1) El documento resume conceptos clave de cálculo como aplicaciones de la integral, curvas paramétricas, y curvas polares. 2) Incluye fórmulas para calcular la longitud de arco, área de superficies de revolución, centro de masa, momento, y más. 3) También presenta ejemplos de curvas como la cicloide y la astroide.

1. Resumen Calculo II (2014-2)
Juyoung Wang
A) Aplicacion de integral
1) Longitud de arco:
 Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define la longitud de curva 푦=푓(푥) con 푥∈,푎,푏- por:
퐿=∫√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥
 Sea 푔:,푐,푑-→ℝ con derivada continua, se define la longitud de curva de 푥=푔(푦) con 푦∈,푐,푑- por:
퐿=∫√1+( 푑푥 푑푦 * 2푑 푐 푑푦
2) Area de una superficie revolucion:
 Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie solido revolucion de 푦=푓(푥) que gira respecto al eje X, con 푥∈,푎,푏- por:
푆푋=2휋∫푓(푥)√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥
 Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie solido revolucion de 푦=푓(푥) que gira respecto al eje Y, con 푥∈,푎,푏- por:
푆푌=2휋∫푥√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥
3) Presion hidrostatica:
 Se define la presion, como fuerza ejercida en una unidad de area determinada:
푃=휌푔푑
donde:
휌: Densidad.
푑: Distancia entre la placa y superficie.
푔: Aceleracion de la gravedad.

2. 4) Fuerza:
 A partir de la segunda ley de Newton, definimos fuerza F que actua sobre una particula como la multiplicacion entre masa y aceleracion:
퐹=푚푎
 Ley de Hooke:
La fuerza que actua sobre una masa unida al resorte se calcula usando: 퐹=−푘푥(푡)
donde:
푘: Constante de elasticidad del resorte.
푥(푡): Distancia entre la longitud original del resorte y particula en el intante t.
 Y el trabajo hecho por resorte se calcula mediante la siguiente ecuacion:
푊=−푘∫푥푑푥 푙2−푙표 푙1−푙0
donde:
푙0: Longitud natural del resorte.
푙1: Longitud del resorte en 푡=0.
푙2: Longitud del resorte en 푡=푡푓.
5) Trabajo:
 Sea 퐹 la fuerza constante y Δd la distancia recorrida, se define fuerza como:
푊=퐹Δ푥
Entonces, de este modo, se define el trabajo necesario para mover la particula desde el punto 푎 hasta el punto 푏, mediante la siguiente formula: 푊푎 푏=∫퐹(푥)푑푥 푏 푎
 Si la fuerza 퐹 no es constante y si el cuerpo se mueve desde el punto 푎 hasta el punto 푏, el trabajo realizado se calcula con la siguiente formula:
푊푘=푚푘푔푥푘∗ ⟹푇푇표푡푎푙=Σ푇푘 푛−1 푘=0 ⟹∫(퐹(푥)∙푥)푑푥 푏 푎

3. 6) Centro de masa:
 Centro de masa un sistema unidimensional: Sea 푥1,⋯,푥푘 las posiciones de masas 푚1,⋯,푚푘, se calcula el centro de masa con:
푥̅= Σ푚푘푥푘 푛푘 =1Σ푚푘 푛푘 =1
 Centro de masa del sistema (Centroide): Sea 푃1,⋯,푃푘 las posiciones de masas 푚1,⋯,푚푘, se calcula el centro de masa con:
푥̅=(푥̅,푦̅)= (∫푥푓(푥)푑푥 푏 푎,12∫(푓(푥)) 2 푑푥 푏 푎) ∫푓(푥)푑푥 푏 푎
 Centro de masa una region encerrada por dos funciones:
Sean 푓,푔 funciones continuas con 푔(푥)>푓(푥) ∀x∈ℝ, su centroide es: 푥̅=(푥̅,푦̅)= (∫푥,푔(푥)−푓(푥)-푑푥 푏 푎,12∫,(푔(푥)) 2−(푓(푥)) 2-푑푥 푏 푎) ∫,푔(푥)−푓(푥)-푑푥 푏 푎
 Momento: Sea 푥̅ el centro de masa, llamaremos momento a:
푀=푚푥̅
 Momento del sistema respecto al eje X:
푀푋=Σ푚푘푦푘 푛 푘=1= 휌 2∫(푓(푥)) 2 푏 푎 푑푥⟹푦푈푛푖푑푖푚= 푀푥 Σ푚
 Momento del sistema respecto al eje Y:
푀푌=Σ푚푘푥푘 푛 푘=1=휌∫푥푓(푥) 푏 푎 푑푥⟹푥푈푛푖푑푖푚= 푀푦 Σ푚
 Teorema de Pappus: Sea 푅 una region acotada, 푙 una recta que NO corta a 푅 y 푑 la distancia recorrida por el centroide al rotar respecto a la recta 푙, si 푆 es el solido resultante producido por rotar 푅 en torno a 푙, entonces el area y volumen de 푆:
퐴=2휋퐿푑=∫(푔(푥)−푓(푥))푑푥 푏 푎 ⟹푉푆=2휋퐴푑=휋∫.(푔(푥)) 2−(푓(푥)) 2/푑푥 푏 푎 =퐴푑푅푒푐푝표푟푥

