SlideShare una empresa de Scribd logo
Resumen Calculo II (2014-2) 
Juyoung Wang 
A) Aplicacion de integral 
1) Longitud de arco: 
 Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define la longitud de curva 푦=푓(푥) con 푥∈,푎,푏- por: 
퐿=∫√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥 
 Sea 푔:,푐,푑-→ℝ con derivada continua, se define la longitud de curva de 푥=푔(푦) con 푦∈,푐,푑- por: 
퐿=∫√1+( 푑푥 푑푦 * 2푑 푐 푑푦 
2) Area de una superficie revolucion: 
 Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie solido revolucion de 푦=푓(푥) que gira respecto al eje X, con 푥∈,푎,푏- por: 
푆푋=2휋∫푓(푥)√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥 
 Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie solido revolucion de 푦=푓(푥) que gira respecto al eje Y, con 푥∈,푎,푏- por: 
푆푌=2휋∫푥√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥 
3) Presion hidrostatica: 
 Se define la presion, como fuerza ejercida en una unidad de area determinada: 
푃=휌푔푑 
donde: 
휌: Densidad. 
푑: Distancia entre la placa y superficie. 
푔: Aceleracion de la gravedad.
4) Fuerza: 
 A partir de la segunda ley de Newton, definimos fuerza F que actua sobre una particula como la multiplicacion entre masa y aceleracion: 
퐹=푚푎 
 Ley de Hooke: 
La fuerza que actua sobre una masa unida al resorte se calcula usando: 퐹=−푘푥(푡) 
donde: 
푘: Constante de elasticidad del resorte. 
푥(푡): Distancia entre la longitud original del resorte y particula en el intante t. 
 Y el trabajo hecho por resorte se calcula mediante la siguiente ecuacion: 
푊=−푘∫푥푑푥 푙2−푙표 푙1−푙0 
donde: 
푙0: Longitud natural del resorte. 
푙1: Longitud del resorte en 푡=0. 
푙2: Longitud del resorte en 푡=푡푓. 
5) Trabajo: 
 Sea 퐹 la fuerza constante y Δd la distancia recorrida, se define fuerza como: 
푊=퐹Δ푥 
Entonces, de este modo, se define el trabajo necesario para mover la particula desde el punto 푎 hasta el punto 푏, mediante la siguiente formula: 푊푎 푏=∫퐹(푥)푑푥 푏 푎 
 Si la fuerza 퐹 no es constante y si el cuerpo se mueve desde el punto 푎 hasta el punto 푏, el trabajo realizado se calcula con la siguiente formula: 
푊푘=푚푘푔푥푘∗ ⟹푇푇표푡푎푙=Σ푇푘 푛−1 푘=0 ⟹∫(퐹(푥)∙푥)푑푥 푏 푎
6) Centro de masa: 
 Centro de masa un sistema unidimensional: Sea 푥1,⋯,푥푘 las posiciones de masas 푚1,⋯,푚푘, se calcula el centro de masa con: 
푥̅= Σ푚푘푥푘 푛푘 =1Σ푚푘 푛푘 =1 
 Centro de masa del sistema (Centroide): Sea 푃1,⋯,푃푘 las posiciones de masas 푚1,⋯,푚푘, se calcula el centro de masa con: 
푥̅=(푥̅,푦̅)= (∫푥푓(푥)푑푥 푏 푎,12∫(푓(푥)) 2 푑푥 푏 푎) ∫푓(푥)푑푥 푏 푎 
 Centro de masa una region encerrada por dos funciones: 
Sean 푓,푔 funciones continuas con 푔(푥)>푓(푥) ∀x∈ℝ, su centroide es: 푥̅=(푥̅,푦̅)= (∫푥,푔(푥)−푓(푥)-푑푥 푏 푎,12∫,(푔(푥)) 2−(푓(푥)) 2-푑푥 푏 푎) ∫,푔(푥)−푓(푥)-푑푥 푏 푎 
 Momento: Sea 푥̅ el centro de masa, llamaremos momento a: 
푀=푚푥̅ 
 Momento del sistema respecto al eje X: 
푀푋=Σ푚푘푦푘 푛 푘=1= 휌 2∫(푓(푥)) 2 푏 푎 푑푥⟹푦푈푛푖푑푖푚= 푀푥 Σ푚 
 Momento del sistema respecto al eje Y: 
푀푌=Σ푚푘푥푘 푛 푘=1=휌∫푥푓(푥) 푏 푎 푑푥⟹푥푈푛푖푑푖푚= 푀푦 Σ푚 
 Teorema de Pappus: Sea 푅 una region acotada, 푙 una recta que NO corta a 푅 y 푑 la distancia recorrida por el centroide al rotar respecto a la recta 푙, si 푆 es el solido resultante producido por rotar 푅 en torno a 푙, entonces el area y volumen de 푆: 
퐴=2휋퐿푑=∫(푔(푥)−푓(푥))푑푥 푏 푎 ⟹푉푆=2휋퐴푑=휋∫.(푔(푥)) 2−(푓(푥)) 2/푑푥 푏 푎 =퐴푑푅푒푐푝표푟푥
B) Curvas parametricas 
I) Curvas en el plano cartesiano: 
Diremos que 훾 es una curva parametrica, con 푡 denominado como parametro, si: 
훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con (푥,푦): ,푡1,푡2-→ℝ 
1) Tangente: Sea 푥=푓(푥)∧푦=푔(푥)⟹푔(푥)=퐹(푓(푥)), entonces: 
퐹′(푥)= 푔′(푡) 푓′(푡) 
y la recta tangente a curva en el punto (푎,푏) es: 퐿:(푦−푏)=퐹′(푥)⋅(푥−푎) 
2) Longitud: Sea 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, su longitud sera determinado por: 
퐿=∫√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡 
