,910 0,917 0,695 0,701 0,707 0,713 0,719 0,725 0,731 0,738 0,743 0,749 0,754 0,760 0,766 0,772 0,777 0,783 0,788 0,793 0,796 0,798 0,801 0,804 0,806 0,808 0,810 0,812 0,815 0,818 0,822 0,829 0,831 0,837 0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,864 0,868 0,872 0,876 0,880 0,884 0,888 0,892 0,896 0,900 0,908 0,919 0,926 0,703 0,710 0,717 0,722 0,729 0,735 0,741 0,747 0,753 0,758 0,764 0,770 0,776 0,782 0,787 0,793 0,798 0,803 0,805 0,808 0,811 0,814 0,816 0,818 0,820 0,822 0,824 0,828 0,832 0,837 0,841 0,846 0,851 0,856 0,860 0,865 0,870 0,873 0,878 0,881 0,886 0,890 0,893 0,897 0,901 0,904 0,909 0,917 0,927 0,934 0,712 0,719 0,725 0,731 0,737 0,744 0,750 0,756 0,762 0,767 0,773 0,779 0,785 0,791 0,795 0,801 0,807 0,812 0,814 0,818 0,820 0,822 0,824 0,826 0,829 0,831 0,833 0,837 0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,865 0,870 0,874 0,878 0,882 0,886 0,890 0,895 0,899 0,902 0,906 0,910 0,913 0,917 0,925 0,935 0,945 0,720 0,727 0,733 0,740 0,746 0,752 0,758 0,764 0,770 0,776 0,781 0,787 0,793 0,799 0,804 0,809 0,815 0,820 0,822 0,825 0,827 0,830 0,832 0,834 0,837 0,840 0,843 0,845 0,850 0,855 0,859 0,864 0,869 0,873 0,877 0,881 0,886 0,891 0,895 0,899 0,903 0,907 0,911 0,915 0,918 0,921 0,929 0,935 0,942 0,948 0,726 0,733 0,740 0,746 0,752 0,759 0,765 0,771 0,777 0,783 0,789 0,795 0,800 0,807 0,813 0,819 0,824 0,826 0,828 0,830 0,833 0,837 0,840 0,842 0,845 0,847 0,850 0,853 0,857 0,862 0,867 0,871 0,876 0,880 0,885 0,890 0,894 0,897 0,902 0,905 0,910 0,914 0,917 0,921 0,925 0,928 0,932 0,940 0,948 0,954 0,732 0,739 0,745 0,752 0,758 0,765 0,771 0,777 0,783 0,789 0,795 0,801 0,807 0,812 0,818 0,823 0,829 0,834 0,836 0,839 0,841 0,844 0,847 0,849 0,852 0,855 0,858 0,860 0,864 0,870 0,874 0,879 0,883 0,887 0,892 0,897 0,900 0,904 0,908 0,912 0,916 0,920 0,923 0,927 0,931 0,934 0,938 0,945 0,954 0,960 0,737 0,744 0,751 0,757 0,764 0,770 0,777 0,783 0,789 0,795 0,801 0,807 0,813 0,818 0,824 0,829 0,835 0,840 0,843 0,845 0,847 0,850 0,753 0,856 0,858 0,861 0,864 0,866 0,871 0,877 0,881 0,885 0,889 0,893 0,898 0,903 0,907 0,910 0,914 0,918 0,922 0,926 0,930 0,933 0,937 0,940 0,944 0,950 0,960 0,965 0,741 0,749 0,755 0,762 0,769 0,775 0,782 0,788 0,794 0,800 0,807 0,812 0,818 0,823 0,829 0,835 0,841 0,846 0,848 0,851 0,853 0,856 0,859 0,862 0,864 0,867 0,870 0,872 0,877 0,883 0,887 0,891 0,896 0,900 0,904 0,908 0,912 0,916 0,919 0,923 0,928 0,931 0,934 0,939 0,942 0,945 0,949 0,955 0,964 0,970 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
447 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,915 0,922 0,930 0,937 0,944 0,951 0,957 0,964 0,970 0,977 0,983 0,997 1,012 1,026 1,039 1,052 1,064 1,075 1,086 1,097 1,107 1,126 1,144 1,161 1,176 1,190 1,204 1,216 1,228 1,239 1,249 1,292 1,326 1,352 1,374 1,406 1,430 1,447 1,461 1,471 0,925 0,931 0,939 0,946 0,952 0,959 0,965 0,972 0,977 0,983 0,990 1,002 1,017 1,029 1,042 1,053 1,064 1,074 1,085 1,095 1,103 1,120 1,136 1,150 1,163 1,175 1,187 1,196 1,208 1,216 1,224 1,260 1,286 1,308 1,325 1,342 1,360 1,373 1,384 1,394 0,933 0,940 0,948 0,954 0,960 0,966 0,972 0,979 0,983 0,989 0,996 1,007 1,020 1,032 1,044 1,054 1,064 1,074 1,084 1,092 1,100 1,115 1,129 1,141 1,152 1,162 1,172 1,180 1,189 1,196 1,203 1,232 1,251 1,270 1,283 1,292 1,303 1,313 1,319 1,324 0,941 0,948 0,955 0,961 0,967 0,973 0,979 0,984 0,989 0,994 1,001 1,012 1,024 1,035 1,045 1,055 1,064 1,073 1,082 1,090 1,096 1,110 1,122 1,133 1,142 1,150 1,159 1,166 1,173 1,178 1,184 1,206 1,223 1,235 1,245 1,252 1,260 1,266 1,269 1,272 0,948 0,955 0,962 0,968 0,974 0,979 0,984 0,990 0,995 0,999 1,005 1,016 1,027 1,037 1,047 1,056 1,065 1,072 1,081 1,087 1,093 1,104 1,115 1,124 1,133 1,140 1,147 1,153 1,158 1,162 1,168 1,185 1,198 1,205 1,212 1,221 1,225 1,229 1,231 1,233 0,955 0,961 0,967 0,973 0,979 0,984 0,989 0,995 1,000 1,005 1,009 1,020 1,030 1,039 1,048 1,057 1,065 1,071 1,079 1,085 1,090 1,100 1,109 1,117 1,124 1,131 1,137 1,142 1,146 1,150 1,154 1,167 1,176 1,183 1,188 1,195 1,199 1,201 1,203 1,203 0,961 0,967 0,973 0,979 0,985 0,989 0,995 1,000 1,004 1,008 1,012 1,022 1,032 1,041 1,049 1,056 1,064 1,069 1,077 1,081 1,085 1,094 1,102 1,110 1,116 1,121 1,126 1,130 1,132 1,137 1,140 1,151 1,158 1,162 1,166 1,171 1,174 1,175 1,176 1,176 0,966 0,972 0,978 0,983 0,989 0,993 0,998 1,003 1,007 1,011 1,015 1,024 1,034 1,041 1,049 1,056 1,062 1,067 1,074 1,079 1,082 1,089 1,096 1,103 1,109 1,113 1,117 1,120 1,122 1,125 1,128 1,138 1,142 1,146 1,149 1,152 1,153 1,154 1,156 1,156 0,981 0,976 0,982 0,987 0,993 0,997 1,001 1,006 1,010 1,014 1,017 1,026 1,035 1,042 1,049 1,055 1,060 1,066 1,071 1,075 1,078 1,085 1,090 1,097 1,101 1,105 1,106 1,110 1,112 1,115 1,117 1,125 1,129 1,131 1,134 1,136 1,136 1,137 1,137 1,137 0,975 0,980 0,986 0,991 0,996 1,000 1,004 1,009 1,012 1,016 1,019 1,028 1,035 1,042 1,048 1,053 1,058 1,063 1,066 1,071 1,075 1,080 1,085 1,090 1,094 1,098 1,000 1,102 1,103 1,106 1,107 1,113 1,117 1,119 1,121 1,122 1,122 1,122 1,122 1,122 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
448 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,339 0,359 0,378 0,397 0,417 0,436 0,455 0,474 0,493 0,512 0,531 0,549 0,567 0,585 0,594 0,603 0,612 0,620 0,629 0,637 0,646 0,654 0,662 0,670 0,678 0,686 0,694 0,702 0,709 0,717 0,724 0,731 0,738 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,379 0,398 0,418 0,437 0,456 0,475 0,494 0,513 0,532 0,550 0,569 0,587 0,596 0,605 0,615 0,623 0,632 0,640 0,649 0,657 0,665 0,673 0,681 0,689 0,698 0,705 0,712 0,720 0,727 0,735 0,742 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,398 0,418 0,437 0,457 0,476 0,495 0,515 0,533 0,552 0,570 0,589 0,598 0,607 0,616 0,625 0,634 0,643 0,652 0,660 0,668 0,677 0,685 0,694 0,702 0,710 0,717 0,725 0,733 0,740 0,748 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,419 0,439 0,458 0,478 0,497 0,517 0,536 0,555 0,574 0,593 0,602 0,611 0,620 0,629 0,638 0,647 0,656 0,665 0,674 0,682 0,690 0,699 0,707 0,716 0,724 0,731 0,739 0,747 0,754 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,459 0,479 0,498 0,518 0,537 0,558 0,576 0,595 0,604 0,613 0,622 0,631 0,640 0,650 0,659 0,668 0,677 0,686 0,694 0,703 0,712 0,720 0,728 0,736 0,744 0,752 0,760 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
449 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,030 1,040 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 0,746 0,753 0,760 0,766 0,773 0,780 0,786 0,793 0,799 0,805 0,811 0,817 0,823 0,829 0,835 0,840 0,846 0,851 0,854 0,857 0,859 0,861 0,864 0,867 0,870 0,873 0,875 0,877 0,882 0,888 0,892 0,896 0,901 0,905 0,909 0,913 0,917 0,921 0,925 0,928 0,932 0,936 0,939 0,943 0,947 0,950 0,956 0,962 0,968 0,974 0,750 0,757 0,764 0,771 0,778 0,784 0,791 0,797 0,803 0,810 0,816 0,821 0,828 0,833 0,840 0,845 0,861 0,866 0,859 0,861 0,863 0,867 0,869 0,873 0,874 0,878 0,880 0,883 0,887 0,893 0,897 0,901 0,906 0,910 0,914 0,918 0,921 0,926 0,929 0,933 0,936 0,941 0,944 0,947 0,950 0,953 0,957 0,962 0,971 0,977 0,755 0,762 0,769 0,776 0,783 0,790 0,797 0,803 0,810 0,816 0,822 0,828 0,834 0,840 0,846 0,852 0,857 0,863 0,866 0,868 0,870 0,873 0,876 0,879 0,881 0,884 0,886 0,889 0,893 0,898 0,903 0,907 0,911 0,916 0,920 0,923 0,927 0,931 0,935 0,938 0,942 0,945 0,948 0,951 0,954 0,958 0,964 0,970 0,975 0,981 0,762 0,770 0,777 0,784 0,791 0,798 0,804 0,811 0,818 0,825 0,831 0,837 0,844 0,850 0,856 0,861 0,867 0,972 0,875 0,878 0,880 0,883 0,885 0,887 0,890 0,893 0,896 0,898 0,902 0,907 0,911 0,915 0,919 0,923 0,927 0,931 0,935 0,939 0,943 0,947 0,950 0,953 0,957 0,960 0,963 0,966 0,972 0,977 0,982 0,987 0,768 0,776 0,783 0,790 0,798 0,805 0,812 0,819 0,826 0,832 0,839 0,845 0,851 0,857 0,864 0,869 0,875 0,881 0,883 0,886 0,889 0,891 0,894 0,897 0,899 0,902 0,904 0,907 0,911 0,916 0,920 0,924 0,928 0,932 0,936 0,940 0,944 0,948 0,951 0,954 0,957 0,960 0,963 0,965 0,968 0,970 0,976 0,981 0,986 0,990 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
450 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,979 0,985 0,990 0,994 0,998 1,001 1,005 1,009 1,014 1,016 1,020 1,029 1,035 1,041 1,047 1,052 1,057 1,061 1,065 1,068 1,071 1,076 1,080 1,084 1,087 1,090 1,092 1,094 1,096 1,098 1,099 1,103 1,106 1,108 1,110 1,111 1,111 1,111 1,111 1,111 0,978 0,986 0,992 0,996 1,000 1,004 1,008 1,013 1,016 1,019 1,021 1,029 1,035 1,040 1,046 1,051 1,055 1,059 1,060 1,064 1,068 1,071 1,073 1,079 1,081 1,083 1,085 1,087 1,088 1,089 1,090 1,093 1,097 1,098 1,099 1,100 1,100 1,100 1,100 1,100 0,985 0,990 0,995 0,999 1,003 1,006 1,010 1,014 1,017 1,020 1,022 1,029 1,034 1,039 1,043 1,047 1,051 1,054 1,057 1,059 1,062 1,065 1,068 1,071 1,073 1,075 1,076 1,077 1,078 1,079 1,080 1,082 1,084 1,085 1,085 1,085 1,086 1,086 1,086 1,086 0,991 0,995 0,999 1,002 1,006 1,009 1,012 1,016 1,018 1,020 1,022 1,028 1,032 1,036 1,039 1,042 1,045 1,047 1,049 1,051 1,053 1,056 1,058 1,060 1,061 1,062 1,063 1,063 1,064 1,065 1,065 1,066 1,067 1,067 1,068 1,068 1,068 1,068 1,068 1,068 0,994 0,997 1,001 1,005 1,008 1,011 1,014 1,016 1,018 1,020 1,022 1,028 1,030 1,034 1,037 1,039 1,041 1,043 1,045 1,046 1,047 1,049 1,050 1,051 1,052 1,053 1,054 1,054 1,054 1,055 1,055 1,055 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
451 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VIII) 1. En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre. En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico. 2. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se coloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C de Chezy es 40 m1/2 /s, calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero. ¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12? 3. Se tiene un canal trapecial de concreto (n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en el fondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3 /s. En cierta sección el tirante correspondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una sección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada. 4. Se tiene un canal trapecial de20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m3 /s. La pendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es n =0,028. Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en la desembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay marea baja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirante normal. Calcular la curva de remanso en cada caso. 5. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad n deKutter es 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3 /s. a) Calcular el tirante normal b) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentaráal colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m. yn
452 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 6. Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave y redondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de concreto, con n =0,013, es recto y largo. La pendiente es 0S =0,001. Calcular el caudal y el tipodeperfilsuperficialenlaentradadelcanalsisesuponequelaspérdidassondespreciables. 7. El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son los siguientes Cota del fondo del canal en la desembocadura 575,80 m Cota del fondo del canal en su iniciación 575,85 m Longitud del canal 275,00 m Ancho del canal 8,00 m Coeficiente de Kutter (supóngase constante) 0,014 Gasto en el canal 5,0 m3 /s Nivel del agua en el río 576,80 m Calcular a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en el canal. 8. Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las S0 H 575,85 m 575,80 m 576,80 m
453 Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII siguientes 9. Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro que tiene un tirante de 0,60 m. 10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay un vertedero que eleva la corriente a 1,20 m de tirante. Existe una compuerta de fondo a 300 m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de tirante. El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2 /s y el tirante normal es 0,90 m. Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo y el vertedero. Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura? Indicar igualmente los tipos de curva y sus características. b T T = 12 m b = 5 m 2 1

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Movimiento gradualmente variado

  • 1.
    395 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.1 Introducción El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes. El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento gradualmente variado. La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.). La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente La pérdida de carga en una sección es la misma que correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada. La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,
  • 2.
    396 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras. Las principales son las siguientes i) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado. Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1. Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de corriente no tienen curvatura y, por lo tanto, no hay componentes de la aceleración normales a la dirección de la corriente. Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1. P' P N M Flujo convexo M Flujo cóncavo P' P N M N P Flujo uniforme
  • 3.