4. B) Curvas parametricas
I) Curvas en el plano cartesiano:
Diremos que 훾 es una curva parametrica, con 푡 denominado como parametro, si:
훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con (푥,푦): ,푡1,푡2-→ℝ
1) Tangente: Sea 푥=푓(푥)∧푦=푔(푥)⟹푔(푥)=퐹(푓(푥)), entonces:
퐹′(푥)= 푔′(푡) 푓′(푡)
y la recta tangente a curva en el punto (푎,푏) es: 퐿:(푦−푏)=퐹′(푥)⋅(푥−푎)
2) Longitud: Sea 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, su longitud sera determinado por:
퐿=∫√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡
3) Area: Sea 푅 la region delimitada por 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, 푥′(푡)≥0, 푥=푥(푎), 푥=푥(푏) e 푦=0, entonces el area de la region 푅 se calcula mediante la siguiente formula:
퐴푅=∫푦(푡)⋅푥′(푡) 푏 푎 푑푡
4) Area de una superficie revolucion:
 Sea 푅 la region delimitada por 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, 푥′(푡)≥0, 푥=푥(푎), 푥=푥(푏) e 푦=0, entonces el area de la superficie del volumen generado al rotar region 푅 respecto al eje X se calcula mediante la siguiente formula:
푆푋=2휋∫푦(푡)√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡
 Y al rotarlo entorno eje Y:
푆푌=2휋∫푥(푡)√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡

5. Figuras tipicas:
1) Cicloide:
Sea γ(θ)=(푥(휃),y(θ)):
- 푥(휃)=푟(휃−푠푖푛(휃))
- 푦(휃)=푟(1−푐표푠(휃))
2) Astroide:
Sea x23+y23=푟 23
- 푥(휃)=푟푐표푠3(휃)
- 푦(휃)=푟푠푖푛3(휃)

6. II) Curvas en polares:
1) Coordenadas polares:
휌=휌(휃)=(휌,휃) (푥,푦)→(휌,휃)
donde:
Parametrizacion:
흆: Distancia entre el origen y punto P.
휽: Angulo recorrido en sentido anti-horario, con respecto al eje x.
풙=풓⋅풄풐풔(휽) 풚=풓⋅풔풊풏(휽)
Con: 풙ퟐ+풚ퟐ=풓ퟐ
2) Tangente:
Sea:
푥=푟⋅푐표푠(휃)=푓(휃)⋅푐표푠(휃) 푦=푟⋅푠푖푛(휃)=푓(휃)⋅푠푖푛(휃)
푑푦 푑푥 = 푑푦 푑휃 푑푥 푑휃 = 푑푟 푑휃 (푠푖푛(휃)+푟⋅푐표푠(휃) 푑푟 푑휃 (푐표푠(휃)−푟⋅푠푖푛(휃)
3) Formulas:
a) Longitud de la curva polar:
퐿=∫√(휌(휃))2+(휌′(휃)) 2 푑휃 훽 훼
b) Area de la region encerrada por curva polar:
퐴= 12∫휌2(휃)푑휃 훽 훼

7. 4) Tecnica de graficacion entre 0 y ퟐ훑:
휌(휃)=푎∙sin (휃)
donde 푎=r
휌(휃)=푎∙cos (휃)
donde 푎=r
휌(휃)=cos (푎휃)
donde 푎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos pasan por eje Y.
휌(휃)=cos (푎휃)
donde 푎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos no pasan por eje Y.
휌(휃)=sin (푎휃)
donde 푎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos no pasan por eje Y.
휌(휃)=cos (푎휃)
donde 푎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos pasan por eje Y, abajo (3), ariba(5), sucesivamente.
휌(휃)=푎(1−푛⋅푐표푠(휃))
donde 푎 sera igual al tercio del radio pesudo-circulo exterior y 푛 aumente junto con el radio de pseudo- circulo interior.

8. C) Integral impropia
Tipo I:
Sea f(x) continua en ,푎,∞)∧(−∞,푏- y si ∃∫푓(푥)푑푥 t 푎,∀푡≥푎∧∫푓(푥)푑푥 b 푡,∀푡≤푏 ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 =lim 푡→∞ ∫푓(푥)푑푥 t 푎 ∧∫푓(푥)푑푥 b−∞ =lim 푡→−∞ ∫푓(푥)푑푥 b 푡
Tipo II:
a) Sea f continua sobre ,푎,푏) y discontinua en 푏:
∫푓(푥)푑푥 b 푎 =lim 푡→b− ∫푓(푥)푑푥 t 푎
b) Sea f continua sobre (푎,푏- y discontinua en 푎:
∫푓(푥)푑푥 b 푎 =lim 푡→a+ ∫푓(푥)푑푥 b 푡
Concepto de la convergencia:
1) Convergente: Existe el limite de la integral.
2) Divergente: No existe el limite de la integral.
c-1) Criterios de comparacion:
a) Sean f y g continuas con 푓(푥)≥푔(푥)≥0,∀푥≥푎 Entonces:
∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 es convergente ⇒ ∫푔(푥)푑푥 ∞ 푎 es convergente
∫푔(푥)푑푥 ∞ 푎 es divergente ⇒ ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 es divergente
b) Comparar con 1 푥휆:
 Si 0≤흀≤ퟏ: ∫ 1 풙흀 ∞ 푎푑푥 diverge.
 Si 흀>ퟏ: ∫ 1 풙흀 ∞ 푎푑푥 converge.