3) Area: Sea 푅 la region delimitada por 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, 푥′(푡)≥0, 푥=푥(푎), 푥=푥(푏) e 푦=0, entonces el area de la region 푅 se calcula mediante la siguiente formula: 
퐴푅=∫푦(푡)⋅푥′(푡) 푏 푎 푑푡 
4) Area de una superficie revolucion: 
 Sea 푅 la region delimitada por 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, 푥′(푡)≥0, 푥=푥(푎), 푥=푥(푏) e 푦=0, entonces el area de la superficie del volumen generado al rotar region 푅 respecto al eje X se calcula mediante la siguiente formula: 
푆푋=2휋∫푦(푡)√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡 
 Y al rotarlo entorno eje Y: 
푆푌=2휋∫푥(푡)√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡
Figuras tipicas: 
1) Cicloide: 
Sea γ(θ)=(푥(휃),y(θ)): 
- 푥(휃)=푟(휃−푠푖푛(휃)) 
- 푦(휃)=푟(1−푐표푠(휃)) 
2) Astroide: 
Sea x23+y23=푟 23 
- 푥(휃)=푟푐표푠3(휃) 
- 푦(휃)=푟푠푖푛3(휃)
II) Curvas en polares: 
1) Coordenadas polares: 
휌=휌(휃)=(휌,휃) (푥,푦)→(휌,휃) 
donde: 
Parametrizacion: 
흆: Distancia entre el origen y punto P. 
휽: Angulo recorrido en sentido anti-horario, con respecto al eje x. 
풙=풓⋅풄풐풔(휽) 풚=풓⋅풔풊풏(휽) 
Con: 풙ퟐ+풚ퟐ=풓ퟐ 
2) Tangente: 
Sea: 
푥=푟⋅푐표푠(휃)=푓(휃)⋅푐표푠(휃) 푦=푟⋅푠푖푛(휃)=푓(휃)⋅푠푖푛(휃) 
푑푦 푑푥 = 푑푦 푑휃 푑푥 푑휃 = 푑푟 푑휃 (푠푖푛(휃)+푟⋅푐표푠(휃) 푑푟 푑휃 (푐표푠(휃)−푟⋅푠푖푛(휃) 
3) Formulas: 
a) Longitud de la curva polar: 
퐿=∫√(휌(휃))2+(휌′(휃)) 2 푑휃 훽 훼 
b) Area de la region encerrada por curva polar: 
퐴= 12∫휌2(휃)푑휃 훽 훼
4) Tecnica de graficacion entre 0 y ퟐ훑: 
휌(휃)=푎∙sin (휃) 
donde 푎=r 
휌(휃)=푎∙cos (휃) 
donde 푎=r 
휌(휃)=cos (푎휃) 
donde 푎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos pasan por eje Y. 
휌(휃)=cos (푎휃) 
donde 푎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos no pasan por eje Y. 
휌(휃)=sin (푎휃) 
donde 푎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos no pasan por eje Y. 
휌(휃)=cos (푎휃) 
donde 푎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos pasan por eje Y, abajo (3), ariba(5), sucesivamente. 
휌(휃)=푎(1−푛⋅푐표푠(휃)) 
donde 푎 sera igual al tercio del radio pesudo-circulo exterior y 푛 aumente junto con el radio de pseudo- circulo interior.
C) Integral impropia 
Tipo I: 
Sea f(x) continua en ,푎,∞)∧(−∞,푏- y si ∃∫푓(푥)푑푥 t 푎,∀푡≥푎∧∫푓(푥)푑푥 b 푡,∀푡≤푏 ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 =lim 푡→∞ ∫푓(푥)푑푥 t 푎 ∧∫푓(푥)푑푥 b−∞ =lim 푡→−∞ ∫푓(푥)푑푥 b 푡 
Tipo II: 
a) Sea f continua sobre ,푎,푏) y discontinua en 푏: 
∫푓(푥)푑푥 b 푎 =lim 푡→b− ∫푓(푥)푑푥 t 푎 
b) Sea f continua sobre (푎,푏- y discontinua en 푎: 
∫푓(푥)푑푥 b 푎 =lim 푡→a+ ∫푓(푥)푑푥 b 푡 
Concepto de la convergencia: 
1) Convergente: Existe el limite de la integral. 
2) Divergente: No existe el limite de la integral. 
c-1) Criterios de comparacion: 
a) Sean f y g continuas con 푓(푥)≥푔(푥)≥0,∀푥≥푎 Entonces: 
∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 es convergente ⇒ ∫푔(푥)푑푥 ∞ 푎 es convergente 
∫푔(푥)푑푥 ∞ 푎 es divergente ⇒ ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 es divergente 
b) Comparar con 1 푥휆: 
 Si 0≤흀≤ퟏ: ∫ 1 풙흀 ∞ 푎푑푥 diverge. 
 Si 흀>ퟏ: ∫ 1 풙흀 ∞ 푎푑푥 converge.
D) Serie 
Sucesiones: Es una funcion que hace 푓:ℕ→ℝ. 
Sea 푓(푛)=푎푛, definiremos la convergencia de sucecion como: lim 푛→∞ 푎푛=퐿 | Si 푛≥푁 ⇒ ∀ℇ>0 ∧ |퐿−푎푛|<ℇ 
- Convergencia de sucesion: 
Si lim푛→∞푎푛=퐿< ∞, entonces la sucesion converge. 
 Teorema de valor absouluto: 
lim 푛→∞ |푎푛|=0⇒lim 푛→∞ 푎푛=0 
 Teorema de axioma del supremo: 
Toda sucesion monotona creciente o decreciente y acotada, converge. 
 Convergencia de la suceciones: 
Si 0≤lim 푛→∞ 푎푛<∞ con un solo valor determinado,entonces la sucesion converge.
d-0) Serie: 
Sea *푎푘+푘=1 푛 una sucesion, se denomina la SERIE como suma determinada por: S=Σ푎푛 ∞ 푛=푘 =Σ푎푛 donde 푘<∞ donde lim푛→∞푆푛=푆 con 푆푛 la n-esima suma parcial Y S denominado como la SUMA DE SERIE. 
 Convergencia de series: 
Convergente: ∃lim푛→∞푆푛=푎1+⋯+푎푛=Σ푎푛 ∞푛 =1=푠 휖 ℝ ∧lim푛→∞푎푛=0 
- Divergente: ∄lim푛→∞푆푛∧lim푛→∞푎푛≠0 
d-1) Propiedad: 
Sean Σ푎푛 y Σ푏n series convergentes, las siguientes tambien lo son y ademas cumplen con la siguiente propiedad: 
1) lim푛→∞푎푛=lim푚→∞Σ푎푖 ∞푖 =푚 
2) Σ푐푎푛 ∞푛 =1=푐Σ푎푛 ∞푛 =1 