    397 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII ii) El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no es un ‘‘canal prismático’’. iii) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del tirante. iv) La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la velocidad media varía. v) La pendiente del canal es pequeña, de modo que a) La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo del canal. b) No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande, la alta velocidad da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose, eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente para velocidades mayores de 6 m/s. En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un punto de la corriente. Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente. Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o normalmente al fondo. vi) El factor de sección Z y el factor de capacidad K , que se definen a continuación, son funciones exponenciales del tirante. y cosθy cos θy θ 2
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    398 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales El factor de sección Z se define de la siguiente manera dAZ = (8-1) siendo TAd = , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así T A Z 3 = (8-2) A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial. Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo del movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes YX SCRV = (8-3) YX SCARQ = (8-4) Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente S es 1/2. Luego, 2 1 SCARQ X = (8-5) K Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión X CAR . En consecuencia, X CARK = (8-6) Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la capacidad de conducción de la sección transversal. De las últimas expresiones se deduce inmediatamente que 2 1 KSQ = (8-7) Luego, 2 1 S Q K = (8-8) Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,
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    399 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII 2 1 CARK = (8-9) Si se utiliza la ecuación de Manning, n AR K 3 2 = (8-10) 8.2 Definiciones fundamentales Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente, rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se denomina normal ( ny ). En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y, por lo tanto, la velocidad media de la corriente). Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, la corriente se eleva y, por lo tanto, se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hace mayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento gradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su tirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de remanso, (Figura 8.3). Podría ser también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída la energía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguas arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así una corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en la Figura 8.3. Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida y Eje Hidráulico Vertedero Corriente peraltada y > y y Corriente deprimida y < y yn yn yc n n
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    400 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado. Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientes peraltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’, entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado. Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras definiciones. Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente. En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio, en un torrente es menor. Figura 8.4 Ríos y torrentes En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condiciones de aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo. Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientes suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuertes los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico. A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientes fuertes se les denomina tipo S, del ingles steep. Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes Pendiente suave (tipo M) y > y Pendiente fuerte (tipo S) y < y c y yn n c n c n y yc y Río ( y > y ) y Torrente ( y < y ) yc c y c c
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    401 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y son pendientes fuertes los que dan torrentes. Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, un lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa. Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave), puede escurrir un río o un torrente. La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento crítico en movimiento uniforme. Zonas En función de las posiciones relativas (magnitud) que tienen el tirante crítico cy , el normal ny , así como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas Zona 1 n c yy yy > > Zona 2 cn nc yyy yyy << << Zona 3 n c yy yy < < 8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado, que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en la Figura 8.6. La energía total H es zy g V H ++= 2 2 (8-11) Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo es pequeña. El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayor que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal. El tirante del movimiento gradualmente variado y está comprendido entre el crítico y el normal. El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.
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    402 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales 2g 2 V y H (1) (2) z dx SE Línea de energía Superficie libre SW θ 0 S Fondo x Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado La variación de esta energía a lo largo del canal es dx dH , siendo x la ordenada en la dirección de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene dx zy g V d dx dH       ++ = 2 2 (8-12) La pendiente 0S del fondo se define como el seno del ángulo θ . La pendiente ES de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de Manning. La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si asciende en la dirección del flujo. La variación de energía H∆ es siempre negativa en la dirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema.La variación de la elevación del fondo z∆ puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6, z∆ es negativa. Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección de escurrimiento, se tendrá que dx dz S −== θsen0
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    403 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII 3 4 22 2 2 R nV RC V dx dH SE −=−=−= Luego, ESS dx y g V d −=−       + 0 2 2 ( 8-12a) Pero       + y g V 2 2 es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto, ESS dx dE −= 0 (8-13) Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que 2 1 F dy dE −= Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene 2 0 1 F SS dx dy E − − = (8-14) que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado. Como el cuadrado del número de Froude es 3 2 2 gA TQ F = (8-15) se tiene que, 3 2 0 1 gA TQ SS dx dy E − − = (8-16)
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    404 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ). Según la definición de factor de capacidad 2 1 ES Q K = para cualquier sección del M. G. V. 2 1 0S Q Kn = para el movimiento uniforme Luego, 2 0     = K K S S nE Según la definición de factor de sección T A Z 3 = para cualquier sección g Q Zc = para condiciones críticas Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas el número de Froude es igual a 1, por lo tanto T A ggdV cc == ; T A g A Q Vc == T A g A Q =2 2 ; 2 32 cZ T A g Q == Luego, 3 22 gA TQ Z Zc =      Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a
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    405 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII 2 2 0 1 1       −     − = Z Z K K S dx dy c n (8-17) que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado. Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variación de la superficie libre con respecto al fondo del canal. Aplicación a una sección rectangular muy ancha Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene n y n AR K n n 3 5 3 2 == (para condiciones normales) n y n AR K 3 5 3 2 == (para cualquier sección del M. G. V.) 3 2 ccc ydAZ == (para flujo crítico) 2 3 ydAZ == (para cualquier sección del M. G. V.) Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene 3 3 10 0 1 1       −       − = y y y y S dx dy c n (8-18) que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning) en movimiento gradualmente variado. Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimiento gradualmente variado sería
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    406 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales 3 3 0 1 1       −       − = y y y y S dx dy c n (8-19) Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor (constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo. La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así 2 2 0 1 1       −       − = c n Q Q Q Q S dx dy (8-20) siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado, nQ es el gasto para un flujo normal cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, cQ es el gasto crítico para una profundidad .y Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguiente ecuación dgA Q RAC Q S dx dy 2 2 22 2 0 1− − = (8-21) siendo d el tirante hidráulico T A Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la ecuación del movimiento gradualmente variado es 3 2 3 2 0 1 gA bQ dx db gA yQ SS dx dy E α α − +− = (8-22)
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    407 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos dx g V d dx dy SSE       ++−=− 2 2 0 α (1) Pero, ( ) dx dA A g Q dx dA g Q dx gA Q d dx g V d 3 2222 22 2 22 22 − − −==       =             +−= dx db y dx dy b gA Q 3 2 Reemplazando en (1)       +−+−=− dx db y dx dy b gA Q dx dy SSE 3 2 0 α De donde, 3 2 3 2 0 1 gA bQ dx db gA yQ SS dx dy E α α − +− = que es la expresión buscada. 8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico El signo de dx dy en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características del eje hidráulico. Así, Si 0> dx dy , entonces el tirante y aumenta en la dirección de la corriente. La superficie libre se levanta. Esta condición se da en los ríos peraltados y en los torrentes deprimidos. S0 y La superficie libre se levanta ( )0> dx dy SW
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    408 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales Si 0< dx dy , entonces el tirante y disminuye en la dirección de la corriente. La superficie libre desciende. Se da en los ríos deprimidos y en los torrentes peraltados. Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos casos especiales. ¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace igual al tirante crítico? Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que cZZ = , por lo tanto en la ecuación diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces → dx dy infinito lo que implicaría que para cyy = el eje hidráulico debería ser vertical, tal como se aprecia en la Figura 8.7. Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy = Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( cyy = ) el eje hidráulico tiene una gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar, por lo tanto, una distribución hidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las inmediaciones de cyy = . S0 y La superficie libre desciende ( ) dx dy 0 WS yyc y = yc
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    409 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII ¿Qué ocurre cuando el tirante se acerca a cero? En el caso más general el valor de dx dy se hace indeterminado. Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para 0=y se obtiene que → dx dy infinito, lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio, si hubiéramos usado la fórmula de Chezy (8-19) se tendría que 3 3 0 c n y y S dx dy = lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo. ¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal? Entonces 0= dx dy lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto, de un movimiento uniforme( )WSS =0 . ¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente? Entonces, 0S dx dy → o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal. 8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del primer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que, algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro. La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17 es
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    410 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales 2 2 0 1 1       −     − = Z Z K K S dx dy c n En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades Numerador y denominador positivos Numerador y denominador negativos Numerador positivo y denominador negativo Numerador negativo y denominador positivo Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variado, que son los siguientes - Río peraltado en pendiente suave (M1) - Río peraltado en pendiente fuerte (S1) - Torrente deprimido en pendiente suave (M3) - Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) - Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) - Río deprimido en pendiente suave (M2) PRIMERA POSIBILIDAD 0> dx dy Numerador y denominador positivos Como el numerador es positivo esto significa que 01 2 2 >− K Kn lo que necesariamente implica nKK > . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante normal ( nyy > ). Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada. 0> dx dy 0< dx dy