9. D) Serie
Sucesiones: Es una funcion que hace 푓:ℕ→ℝ.
Sea 푓(푛)=푎푛, definiremos la convergencia de sucecion como: lim 푛→∞ 푎푛=퐿 | Si 푛≥푁 ⇒ ∀ℇ>0 ∧ |퐿−푎푛|<ℇ
- Convergencia de sucesion:
Si lim푛→∞푎푛=퐿< ∞, entonces la sucesion converge.
 Teorema de valor absouluto:
lim 푛→∞ |푎푛|=0⇒lim 푛→∞ 푎푛=0
 Teorema de axioma del supremo:
Toda sucesion monotona creciente o decreciente y acotada, converge.
 Convergencia de la suceciones:
Si 0≤lim 푛→∞ 푎푛<∞ con un solo valor determinado,entonces la sucesion converge.

10. d-0) Serie:
Sea *푎푘+푘=1 푛 una sucesion, se denomina la SERIE como suma determinada por: S=Σ푎푛 ∞ 푛=푘 =Σ푎푛 donde 푘<∞ donde lim푛→∞푆푛=푆 con 푆푛 la n-esima suma parcial Y S denominado como la SUMA DE SERIE.
 Convergencia de series:
Convergente: ∃lim푛→∞푆푛=푎1+⋯+푎푛=Σ푎푛 ∞푛 =1=푠 휖 ℝ ∧lim푛→∞푎푛=0
- Divergente: ∄lim푛→∞푆푛∧lim푛→∞푎푛≠0
d-1) Propiedad:
Sean Σ푎푛 y Σ푏n series convergentes, las siguientes tambien lo son y ademas cumplen con la siguiente propiedad:
1) lim푛→∞푎푛=lim푚→∞Σ푎푖 ∞푖 =푚
2) Σ푐푎푛 ∞푛 =1=푐Σ푎푛 ∞푛 =1
3) Σ(푎푛±푏푛)∞푛 =1=Σ푎푛 ∞푛 =1±Σ푏푛 ∞푛 =1
d-2) Series conocidas:
1) Serie aritmetica:
Σ푎푘 n 푘=1=푎1+⋯+푎푛= 푛(푎1+푎푛) 2,donde: 푑=푎푛−푎푛−1 푎푛=푎1+푑(푛−1)
2) Serie geometrica:
Σ푟푘−1푛푘 =1=1+푟+⋯+푟∞{ 11−푟 , 푠푠푖 |푟|<1(1−푟푛) 1−푟 , 푠푠푖 푟>1 y la serie diverge cuando |푟|>1 Σ푟푘 ∞ 푘=푎 = 푟푎 1−푟
3) Serie armonica:
La serie Σ1 푛 ∞푛 =1 se denomina como serie armonica y es divergente.

11. d-3) Serie alternante:
Sea *푎푛+ sucesion de terminos positivos, entonces llamaremos SERIE ALTERNANTE a: 푆=Σ푏푘 ∞ 푘=1=Σ(−1)푘−1∙푎푘 ∞ 푘=1
 Criterio de Leibniz (o la serie alternante):
i) 푎푛+1≤푎푛
ii) lim푛→∞푎푛=0
Entonces la serie alternante converge.
d-4) Tipos de convergencia:
a) Convergencia absoluta:
Σ푎푘 ∞푘 =1 converge absolutamente, si Σ|푎푘|∞푘 =1 converge.
Teorema:
Si Σ푎푘 ∞푘 =1 converge absolutamente, entonces la serie converge.
Pero esto no dice que la convergencia de una serie implica su convergencia absoluta.
b) Convergencia condicional:
Σ푎푘 ∞푘 =1 no converge absolutamente, pero si converge normalmente.

12. d-5) Criterios de convergencia:
1) Criterio cero:
Σ푎푛 ∞ 푛=1 converge ⇒lim 푛→∞ 푎푛=0
Es decir: lim 푛→∞ 푎푛≠0⇒Σ푎푛 ∞ 푛=1 diverge
2) Criterio de la integral:
Sea 푓:,1,∞)→ℝ0+ continua y decreciente:
a) ∫푓(푥)∞ 1푑푥<∞⇔Σ푓(푘)∞푘 =1<∞
b) ∫푓(푥)∞ 1푑푥=∞⇔Σ푓(푘)∞푘 =1=∞
3) Criterio de comparacion:
Sean 0≤푎푛≤푏푛:
a) Σ푎푛 ∞푛 =1 diverge ⟹Σ푏푛 ∞푛 =1 diverge
b) Σ푏푛 ∞푛 =1 converge ⟹Σ푎푛 ∞푛 =1 converge
4) Criterio de comparacion al limite:
Sean 푎푛,푏푛∈ℝ+ tales que:
lim 푛→∞ 푎푛 푏푛 =휌
Si 0<휌<∞:
Σ푎푘 converge ⇔ Σ푏푘 converge
Σ푎푘 diverge ⇔ Σ푏푘 diverge
Si 휌=0:
Σ푏푘 converge ⟹ Σ푎푘 converge
Σ푎푘 diverge ⟹ Σ푏푘 diverge
5) Criterio de la razon y de la raiz: Considerando la serie Σ푎푛 ∞푛 =1: Criterio de la razon: Si ∃lim푛→∞| 푎푛+1 푎푛 |=푐>0 Criterio de la raiz: Si lim 푛→∞ √|푎푛|푛=푑>0
ퟎ≤퐜,퐝<ퟏ: Absolutamente convergente = Convergente. 퐜,퐝>ퟏ: Divergente. 퐜,퐝=ퟏ: No concluyente.