3) Σ(푎푛±푏푛)∞푛 =1=Σ푎푛 ∞푛 =1±Σ푏푛 ∞푛 =1 
d-2) Series conocidas: 
1) Serie aritmetica: 
Σ푎푘 n 푘=1=푎1+⋯+푎푛= 푛(푎1+푎푛) 2,donde: 푑=푎푛−푎푛−1 푎푛=푎1+푑(푛−1) 
2) Serie geometrica: 
Σ푟푘−1푛푘 =1=1+푟+⋯+푟∞{ 11−푟 , 푠푠푖 |푟|<1(1−푟푛) 1−푟 , 푠푠푖 푟>1 y la serie diverge cuando |푟|>1 Σ푟푘 ∞ 푘=푎 = 푟푎 1−푟 
3) Serie armonica: 
La serie Σ1 푛 ∞푛 =1 se denomina como serie armonica y es divergente.
d-3) Serie alternante: 
Sea *푎푛+ sucesion de terminos positivos, entonces llamaremos SERIE ALTERNANTE a: 푆=Σ푏푘 ∞ 푘=1=Σ(−1)푘−1∙푎푘 ∞ 푘=1 
 Criterio de Leibniz (o la serie alternante): 
i) 푎푛+1≤푎푛 
ii) lim푛→∞푎푛=0 
Entonces la serie alternante converge. 
d-4) Tipos de convergencia: 
a) Convergencia absoluta: 
Σ푎푘 ∞푘 =1 converge absolutamente, si Σ|푎푘|∞푘 =1 converge. 
Teorema: 
Si Σ푎푘 ∞푘 =1 converge absolutamente, entonces la serie converge. 
Pero esto no dice que la convergencia de una serie implica su convergencia absoluta. 
b) Convergencia condicional: 
Σ푎푘 ∞푘 =1 no converge absolutamente, pero si converge normalmente.
d-5) Criterios de convergencia: 
1) Criterio cero: 
Σ푎푛 ∞ 푛=1 converge ⇒lim 푛→∞ 푎푛=0 
Es decir: lim 푛→∞ 푎푛≠0⇒Σ푎푛 ∞ 푛=1 diverge 
2) Criterio de la integral: 
Sea 푓:,1,∞)→ℝ0+ continua y decreciente: 
a) ∫푓(푥)∞ 1푑푥<∞⇔Σ푓(푘)∞푘 =1<∞ 
b) ∫푓(푥)∞ 1푑푥=∞⇔Σ푓(푘)∞푘 =1=∞ 
3) Criterio de comparacion: 
Sean 0≤푎푛≤푏푛: 
a) Σ푎푛 ∞푛 =1 diverge ⟹Σ푏푛 ∞푛 =1 diverge 
b) Σ푏푛 ∞푛 =1 converge ⟹Σ푎푛 ∞푛 =1 converge 
4) Criterio de comparacion al limite: 
Sean 푎푛,푏푛∈ℝ+ tales que: 
lim 푛→∞ 푎푛 푏푛 =휌 
Si 0<휌<∞: 
Σ푎푘 converge ⇔ Σ푏푘 converge 
Σ푎푘 diverge ⇔ Σ푏푘 diverge 
Si 휌=0: 
Σ푏푘 converge ⟹ Σ푎푘 converge 
Σ푎푘 diverge ⟹ Σ푏푘 diverge 
5) Criterio de la razon y de la raiz: Considerando la serie Σ푎푛 ∞푛 =1: Criterio de la razon: Si ∃lim푛→∞| 푎푛+1 푎푛 |=푐>0 Criterio de la raiz: Si lim 푛→∞ √|푎푛|푛=푑>0 
ퟎ≤퐜,퐝<ퟏ: Absolutamente convergente = Convergente. 퐜,퐝>ퟏ: Divergente. 퐜,퐝=ퟏ: No concluyente.
d-6) Resto: 
Sea 푎푛 sucesion y 푆=Σ푎푘 ∞푘 =1 convergente, con 푆푛=Σ푎푘 n푘 =1, se define el RESTO como: 푅푛=푆−푆푛=Σ푎푘 ∞ 푘=푛+1 
Teorema: 
1) La serie 푆=Σ푎푘 ∞푘 =1 converge, ssi lim푛→∞푅푛=0. 
2) Si lim푛→∞푎푛=0 y 푓:,1,∞)→ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 푓(푛)=푎푛, entonces: 
푆푛+∫푓(푥) ∞ 푛+1 푑푥≤푆≤푆푛+∫푓(푥) ∞ 푛 푑푥 
3) Si lim푛→∞푎푛=0 y 푓:,1,∞)→ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 푓(푛)=푎푛, entonces: 
∫푓(푥) ∞ 푛+1 푑푥≤푅푛≤∫푓(푥) ∞ 푛 푑푥 
d-7) Estimacion de sumas: 
1) Resto de una serie: Sea Σ푎푛 sucesion convergente, comparando con la serie Σ푏푛, es decir, 푎푛≤푏푛, y ademas 푓(푛)=푎푛 ∧ 푔(푛)=푏푛, entonces: 
푅푛=푠−푠푛=푎푛+1+푎푛+2+⋯ 푇푛=푡−푡푛=푏푛+1+푏푛+2+⋯ 
y como 푅푛≤푇푛, y por lo tanto: 푅푛≤푇푛≤∫푔(푥) ∞ 푛 푑푥 
donde el valor de ∫푔(푥) ∞ 푛푑푥 o 푇푛 seria el valor aproximado del error de la suma serie Σ푎푛 hasta 푛−푒푠푖푚표 terminos. 
2) Resto de serie alternante: 
Si para la sucesion *푎푘+푘=1∞, se verifica que 푎푘>0 y es decreciente ∀k ϵ ℕ, entonces: Σ(−1)푘−1푎푘 ∞푘 =1 es convergente y debe cumplir con: 
|푅푘|=|푆푘−푆|≤|푆푘−푆푘+1|=푎푘+1 donde |푅푘| es el residuo, tamano de error y que el valor de 푎푘+1 seria el valor aproximado del residuo.
d-9) Estrategias para determinar la convergencia: 
1) Si lim푛→∞푎푛≠0, entonces la serie diverge. 
2) Si la serie es de forma u orden Σ1 푛푝, es convergente si 푝<1 y divergente si 푝≥1. 
3) Si la serie es geometrica (Σ푟푛−1 ∨ Σ푟푛), entonces la serie converge si |푟|<1 y diverge si |푟|≥1. 
4) Si la serie es parecida a las 푝−푠푒푟푖푒푠, y si la serie es de terminos positivos, entonces se debe aplicar el criterio de comparacion al limite. 
Pero si la serie contiene algunos signos negativos, entonces se debe ver hay convergencia absoluta. 
5) Si la serie es de forma Σ(−1)푛−1푎푛 o bien, Σ(−1)푛푎푛, entonces podria aplicar el criterio de Leibniz. 
6) Si la serie contiene factorial y/o una potencia n-esima, entonces podria aplicar el criterio de la razon y si esto no funciona, de la raiz. 
7) Si la serie es de forma Σ푏푛 푛, entonces el criterio de la raiz podria ser util. 