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    411 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII Como el denominador también es positivo, esto significa que 01 2 2 >− Z Zc Lo que necesariamente implica cZZ > ( cyy > ). Se trata por lo tanto de un río. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se tiene un río. Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado. Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dos primeros casos del movimiento gradualmente variado. Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Por lo tanto, cn yyy >> Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 1. Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava. Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que corresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también serán menores. Esta curva es la más conocida y estudiada, pues se presenta frecuentemente. Usualmente se le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta nyy = , de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo. Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hay una presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumento en la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc. Río peraltado en pendiente suave M1 y yc yn
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    412 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Luego, nc yyy >> Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima del tirante crítico y del normal (ZONA 1). Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de cyy = , que la realiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas abajo. Es una curva convexa. Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa o compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendiente es fuerte. Esta curva es de longitud limitada. Prosiguiendo con la discusión tenemos que SEGUNDA POSIBILIDAD 0> dx dy Numerador y denominador negativos Como el numerador es negativo esto implica que 01 2 2 <− K Kn lo que nos conduce a KKn > ( yyn > ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal. Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida. Como el denominador también es negativo se tiene que 01 2 2 <− Z Zc Río peraltado en pendiente fuerte y ycyn S1 SALTO
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    413 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII Lo que implica ZZc > . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( cyy < ). Se trata por lo tanto de un torrente. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativo se trata de un torrente. Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que por cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros dos casos de movimiento gradualmente variado. Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Luego, yyy cn >> Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava. Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible. Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en un estrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel ny que está determinado por las condiciones de aguas abajo. Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico, Por lo tanto, Torrente deprimido en pendiente suave M3 n yyc SALTO y Torrente deprimido en pendiente fuerte S3 yn yc y
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    414 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales yyy nc >> Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muy poco frecuente. Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura, que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente de muy fuerte a fuerte. Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en la dirección del escurrimiento, lo que implica la condición 0< dx dy TERCERA POSIBILIDAD 0< dx dy Numerador positivo y denominador negativo Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltada y denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado. Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente fuerte. Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente Corriente peraltada nyy > Torrente cyy < No hay solución posible Pendiente suave cyy > Por lo tanto, no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación de signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente. Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Luego, Torrente peraltado en pendiente fuerte yn yc S2 y
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    415 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII nc yyy >> Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en la ZONA 2. La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es una curva cóncava, asintótica hacia aguas abajo. Nótese que al corresponder este caso a 0< dx dy la superficie libre desciende en la dirección del escurrimiento. El eje hidráulico debe ser normal a cyy = . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección. CUARTA POSIBILIDAD 0< dx dy Numerador negativo y denominador positivo El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río. Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente. Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Luego, cn yyy >> Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2. Es una curva convexa del tipo M2. Río deprimido en pendiente suave yn yc M2 y
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    416 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a cyy = . El eje hidráulico es asintótico a nyy = . Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, un cambio de pendiente, etc. Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible. Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V. Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del movimiento gradualmente variado. En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación TABLA 8.1 RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS CASOS DEL MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO + 0 NUMERADOR DENOMINADOR CORRIENTE PERALTADA MOVIMIENTO UNIFORME CORRIENTE DEPRIMIDA RIO CRISIS TORRENTE general del M. G. V. que se presenta en la Tabla 8.1.
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    417 MovimientogradualmentevariadoCapítuloVIII Pendiente Suave cn yy> nyy > RIO PERALTADO M1 (CONCAVA) 0> dx dy cn yyy >> RIO DEPRIMIDO M2 (CONVEXA) 0< dx dy cyy < TORRENTEDEPRIMIDO M3 (CÓNCAVA) 0> dx dy cyy > RIO PERALTADO S1 (CONVEXA) 0> dx dy nc yyy >> TORRENTE PERALTADO S2 (CONCAVA) 0< dx dy nyy < TORRENTEDEPRIMIDO S3 (CONVEXA) 0> dx dy yn yc CASO 6 CASO 1 CASO 3 Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 0 dx dy son los ubicados en la ZONA 2. yn yc CASO 5 CASO 2 CASO 4 Pendiente fuerte nc yy >
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    418 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales yn yc 2n y 1 10 S S02 M1 P Río uniforme que empieza en el punto P S > >c 10 S S02 y 8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las otras características permanecen constantes. Los seis casos generales son - De pendiente suave a pendiente más suave - De pendiente suave a pendiente menos suave - De pendiente suave a pendiente fuerte - De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte - De pendiente fuerte a pendiente más fuerte - De pendiente fuerte a pendiente suave Los cuatro casos especiales son - De pendiente suave a pendiente crítica - De pendiente crítica a pendiente suave - De pendiente crítica a pendiente fuerte - De pendiente fuerte a pendiente crítica 1. De pendiente suave a pendiente más suave Sean 1ny e 2ny los tirantes normales en cada uno de los dos tramos. En el primer tramo, por ser pendiente suave, cn yy > 1 . En el segundo tramo, por ser pendiente suave también se cumple que cn yy > 2 El tirante normal del segundo tramo es mayor porque su pendiente es menor que la del primero. Por lo tanto, 12 nn yy >
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    419 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipo M1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo. 2. De pendiente suave a pendiente menos suave Por consideraciones similares a las anteriores se tiene que 12 nn yy < En ambos tramos se cumple que cn yy > 1 (pendiente suave) cn yy > 2 (pendiente menos suave) Como 2ny está más cerca de cy que 1ny , se dice que la pendiente es menos suave. El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto P empieza un río uniforme. 3. De pendiente suave a pendiente fuerte En el tramo de aguas arriba hay un río que al aproximarse al cambio de pendiente se deprime (M2) y tiende a acercarse normalmente a cyy = , como un río deprimido en pendiente suave. Inmediatamente aguas abajo del cambio de pendiente el torrente se peralta (S2), arrancando normalmente a cyy = como un torrente peraltado en pendiente fuerte. yn yc 2 n y 1 10 S S02 M2 P Río uniforme S < < 20 S Sc01 yc y yn yc 2 n y 1 10 S S02 S < <c S S01 yc M2 S2 20 (río deprimido en pendiente suave) (torrente peraltado en pendiente fuerte) SUAVE FUERTE yy >n 1 c y < y 2 n c
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    420 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales 4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3. 5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo. El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendiente más fuerte que la de aguas arriba. 6. De pendiente fuerte a pendiente suave Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un salto yn yc 2 n y 1 10 S S02 S > > cS S02 yc S2 (torrente peraltado en pendiente fuerte) yy <n1 c y < y 2n c P 10 ny > 1 y 2 n FUERTE MAS FUERTE yn1 yc y 2n S > >S 10 Sc 01 S 20 S 20 P S3 y FUERTE MENOS FUERTE y < 1n c yy <n2 c n y < 1 yn2 Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo. Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba.
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    421 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII hidráulico hay dos tirantes conjugados: 21 yy < (al respecto se puede ver la ecuación 7-90). En el presente caso de cambio de pendiente, 1ny es el tirante 1y del salto. Para el tirante 1y ( 1ny ) existe un tirante conjugado 2y que puede ser igual, mayor o menor que 2ny . Si 22 nyy < el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas arriba. Si 22 nyy > entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2. Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta. 7. De pendiente suave a pendiente crítica El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entre el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con cyy = . En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico. 8. De pendiente crítica a pendiente suave yn 1 y 2 n c y yc c FUERTE SUAVE 1 n y < y y > 2 n 1 n y 2 cn y > y 0 1 S > 0 2 S S0 2 10 S yn1 S < S 10 0 1 S cS c y SUAVE CRITICA y > 1 n c yy =n 2 c c y M2 y = yc n 2
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    422 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte. 9. De pendiente crítica a pendiente fuerte Se compara al cambio de pendiente fuerte a más fuerte 10. De pendiente fuerte a pendiente crítica Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte. 8.7 Curva de remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento y = yn1 y CRITICA SUAVE y = 1n c yy >n2 c c Sc 10S n2 y yc y >n2 y 1n y = yn1 c n 2 y yc S2 CRITICA FUERTE y = yn2 c y yn1 c FUERTE CRITICA
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    423 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII gradualmente variado (M. G. V.). El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa como sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definición de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decir que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm). No siempre es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados, indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil. Para la obtención de la curva de remanso presentaremos, siguiendo a Ven Te Chow, tres métodos - Integración gráfica - Aproximaciones sucesivas - Integración directa Método de la integración gráfica Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. Examinemos la siguiente figura Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que Eje hidráulico (M. G. V.)y 1 y 2 y x1 x2 x 0
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    424 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales dy dy dx dxxxx y y x x ∫∫ ==−= 2 1 2 1 12 Nótese que dy dx es igual a la inversa del primer miembro de la ecuación general del M. G. V.. Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es posible. Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se conoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a continuación. i) Suponer un valor para el tirante ii) Calcular el valor correspondiente de dx dy a partir de la ecuación general del M. G. V.. iii) Calcular dy dx , que es la inversa del valor anterior.. iv) Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes supuestos) y los valores obtenidos para dy dx . El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y, y las ordenadas 1       dy dx 2 dx  dy    y y1 2 y x dx dy Eje hidráulico (M. G. V.)