13. d-6) Resto:
Sea 푎푛 sucesion y 푆=Σ푎푘 ∞푘 =1 convergente, con 푆푛=Σ푎푘 n푘 =1, se define el RESTO como: 푅푛=푆−푆푛=Σ푎푘 ∞ 푘=푛+1
Teorema:
1) La serie 푆=Σ푎푘 ∞푘 =1 converge, ssi lim푛→∞푅푛=0.
2) Si lim푛→∞푎푛=0 y 푓:,1,∞)→ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 푓(푛)=푎푛, entonces:
푆푛+∫푓(푥) ∞ 푛+1 푑푥≤푆≤푆푛+∫푓(푥) ∞ 푛 푑푥
3) Si lim푛→∞푎푛=0 y 푓:,1,∞)→ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 푓(푛)=푎푛, entonces:
∫푓(푥) ∞ 푛+1 푑푥≤푅푛≤∫푓(푥) ∞ 푛 푑푥
d-7) Estimacion de sumas:
1) Resto de una serie: Sea Σ푎푛 sucesion convergente, comparando con la serie Σ푏푛, es decir, 푎푛≤푏푛, y ademas 푓(푛)=푎푛 ∧ 푔(푛)=푏푛, entonces:
푅푛=푠−푠푛=푎푛+1+푎푛+2+⋯ 푇푛=푡−푡푛=푏푛+1+푏푛+2+⋯
y como 푅푛≤푇푛, y por lo tanto: 푅푛≤푇푛≤∫푔(푥) ∞ 푛 푑푥
donde el valor de ∫푔(푥) ∞ 푛푑푥 o 푇푛 seria el valor aproximado del error de la suma serie Σ푎푛 hasta 푛−푒푠푖푚표 terminos.
2) Resto de serie alternante:
Si para la sucesion *푎푘+푘=1∞, se verifica que 푎푘>0 y es decreciente ∀k ϵ ℕ, entonces: Σ(−1)푘−1푎푘 ∞푘 =1 es convergente y debe cumplir con:
|푅푘|=|푆푘−푆|≤|푆푘−푆푘+1|=푎푘+1 donde |푅푘| es el residuo, tamano de error y que el valor de 푎푘+1 seria el valor aproximado del residuo.

14. d-9) Estrategias para determinar la convergencia:
1) Si lim푛→∞푎푛≠0, entonces la serie diverge.
2) Si la serie es de forma u orden Σ1 푛푝, es convergente si 푝<1 y divergente si 푝≥1.
3) Si la serie es geometrica (Σ푟푛−1 ∨ Σ푟푛), entonces la serie converge si |푟|<1 y diverge si |푟|≥1.
4) Si la serie es parecida a las 푝−푠푒푟푖푒푠, y si la serie es de terminos positivos, entonces se debe aplicar el criterio de comparacion al limite.
Pero si la serie contiene algunos signos negativos, entonces se debe ver hay convergencia absoluta.
5) Si la serie es de forma Σ(−1)푛−1푎푛 o bien, Σ(−1)푛푎푛, entonces podria aplicar el criterio de Leibniz.
6) Si la serie contiene factorial y/o una potencia n-esima, entonces podria aplicar el criterio de la razon y si esto no funciona, de la raiz.
7) Si la serie es de forma Σ푏푛 푛, entonces el criterio de la raiz podria ser util.
8) Si 푓(푛)=푎푛, es conveniente resolver ∫푓(푥) ∞ 1푑푥, si la integral es evaluable con facilidad.

15. d-9) Serie de potencias
S(x)=Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 = Serie de potencias en (x−a) donde:
- 풓: Es una sucesion denominada como RADIO DE CONVERGENCIA y se calcula:
푅= 1 푙푖푚푠푢푝 푛→∞ √|푐푛|푛=푙푖푚 푛→∞ | 푐푛 푐푛+1|
Y el intervalo de convergencia esta dada por la inecuacion: |푥−푎|≤푟
 Teorema de convergencia las series potencias:
1) La serie Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 es convergente, si:
a) 푥=푎∧푟=0
b) |푥−푎|<푟 ∧푟∈(0,∞)
2) La serie Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 es divergente, si:
a) 푥≠푎∧푟=0
b) |푥−푎|>푟 ∧푟∈(0,∞)
Si |푥−푎|=푟, se debe hacer un estudio para determinar si es convergente o no.
 Derivacion e integracion de las series potencias: Se deriva e integra normalmente como la siguiente:
1) Derivacion:
푑 푑푥 (Σ푐푛(푥−푎)푛 ∞ 푛=0)=Σ푛∗푐푛(푥−푎)푛−1∞ 푛=1
2) Integracion:
∫(Σ푐푛(푥−푎)푛 ∞ 푛=0)=퐶+Σ1 푛+1∗푐푛(푥−푎)푛+1∞ 푛=0