8) Si 푓(푛)=푎푛, es conveniente resolver ∫푓(푥) ∞ 1푑푥, si la integral es evaluable con facilidad.
d-9) Serie de potencias 
S(x)=Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 = Serie de potencias en (x−a) donde: 
- 풓: Es una sucesion denominada como RADIO DE CONVERGENCIA y se calcula: 
푅= 1 푙푖푚푠푢푝 푛→∞ √|푐푛|푛=푙푖푚 푛→∞ | 푐푛 푐푛+1| 
Y el intervalo de convergencia esta dada por la inecuacion: |푥−푎|≤푟 
 Teorema de convergencia las series potencias: 
1) La serie Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 es convergente, si: 
a) 푥=푎∧푟=0 
b) |푥−푎|<푟 ∧푟∈(0,∞) 
2) La serie Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 es divergente, si: 
a) 푥≠푎∧푟=0 
b) |푥−푎|>푟 ∧푟∈(0,∞) 
Si |푥−푎|=푟, se debe hacer un estudio para determinar si es convergente o no. 
 Derivacion e integracion de las series potencias: Se deriva e integra normalmente como la siguiente: 
1) Derivacion: 
푑 푑푥 (Σ푐푛(푥−푎)푛 ∞ 푛=0)=Σ푛∗푐푛(푥−푎)푛−1∞ 푛=1 
2) Integracion: 
∫(Σ푐푛(푥−푎)푛 ∞ 푛=0)=퐶+Σ1 푛+1∗푐푛(푥−푎)푛+1∞ 푛=0
d-10) Serie de Taylor y Maclaurin 
 Serie de Taylor: 
푇(x)=Σ 푓(푘)(푎)(푥−푎)푘 푘! ∞ 푘=0+ ∫(푥−푡)푛푓(푛+1)(푡) 푥 푎푑푡 푛! 
donde: 
Σ푓(푘)(푎)(푥−푎)푘 푘! ∞푘 =0 : Polinomio de Taylor. 
∫(푥−푡)푛푓(푛+1)(푡) 푥 푎푑푡 푛! : Resto de Taylor. 
 Estimacion de error Taylor: 
Si |푓(푛+1)(푥)|≤푀 ∧ 푥∈,푎,푏-, entonces: |푅푛(푓,푥)|≤푀⋅ |푥−푎|푛+1(푛+1)! ≤푀⋅ |푏−푎|푛+1(푛+1)! 
 Serie de Maclaurin: Es la serie de Taylor con 푎=0. 
푀(x)=Σ 푓(푛)(푎) 푛! (푥)푛 ∞ 푛=0=푓(0)+푥푓(1)(0)+ 푓(2)(0) 2! 푥2+⋯ 
Y al hacerlo n-veces, se obtiene la siguiente formula: 푓(푥)=푓(푎)+푓(1)(푎)(푥−푎)+ 푓(2)(푎) 2! (푥−푎)2+⋯+ 푓(푛)(푎) 푛! (푥−푎)푛+푅푛(푥) 
 La igualdad de Euler: 
푒푖푥=cos(푥)+푖푠푖푛(푥) 푒푖휋+1=0 
 Serie binomial: 
(1+푥)k=Σ. 푘 푛 /푥푛 ∞ 푛=0=1+푘푥+ 푘(푘−1) 2! 푥2+ 푘(푘−1)(푘−2) 3! 푥3−+⋯ con 푎=0
Series importantes: 11−푥 =Σ푥푛 ∞ 푛=0=1+푥+푥2+푥3+⋯ 11+푥 =Σ푥푛 ∞ 푛=0=1−푥+푥2−푥3+⋯ 푒푥=Σ푥푛 ∞ 푛=0=1+ 푥 1! + 푥22! + 푥33! +⋯ sin(푥)=Σ(−1)푛푥2푛+1(2푛+1)! ∞ 푛=0=푥− 푥33! + 푥55! − 푥77! +⋯ con 푎=0 cos(푥)=Σ(−1)푛푥2푛 (2푛)! ∞ 푛=0=1− 푥22! + 푥44! − 푥66! +⋯ con 푎=0 Arctan(푥)=Σ(−1)푛푥2푛+12푛+1∞ 푛=0=푥− 푥33+ 푥55− 푥77+⋯ con 푎=0 푙푛(1+푥)=Σ(−1)푛푥푛+1 푛+1∞ 푛=0=푥− 푥22+ 푥33− 푥44+⋯ con 푎=0 (1+푥)k=Σ. 푘 푛 /푥푛 ∞ 푛=0=1+푘푥+ 푘(푘−1) 2! 푥2+ 푘(푘−1)(푘−2) 3! 푥3−+⋯ con 푎=0
E) Vectores y la geometria del espacio 
e-1) Espacio euclideo ℝ푛=*푥⃗=(푎1,푎2,푎3,⋯,푎푛)∶푎1,푎2,⋯푎푛∈ℝ+ 
Espacio euclideo de 3 dimensiones (ℝퟑ): ℝ∗ℝ∗ℝ=*(푥,푦,푧)∶푥,푦,푧∈ℝ+ 
donde sus sentidos estan determinados por la regla de mano derecha. 
Ecuacion de la distancia entre dos puntos en tres dimensiones: |푃1푃2|=√(푥2−푥1)2+(푦2−푦1)2+(푧2−푧1)2 
Ecuacion de una esfera: Sea 푪=(풉,풌,풍), centro de una esfera y 풓 el radio, 푓(푥,푦,푧)=(푥−푕)2+(푦−푘)2+(푧−푙)2
e-2) Vector 
Elemento del sistema coordenado que posee NORMA, DIRECCION y SENTIDO, donde la unica exepcion sera el vector cero (0⃗⃗) que es el unico vector sin direccion. 푟⃗=(푟1,푟2,⋯,푟푛)=( 푟1 푟2⋮ 푟푛 , 
Y sea A=(x1,푦1,푧1) 푦 B=(x2,푦2,푧2), el vector AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sera determinado de la siguiente manera: AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(푥2−푥1, 푦2−푦1, 푧2−푧1) 
Operaciones lineales en ℝퟑ: 
- Suma: 푎⃗±푏⃗⃗=(푎1±푏1,푎2±푏2,푎3±푏3) 
- Ponderacion: α푎⃗=(훼푎1,훼푎2,훼푎3) 
Propiedades: Sea a,b,c∈Vn∈ℝ푛 y d,e∈ℝ 
1. 푎+푏=푏+푎 
2. 푎+(푏+푐)=(푎+푏)+푐 
3. 푎+0=푎 
4. 푎+(−푎)=0 
5. 푐(푎+푏)=푐푎+푐푏 
6. (푐+푑)푎=푐푎+푑푎 
7. 푑푒(푎)=푑(푒푎) 
8. 1푎=푎 
Longitud del vector (Norma): ‖푟⃗‖=√Σ푟푘 푛 푘=1 
Base de ℝퟑ: 
î=<1,0,0> 
ĵ=<0,1,0> 
k̂ =<0,0,0> 
Combinacion lineal: 푥⃗ es combinacion lineal de 푢1⃗⃗⃗⃗⃗,⋯푢푛⃗⃗⃗⃗⃗, si: 푥⃗=훼1푢1⃗⃗⃗⃗⃗+훼2푢2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+훼푛푢푛⃗⃗⃗⃗⃗ 
Independencia lineal: 푢1⃗⃗⃗⃗⃗,⋯푢푛⃗⃗⃗⃗⃗ son linealmente independientes si: 훼1푢1⃗⃗⃗⃗⃗+훼2푢2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+훼푛푢푛⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⟹ 훼1≠훼2≠⋯≠훼푛
e-3) Producto punto 
Sea 푎⃗=(푎1,푎2,⋯,푎푛) y 푏⃗⃗=(푏1,푏2,⋯,푏푛), entonces: 푎⃗∙ 푏⃗⃗=Σ푎푘푏푘 푛 푘=1 
y que con z∈ℝn y λ∈ℝ: 
1. 푎∙푎=‖푎‖2 
2. 푎∙푏=푏∙푎 
3. 푎∙(푏+푐)=푎∙푏+푎∙푐 
4. (푑푎)∙푏=푑(푎∙푏)=푎∙(푑푏) 
