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![�𝑃𝑃= �[−�−
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𝑃𝑃 = −�[−� −
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𝑃𝑃 �+
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𝑃𝑃 �+
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Cuando �=
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Entonces, 𝑃𝑃
𝛾𝛾
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𝑃𝑃 = 2𝛾𝛾�
Cuando sea acelerado y hacia abajo.
𝑃𝑃 = Presión Total (relativa)](https://image.slidesharecdn.com/equilibriorelativo-230313225612-8ce7b3b0/85/Equilibrio-relativo-pdf-13-320.jpg)
Equilibrio relativo.pdf
- 1. @WlJJJíIDÜ®LIDlt@rr@IlcllctiJW@dl®Il@filluofütll@[P)cfilJJ'clll]])c:Mlcfil ®LID ®QDJ]Jlü[bm"Ll@ ®®il®IT'ifilll@@w®m1Í @ilioIln@üll@JJuU:0lil1 Lf®1111.fi@rn ®{b)rr®®JJíl® D @ McecccÍillnnccalcdlI F i l @ n c d l @ Il
- 2. Hasta ahora seha considerado, para el cálculo de superficies de nivel y de presión en un punto interior de un fluido, que éste se encontraba en reposo, o bien, que podría estar en movimiento uniforme, sin ninguna aceleración. Sin embargo, cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y el recipiente se mueve con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema. Para su estudio supondremos un deposito prismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a tres tipos de fuerzas, es decir, la fuerza debido a la aceleración del movimiento ,la fuerza debida a la aceleración de la gravedad y fuerza que hacer girar a los líquidos en su eje vertical
- 3. Establece que lasuma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.
- 4. Considérese un líquidocontenido en un recipiente y que este recipiente se desplaza con una aceleración horizontal constante. En tales circunstancias la superficie libre se inclina; una partícula líquida continua en reposo con respecto a otra y con respecto a las paredes del recipiente, de modo que no hay rozamiento entre ellas y el estudio de la repartición de presiones puede hacerse con los principios hidrostáticos.
- 5. Se presentan trescasos do interés: aceleración horizontal constante aceleración vertical constante rotación alrededor de un eje vertical, a velocidad angular constante. 1 2 3
- 6.
- 7. z X P = (X,.Z) Superficie de nivel 9 DeD'Alembert Cambiada de signo
- 8. � = −−� � = 0 �= −� ��= ����+ ���+ ���
- 9. ��= ����− ��� 1 � 0 0𝑋𝑋𝐴𝐴 �𝐴𝐴 �� = ���− ��� 0 0 0 = ��𝐴𝐴− ��𝐴𝐴 �𝐴𝐴� = �𝐴𝐴� � �𝐴𝐴 = tan 𝛼𝛼 = � � 𝛼𝛼 = tan−1 � �
- 10. Para un puntocualquiera 1 𝑃𝑃 𝟎𝟎 0 𝑋𝑋 0 � � ��= ���− � �� 𝑃𝑃 � = �� − �� 𝑃𝑃 � 𝛾𝛾 = � � − � 𝑃𝑃 𝛾𝛾 = � tan 𝛼𝛼 −� 𝑃𝑃 𝛾𝛾 = ℎ Si por un punto trazamos una paralela a la superficie liquida vamos a tener una superficie de nivel o presión constante.
- 11.
- 12. � x 0 y -z P �𝑃𝑃=�(�.��+ �.��+ �.��) �= 0 �= 0 �= −� − (±�) Aceleración efectiva del movimiento, pero cambiada de signo. (D´Alembert)
- 13. �𝑃𝑃= �[−�− (±�)]�� 0 𝑃𝑃 −� �𝑃𝑃= � [−� − (±�)]�� 0 𝑃𝑃 = −�[−� − (±�)]� 𝑃𝑃 � = [�+ (±�)]� 𝑃𝑃 �+ (±�) �.� � = [ ]� 𝑃𝑃 �+ (±�) 𝛾𝛾 = [ � ] � Cuando �= � Entonces, 𝑃𝑃 𝛾𝛾 = 2� 𝑃𝑃 = 2𝛾𝛾� Cuando sea acelerado y hacia abajo. 𝑃𝑃 = Presión Total (relativa)
- 14. • La aceleraciónvertical puede ser ascendente o descendente. En un prisma elemental vertical cualquiera en el interior del líquido se verifica:
- 15. 𝑃𝑃2 .�𝐴𝐴= 𝑃𝑃1�𝐴𝐴−�= � . �𝑣𝑣 � 𝑃𝑃2 . �𝐴𝐴 − 𝑃𝑃1 �𝐴𝐴 − � = � .�𝑣𝑣 𝑃𝑃2 .�𝐴𝐴− 𝑃𝑃1�𝐴𝐴−𝛾𝛾.ℎ �𝐴𝐴 = 𝛾𝛾 ℎ �𝐴𝐴 � . �𝑣𝑣 � 𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃1 + 𝛾𝛾ℎ + � . 𝛾𝛾 ℎ Es decir, por efecto del movimiento ascendente del recipiente la presión en todos los puntos del líquido aumenta con relación a la presión con el recipiente en reposo. Este efecto es el mismo que experimenta el pasajero de un ascensor durante la subida.