16. d-10) Serie de Taylor y Maclaurin
 Serie de Taylor:
푇(x)=Σ 푓(푘)(푎)(푥−푎)푘 푘! ∞ 푘=0+ ∫(푥−푡)푛푓(푛+1)(푡) 푥 푎푑푡 푛!
donde:
Σ푓(푘)(푎)(푥−푎)푘 푘! ∞푘 =0 : Polinomio de Taylor.
∫(푥−푡)푛푓(푛+1)(푡) 푥 푎푑푡 푛! : Resto de Taylor.
 Estimacion de error Taylor:
Si |푓(푛+1)(푥)|≤푀 ∧ 푥∈,푎,푏-, entonces: |푅푛(푓,푥)|≤푀⋅ |푥−푎|푛+1(푛+1)! ≤푀⋅ |푏−푎|푛+1(푛+1)!
 Serie de Maclaurin: Es la serie de Taylor con 푎=0.
푀(x)=Σ 푓(푛)(푎) 푛! (푥)푛 ∞ 푛=0=푓(0)+푥푓(1)(0)+ 푓(2)(0) 2! 푥2+⋯
Y al hacerlo n-veces, se obtiene la siguiente formula: 푓(푥)=푓(푎)+푓(1)(푎)(푥−푎)+ 푓(2)(푎) 2! (푥−푎)2+⋯+ 푓(푛)(푎) 푛! (푥−푎)푛+푅푛(푥)
 La igualdad de Euler:
푒푖푥=cos(푥)+푖푠푖푛(푥) 푒푖휋+1=0
 Serie binomial:
(1+푥)k=Σ. 푘 푛 /푥푛 ∞ 푛=0=1+푘푥+ 푘(푘−1) 2! 푥2+ 푘(푘−1)(푘−2) 3! 푥3−+⋯ con 푎=0

17. Series importantes: 11−푥 =Σ푥푛 ∞ 푛=0=1+푥+푥2+푥3+⋯ 11+푥 =Σ푥푛 ∞ 푛=0=1−푥+푥2−푥3+⋯ 푒푥=Σ푥푛 ∞ 푛=0=1+ 푥 1! + 푥22! + 푥33! +⋯ sin(푥)=Σ(−1)푛푥2푛+1(2푛+1)! ∞ 푛=0=푥− 푥33! + 푥55! − 푥77! +⋯ con 푎=0 cos(푥)=Σ(−1)푛푥2푛 (2푛)! ∞ 푛=0=1− 푥22! + 푥44! − 푥66! +⋯ con 푎=0 Arctan(푥)=Σ(−1)푛푥2푛+12푛+1∞ 푛=0=푥− 푥33+ 푥55− 푥77+⋯ con 푎=0 푙푛(1+푥)=Σ(−1)푛푥푛+1 푛+1∞ 푛=0=푥− 푥22+ 푥33− 푥44+⋯ con 푎=0 (1+푥)k=Σ. 푘 푛 /푥푛 ∞ 푛=0=1+푘푥+ 푘(푘−1) 2! 푥2+ 푘(푘−1)(푘−2) 3! 푥3−+⋯ con 푎=0

18. E) Vectores y la geometria del espacio
e-1) Espacio euclideo ℝ푛=*푥⃗=(푎1,푎2,푎3,⋯,푎푛)∶푎1,푎2,⋯푎푛∈ℝ+
Espacio euclideo de 3 dimensiones (ℝퟑ): ℝ∗ℝ∗ℝ=*(푥,푦,푧)∶푥,푦,푧∈ℝ+
donde sus sentidos estan determinados por la regla de mano derecha.
Ecuacion de la distancia entre dos puntos en tres dimensiones: |푃1푃2|=√(푥2−푥1)2+(푦2−푦1)2+(푧2−푧1)2
Ecuacion de una esfera: Sea 푪=(풉,풌,풍), centro de una esfera y 풓 el radio, 푓(푥,푦,푧)=(푥−푕)2+(푦−푘)2+(푧−푙)2

19. e-2) Vector
Elemento del sistema coordenado que posee NORMA, DIRECCION y SENTIDO, donde la unica exepcion sera el vector cero (0⃗⃗) que es el unico vector sin direccion. 푟⃗=(푟1,푟2,⋯,푟푛)=( 푟1 푟2⋮ 푟푛 ,
Y sea A=(x1,푦1,푧1) 푦 B=(x2,푦2,푧2), el vector AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sera determinado de la siguiente manera: AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(푥2−푥1, 푦2−푦1, 푧2−푧1)
Operaciones lineales en ℝퟑ:
- Suma: 푎⃗±푏⃗⃗=(푎1±푏1,푎2±푏2,푎3±푏3)
- Ponderacion: α푎⃗=(훼푎1,훼푎2,훼푎3)
Propiedades: Sea a,b,c∈Vn∈ℝ푛 y d,e∈ℝ
1. 푎+푏=푏+푎
2. 푎+(푏+푐)=(푎+푏)+푐
3. 푎+0=푎
4. 푎+(−푎)=0
5. 푐(푎+푏)=푐푎+푐푏
6. (푐+푑)푎=푐푎+푑푎
7. 푑푒(푎)=푑(푒푎)
8. 1푎=푎
Longitud del vector (Norma): ‖푟⃗‖=√Σ푟푘 푛 푘=1
Base de ℝퟑ:
î=<1,0,0>
ĵ=<0,1,0>
k̂ =<0,0,0>
Combinacion lineal: 푥⃗ es combinacion lineal de 푢1⃗⃗⃗⃗⃗,⋯푢푛⃗⃗⃗⃗⃗, si: 푥⃗=훼1푢1⃗⃗⃗⃗⃗+훼2푢2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+훼푛푢푛⃗⃗⃗⃗⃗
Independencia lineal: 푢1⃗⃗⃗⃗⃗,⋯푢푛⃗⃗⃗⃗⃗ son linealmente independientes si: 훼1푢1⃗⃗⃗⃗⃗+훼2푢2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+훼푛푢푛⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⟹ 훼1≠훼2≠⋯≠훼푛