5. 0∙푎=0 
Trivialidades: 
‖푎‖=0⇔푎=0 
‖휆푎‖=|휆|‖푎‖ 
Teoremas: 
- Ley de coseno: 
푎∙푏=‖푎‖‖푏‖푐표푠휃 
 Sea 푎∙푏 vectores no nulos: 
cos(휃)= 푎∙푏 ‖푎‖∙‖푏‖ 
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz: 
|푎∙푏|≤‖푎‖‖푏‖ 
- Desigualdad triangular: 
‖푎+푏‖≤‖푎‖+‖푏‖ 
Distancia vectorial (Norma euclidinana): 푑(푎⃗,푏⃗⃗)=√(푎⃗−푏⃗⃗)∙(푎⃗−푏⃗⃗)=√Σ(푎푘−푏푘)2 푛 푘=1=‖푎⃗−푏⃗⃗‖ 
Propiedades: Sean 푎⃗=푏⃗⃗, los vectores coliniales, 
1. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖≥0 
2. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖=‖푏⃗⃗−푎⃗‖ 
3. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖=0, ssi 푎⃗=푏⃗⃗ 
4. ‖푎+푏‖≤‖푎‖+‖푏‖
Angulos directores: 
Sea 푎⃗=(푎1,푎2,푎3) un vector, podemos obtener sus cosenos directores utilizando la siguiente formula: 
Cosenos directores 
Angulos directores 
cos(훼)= 푎1‖푎‖ 
훼=Arccos( 푎1‖푎‖ ) 
cos(훽)= 푎2‖푎‖ 
훽=Arccos( 푎2‖푎‖ ) 
cos(훾)= 푎3‖푎‖ 
훾=Arccos( 푎3‖푎‖ ) 
Proyeccion: 
- Proceso de Gramm-Schmidit: 
Sea V=*푣1,⋯,푣푛+ un conjunto LI, ∃ una base ortogonal P=*푝1,⋯,푝푛+ donde: p0=v1 p1=v2− 푣2∙푝1‖푝0‖2푝1 p2=v3− 푣3∙푝0‖푝0‖2푝0+ 푣3∙푝1‖푝1‖2푝1 
y asi sucesivamente. 
- Definicion convencional en ℝ3: 
Componente 퐶표푚푝푎 푏 
Se define como la magnitud de proyeccion vectorial, que es el mismo numero ‖푏‖푐표푠휃. 퐶표푚푝푎 푏= 푎∙푏 ‖푎‖ 
Proyeccion 푃푟표푗푎 푏 
푃푟표푗푎 푏= 푎∙푏 ‖푎‖2푎
e-4) Producto cruz 
Sea 푎⃗=(푎1,푎2,푎3) y 푏⃗⃗=(푏1,푏2,푏3), entonces: 푎⃗×푏⃗⃗=푑푒푡( 푖̂푗̂푘̂ 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3)=î| 푎2푎3 푏2푏3|−푗̂| 푎1푎3 푏1푏3|+푘̂ | 푎2푎3 푏2푏3| 
Producto cruz unitario: 
푖̂×푗̂=푘̂ 
푗̂×푘̂ =푖̂ 
푘̂ ×푖̂=푗̂ 
푗̂×푖̂=−푘̂ 
푘̂ ×푗̂=−푖̂ 
푖̂×푘̂ =−푗̂ 
Teoremas: 
- Ley de seno: 
‖푎×푏‖=‖푎‖‖푏‖푠푖푛휃 
Donde ‖푎×푏‖ es la magnitud del area del paralelogramo generado por el vector 푎 y 푏. 
- Ortogonalidad: (푎×푏)⊥(푎∧푏) 
 Normal unitario: Sea 푛⊥(푎∧푏) y ‖푐‖=1, entonces: 
푛̂=± 푎×푏 ‖푎×푏‖ 
Entonces el vector 푛̂ sera un vector unitario perpendicular al plano generado por los vectores 푎 y 푏. 
- Paralelismo: 푎×푏=0 
Propiedades: Sea a,b,c∈Vn∈ℝ푛 y d,e∈ℝ 
1. 푎×푏=−푏×푎 
2. (푑푎)×푏=푑(푎×푏)=푎×(푑푏) 
3. 푎×(푏+푐)=푎×푏+푎×푐 
4. (푎+푏)×푐=푎×푐+푏×푐 
5. 푎∙(푏×푐)=(푎×푏)∙푐 
6. 푎×(푏×푐)=(푎∙푐)푏−(푎∙푏)푐 
Teorema: 
푎⊥푎×푏 
푏⊥푎×푏 
푎×푏=−푏×푎
Producto mixto: 푎∙(b×c)=(푎×푏)∙푐=det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+=−1∙det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+ 
- Propiedades: ,a,b,c-=−,a,b,c- Las filas de ,a,b,c- son permutables. 
- Volumen de paralelepipedo generado por los vectores a,b y c: 
|,푎,푏,푐-|=|푎∙(b×c)|=|(푎×푏)∙푐|=|푎|⋅푐표푠휃⋅|푏×푐| 
=det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+ 
Donde |푏×푐| es la area del paralelepipedo y |푎|⋅푐표푠휃, su altura. 
- Obs: Sean dos rectas τ1: 푝1+휆푑1∧τ2: 푝2+휆푑2 Paralelas Alabeadas Intersectan 
푑1×푑2=0 
,푝1−푝2, 푑1, 푑2-≠0 
,푝1−푝2, 푑1, 푑2-=0 
Nota: 
1) 푎⃗ ∥ 푏⃗⃗, si: 
- Sus normas son paralelos. 
- Sus vectores directores son paralelos. 
2) Un vector 푎 y H un plano, son PARALELOS, si: 
- 푎 no corta el plano H. 
- 푎=훼푏 con 훼∈ℝ. 
- 푎 ∥ 푏 ssi 푎=훼푏. 
3) | 푎푏 푐푑 |=(푎⋅푑)−(푏⋅푐)
e-5) Ecuaciones de recta y planos 
Recta: 
Sea Po=(푥0,푦0,푧0) y P=(푥,푦,푧) los puntos sobre la recta L, 
풅⃗⃗ : Vector director. Siempre cumple: 풅⃗⃗ ∥L 
풙풐⃗⃗⃗⃗⃗: Vector posicion de 푃표. 
풙⃗⃗⃗: Vector posicion de 푃. 푎=푃표푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=푡푑 
- Ecuacion vectorial: 
푥⃗=푥표⃗⃗⃗⃗⃗+푡푑⃗ 
- Ecuacion parametrica: Sea (x,y,z)=(x0+푎푡, y0+푏푡, 푧0+푐푡) 
푥=푥0+푎푡 
푦=푦0+푏푡 
푧=푧0+푐푡 
- Ecuacion simetrica: 
푡= 푥−푥0 푎 = 푦−푦0 푏 = 푧−푧0 푐 
Plano: 
Sea n=(푎,푏,푐)∧푟=(푥,푦,푧)∧푟0=(푥0,푦0,푧0) 
- Ecuacion vectorial del plano: 
n∙(r−r0)=0⟺푛∙푟=푛∙푟0 
- Ecuacion escalar del plano: 
(푎,푏,푐)∙(푥−푥0,푦−푦0,푧−푧0)=푎(푥−푥0)+푏(푦−푦0)+푐(푧−푧0)=0 
- Ecuacion lineal del plano: 
푎푥+푏푦+푐푧+푑=0 donde 푑=−(푎푥0+푏푦0+푐푧0) 
- Segmento de la recta 풓ퟎ 풂 풓ퟏ: 
푟(푡)=(1−푡)푟0+푡푟1 푑표푛푑푒 0≤푡≤1
Tips: 
1) El angulo formado entre dos planos es igual al sus normales. 
2) El vector director de la recta formada por interseccion entre dos planos se calcula: 
(푛1×푛2)∥퐿 