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    425 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII dy dx correspondientes a los valores de y. Luego, Area dy dy dx x y y∫== 2 1 Al medir esta área se tiene el valor de x . v) Finalmente se obtendrá una curva de este tipo dx dy y ∆A1 2 ∆A ∆A3 De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de A∆ . Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla d y d x y A P R K Z ∆ A x d y d x Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro, radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de x . Los valores acumulados de A∆ dan la longitud x de la curva de remanso. Por último se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso. Método de subdivisión en tramos
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    426 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos, considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme. En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud x∆ en el que aparecen las secciones 1 y 2. 1α g2 V1 2 SE WS 2 V 2 g 2 2α h =f 1 y y2 S0 S ∆x0 S ∆xE ∆x z1 2z Plano de referencia Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene xS g V y g V yxS E ∆++=++∆ 22 2 2 22 2 1 110 αα de donde, ( ) EEESSx E ∆=−=−∆ 120 y por lo tanto, ESS E x − ∆ =∆ 0 El valor de ES se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de Manning
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    427 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII 3 4 22 R Vn SE = Para un tramo (de longitud x∆ ) el valor de ES es el promedio de los respectivos valores de ES al principio y al final del tramo. A continuación se presentan las situaciones típicas de cálculo.Si se trata de la entrega a un lago, el cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o mínimo según el caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos típicos). Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante maxy determinado por la condición de entrega al lago. Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante miny determinado por la grada. Si se trata de un canal que termina en una grada, para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal. Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular lo siguiente M. G. V. n y Lagomaxy y n y ymin x = 0 y = ymin M. G. V. y
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    428 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales A : Area (en función de la geometría de la sección) R : Radio hidráulico PAR = V : Velocidad media AQV = Vh : Energía de velocidad g V hV 2 2 = E : Energía específica g V y 2 2 + E∆ : Diferencia de energía específica entre dos secciones 12 EEE −=∆ ó ( 21 EE − ) ES : Pendiente de la línea de energía en esa sección 2 32       = R Vn SE ES : Pendiente media de la línea de energía para un tramo dado 2 21 EE E SS S + = x∆ : Distancia ESS E x − ∆ =∆ 0 Acumulando los valores de x∆ se obtiene la distancia desde el origen escogido. Metodo de la integración directa En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado (8-17) es 2 2 0 1 1       −     − = Z Z K K S dx dy c n Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
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    429 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado del factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir N ycK 1 2 = (8-23) 1c es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene ( ) ( )N ycK 1lnln2 = Derivando con respecto a y se llega a ( ) N N yc dydyNyc dy Kd 1 1 1ln 2 − = De donde, ( ) y N dy Kd 2 ln = (8-24) Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es n AR K 3 2 = tal como aparece en la ecuación 8-10. Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene           = n AR K 3 2 lnln Derivando con respecto a y se llega a ( ) dy dA Ady dR Rdy Kd 11 3 2ln += Introducimos ahora, las conocidas expresiones, (ec. 7-9) T dy dA =
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    430 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales (ec. 1-8) P A R = y se obtiene, ( ) A T dy dR Rdy Kd += 1 3 2ln Pero, P dy dP RT dy P A d dy dR − =       = Reemplazando se llega a ( ) A T P dy dP RT Rdy Kd +       − = 1 3 2ln ( )       −= dy dP RT Ady Kd 25 3 1ln Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene       −= dy dP RT Ay N 25 3 1 2 De donde,       −= dy dP RT A y N 25 3 2 (8-25) que es la expresión general del exponente hidráulico N para cualquier sección transversal. Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que             ++             + −             +             + = b y z b y z b y z b y z N 2 2 121 1 3 8 1 21 3 10 (8-26) siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
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    431 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII Para una sección rectangular ( 0=z ) se obtiene       + −= b y b y N 21 3 8 3 10 (8-27) Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación by es muy pequeña y tiende a cero, con lo que 3 10 =N (8-28) Para obtener el exponente hidráulico M se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante M ycZ 2 2 = (8-29) M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus características se establecen a continuación Tomando logaritmos ( ) ( )M ycZ 2lnln2 = Derivando con respecto a y , ( ) dy dy y M dy Zd = ln 2 se llega a ( ) y M dy Zd 2 ln = (1) Pero, TAZ 3 = (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con respecto a y se obtiene ( ) dy dT TA T dy Zd 2 1 2 3ln −= (2) Igualando (1) y (2) se obtiene       −= dy dT T A T A y M 3 (8-30)
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    432 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal (condiciones críticas). Para un canal trapecial,     +    +       +−      + = b y z b y z b y z b y z b y z M 121 12213 2 (8-31) siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal. Para el caso particular de una sección rectangular ( 0=z ), se obtiene 3=M (8-32) Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado se considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente N ycK 1 2 = N n ycK 1 2 = M ycZ 2 2 = M c ycZ 2 2 = Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene M c N n y y y y S dx dy       −       − = 1 1 0 (8-33) que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier sección transversal, en función de los exponentes hidráulicos. Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza 310=N (ec. 8-28) y 3=M (ec. 8-32) se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para un canal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18, previamente establecida. Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirante normal ny existe la relación u , se tiene
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    433 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII ny y u = (8-34) Como se recuerda, si u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que 1 se trata de corrientes deprimidas. Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a M c N y y u S dx dy       −       − = 1 1 1 0 De acá se obtiene du u u y y uS y dx N MNM n c N n         −       + − −= − 11 1 1 0 Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N y M son constantes para el tramo considerado. Luego, (8-35) Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven Te Chow la denomina función del flujo variado y la representa como (8-36) Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar J N uv = (8-37) siendo 1+− = MN N J (8-38) Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así (8-39) ( )JvF N J v dv N J du u u v J u N MN , 11 00 = − = − ∫∫ − ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 , cdu u u y y u du u S y x u N MN M n c u N n +         −       + − −= ∫∫ − 00 0 11
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    434 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales De donde, (8-40) Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a ( ) ( ) cJvF N J y y NuFu S y x M n cn +               +−= ,, 0 (8-41) Ven Te Chow usa la siguiente notación, ( ) ( )[ ] cJvFBNuFuAx ++−= ,, (8-42) siendo, 0S y A n = N J y y B M n c       = ny y u = J N uv = 1+− = MN N J A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dos secciones 1 y 2, de modo que ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ },,,, 12121212 JvFJvFBNuFNuFuuAxxxL −+−−−==−= (8-43) Los exponentes hidráulicos N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.) y del tirante. A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular ( ) ∫ − = v J v dv JvF 0 1 ,