20. e-3) Producto punto
Sea 푎⃗=(푎1,푎2,⋯,푎푛) y 푏⃗⃗=(푏1,푏2,⋯,푏푛), entonces: 푎⃗∙ 푏⃗⃗=Σ푎푘푏푘 푛 푘=1
y que con z∈ℝn y λ∈ℝ:
1. 푎∙푎=‖푎‖2
2. 푎∙푏=푏∙푎
3. 푎∙(푏+푐)=푎∙푏+푎∙푐
4. (푑푎)∙푏=푑(푎∙푏)=푎∙(푑푏)
5. 0∙푎=0
Trivialidades:
‖푎‖=0⇔푎=0
‖휆푎‖=|휆|‖푎‖
Teoremas:
- Ley de coseno:
푎∙푏=‖푎‖‖푏‖푐표푠휃
 Sea 푎∙푏 vectores no nulos:
cos(휃)= 푎∙푏 ‖푎‖∙‖푏‖
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
|푎∙푏|≤‖푎‖‖푏‖
- Desigualdad triangular:
‖푎+푏‖≤‖푎‖+‖푏‖
Distancia vectorial (Norma euclidinana): 푑(푎⃗,푏⃗⃗)=√(푎⃗−푏⃗⃗)∙(푎⃗−푏⃗⃗)=√Σ(푎푘−푏푘)2 푛 푘=1=‖푎⃗−푏⃗⃗‖
Propiedades: Sean 푎⃗=푏⃗⃗, los vectores coliniales,
1. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖≥0
2. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖=‖푏⃗⃗−푎⃗‖
3. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖=0, ssi 푎⃗=푏⃗⃗
4. ‖푎+푏‖≤‖푎‖+‖푏‖

21. Angulos directores:
Sea 푎⃗=(푎1,푎2,푎3) un vector, podemos obtener sus cosenos directores utilizando la siguiente formula:
Cosenos directores
Angulos directores
cos(훼)= 푎1‖푎‖
훼=Arccos( 푎1‖푎‖ )
cos(훽)= 푎2‖푎‖
훽=Arccos( 푎2‖푎‖ )
cos(훾)= 푎3‖푎‖
훾=Arccos( 푎3‖푎‖ )
Proyeccion:
- Proceso de Gramm-Schmidit:
Sea V=*푣1,⋯,푣푛+ un conjunto LI, ∃ una base ortogonal P=*푝1,⋯,푝푛+ donde: p0=v1 p1=v2− 푣2∙푝1‖푝0‖2푝1 p2=v3− 푣3∙푝0‖푝0‖2푝0+ 푣3∙푝1‖푝1‖2푝1
y asi sucesivamente.
- Definicion convencional en ℝ3:
Componente 퐶표푚푝푎 푏
Se define como la magnitud de proyeccion vectorial, que es el mismo numero ‖푏‖푐표푠휃. 퐶표푚푝푎 푏= 푎∙푏 ‖푎‖
Proyeccion 푃푟표푗푎 푏
푃푟표푗푎 푏= 푎∙푏 ‖푎‖2푎

22. e-4) Producto cruz
Sea 푎⃗=(푎1,푎2,푎3) y 푏⃗⃗=(푏1,푏2,푏3), entonces: 푎⃗×푏⃗⃗=푑푒푡( 푖̂푗̂푘̂ 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3)=î| 푎2푎3 푏2푏3|−푗̂| 푎1푎3 푏1푏3|+푘̂ | 푎2푎3 푏2푏3|
Producto cruz unitario:
푖̂×푗̂=푘̂
푗̂×푘̂ =푖̂
푘̂ ×푖̂=푗̂
푗̂×푖̂=−푘̂
푘̂ ×푗̂=−푖̂
푖̂×푘̂ =−푗̂
Teoremas:
- Ley de seno:
‖푎×푏‖=‖푎‖‖푏‖푠푖푛휃
Donde ‖푎×푏‖ es la magnitud del area del paralelogramo generado por el vector 푎 y 푏.
- Ortogonalidad: (푎×푏)⊥(푎∧푏)
 Normal unitario: Sea 푛⊥(푎∧푏) y ‖푐‖=1, entonces:
푛̂=± 푎×푏 ‖푎×푏‖
Entonces el vector 푛̂ sera un vector unitario perpendicular al plano generado por los vectores 푎 y 푏.
- Paralelismo: 푎×푏=0
Propiedades: Sea a,b,c∈Vn∈ℝ푛 y d,e∈ℝ
1. 푎×푏=−푏×푎
2. (푑푎)×푏=푑(푎×푏)=푎×(푑푏)
3. 푎×(푏+푐)=푎×푏+푎×푐
4. (푎+푏)×푐=푎×푐+푏×푐
5. 푎∙(푏×푐)=(푎×푏)∙푐
6. 푎×(푏×푐)=(푎∙푐)푏−(푎∙푏)푐
Teorema:
푎⊥푎×푏
푏⊥푎×푏
푎×푏=−푏×푎