3) La distancia entre una recta y un punto se calcula mediante la siguiente formula: 
푑(푃,푆)= ‖푎×푏‖ ‖푎‖ 
4) La distancia entre dos rectas se calcula mediante la siguiente formula: 
Sean 푙1:푃1+푡⋅푑1 ∧ 푙2:푃2+푡⋅푑2 y 푛=푑1×푑2: 푑(푙1,푙2)= |(푃2−푃1)⋅푛| ‖푛‖ 
5) La distancia entre un punto y plano se calcula de la siguiente manera: 
Sea P0∈퐻∧P1∉H con P0=(푥0,푦0,푧0) ∧ 푃1=(푥1,푦1,푧1) ∧ 푛=(푎,푏,푐) ∧ 푑=−(푎푥0+푏푦0+푐푧0) 
Es decir, H=푎푥표+푏푦표+푐푧표+푑=0: 
푑(푃1,퐻)=|퐶표푚푝푛 푏|= |푛∙푏| ‖푛‖ = |푎푥1+푏푦1+푐푧1+푑| √푎2+푏2+푐2
F) Funciones vectoriales 
f-1) Funciones vectoriales y curvas en el espacio 
Funcion vectorial: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))=푖̂∙푓(푡)+푗̂∙푔(푡)+푘̂ ∙푕(푡) 
- Limite de funcion vectorial: lim푟(푡) 푡→푎 =(lim 푡→푎 푓(푡),lim 푡→푎 푔(푡),lim 푡→푎 푕(푡)* 
- Ecuacion parametrica de C: 
Sea 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡)), conjunto de todos los puntos la funcion se denomina como la CURVA C, donde t recibe el nombre de PARAMETRO, y siguiente ecuacion se denomina como ECUACION PARAMETRICA: 
푥=푓(푡) 
푦=푔(푡) 
푧=푕(푡) 
Helice: 푟(푡)=(cos(푡),sin(푡),푡) 
f-2) Derivadas e integrales de funciones vectoriales 
Derivada: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))⇒ 푑 푑푡 푟(푡)=푟′(푡)=( 푑 푑푡 푓(푡), 푑 푑푡 푔(푡), 푑 푑푡 푕(푡)+=Vector tangente 
Propiedades: Sean 푢∧푣 funciones vectoriales, 푐∧푓(푥)∈ℝ, 
1. 푑 푑푡 ,푢(푡)±푣(푡)-=푢′(푡)±푣′(푡) 
2. 푑 푑푡 ,푐푢(푡)-=푐푢′(푡) 
3. 푑 푑푡 ,푓(푡)푢(푡)-=푓′(푡)푢(푡)+푓(푡)푢′(푡) 
4. 푑 푑푡 ,푢(푡)∙푣(푡)-=푢′(푡)∙푣(푡)+푢(푡)∙푣(푡) 
5. 푑 푑푡 ,푢(푡)×푣(푡)-=푢′(푡)×푣(푡)+푢(푡)×푣(푡) 
6. 푑 푑푡 ,푢푓(푡)-=푢′(푓(푡))푓′(푡) 
Integral: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))⇒∫푟(푡)푑푡=(∫푓(푡)푑푡,∫푔(푡)푑푡,∫푕(푡)푑푡* 
Teorema: Sea C una curva parametrizada por 푟: ℝ⟶ℝ3 diferencible con ‖푟(푡)‖=푐푡푒, entonces: 푟(푡)⊥푟′(푡)
f-3) Longitud de arco y curva 
a) Vector unitario tangente: Vector tangente a la curva C con el longitud igual 1. 
푡̂(푡)= 푟′(푡) ‖푟′(푡)‖ 
b) Longitud de curva en ℝ푛: Sea C una curva con parametrizacion 푟(푡)=(푓1(푡),⋯,푓푛(푡)) 
푠(푡)=∫‖푟′(푡)‖푑푡 푏 푎 =∫√Σ.푓푘 ′(푡)/ 2 푛 푘=1 푑푡 푏 푎 =∫√,푓1′(푡)-2+⋯+,푓푛 ′(푡)-2푑푡 푏 푎 =∫‖푟⃗′(푢)‖푑푢 푡 푡표 
 Se define la parametrizacion de posicion por longitud curva como: 
푅⃗⃗′(푠)= 푟⃗′(푠) ‖푟⃗′(푠)‖ 
c) Curva suave: Sea γ una curva, diremos que es curva suave, si satisfacen las siguientes condiciones: 
- ddx 푟⃗(푡) continua. 
- ddx 푟⃗(푡)≠0 ∀푡 en un intervalo dado. 
d) Tangente: El vector tangente a la curva en un punto t se define como: 
푡̂(푡)= 푟⃗′(푡) ‖푟⃗′(푡)‖ 
e) Normal: Dado que si ‖푟⃗(푡)‖=푐푡푒⇒푟⃗(푡)⊥푟′(푡), definiremos el vector normal unitario como 
푛̂(푡)= 푡̂′(푡) ‖푡̂′(푡)‖ 
f) Binormal: 
푏̂ (푡)= 푟⃗′(푡)×푟⃗′′(푡) ‖푟⃗′(푡)×푟⃗′′(푡)‖‖푟⃗′(푡)‖ = 푡̂′(푡)×푛̂(푡) ‖푡̂′(푡)×푛̂(푡)‖
g) Curvatura: Sea T vector tangente unitario, s la longitud de curvatura, 
휅(푠)=‖ 푑푡̂ 푑푠 ‖ 휅(푡)= ‖푡̂′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖ = ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖3 
- Se calcula la curvatura de una funcion x siguiente manera: 
휅(푥)= |푓′′(푥)| 01+(푓′(푥)) 213/2 
 Teorema 1: 휅(푠)≡0,ssi la curva es una recta. 
 Teorema 2: dds 푡̂= ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖3푛̂ 
h) Torsion: 
휏=−푁∙ 푑푏̂ 푑푠 = (푟′(푡)×푟′′(푡))∙푟′′′(푡) ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖2 
i) Formulas de Frenet-Serret: 
푑푇 푑푠 =휅푁 
푑푁 푑푠 =−휅푇+휏퐵 
푑퐵 푑푠 =−휏푁 
j) Planos: 
- Plano normal a 풓(풕): Plano formado por 푛(푡) y 푏(푡). 
- Plano osculador a 풓(풕): Plano formado por 푛(푡) y 푡(푡). 
 Circulo osculador: Es un circulo que posee el mismo vector tangente unitario en el punto P de una curva 훾. 
Radio del circulo osculador: 휌= 1 휅
Formulas importantes: 
1) sin2(푥)= 1−cos(2푥) 2 
2) cos2(푥)= 1+cos(2푥) 2 
3) Sea 푡=tan. 푥 2/: 
sin(x)= 2t1+t2 ∧cos(x)= 1−t21+t2 ∧dx= 2dt1+t2 
4) ∫√푎2−푥2푑푥= 12.푎2arcsin. 푥 푎 /+푥√푎2−푥2/+C 
5) ∫sec푛(푥)푑푥= 1 푛−1(secn−2(푥)tan(푥))+ 푛−2 푛−1 퐼푛−2+C 
6) ∫sec3(푥)푑푥= 12,sec(푥)tan(푥)+log (sec(푥)+tan(푥)-+C 
7) ∫ 1 푥2+푎2푑푥= 1 푎 Arctan. xa/+퐶 
8) ∫푎푥푑푥= 푎푥 log(푎) +퐶