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    435 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII el valor correspondiente del exponente hidráulico N . Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango de variación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentes secciones transversales. Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unas tablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante muchos años. Más tarde se recalcularon para 4,58,2 << N y fueron publicadas por Bakhmettef en 1932. La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores de N comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se ha tomado. En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de u y de N los correspondientes a la función ( )NuF , . La Tabla 8.2 sirve también para la función ( )JvF , reemplazando u por v y N por J . Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicas de la sección transversal. El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente 1. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) y determinar el tirante normal ny 2. Calcular el tirante crítico cy 3. Se supone que para un tramo determinado ( x∆ ) los exponentes hidráulicos N y M son constantes. Se calcula N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, o alguna de sus simplificaciones) 4. Se calcula J , con la ecuación 8-38 5. Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valores de u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37) 6. Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene ( )NuF , , ingresando con los valores previamente calculados de u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones. 7. Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene ( )JvF , , ingresando con los valores de v y de J previamente calculados 8. Se calcula la longitud x∆ correspondiente mediante la ecuación 8-43
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    436 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales TABLA 8.2 FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,161 0,181 0,202 0,223 0,244 0,265 0,286 0,307 0,329 0,351 0,372 0,395 0,418 0,442 0,465 0,489 0,514 0,539 0,565 0,592 0,619 0,648 0,676 0,691 0,706 0,722 0,738 0,754 0,771 0,787 0,804 0,822 0,840 0,858 0,878 0,898 0,918 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,161 0,181 0,201 0,222 0,243 0,263 0,284 0,305 0,326 0,348 0,369 0,392 0,414 0,437 0,460 0,483 0,507 0,531 0,557 0,582 0,608 0,635 0,663 0,678 0,692 0,707 0,722 0,737 0,753 0,769 0,785 0,804 0,819 0,836 0,855 0,874 0,892 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,181 0,201 0,221 0,242 0,262 0,283 0,304 0,325 0,346 0,367 0,389 0,411 0,433 0,456 0,479 0,502 0,525 0,550 0,574 0,599 0,626 0,653 0,667 0,680 0,694 0,709 0,724 0,738 0,754 0,769 0,785 0,802 0,819 0,836 0,854 0,868 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,201 0,221 0,241 0,262 0,282 0,303 0,324 0,344 0,366 0,387 0,408 0,430 0,452 0,475 0,497 0,521 0,544 0,568 0,593 0,618 0,644 0,657 0,671 0,684 0,698 0,712 0,727 0,742 0,757 0,772 0,787 0,804 0,820 0,837 0,854 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,221 0,241 0,261 0,282 0,302 0,323 0,343 0,364 0,385 0,407 0,428 0,450 0,472 0,494 0,517 0,540 0,563 0,587 0,612 0,637 0,650 0,663 0,676 0,690 0,703 0,717 0,731 0,746 0,761 0,776 0,791 0,807 0,823 0,840 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,241 0,261 0,281 0,302 0,322 0,343 0,363 0,384 0,405 0,426 0,448 0,470 0,492 0,514 0,536 0,559 0,583 0,607 0,631 0,644 0,657 0,669 0,683 0,696 0,709 0,723 0,737 0,751 0,766 0,781 0,796 0,811 0,827 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,261 0,281 0,301 0,322 0,342 0,363 0,383 0,404 0,425 0,446 0,468 0,489 0,511 0,534 0,556 0,579 0,603 0,627 0,639 0,651 0,664 0,677 0,689 0,703 0,716 0,729 0,743 0,757 0,772 0,786 0,802 0,817 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,281 0,301 0,321 0,342 0,362 0,383 0,403 0,424 0,445 0,466 0,488 0,509 0,531 0,554 0,576 0,599 0,623 0,635 0,647 0,659 0,672 0,684 0,697 0,710 0,723 0,737 0,750 0,764 0,779 0,793 0,808 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,301 0,321 0,341 0,362 0,382 0,403 0,423 0,444 0,465 0,486 0,508 0,529 0,551 0,574 0,596 0,620 0,631 0,643 0,655 0,667 0,680 0,692 0,705 0,718 0,731 0,744 0,758 0,772 0,786 0,800 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,321 0,341 0,361 0,382 0,402 0,423 0,443 0,464 0,485 0,506 0,528 0,550 0,572 0,594 0,617 0,628 0,640 0,652 0,664 0,676 0,688 0,701 0,71 3 0,726 0,739 0,752 0,766 0,780 0,794 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    437 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 0,999 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 0,940 0,961 0,985 1,007 1,031 1,056 1,083 1,110 1,139 1,171 1,201 1,238 1,272 1,314 1,357 1,401 1,452 1,505 1,564 1,645 1,737 1,833 1,969 2,055 2,164 2,294 2,477 2,792 3,523∞ 3,317 2,587 2,273 2,090 1,961 1,779 1,651 1,552 1,472 1,404 1,346 1,295 1,250 1,209 1,172 1,138 1,107 1,078 1,052 1,027 0,913 0,933 0,954 0,976 0,998 1,022 1,046 1,072 1,099 1,129 1,157 1,192 1,223 1,262 1,302 1,343 1,389 1,438 1,493 1,568 1,652 1,741 1,866 1,945 2,045 2,165 2,333 2,621 3,292∞ 2,931 2,266 1,977 1,807 1,711 1,531 1,410 1,334 1,250 1,195 1,139 1,089 1,050 1,014 0,981 0,950 0,921 0,892 0,870 0,850 0,890 0,909 0,930 0,950 0,971 0,994 1,017 1,041 1,067 1,094 1,121 1,153 1,182 1,228 1,255 1,294 1,338 1,351 1,435 1,504 1,582 1,665 1,780 1,853 1,946 2,056 2,212 2,478 3,097∞ 2,640 2,022 1,757 1,602 1,493 1,340 1,232 1,150 1,082 1,026 0,978 0,935 0,897 0,864 0,833 0,805 0,780 0,756 0,734 0,713 0,872 0,890 0,909 0,929 0,94 9 0,970 0,992 1,015 1,039 1,064 1,091 1,119 1,149 1,181 1,216 1,253 1,294 1,340 1,391 1,449 1,518 1,601 1,707 1,773 1,855 1,959 2,106 2,355 2,931∞ 2,399 1,818 1,572 1,428 1,327 1,186 1,086 1,010 0,948 0,896 0,851 0,812 0,777 0,746 0,718 0,692 0,669 0,647 0,627 0,608 0,857 0,874 0,892 0,911 0,930 0,950 0,971 0,993 1,016 1,040 1,065 1,092 1,120 1,151 1,183 1,218 1,257 1,300 1,348 1,403 1,467 1,545 1,644 1,707 1,783 1,880 2,017 2,250 2,788∞ 2,184 1,649 1,419 1,286 1,191 1,060 0,967 0,896 0,838 0,790 0,749 0,713 0,681 0,652 0,626 0,602 0,581 0,561 0,542 0,525 0,844 0,861 0,878 0,896 0,914 0,934 0,954 0,974 0,996 1,019 1,043 1,068 1,095 1,124 1,155 1,189 1,225 1,266 1,311 1,363 1,423 1,497 1,590 1,649 1,720 1,812 1,940 2,159 2,663∞ 2,008 1,506 1,291 1,166 1,078 0,955 0,868 0,802 0,748 0,703 0,665 0,631 0,601 0,575 0,551 0,529 0,509 0,490 0,473 0,458 0,833 0,849 0,866 0,883 0,901 0,919 0,938 0,958 0,979 1,001 1,024 1,048 1,074 1,101 1,131 1,163 1,197 1,236 1,279 1,328 1,385 1,454 1,543 1,598 1,666 1,752 1,873 2,079 2,554∞ 1,856 1,384 1,182 1,065 0,982 0,866 0,785 0,723 0,672 0,630 0,595 0,563 0,536 0,511 0,488 0,468 0,450 0,432 0,417 0,402 0,823 0,839 0,855 0,872 0,889 0,907 0,925 0,945 0,965 0,985 1,007 1,031 1,055 1,081 1,110 1,140 1,173 1,210 1,251 1,297 1,352 1,417 1,501 1,554 1,617 1,699 1,814 2,008 2,457∞ 1,725 1,279 1,089 0,978 0,900 0,790 0,714 0,656 0,608 0,569 0,535 0,506 0,480 0,457 0,436 0,417 0,400 0,384 0,369 0,356 0,815 0,830 0,846 0,862 0,879 0,896 0,914 0,932 0,952 0,972 0,993 1,015 1,039 1,064 1,091 1,120 1,152 1,187 1,226 1,270 1,322 1,385 1,464 1,514 1,575 1,652 1,761 1,945 2,370∞ 1,610 1,188 1,007 0,902 0,828 0,725 0,653 0,598 0,553 0,516 0,485 0,457 0,433 0,411 0,392 0,374 0,358 0,343 0,329 0,317 0,808 0,823 0,838 0,854 0,870 0,887 0,904 0,922 0,940 0,960 0,980 1,002 1,025 1,049 1,075 1,103 1,333 1,166 1,204 1,246 1,296 1,355 1,431 1,479 1,536 1,610 1,714 1,889 2,293∞ 1,508 1,107 0,936 0,836 0,766 0,668 0,600 0,548 0,506 0,471 0,441 0,415 0,392 0,372 0,354 0,337 0,322 0,308 0,295 0,283 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    438 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 1,003 0,981 0,960 0,922 0,887 0,855 0,827 0,800 0,775 0,752 0,731 0,711 0,692 0,674 0,658 0,642 0,627 0,613 0,580 0,551 0,525 0,501 0,480 0,460 0,442 0,425 0,409 0,395 0,369 0,346 0,326 0,308 0,292 0,277 0,264 0,252 0,241 0,230 0,190 0,161 0,139 0,122 0,098 0,081 0,069 0,060 0,053 0,023 0,825 0,810 0,787 0,755 0,725 0,692 0,666 0,644 0,625 0,605 0,588 0,567 0,548 0,533 0,517 0,505 0,493 0,480 0,451 0,425 0,402 0,381 0,362 0,349 0,332 0,315 0,304 0,292 0,273 0,253 0,235 0,220 0,207 0,197 0,188 0,176 0,166 0,159 0,126 0,104 0,087 0,076 0,060 0,048 0,040 0,034 0,028 0,018 0,694 0,676 0,659 0,628 0,600 0,574 0,551 0,530 0,510 0,492 0,475 0,459 0,444 0,431 0,417 0,405 0,394 0,383 0,358 0,335 0,316 0,298 0,282 0,267 0,254 0,242 0,231 0,221 0,202 0,186 0,173 0,160 0,150 0,140 0,131 0,124 0,117 0,110 0,085 0,069 0,057 0,048 0,036 0,028 0,022 0,019 0,016 0,011 0,591 0,574 0,559 0,531 0,505 0,482 0,461 0,442 0,424 0,408 0,393 0,378 0,365 0,353 0,341 0,330 0,320 0,310 0,288 0,269 0,251 0,236 0,222 0,209 0,198 0,188 0,178 0,169 0,154 0,141 0,129 0,119 0,110 0,102 0,095 0,089 0,083 0,078 0,059 0,046 0,037 0,031 0,022 0,017 0,013 0,011 0,009 0,006 0,509 0,494 0,480 0,454 0,431 0,410 0,391 0,373 0,357 0,342 0,329 0,316 0,304 0,293 0,282 0,273 0,263 0,255 0,235 0,218 0,203 0,189 0,177 0,166 0,156 0,147 0,139 0,132 0,119 0,107 