23. Producto mixto: 푎∙(b×c)=(푎×푏)∙푐=det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+=−1∙det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+
- Propiedades: ,a,b,c-=−,a,b,c- Las filas de ,a,b,c- son permutables.
- Volumen de paralelepipedo generado por los vectores a,b y c:
|,푎,푏,푐-|=|푎∙(b×c)|=|(푎×푏)∙푐|=|푎|⋅푐표푠휃⋅|푏×푐|
=det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+
Donde |푏×푐| es la area del paralelepipedo y |푎|⋅푐표푠휃, su altura.
- Obs: Sean dos rectas τ1: 푝1+휆푑1∧τ2: 푝2+휆푑2 Paralelas Alabeadas Intersectan
푑1×푑2=0
,푝1−푝2, 푑1, 푑2-≠0
,푝1−푝2, 푑1, 푑2-=0
Nota:
1) 푎⃗ ∥ 푏⃗⃗, si:
- Sus normas son paralelos.
- Sus vectores directores son paralelos.
2) Un vector 푎 y H un plano, son PARALELOS, si:
- 푎 no corta el plano H.
- 푎=훼푏 con 훼∈ℝ.
- 푎 ∥ 푏 ssi 푎=훼푏.
3) | 푎푏 푐푑 |=(푎⋅푑)−(푏⋅푐)

24. e-5) Ecuaciones de recta y planos
Recta:
Sea Po=(푥0,푦0,푧0) y P=(푥,푦,푧) los puntos sobre la recta L,
풅⃗⃗ : Vector director. Siempre cumple: 풅⃗⃗ ∥L
풙풐⃗⃗⃗⃗⃗: Vector posicion de 푃표.
풙⃗⃗⃗: Vector posicion de 푃. 푎=푃표푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=푡푑
- Ecuacion vectorial:
푥⃗=푥표⃗⃗⃗⃗⃗+푡푑⃗
- Ecuacion parametrica: Sea (x,y,z)=(x0+푎푡, y0+푏푡, 푧0+푐푡)
푥=푥0+푎푡
푦=푦0+푏푡
푧=푧0+푐푡
- Ecuacion simetrica:
푡= 푥−푥0 푎 = 푦−푦0 푏 = 푧−푧0 푐
Plano:
Sea n=(푎,푏,푐)∧푟=(푥,푦,푧)∧푟0=(푥0,푦0,푧0)
- Ecuacion vectorial del plano:
n∙(r−r0)=0⟺푛∙푟=푛∙푟0
- Ecuacion escalar del plano:
(푎,푏,푐)∙(푥−푥0,푦−푦0,푧−푧0)=푎(푥−푥0)+푏(푦−푦0)+푐(푧−푧0)=0
- Ecuacion lineal del plano:
푎푥+푏푦+푐푧+푑=0 donde 푑=−(푎푥0+푏푦0+푐푧0)
- Segmento de la recta 풓ퟎ 풂 풓ퟏ:
푟(푡)=(1−푡)푟0+푡푟1 푑표푛푑푒 0≤푡≤1

25. Tips:
1) El angulo formado entre dos planos es igual al sus normales.
2) El vector director de la recta formada por interseccion entre dos planos se calcula:
(푛1×푛2)∥퐿
3) La distancia entre una recta y un punto se calcula mediante la siguiente formula:
푑(푃,푆)= ‖푎×푏‖ ‖푎‖
4) La distancia entre dos rectas se calcula mediante la siguiente formula:
Sean 푙1:푃1+푡⋅푑1 ∧ 푙2:푃2+푡⋅푑2 y 푛=푑1×푑2: 푑(푙1,푙2)= |(푃2−푃1)⋅푛| ‖푛‖
5) La distancia entre un punto y plano se calcula de la siguiente manera:
Sea P0∈퐻∧P1∉H con P0=(푥0,푦0,푧0) ∧ 푃1=(푥1,푦1,푧1) ∧ 푛=(푎,푏,푐) ∧ 푑=−(푎푥0+푏푦0+푐푧0)
Es decir, H=푎푥표+푏푦표+푐푧표+푑=0:
푑(푃1,퐻)=|퐶표푚푝푛 푏|= |푛∙푏| ‖푛‖ = |푎푥1+푏푦1+푐푧1+푑| √푎2+푏2+푐2