- 16. Para la aceleraciónvertical descendente se obtiene: Es decir, si se deja caer el recipiente no hay variación en la presión: P2 = P1. En ambos casos de aceleración vertical las superficies de igual presión resultan horizontales y por eso paralelas entresí. � 𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃1 + 𝛾𝛾ℎ − � 𝛾𝛾 𝑃𝑃2 �𝑣𝑣 𝑃𝑃1
- 17. ROTACION ALREDEDOR DEUN EJE VERTICAL,A VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE
- 18. Cuando se lesomete a una velocidad angular, la superficie del líquido va cambiando. Cuando 𝜔𝜔 = constante; entonces la superficie toma una forma parabólica. Fuerza centrípeta. �𝑐𝑐= ��𝑐𝑐 �𝑐𝑐= 𝜔𝜔2�
- 19.
- 20. 𝜔𝜔2 ��= � � � � � = 𝜔𝜔2� 2 2 � + � �� � � �= ℎ ,�= 0 ∴ ℎ = � �= ℎ + 𝜔𝜔2� 2 2 � �𝑃𝑃= �(���+ ���+ ���)
- 21. � = −−𝜔𝜔�= 𝜔𝜔2� � = − −𝜔𝜔2�= 𝜔𝜔2�
- 22. 1 � 𝑃𝑃0 0 0ℎ 𝑃𝑃 � � � �𝑃𝑃= 𝜔𝜔2���+ 𝜔𝜔2���− ��� 1 � 𝑃𝑃 − 𝑃𝑃0 = + 𝜔𝜔2�2 𝜔𝜔2�2 2 2 − �(�− ℎ) 0 𝑃𝑃 − 𝑃𝑃 = � 𝜔𝜔2 2 2 2 � + � − �� � − ℎ 0 𝛾𝛾 2 � 2 2 𝑃𝑃 − 𝑃𝑃 = 𝜔𝜔 𝜔𝜔 − 𝛾𝛾 �− ℎ 𝜔𝜔2� 2 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃0+ 𝛾𝛾 ℎ − � + 𝛾𝛾 2� En el caso de considerar presiones relativas→ 𝑃𝑃0= 0 𝜔𝜔2� 2 𝑃𝑃 = 𝛾𝛾 ℎ − � + 𝛾𝛾 2� Considerando de la presión en la superficie→ 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃0= 0 0 = 𝛾𝛾 ℎ − � + 𝛾𝛾 𝜔𝜔2� 2 2 � �= ℎ + 𝜔𝜔2� 2 2 � → � � � � � � � ���� �� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � ó �
- 23. EJERCICIO 3 Unvaso cilíndrico de 2.50m es llenado con agua hasta los dos metros. El diámetro del vaso es 1.40. Hallar la velocidad angular y las revoluciones por minuto (R.P.M) que harán elevar el agua hasta los bordes del vaso.
- 24. DATOS: ℎ�𝑒𝑒𝑐𝑐𝑖𝑖�𝑖𝑖𝑒𝑒��𝑒𝑒 = 2.50� � � � � � � � � 𝑣𝑣���= 1.40� �= 0.70�
- 25. Comoel aguanoseha perdido: � � � .𝑃𝑃 � � � � � � � � � � = ���.��� �� � � � �� � �� � � � � � � �sin ����( ��������) �� 2ℎ 2 = ��2(2.50� − 2.00�) ����������:ℎ = 1�
- 26. ����� ����������� � � � � � � � �� �� � � � � : � = 2 � ; 1� = 𝜔𝜔2�2 𝜔𝜔2 0.70 � 2 2 � �������: 𝜔𝜔2 = 1��19.60 � �2 0.49� 2 𝜔𝜔 = 6.33 � � � � � � �� �. 𝑃𝑃. � : 1 �. 𝑃𝑃. � = 2� ��� 60 � 𝜔𝜔 = 6.33 � � �� � �� 60��� 2� ��� 𝜔𝜔=60.5�.𝑃𝑃. �
- 28. Ejercicio N 1 Determinarel ángulo que forma la superficie del líquido contenido en un tanque “1” con la horizontal, si el tanque desciende por razón de su propio peso, por un plano inclinado a 30º con la horizontal. El descenso del tanque “1” que pesa 600 Kg., produce el ascenso de otro menor, cuyo peso es de 200 Kg.. El coeficiente de fricción entre el fondo de ambos tanques y la superficie del plano inclinado es u=0.25
- 29. Solución Para el tanquede 200 Kg:
- 30. Sumando (1) y(2):
- 31. Que de acuerdocon el teorema de D’ Alambert, debe ser considerada con signo contrario; las proyecciones de la aceleración sobre los ejes X, Y, Z son: Reemplazando estas aceleraciones con la ecuación de Euler, o integrando: De donde:
- 32. EJERCISIO2 Un tanque desección transversal rectangular (6 x 1 m) está lleno de agua hasta los 4m de altura y está unido a un peso Q= 60000 kg por medio de una cuerda flexible y inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie horizontal es f=0.6 y todos los demás rozamientos son despreciables. Hallar la presión en un punto del tanque situado a 1m sobre el punto A de la figura. Despreciar el peso propio del tanque.