0,098 0,089 0,082 0,076 0,070 0,065 0,060 0,056 0,041 0,031 0,025 0,020 0,014 0,010 0,008 0,006 0,005 0,002 0,443 0,429 0,416 0,392 0,371 0,351 0,334 0,318 0,304 0,290 0,278 0,266 0,256 0,246 0,236 0,227 0,219 0,211 0,194 0,179 0,165 0,153 0,143 0,133 0,125 0,117 0,110 0,104 0,092 0,083 0,075 0,068 0,062 0,057 0,052 0,048 0,044 0,041 0,029 0,022 0,017 0,013 0,009 0,006 0,005 0,004 0,003 0,001 0,388 0,375 0,363 0,341 0,322 0,304 0,288 0,274 0,260 0,248 0,237 0,226 0,217 0,208 0,199 0,191 0,184 0,177 0,161 0,148 0,136 0,125 0,116 0,108 0,100 0,094 0,088 0,082 0,073 0,065 0,058 0,052 0,047 0,043 0,039 0,036 0,033 0,030 0,021 0,015 0,011 0,009 0,006 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,343 0,331 0,320 0,299 0,281 0,265 0,250 0,237 0,225 0,214 0,204 0,194 0,185 0,177 0,169 0,162 0,156 0,149 0,135 0,123 0,113 0,103 0,095 0,088 0,082 0,076 0,070 0,066 0,058 0,051 0,045 0,040 0,036 0,033 0,029 0,027 0,024 0,022 0,015 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,002 0,001 0,001 0,000 0,305 0,294 0,283 0,264 0,248 0,233 0,219 0,207 0,196 0,185 0,176 0,167 0,159 0,152 0,145 0,139 0,133 0,127 0,114 0,103 0,094 0,086 0,079 0,072 0,067 0,062 0,057 0,053 0,046 0,040 0,035 0,031 0,028 0,025 0,022 0,020 0,018 0,017 0,011 0,007 0,005 0,004 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000 0,272 0,262 0,252 0,235 0,219 0,205 0,193 0,181 0,171 0,162 0,153 0,145 0,138 0,131 0,125 0,119 0,113 0,108 0,097 0,087 0,079 0,072 0,065 0,060 0,055 0,050 0,046 0,043 0,037 0,032 0,028 0,024 0,022 0,019 0,017 0,015 0,014 0,012 0,008 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    439 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,321 0,341 0,361 0,381 0,402 0,422 0,443 0,463 0,484 0,505 0,527 0,548 0,570 0,592 0,614 0,626 0,637 0,649 0,661 0,673 0,685 0,697 0,709 0,722 0,735 0,748 0,761 0,774 0,788 0,802 0,817 0,831 0,847 0,862 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,361 0,381 0,401 0,421 0,442 0,462 0,483 0,504 0,525 0,546 0,567 0,589 0,611 0,622 0,633 0,644 0,656 0,667 0,679 0,691 0,703 0,715 0,727 0,740 0,752 0,765 0,779 0,792 0,806 0,820 0,834 0,849 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,381 0,401 0,421 0,441 0,462 0,482 0,503 0,523 0,544 0,565 0,587 0,608 0,619 0,630 0,641 0,652 0,663 0,675 0,686 0,698 0,710 0,722 0,734 0,746 0,759 0,771 0,784 0,798 0,811 0,825 0,839 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,421 0,441 0,461 0,481 0,502 0,522 0,543 0,564 0,585 0,606 0,617 0,628 0,638 0,649 0,660 0,672 0,683 0,694 0,706 0,717 0,729 0,741 0,753 0,766 0,778 0,791 0,804 0,817 0,831 0,00 0 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,441 0,461 0,481 0,501 0,522 0,542 0,563 0,583 0,605 0,615 0,626 0,636 0,647 0,658 0,669 0,680 0,691 0,703 0,714 0,726 0,737 0,749 0,761 0,773 0,786 0,798 0,811 0,824 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,441 0,461 0,481 0,501 0,521 0,542 0,562 0,583 0,604 0,614 0,625 0,635 0,646 0,656 0,667 0,678 0,689 0,700 0,712 0,723 0,734 0,746 0,757 0,769 0,782 0,794 0,806 0,819 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,501 0,521 0,541 0,562 0,582 0,603 0,613 0,624 0,634 0,645 0,655 0,666 0,676 0,687 0,698 0,710 0,721 0,732 0,743 0,754 0,766 0,778 0,790 0,802 0,815 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,521 0,541 0,561 0,582 0,602 0,612 0,623 0,633 0,644 0,654 0,665 0,675 0,686 0,696 0,708 0,719 0,730 0,741 0,752 0,763 0,775 0,787 0,799 0,811 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,541 0,561 0,581 0,602 0,612 0,622 0,632 0,643 0,653 0,664 0,674 0,685 0,695 0,706 0,717 0,728 0,739 0,750 0,761 0,773 0,784 0,796 0,808 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,541 0,561 0,581 0,601 0,611 0,622 0,632 0,642 0,653 0,663 0,673 0,684 0,694 0,705 0,716 0,727 0,737 0,748 0,759 0,771 0,782 0,794 0,805 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    440 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 0,999 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 0,878 0,895 0,913 0,931 0,949 0,969 0,990 1,012 1,035 1,060 1,087 1,116 1,148 1,184 1,225 1,272 1,329 1,402 1,447 1,502 1,573 1,671 1,838 2,223∞ 1,417 1,036 0,873 0,778 0,711 0,618 0,554 0,504 0,464 0,431 0,403 0,379 0,357 0,338 0,321 0,305 0,291 0,278 0,266 0,255 0,244 0,235 0,226 0,209 0,195 0,865 0,881 0,897 0,914 0,932 0,950 0,970 0,990 1,012 1,035 1,060 1,088 1,117 1,151 1,188 1,232 1,285 1,351 1,393 1,443 1,508 1,598 1,751 2,102∞ 1,264 0,915 0,766 0,680 0,620 0,535 0,477 0,432 0,396 0,366 0,341 0,319 0,299 0,282 0,26 7 0,253 0,240 0,229 0,218 0,208 0,199 0,191 0,183 0,168 0,156 0,854 0,869 0,885 0,901 0,918 0,935 0,954 0,973 0,994 1,015 1,039 1,064 1,092 1,123 1,158 1,199 1,248 1,310 1,348 1,395 1,454 1,537 1,678 2,002∞ 1,138 0,817 0,681 0,602 0,546 0,469 0,415 0,374 0,342 0,315 0,292 0,272 0,254 0,239 0,225 0,212 0,201 0,191 0,181 0,173 0,165 0,157 0,50 0,138 0,127 0,845 0,860 0,875 0,890 0,906 0,923 0,940 0,959 0,978 0,999 1,021 1,045 1,072 1,101 1,134 1,172 1,217 1,275 1,311 1,354 1,409 1,487 1,617 1,917∞ 1,033 0,737 0,610 0,537 0,486 0,415 0,365 0,328 0,298 0,273 0,252 0,234 0,218 0,204 0,192 0,181 0,170 0,161 0,153 0,145 0,138 0,131 0,215 0,114 0,104 0,838 0,852 0,866 0,881 0,897 0,912 0,930 0,947 0,966 0,986 1,007 1,029 1,054 1,081 1,113 1,148 1,188 1,246 1,280 1,339 1,372 1,444 1,565 1,845∞ 0,951 0,669 0,551 0,483 0,436 0,370 0,324 0,289 0,262 0,239 0,220 0,204 0,189 0,176 0,165 0,155 0,146 0,137 0,130 0,123 0,116 0,11 0 0,105 0,095 0,086 0,832 0,846 0,860 0,874 0,889 0,905 0,921 0,937 0,955 0,974 0,994 1,016 1,039 1,065 1,095 1,128 1,167 1,319 1,250 1,288 1,337 1,404 1,519 1,780∞ 0,870 0,612 0,502 0,440 0,394 0,333 0,290 0,259 0,233 0,212 0,194 0,179 0,165 0,154 0,143 0,135 0,126 0,118 0,111 0,105 0,099 0,094 0,088 0,080 0,072 0,828 0,841 0,854 0,868 0,882 0,898 0,913 0,929 0,946 0,964 0,984 1,003 1,027 1,050 1,080 1,111 1,149 1,197 1,227 1,262 1,309 1,373 1,479 1,725∞ 0,803 0,553 0,459 0,399 0,358 0,300 0,262 0,231 0,209 0,191 0,172 0,158 0,146 0,135 0,125 0,117 0,109 0,102 0,096 0,090 0,085 0,080 0,076 0,068 0,060 0,823 0,836 0,850 0,863 0,877 0,891 0,906 0,922 0,938 0,956 0,974 0,995 1,016 1,040 1,066 1,097 1,133 1,179 1,207 1,241 1,284 1,344 1,451 1,678∞ 0,746 0,526 0,422 0,366 0,327 0,272 0,236 0,208 0,187 0,168 0,153 0,140 0,129 0,119 0,110 0,102 0,095 0,089 0,084 0,078 0,073 0,068 0,064 0,057 0,051 0,820 0,833 0,846 0,859 0,872 0,887 0,901 0,916 0,932 0,949 0,967 0,986 1,006 1,029 1,054 1,084 1,119 1,162 1,190 1,221 1,263 1,319 1,416 1,635∞ 0,697 0,481 0,389 0,336 0,300 0,249 0,214 0,189 0,170 0,151 0,137 0,125 0,114 0,105 0,097 0,090 0,084 0,078 0,072 0,068 0,063 0,059 0,056 0,049 0,044 0,818 0,830 0,842 0,855 0,868 0,882 0,896 0,911 0,927 0,943 0,960 0,979 0,999 1,021 1,044 1,073 1,106 1,148 1,173 1,204 1,243 1,297 1,388 1,596∞ 0,651 0,447 0,360 0,310 0,276 0,228 0,195 0,174 0,154 0,136 0,123 0,112 0,102 0,094 0,086 0,080 0,074 0,068 0,064 0,060 0,055 0,051 0,048 0,042 0,038 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
  • 47.
    441 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 0,182 0,70 0,160 0,150 0,142 0,134 0,127 0,120 0,114 0,108 0,103 0,098 0,093 0,083 0,074 0,067 0,060 0,054 0,049 0,045 0,041 0,038 0,035 0,030 0,025 0,022 0,019 0,017 0,015 0,013 0,012 0,010 0,009 0,006 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,145 0,135 0,126 0,118 0,110 0,103 0,097 0,092 0,087 0,082 0,077 0,073 0,069 0,061 0,054 0,048 0,043 0,038 0,034 0,031 0,028 0,026 0,023 0,019 0,016 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,117 0,108 0,100 0,093 0,087 0,081 0,076 0,071 0,067 0,063 0,059 0,056 0,053 0,046 0,040 0,035 0,031 0,027 0,024 0,022 0,020 0,018 0,016 0,013 0,011 0,009 0,008 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,095 0,088 0,081 0,075 0,069 0,064 0,060 0,056 0,052 0,049 0,046 0,043 0,040 0,035 0,030 0,026 0,023 0,020 0,017 0,015 0,014 0,012 0,011 0,009 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,079 0,072 0,066 0,061 0,056 0,052 0,048 0,044 0,041 0,038 0,036 0,033 0,031 0,026 0,023 0,019 0,016 0,014 0,012 0,011 0,010 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,065 0,060 0,054 0,050 0,045 0,042 0,038 0,036 0,033 0,030 0,028 0,026 0,024 0,020 0,017 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,055 0,050 0,045 0,041 0,037 0,034 0,032 0,028 0,026 0,024 0,022 0,021 0,020 0,016 0,013 0,011 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,046 0,041 0,037 0,034 0,030 0,028 0,026 0,023 0,021 0,019 0,018 0,017 0,015 0,012 0,010 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,039 0,035 0,031 0,028 0,025 0,023 0,021 0,019 0,017 0,016 0,014 0,013 0,012 0,010 0,008 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,033 0,030 0,026 0,024 0,021 0,019 0,017 0,016 0,014 0,013 0,012 0,010 0,009 0,008 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
  • 48.