26. F) Funciones vectoriales
f-1) Funciones vectoriales y curvas en el espacio
Funcion vectorial: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))=푖̂∙푓(푡)+푗̂∙푔(푡)+푘̂ ∙푕(푡)
- Limite de funcion vectorial: lim푟(푡) 푡→푎 =(lim 푡→푎 푓(푡),lim 푡→푎 푔(푡),lim 푡→푎 푕(푡)*
- Ecuacion parametrica de C:
Sea 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡)), conjunto de todos los puntos la funcion se denomina como la CURVA C, donde t recibe el nombre de PARAMETRO, y siguiente ecuacion se denomina como ECUACION PARAMETRICA:
푥=푓(푡)
푦=푔(푡)
푧=푕(푡)
Helice: 푟(푡)=(cos(푡),sin(푡),푡)
f-2) Derivadas e integrales de funciones vectoriales
Derivada: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))⇒ 푑 푑푡 푟(푡)=푟′(푡)=( 푑 푑푡 푓(푡), 푑 푑푡 푔(푡), 푑 푑푡 푕(푡)+=Vector tangente
Propiedades: Sean 푢∧푣 funciones vectoriales, 푐∧푓(푥)∈ℝ,
1. 푑 푑푡 ,푢(푡)±푣(푡)-=푢′(푡)±푣′(푡)
2. 푑 푑푡 ,푐푢(푡)-=푐푢′(푡)
3. 푑 푑푡 ,푓(푡)푢(푡)-=푓′(푡)푢(푡)+푓(푡)푢′(푡)
4. 푑 푑푡 ,푢(푡)∙푣(푡)-=푢′(푡)∙푣(푡)+푢(푡)∙푣(푡)
5. 푑 푑푡 ,푢(푡)×푣(푡)-=푢′(푡)×푣(푡)+푢(푡)×푣(푡)
6. 푑 푑푡 ,푢푓(푡)-=푢′(푓(푡))푓′(푡)
Integral: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))⇒∫푟(푡)푑푡=(∫푓(푡)푑푡,∫푔(푡)푑푡,∫푕(푡)푑푡*
Teorema: Sea C una curva parametrizada por 푟: ℝ⟶ℝ3 diferencible con ‖푟(푡)‖=푐푡푒, entonces: 푟(푡)⊥푟′(푡)

27. f-3) Longitud de arco y curva
a) Vector unitario tangente: Vector tangente a la curva C con el longitud igual 1.
푡̂(푡)= 푟′(푡) ‖푟′(푡)‖
b) Longitud de curva en ℝ푛: Sea C una curva con parametrizacion 푟(푡)=(푓1(푡),⋯,푓푛(푡))
푠(푡)=∫‖푟′(푡)‖푑푡 푏 푎 =∫√Σ.푓푘 ′(푡)/ 2 푛 푘=1 푑푡 푏 푎 =∫√,푓1′(푡)-2+⋯+,푓푛 ′(푡)-2푑푡 푏 푎 =∫‖푟⃗′(푢)‖푑푢 푡 푡표
 Se define la parametrizacion de posicion por longitud curva como:
푅⃗⃗′(푠)= 푟⃗′(푠) ‖푟⃗′(푠)‖
c) Curva suave: Sea γ una curva, diremos que es curva suave, si satisfacen las siguientes condiciones:
- ddx 푟⃗(푡) continua.
- ddx 푟⃗(푡)≠0 ∀푡 en un intervalo dado.
d) Tangente: El vector tangente a la curva en un punto t se define como:
푡̂(푡)= 푟⃗′(푡) ‖푟⃗′(푡)‖
e) Normal: Dado que si ‖푟⃗(푡)‖=푐푡푒⇒푟⃗(푡)⊥푟′(푡), definiremos el vector normal unitario como
푛̂(푡)= 푡̂′(푡) ‖푡̂′(푡)‖
f) Binormal:
푏̂ (푡)= 푟⃗′(푡)×푟⃗′′(푡) ‖푟⃗′(푡)×푟⃗′′(푡)‖‖푟⃗′(푡)‖ = 푡̂′(푡)×푛̂(푡) ‖푡̂′(푡)×푛̂(푡)‖

28. g) Curvatura: Sea T vector tangente unitario, s la longitud de curvatura,
휅(푠)=‖ 푑푡̂ 푑푠 ‖ 휅(푡)= ‖푡̂′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖ = ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖3
- Se calcula la curvatura de una funcion x siguiente manera:
휅(푥)= |푓′′(푥)| 01+(푓′(푥)) 213/2
 Teorema 1: 휅(푠)≡0,ssi la curva es una recta.
 Teorema 2: dds 푡̂= ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖3푛̂
h) Torsion:
휏=−푁∙ 푑푏̂ 푑푠 = (푟′(푡)×푟′′(푡))∙푟′′′(푡) ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖2
i) Formulas de Frenet-Serret:
푑푇 푑푠 =휅푁
푑푁 푑푠 =−휅푇+휏퐵
푑퐵 푑푠 =−휏푁
j) Planos:
- Plano normal a 풓(풕): Plano formado por 푛(푡) y 푏(푡).
- Plano osculador a 풓(풕): Plano formado por 푛(푡) y 푡(푡).
 Circulo osculador: Es un circulo que posee el mismo vector tangente unitario en el punto P de una curva 훾.
Radio del circulo osculador: 휌= 1 휅

29. Formulas importantes:
1) sin2(푥)= 1−cos(2푥) 2
2) cos2(푥)= 1+cos(2푥) 2
3) Sea 푡=tan. 푥 2/:
sin(x)= 2t1+t2 ∧cos(x)= 1−t21+t2 ∧dx= 2dt1+t2
4) ∫√푎2−푥2푑푥= 12.푎2arcsin. 푥 푎 /+푥√푎2−푥2/+C
5) ∫sec푛(푥)푑푥= 1 푛−1(secn−2(푥)tan(푥))+ 푛−2 푛−1 퐼푛−2+C
6) ∫sec3(푥)푑푥= 12,sec(푥)tan(푥)+log (sec(푥)+tan(푥)-+C
7) ∫ 1 푥2+푎2푑푥= 1 푎 Arctan. xa/+퐶
8) ∫푎푥푑푥= 푎푥 log(푎) +퐶