- 33. SOLUCION: Como � =�. � ; y llamando T la tensión de la cuerda, se tendrá por el diagrama de cuerpo libre que corresponde al peso Q:
- 34. 60000 − � = 60000 9.8 �…… …… . (1) En el diagrama del tanque:
- 35. ) entonces Teniendo encuenta que la NORMAL ( N ) es igual al peso del tanque (24000 kg podremos hallar la fuerza que se opone al movimiento del Tanque ( Fr ) entonces: ��= �. � ��= 24000 ∗ 0.6 hora tenemos que: �− ��= �. � �− 24000 ∗ 0.6 = 24000 9.8 �… … … … . . (2) Sumando (1) con (2). 60000 − 24000 ∗ 0.6 = 60000 + 24000 9.8 � 45600 = 84000 9.8 �
- 36. Despejando: � = 45600 ∗ 9.8 84000 =5.32 � �2 Por Euler se tiene: 1 � ��= ����+ ����+ �� � �… … … … … … … … … … . 3 Donde: �� = 5.32 � �2 �� = 0 ��= −� Reemplazando en (3) e integrando para los puntos (B-0) 1 � 0 ��= 5.32 0 0 𝑋𝑋1 �1 ��− � � � 0 0 = 5.32 ∗ �1− �∗ �1 � 1 9.8 �1 = tan 𝛼𝛼 = 5.32 = 0.545
- 37. Sobre elevación delnivel de agua en la vertical levantada en A. 𝛥𝛥ℎ = 6 ∗ tan 𝛼𝛼 = 6 ∗ 0.545 2 2 = 1.635 � Luego la presión en M será: ℎ = 4 + 1.635 − 1 = 4.635 �
- 38. Tendremos 4.635 decolumna de agua, entonces la presión será: �= �ℎ = 1000 ∗ 4.635 = 4635 �� �2 �= 0.4635 �� ��2
- 39. 4. ¿Cómo varíanlas presiones en el seno de la masa liquida contenida en el recipiente que se mueve verticalmente para los siguientes datos?: a. Cuando sube con una aceleración a=4.9 m/seg2 b. Cuando baja con una aceleración a=4.9 m/seg2 c. Cuando el depósito cae. d. Cuando el depósito suba con una retardación igual a la gravedad. e. Cuando el depósito suba con una aceleración igual a la gravedad.
- 40. Solución Resolviendo el problemade una manera general: Por la ecuación de Euler se tiene: 1 ρ dp = ax . dx + ay . dy + az . dz Donde: ax = 0 ay = 0 az = -g – (± a) Reemplazando estos datos en la ecuación de Euler e integrando: 1 � 0 � −z ��= −g ±a dz 0 1 � �= − g ± a z 0 −z 1 � �= g ± a z
- 41. Dividiendo ambos miembrosentre g: � = g ± a z �. g g = peso específico = � , se tiene despejando la Como �. g presión: � = g ± a g ��… … … … . 1 Reemplazando (1) en la expresión general para todos los casos: Caso a: � = 9.8 + 4.9 9.8 ��= 1.5�� �� � 2 Caso b: � = 9.8 − 4.9 9.8 ��= 0.5�� �� � 2 Caso c: Cuando el depósito cae a= -g �= 0
- 42. Caso d: Cuando eldepósito suba con retardación a= -g �= 0 Caso e: Cuando el depósito suba con aceleración igual a la gravedad a= g � = g + a g � � � = g + g g �� = 2g g ��= 2��
- 43.