    442 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,561 0,581 0,601 0,611 0,621 0,632 0,642 0,652 0,662 0,673 0,683 0,694 0,704 0,715 0,726 0,736 0,747 0,758 0,769 0,780 0,792 0,804 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,581 0,601 0,611 0,621 0,631 0,641 0,652 0,662 0,672 0,683 0,693 0,704 0,714 0,725 0,735 0,746 0,757 0,768 0,779 0,790 0,802 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,580 0,601 0,611 0,621 0,631 0,641 0,651 0,662 0,672 0,682 0,692 0,703 0,713 0,724 0,734 0,745 0,756 0,767 0,778 0,789 0,800 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,580 0,600 0,611 0,621 0,631 0,641 0,651 0,661 0,672 0,682 0,692 0,702 0,713 0,723 0,734 0,744 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0,480 0,500 0,520 0,540 0,560 0,580 0,600 0,610 0,621 0,631 0,641 0,651 0,661 0,671 0,681 0,692 0,702 0,712 0,723 0,733 0,744 0,754 0,765 0,776 0,787 0,798 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    443 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII N u 8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 0,999 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 0,815 0,827 0,839 0,852 0,865 0,878 0,892 0,907 0,921 0,937 0,954 0,972 0,991 1,012 1,036 1,062 1,097 1,136 1,157 1,187 1,224 1,275 1,363 1,560∞ 0,614 0,420 0,337 0,289 0,257 0,212 0,173 0,158 0,140 0,123 0,111 0,101 0,092 0,084 0,077 0,071 0,065 0,061 0,056 0,052 0,048 0,045 0,043 0,037 0,032 0,813 0,825 0,837 0,849 0,862 0,875 0,889 0,903 0,918 0,933 0,949 0,967 0,986 1,006 1,029 1,055 1,085 1,124 1,147 1,175 1,210 1,260 1,342 1,530∞ 0,577 0,391 0,313 0,269 0,237 0,195 0,165 0,143 0,127 0,112 0,101 0,091 0,083 0,075 0,069 0,063 0,058 0,054 0,050 0,046 0,042 0,039 0,037 0,032 0,028 0,811 0,823 0,835 0,847 0,860 0,873 0,886 0,900 0,914 0,929 0,944 0,961 0,980 0,999 1,022 1,047 1,074 1,112 1,134 1,160 1,196 1,243 1,320 1,500∞ 0,546 0,368 0,294 0,255 0,221 0,181 0,152 0,132 0,116 0,102 0,092 0,082 0,074 0,067 0,062 0,056 0,052 0,048 0,045 0,041 0,037 0,034 0,032 0,028 0,024 0,810 0,822 0,833 0,845 0,858 0,870 0,883 0,897 0,911 0,925 0,940 0,957 0,975 0,994 1,016 1,040 1,063 1,100 1,122 1,150 1,183 1,228 1,302 1,476∞ 0,519 0,350 0,278 0,237 0,209 0,170 0,143 0,124 0,106 0,094 0,084 0,075 0,067 0,060 0,055 0,050 0,046 0,043 0,040 0,036 0,033 0,030 0,028 0,024 0,021 0,809 0,820 0,831 0,844 0,856 0,868 0,881 0,894 0,908 0,922 0,937 0,953 0,970 0,989 1,010 1,033 1,053 1,087 1,108 1,132 1,165 1,208 1,280 1,447∞ 0,494 0,331 0,262 0,223 0,196 0,159 0,134 0,115 0,098 0,086 0,077 0,069 0,062 0,055 0,050 0,045 0,041 0,038 0,035 0,032 0,029 0,027 0,025 0,021 0,018 FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    444 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 8,2 8,6 9,0 9,4 9,8 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0 0,028 0,025 0,022 0,020 0,018 0,016 0,014 0,013 0,011 0,010 0,009 0,009 0,008 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,024 0,021 0,019 0,017 0,015 0,013 0,012 0,011 0,009 0,008 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,021 0,018 0,016 0,014 0,012 0,011 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,016 0,014 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ( ) ∫ − = u N u du NuF 0 1 ,
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    445 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,099 0,119 0,139 0,158 0,178 0,197 0,216 0,234 0,253 0,272 0,291 0,308 0,326 0,344 0,362 0,380 0,397 0,414 0,431 0,447 0,463 0,479 0,494 0,509 0,524 0,540 0,547 0,554 0,562 0,569 0,576 0,583 0,590 0,597 0,603 0,610 0,617 0,624 0,630 0,637 0,643 0,649 0,656 0,662 0,668 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,119 0,139 0,159 0,179 0,198 0,217 0,236 0,255 0,274 0,293 0,311 0,329 0,347 0,355 0,384 0,401 0,419 0,437 0,453 0,470 0,485 0,501 0,517 0,533 0,548 0,556 0,563 0,571 0,579 0,585 0,593 0,599 0,607 0,613 0,620 0,627 0,634 0,641 0,648 0,655 0,661 0,667 0,673 0,680 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,159 0,179 0,199 0,218 0,237 0,256 0,275 0,294 0,313 0,331 0,350 0,368 0,387 0,405 0,423 0,440 0,458 0,475 0,491 0,507 0,523 0,539 0,555 0,563 0,571 0,579 0,586 0,592 0,600 0,607 0,615 0,621 0,629 0,636 0,643 0,650 0,657 0,664 0,670 0,677 0,683 0,689 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,199 0,219 0,238 0,257 0,276 0,295 0,314 0,333 0,352 0,371 0,390 0,407 0,426 0,444 0,461 0,479 0,494 0,512 0,528 0,545 0,561 0,569 0,578 0,585 0,592 0,599 0,607 0,614 0,622 0,629 0,637 0,644 0,651 0,659 0,665 0,671 0,679 0,685 0,692 0,698 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,219 0,239 0,258 0,277 0,296 0,316 0,335 0,354 0,373 0,392 0,409 0,429 0,447 0,464 0,482 0,499 0,516 0,533 0,550 0,566 0,575 0,583 0,590 0,598 0,606 0,613 0,621 0,628 0,635 0,644 0,651 0,658 0,665 0,672 0,679 0,687 0,693 0,700 0,705 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,259 0,278 0,297 0,317 0,337 0,356 0,374 0,393 0,411 0,430 0,449 0,467 0,485 0,502 0,520 0,537 0,554 0,571 0,579 0,578 0,595 0,602 0,610 0,618 0,626 0,634 0,641 0,649 0,657 0,664 0,672 0,679 0,686 0,693 0,700 0,707 0,713 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,259 0,278 0,298 0,318 0,338 0,357 0,375 0,394 0,412 0,432 0,451 0,469 0,487 0,505 0,522 0,540 0,558 0,575 0,583 0,591 0,599 0,607 0,615 0,622 0,631 0,639 0,646 0,654 0,661 0,669 0,677 0,684 0,691 0,699 0,705 0,713 0,719 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,279 0,298 0,318 0,338 0,357 0,376 0,395 0,413 0,433 0,452 0,471 0,489 0,507 0,525 0,543 0,561 0,578 0,587 0,595 0,603 0,611 0,619 0,626 0,635 0,643 0,651 0,659 0,666 0,674 0,682 0,689 0,696 0,704 0,711 0,718 0,724 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,299 0,319 0,339 0,358 0,377 0,396 0,414 0,434 0,453 0,472 0,491 0,509 0,527 0,545 0,563 0,581 0,589 0,598 0,607 0,615 0,623 0,630 0,639 0,647 0,655 0,663 0,671 0,679 0,687 0,694 0,701 0,709 0,715 0,723 0,729 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,299 0,319 0,339 0,358 0,377 0,396 0,415 0,435 0,454 0,473 0,492 0,511 0,529 0,547 0,567 0,583 0,592 0,600 0,609 0,618 0,626 0,634 0,643 0,651 0,659 0,667 0,674 0,682 0,691 0,698 0,705 0,713 0,719 0,727 0,733 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
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    446 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 0,674 0,680 0,686 0,692 0,698 0,704 0,710 0,715 0,721 0,727 0,732 0,738 0,743 0,749 0,754 0,759 0,764 0,770 0,772 0,775 0,777 0,780 0,782 0,785 0,788 0,790 0,793 0,795 0,800 0,805 0,810 0,815 0,819 0,824 0,828 0,833 0,837 0,842 0,846 0,851 0,855 0,859 0,864 0,868 0,872 0,876 0,880 0,888 0,900 0,908 0,685 0,691 0,698 0,703 0,709 0,715 0,721 0,727 0,733 0,739 0,744 0,750 0,754 0,761 0,767 0,772 0,777 0,782 0,785 0,787 0,790 0,793 0,795 0,797 0,799 0,801 0,804 0,807 0,811 0,816 0,821 0,826 0,831 0,836 0,840 0,845 0,849 0,854 0,858 0,861 0,866 0,870 0,874 0,878 0,882 0,886 0,891 0,898 0,910 0,917 0,695 0,701 0,707 0,713 0,719 0,725 0,731 0,738 0,743 0,749 0,754 0,760 0,766 0,772 0,777 0,783 0,788 0,793 0,796 0,798 0,801 0,804 0,806 0,808 0,810 0,812 0,815 0,818 0,822 0,829 0,831 0,837 0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,864 0,868 0,872 0,876 0,880 0,884 0,888 0,892 0,896 0,900 0,908 0,919 0,926 0,703 0,710 0,717 0,722 0,729 0,735 0,741 0,747 0,753 0,758 0,764 0,770 0,776 0,782 0,787 0,793 0,798 0,803 0,805 0,808 0,811 0,814 0,816 0,818 0,820 0,822 0,824 0,828 0,832 0,837 0,841 0,846 0,851 0,856 0,860 0,865 0,870 0,873 0,878 0,881 0,886 0,890 0,893 0,897 0,901 0,904 0,909 0,917 0,927 0,934 0,712 0,719 0,725 0,731 0,737 0,744 0,750 0,756 0,762 0,767 0,773 0,779 0,785 0,791 0,795 0,801 0,807 0,812 0,814 0,818 0,820 0,822 0,824 0,826 0,829 0,831 0,833 0,837 0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,865 0,870 0,874 0,878 0,882 0,886 0,890 0,895 0,899 0,902 0,906 0,910 0,913 0,917 0,925 0,935 0,945 0,720 0,727 0,733 0,740 0,746 0,752 0,758 0,764 0,770 0,776 0,781 0,787 0,793 0,799 0,804 0,809 0,815 0,820 0,822 0,825 0,827 0,830 0,832 0,834 0,837 0,840 0,843 0,845 0,850 0,855 0,859 0,864 0,869 0,873 0,877 0,881 0,886 0,891 0,895 0,899 0,903 0,907 0,911 0,915 0,918 0,921 0,929 0,935 0,942 0,948 0,726 0,733 0,740 0,746 0,752 0,759 0,765 0,771 0,777 0,783 0,789 0,795 0,800 0,807 0,813 0,819 0,824 0,826 0,828 0,830 0,833 0,837 0,840 0,842 0,845 0,847 0,850 0,853 0,857 0,862 0,867 0,871 0,876 0,880 0,885 0,890 0,894 0,897 0,902 0,905 0,910 0,914 0,917 0,921 0,925 0,928 0,932 0,940 0,948 0,954 0,732 0,739 0,745 0,752 0,758 0,765 0,771 0,777 0,783 0,789 0,795 0,801 0,807 0,812 0,818 0,823 0,829 0,834 0,836 0,839 0,841 0,844 0,847 0,849 0,852 0,855 0,858 0,860 0,864 0,870 0,874 0,879 0,883 0,887 0,892 0,897 0,900 0,904 0,908 0,912 0,916 0,920 0,923 0,927 0,931 0,934 0,938 0,945 0,954 0,960 0,737 0,744 0,751 0,757 0,764 0,770 0,777 0,783 0,789 0,795 0,801 0,807 0,813 0,818 0,824 0,829 0,835 0,840 0,843 0,845 0,847 0,850 0,753 0,856 0,858 0,861 0,864 0,866 0,871 0,877 0,881 0,885 0,889 0,893 0,898 0,903 0,907 0,910 0,914 0,918 0,922 0,926 0,930 0,933 0,937 0,940 0,944 0,950 0,960 0,965 0,741 0,749 0,755 0,762 0,769 0,775 0,782 0,788 0,794 0,800 0,807 0,812 0,818 0,823 0,829 0,835 0,841 0,846 0,848 0,851 0,853 0,856 0,859 0,862 0,864 0,867 0,870 0,872 0,877 0,883 0,887 0,891 0,896 0,900 0,904 0,908 0,912 0,916 0,919 0,923 0,928 0,931 0,934 0,939 0,942 0,945 0,949 0,955 0,964 0,970 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