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Vectores (versión alumnos)
Vectores (versión alumnos)Vectores (versión alumnos)
Vectores (versión alumnos)
zmayari
 
U1S2: Operaciones Básicas con Vectores
U1S2: Operaciones Básicas con VectoresU1S2: Operaciones Básicas con Vectores
U1S2: Operaciones Básicas con Vectores
ITST - DIV. IINF (YASSER MARÍN)
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORESPROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
Ricardo Briceño Huamán
 
Teoría Básica
Teoría Básica Teoría Básica
Teoría Básica
SistemadeEstudiosMed
 
La Integral Definida y sus Aplicaciones MA-II ccesa007
La Integral Definida y sus Aplicaciones  MA-II   ccesa007La Integral Definida y sus Aplicaciones  MA-II   ccesa007
La Integral Definida y sus Aplicaciones MA-II ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Cálculo ii-práctica-6-fx9860 g
Cálculo ii-práctica-6-fx9860 gCálculo ii-práctica-6-fx9860 g
Cálculo ii-práctica-6-fx9860 g
sebastian buitrago
 
2
22
Manual fisica 2011
Manual fisica 2011Manual fisica 2011
Manual fisica 2011
FR GB
 
Resumenes de física bgu......
Resumenes de física bgu......Resumenes de física bgu......
Resumenes de física bgu......
Willan José Erazo Erazo
 
Clase 1 de física 1
Clase 1 de física 1Clase 1 de física 1
Clase 1 de física 1
Yuri Milachay
 
Calculo Vectorial - Parte I
Calculo Vectorial - Parte ICalculo Vectorial - Parte I
Calculo Vectorial - Parte I
Universidad Nacional de Loja
 
Aplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales DefinidasAplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales Definidas
Emma
 
Pract1
Pract1Pract1
Tippens fisica 7e_diapositivas_06b
Tippens fisica 7e_diapositivas_06bTippens fisica 7e_diapositivas_06b
Tippens fisica 7e_diapositivas_06b
Eliecer Tejo
 
Resolver triángulos
Resolver triángulosResolver triángulos
Resolver triángulos
Edu Pachano
 
Vectores
VectoresVectores
Tippens fisica 7e_diapositivas_03b
Tippens fisica 7e_diapositivas_03bTippens fisica 7e_diapositivas_03b
Tippens fisica 7e_diapositivas_03b
Robert
 
Zaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada Fisica
Zaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada FisicaZaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada Fisica
Zaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada Fisica
fisicayquimica-com-es
 

La actualidad más candente (18)

Vectores (versión alumnos)
Vectores (versión alumnos)Vectores (versión alumnos)
Vectores (versión alumnos)
 
U1S2: Operaciones Básicas con Vectores
U1S2: Operaciones Básicas con VectoresU1S2: Operaciones Básicas con Vectores
U1S2: Operaciones Básicas con Vectores
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORESPROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
 
Teoría Básica
Teoría Básica Teoría Básica
Teoría Básica
 
La Integral Definida y sus Aplicaciones MA-II ccesa007
La Integral Definida y sus Aplicaciones  MA-II   ccesa007La Integral Definida y sus Aplicaciones  MA-II   ccesa007
La Integral Definida y sus Aplicaciones MA-II ccesa007
 
Cálculo ii-práctica-6-fx9860 g
Cálculo ii-práctica-6-fx9860 gCálculo ii-práctica-6-fx9860 g
Cálculo ii-práctica-6-fx9860 g
 
2
22
2
 
Manual fisica 2011
Manual fisica 2011Manual fisica 2011
Manual fisica 2011
 
Resumenes de física bgu......
Resumenes de física bgu......Resumenes de física bgu......
Resumenes de física bgu......
 
Clase 1 de física 1
Clase 1 de física 1Clase 1 de física 1
Clase 1 de física 1
 
Calculo Vectorial - Parte I
Calculo Vectorial - Parte ICalculo Vectorial - Parte I
Calculo Vectorial - Parte I
 
Aplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales DefinidasAplicación de Integrales Definidas
Aplicación de Integrales Definidas
 
Pract1
Pract1Pract1
Pract1
 
Tippens fisica 7e_diapositivas_06b
Tippens fisica 7e_diapositivas_06bTippens fisica 7e_diapositivas_06b
Tippens fisica 7e_diapositivas_06b
 
Resolver triángulos
Resolver triángulosResolver triángulos
Resolver triángulos
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
Tippens fisica 7e_diapositivas_03b
Tippens fisica 7e_diapositivas_03bTippens fisica 7e_diapositivas_03b
Tippens fisica 7e_diapositivas_03b
 
Zaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada Fisica
Zaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada FisicaZaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada Fisica
Zaragoza 2011 segunda prueba - Olimpiada Fisica
 

Similar a Resumen calculo ii

Grupo 1 - Números complejos.pptx
Grupo 1 - Números complejos.pptxGrupo 1 - Números complejos.pptx
Grupo 1 - Números complejos.pptx
JUNIORALIDMACHUCAMED1
 
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015
Universidad Centroamericana "José Simeon Cañas"
 
Campo eléctrico II.pdf
Campo eléctrico II.pdfCampo eléctrico II.pdf
Campo eléctrico II.pdf
jolopezpla
 
S13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptx
S13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptxS13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptx
S13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptx
katerinegranados3
 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
JeanHuarcaya2
 
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...
EstebanConde3
 
Introducción a la Trigonometría Esférica
Introducción a la Trigonometría EsféricaIntroducción a la Trigonometría Esférica
Introducción a la Trigonometría Esférica
Universidad Marítima del Caribe
 
Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)
Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)
Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)
Miguel Antonio Bula Picon
 
Pres FV2 Geometría curvas.pdf
Pres FV2 Geometría curvas.pdfPres FV2 Geometría curvas.pdf
Pres FV2 Geometría curvas.pdf
TacoDorado2
 
La circunferencia
La circunferenciaLa circunferencia
La circunferencia
Fabian Espinosa
 
Espiral de raíces cuadradas de los números naturales
Espiral de raíces cuadradas de los números naturales Espiral de raíces cuadradas de los números naturales
Espiral de raíces cuadradas de los números naturales
Enrique Ramon Acosta Ramos
 
S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...
S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...
S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...
JazminValcarcel1
 
Clase 12 OE
Clase 12 OEClase 12 OE
Clase 12 OE
Tensor
 
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15
Universidad Centroamericana "José Simeon Cañas"
 
Fisica
FisicaFisica
Fisica
NM NM
 
“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
FrancoPagani
 
Grupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdf
Grupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdfGrupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdf
Grupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdf
Juan Carlos Restrepo
 
Matematica daniel parra
Matematica daniel parraMatematica daniel parra
Matematica daniel parra
Daniel Parra
 
Mis presentaciones en la Web.pdf
Mis presentaciones en la Web.pdfMis presentaciones en la Web.pdf
Mis presentaciones en la Web.pdf
BlancaGamez6
 
Ficha repaso pascua
Ficha repaso pascuaFicha repaso pascua
Ficha repaso pascua
laura_pjo
 

Similar a Resumen calculo ii (20)

Grupo 1 - Números complejos.pptx
Grupo 1 - Números complejos.pptxGrupo 1 - Números complejos.pptx
Grupo 1 - Números complejos.pptx
 
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_01_2015
 
Campo eléctrico II.pdf
Campo eléctrico II.pdfCampo eléctrico II.pdf
Campo eléctrico II.pdf
 
S13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptx
S13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptxS13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptx
S13.s1 - Material_Desarrollado(2).pptx
 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
 
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...
 