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    447 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,915 0,922 0,930 0,937 0,944 0,951 0,957 0,964 0,970 0,977 0,983 0,997 1,012 1,026 1,039 1,052 1,064 1,075 1,086 1,097 1,107 1,126 1,144 1,161 1,176 1,190 1,204 1,216 1,228 1,239 1,249 1,292 1,326 1,352 1,374 1,406 1,430 1,447 1,461 1,471 0,925 0,931 0,939 0,946 0,952 0,959 0,965 0,972 0,977 0,983 0,990 1,002 1,017 1,029 1,042 1,053 1,064 1,074 1,085 1,095 1,103 1,120 1,136 1,150 1,163 1,175 1,187 1,196 1,208 1,216 1,224 1,260 1,286 1,308 1,325 1,342 1,360 1,373 1,384 1,394 0,933 0,940 0,948 0,954 0,960 0,966 0,972 0,979 0,983 0,989 0,996 1,007 1,020 1,032 1,044 1,054 1,064 1,074 1,084 1,092 1,100 1,115 1,129 1,141 1,152 1,162 1,172 1,180 1,189 1,196 1,203 1,232 1,251 1,270 1,283 1,292 1,303 1,313 1,319 1,324 0,941 0,948 0,955 0,961 0,967 0,973 0,979 0,984 0,989 0,994 1,001 1,012 1,024 1,035 1,045 1,055 1,064 1,073 1,082 1,090 1,096 1,110 1,122 1,133 1,142 1,150 1,159 1,166 1,173 1,178 1,184 1,206 1,223 1,235 1,245 1,252 1,260 1,266 1,269 1,272 0,948 0,955 0,962 0,968 0,974 0,979 0,984 0,990 0,995 0,999 1,005 1,016 1,027 1,037 1,047 1,056 1,065 1,072 1,081 1,087 1,093 1,104 1,115 1,124 1,133 1,140 1,147 1,153 1,158 1,162 1,168 1,185 1,198 1,205 1,212 1,221 1,225 1,229 1,231 1,233 0,955 0,961 0,967 0,973 0,979 0,984 0,989 0,995 1,000 1,005 1,009 1,020 1,030 1,039 1,048 1,057 1,065 1,071 1,079 1,085 1,090 1,100 1,109 1,117 1,124 1,131 1,137 1,142 1,146 1,150 1,154 1,167 1,176 1,183 1,188 1,195 1,199 1,201 1,203 1,203 0,961 0,967 0,973 0,979 0,985 0,989 0,995 1,000 1,004 1,008 1,012 1,022 1,032 1,041 1,049 1,056 1,064 1,069 1,077 1,081 1,085 1,094 1,102 1,110 1,116 1,121 1,126 1,130 1,132 1,137 1,140 1,151 1,158 1,162 1,166 1,171 1,174 1,175 1,176 1,176 0,966 0,972 0,978 0,983 0,989 0,993 0,998 1,003 1,007 1,011 1,015 1,024 1,034 1,041 1,049 1,056 1,062 1,067 1,074 1,079 1,082 1,089 1,096 1,103 1,109 1,113 1,117 1,120 1,122 1,125 1,128 1,138 1,142 1,146 1,149 1,152 1,153 1,154 1,156 1,156 0,981 0,976 0,982 0,987 0,993 0,997 1,001 1,006 1,010 1,014 1,017 1,026 1,035 1,042 1,049 1,055 1,060 1,066 1,071 1,075 1,078 1,085 1,090 1,097 1,101 1,105 1,106 1,110 1,112 1,115 1,117 1,125 1,129 1,131 1,134 1,136 1,136 1,137 1,137 1,137 0,975 0,980 0,986 0,991 0,996 1,000 1,004 1,009 1,012 1,016 1,019 1,028 1,035 1,042 1,048 1,053 1,058 1,063 1,066 1,071 1,075 1,080 1,085 1,090 1,094 1,098 1,000 1,102 1,103 1,106 1,107 1,113 1,117 1,119 1,121 1,122 1,122 1,122 1,122 1,122 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
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    448 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,339 0,359 0,378 0,397 0,417 0,436 0,455 0,474 0,493 0,512 0,531 0,549 0,567 0,585 0,594 0,603 0,612 0,620 0,629 0,637 0,646 0,654 0,662 0,670 0,678 0,686 0,694 0,702 0,709 0,717 0,724 0,731 0,738 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,379 0,398 0,418 0,437 0,456 0,475 0,494 0,513 0,532 0,550 0,569 0,587 0,596 0,605 0,615 0,623 0,632 0,640 0,649 0,657 0,665 0,673 0,681 0,689 0,698 0,705 0,712 0,720 0,727 0,735 0,742 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,398 0,418 0,437 0,457 0,476 0,495 0,515 0,533 0,552 0,570 0,589 0,598 0,607 0,616 0,625 0,634 0,643 0,652 0,660 0,668 0,677 0,685 0,694 0,702 0,710 0,717 0,725 0,733 0,740 0,748 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,419 0,439 0,458 0,478 0,497 0,517 0,536 0,555 0,574 0,593 0,602 0,611 0,620 0,629 0,638 0,647 0,656 0,665 0,674 0,682 0,690 0,699 0,707 0,716 0,724 0,731 0,739 0,747 0,754 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200 0,220 0,240 0,260 0,280 0,300 0,320 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,459 0,479 0,498 0,518 0,537 0,558 0,576 0,595 0,604 0,613 0,622 0,631 0,640 0,650 0,659 0,668 0,677 0,686 0,694 0,703 0,712 0,720 0,728 0,736 0,744 0,752 0,760 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
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    449 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,950 0,960 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1,010 1,015 1,020 1,030 1,040 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 0,746 0,753 0,760 0,766 0,773 0,780 0,786 0,793 0,799 0,805 0,811 0,817 0,823 0,829 0,835 0,840 0,846 0,851 0,854 0,857 0,859 0,861 0,864 0,867 0,870 0,873 0,875 0,877 0,882 0,888 0,892 0,896 0,901 0,905 0,909 0,913 0,917 0,921 0,925 0,928 0,932 0,936 0,939 0,943 0,947 0,950 0,956 0,962 0,968 0,974 0,750 0,757 0,764 0,771 0,778 0,784 0,791 0,797 0,803 0,810 0,816 0,821 0,828 0,833 0,840 0,845 0,861 0,866 0,859 0,861 0,863 0,867 0,869 0,873 0,874 0,878 0,880 0,883 0,887 0,893 0,897 0,901 0,906 0,910 0,914 0,918 0,921 0,926 0,929 0,933 0,936 0,941 0,944 0,947 0,950 0,953 0,957 0,962 0,971 0,977 0,755 0,762 0,769 0,776 0,783 0,790 0,797 0,803 0,810 0,816 0,822 0,828 0,834 0,840 0,846 0,852 0,857 0,863 0,866 0,868 0,870 0,873 0,876 0,879 0,881 0,884 0,886 0,889 0,893 0,898 0,903 0,907 0,911 0,916 0,920 0,923 0,927 0,931 0,935 0,938 0,942 0,945 0,948 0,951 0,954 0,958 0,964 0,970 0,975 0,981 0,762 0,770 0,777 0,784 0,791 0,798 0,804 0,811 0,818 0,825 0,831 0,837 0,844 0,850 0,856 0,861 0,867 0,972 0,875 0,878 0,880 0,883 0,885 0,887 0,890 0,893 0,896 0,898 0,902 0,907 0,911 0,915 0,919 0,923 0,927 0,931 0,935 0,939 0,943 0,947 0,950 0,953 0,957 0,960 0,963 0,966 0,972 0,977 0,982 0,987 0,768 0,776 0,783 0,790 0,798 0,805 0,812 0,819 0,826 0,832 0,839 0,845 0,851 0,857 0,864 0,869 0,875 0,881 0,883 0,886 0,889 0,891 0,894 0,897 0,899 0,902 0,904 0,907 0,911 0,916 0,920 0,924 0,928 0,932 0,936 0,940 0,944 0,948 0,951 0,954 0,957 0,960 0,963 0,965 0,968 0,970 0,976 0,981 0,986 0,990 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
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    450 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,979 0,985 0,990 0,994 0,998 1,001 1,005 1,009 1,014 1,016 1,020 1,029 1,035 1,041 1,047 1,052 1,057 1,061 1,065 1,068 1,071 1,076 1,080 1,084 1,087 1,090 1,092 1,094 1,096 1,098 1,099 1,103 1,106 1,108 1,110 1,111 1,111 1,111 1,111 1,111 0,978 0,986 0,992 0,996 1,000 1,004 1,008 1,013 1,016 1,019 1,021 1,029 1,035 1,040 1,046 1,051 1,055 1,059 1,060 1,064 1,068 1,071 1,073 1,079 1,081 1,083 1,085 1,087 1,088 1,089 1,090 1,093 1,097 1,098 1,099 1,100 1,100 1,100 1,100 1,100 0,985 0,990 0,995 0,999 1,003 1,006 1,010 1,014 1,017 1,020 1,022 1,029 1,034 1,039 1,043 1,047 1,051 1,054 1,057 1,059 1,062 1,065 1,068 1,071 1,073 1,075 1,076 1,077 1,078 1,079 1,080 1,082 1,084 1,085 1,085 1,085 1,086 1,086 1,086 1,086 0,991 0,995 0,999 1,002 1,006 1,009 1,012 1,016 1,018 1,020 1,022 1,028 1,032 1,036 1,039 1,042 1,045 1,047 1,049 1,051 1,053 1,056 1,058 1,060 1,061 1,062 1,063 1,063 1,064 1,065 1,065 1,066 1,067 1,067 1,068 1,068 1,068 1,068 1,068 1,068 0,994 0,997 1,001 1,005 1,008 1,011 1,014 1,016 1,018 1,020 1,022 1,028 1,030 1,034 1,037 1,039 1,041 1,043 1,045 1,046 1,047 1,049 1,050 1,051 1,052 1,053 1,054 1,054 1,054 1,055 1,055 1,055 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 ( ) ∫ + =− u NS u du NuF 0 1 , 0
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    451 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VIII) 1. En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre. En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico. 2. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se coloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C de Chezy es 40 m1/2 /s, calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero. ¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12? 3. Se tiene un canal trapecial de concreto (n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en el fondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3 /s. En cierta sección el tirante correspondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una sección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada. 4. Se tiene un canal trapecial de20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m3 /s. La pendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es n =0,028. Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en la desembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay marea baja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirante normal. Calcular la curva de remanso en cada caso. 5. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad n deKutter es 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3 /s. a) Calcular el tirante normal b) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentaráal colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m. yn
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    452 Arturo RochaHidráulica detuberías y canales 6. Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave y redondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de concreto, con n =0,013, es recto y largo. La pendiente es 0S =0,001. Calcular el caudal y el tipodeperfilsuperficialenlaentradadelcanalsisesuponequelaspérdidassondespreciables. 7. El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son los siguientes Cota del fondo del canal en la desembocadura 575,80 m Cota del fondo del canal en su iniciación 575,85 m Longitud del canal 275,00 m Ancho del canal 8,00 m Coeficiente de Kutter (supóngase constante) 0,014 Gasto en el canal 5,0 m3 /s Nivel del agua en el río 576,80 m Calcular a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en el canal. 8. Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las S0 H 575,85 m 575,80 m 576,80 m
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    453 Movimiento gradualmente variadoCapítuloVIII siguientes 9. Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro que tiene un tirante de 0,60 m. 10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay un vertedero que eleva la corriente a 1,20 m de tirante. Existe una compuerta de fondo a 300 m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de tirante. El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2 /s y el tirante normal es 0,90 m. Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo y el vertedero. Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura? Indicar igualmente los tipos de curva y sus características. b T T = 12 m b = 5 m 2 1