Introducción a la Trigonometría Esférica
Introducción a la Trigonometría EsféricaIntroducción a la Trigonometría Esférica
Introducción a la Trigonometría Esférica
 
Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)
Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)
Ejercicio 2 (Similitud Dinámica, mayo 2017)
 
Pres FV2 Geometría curvas.pdf
Pres FV2 Geometría curvas.pdfPres FV2 Geometría curvas.pdf
Pres FV2 Geometría curvas.pdf
 
La circunferencia
La circunferenciaLa circunferencia
La circunferencia
 
Espiral de raíces cuadradas de los números naturales
Espiral de raíces cuadradas de los números naturales Espiral de raíces cuadradas de los números naturales
Espiral de raíces cuadradas de los números naturales
 
S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...
S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...
S1 - Funciones reales de varias variables reales_ Plano tangente_ Recta norma...
 
Clase 12 OE
Clase 12 OEClase 12 OE
Clase 12 OE
 
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15
Guia int de_superficie_teo_de_gauss_y_stokes_02_15
 
Fisica
FisicaFisica
Fisica
 
“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
 
Grupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdf
Grupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdfGrupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdf
Grupo_764_Tarea3_AplicacionesIntegrales.pdf
 
Matematica daniel parra
Matematica daniel parraMatematica daniel parra
Matematica daniel parra
 
Mis presentaciones en la Web.pdf
Mis presentaciones en la Web.pdfMis presentaciones en la Web.pdf
Mis presentaciones en la Web.pdf
 
Ficha repaso pascua
Ficha repaso pascuaFicha repaso pascua
Ficha repaso pascua
 

Último

tipos de energias: la Energía Radiante.pdf
tipos de energias: la Energía Radiante.pdftipos de energias: la Energía Radiante.pdf
tipos de energias: la Energía Radiante.pdf
munozvanessa878
 
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIAMETODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
LuisCiriacoMolina
 
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingenieríadiagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
karenperalta62
 
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptxDIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
KeylaArlethTorresOrt
 
SISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOS
SISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOSSISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOS
SISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOS
micoltadaniel2024
 
Estructura de un buque, tema de estudios generales de navegación
Estructura de un buque, tema de estudios generales de navegaciónEstructura de un buque, tema de estudios generales de navegación
Estructura de un buque, tema de estudios generales de navegación
AlvaroEduardoConsola1
 
Presentación- de motor a combustión -diesel.pptx
Presentación- de motor a combustión -diesel.pptxPresentación- de motor a combustión -diesel.pptx
Presentación- de motor a combustión -diesel.pptx
ronnyrocha223
 
SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................
azulsarase
 
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdfEXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
hugodennis88
 
PRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptx
PRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptxPRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptx
PRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptx
ANGELJOELSILVAPINZN
 
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdfPresentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
jdcumarem02
 
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtualSESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
JuanGavidia2
 
Aletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdf
Aletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdfAletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdf
Aletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdf
elsanti003
 
PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICAPRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
carmenquintana18
 
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - ConstrucciónInfografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
MaraManuelaUrribarri
 
muros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidadesmuros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidades
AlejandroArturoGutie1
 
tema alcanos cicloalcanos de quimica.pdf
tema alcanos cicloalcanos de quimica.pdftema alcanos cicloalcanos de quimica.pdf
tema alcanos cicloalcanos de quimica.pdf
veronicaluna80
 
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completaINGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
JaimmsArthur
 
INVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptx
INVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptxINVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptx
INVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptx
FernandoRodrigoEscal
 
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
FantasticVideo1
 

Último (20)

tipos de energias: la Energía Radiante.pdf
tipos de energias: la Energía Radiante.pdftipos de energias: la Energía Radiante.pdf
tipos de energias: la Energía Radiante.pdf
 
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIAMETODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
 
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingenieríadiagrama de flujo. en el área de ingeniería
diagrama de flujo. en el área de ingeniería
 
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptxDIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
 
SISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOS
SISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOSSISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOS
SISTEMA AUTOMATIZADO DE LIMPIEZA PARA ACUARIOS
 
Estructura de un buque, tema de estudios generales de navegación
Estructura de un buque, tema de estudios generales de navegaciónEstructura de un buque, tema de estudios generales de navegación
Estructura de un buque, tema de estudios generales de navegación
 
Presentación- de motor a combustión -diesel.pptx
Presentación- de motor a combustión -diesel.pptxPresentación- de motor a combustión -diesel.pptx
Presentación- de motor a combustión -diesel.pptx
 
SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................SLIDEHARE.docx..........................
SLIDEHARE.docx..........................
 
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdfEXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
 
PRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptx
PRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptxPRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptx
PRACTICA 2 EDAFOLOGÍA TEXTURA DEL SUELO.pptx
 
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdfPresentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
Presentación transferencia de calor Jesus Morales.pdf
 
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtualSESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
SESIÓN 3 ÓXIDOS-HIDRÓXIDOS trabajo virtual
 
Aletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdf
Aletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdfAletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdf
Aletas de transferencia de calor o superficies extendidas dylan.pdf
 
PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICAPRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
 
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - ConstrucciónInfografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
 
muros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidadesmuros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidades
 
tema alcanos cicloalcanos de quimica.pdf
tema alcanos cicloalcanos de quimica.pdftema alcanos cicloalcanos de quimica.pdf
tema alcanos cicloalcanos de quimica.pdf
 
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completaINGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
 
INVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptx
INVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptxINVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptx
INVENTARIO CEROO Y DINAMICAA FABRIL.pptx
 
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
 

Resumen calculo ii

  • 1. Resumen Calculo II (2014-2) Juyoung Wang A) Aplicacion de integral 1) Longitud de arco:  Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define la longitud de curva 푦=푓(푥) con 푥∈,푎,푏- por: 퐿=∫√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥  Sea 푔:,푐,푑-→ℝ con derivada continua, se define la longitud de curva de 푥=푔(푦) con 푦∈,푐,푑- por: 퐿=∫√1+( 푑푥 푑푦 * 2푑 푐 푑푦 2) Area de una superficie revolucion:  Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie solido revolucion de 푦=푓(푥) que gira respecto al eje X, con 푥∈,푎,푏- por: 푆푋=2휋∫푓(푥)√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥  Sea 푓:,푎,푏-→ℝ con derivada continua, se define el area de la superficie solido revolucion de 푦=푓(푥) que gira respecto al eje Y, con 푥∈,푎,푏- por: 푆푌=2휋∫푥√1+( 푑푦 푑푥 * 2푏 푎 푑푥 3) Presion hidrostatica:  Se define la presion, como fuerza ejercida en una unidad de area determinada: 푃=휌푔푑 donde: 휌: Densidad. 푑: Distancia entre la placa y superficie. 푔: Aceleracion de la gravedad.
  • 2. 4) Fuerza:  A partir de la segunda ley de Newton, definimos fuerza F que actua sobre una particula como la multiplicacion entre masa y aceleracion: 퐹=푚푎  Ley de Hooke: La fuerza que actua sobre una masa unida al resorte se calcula usando: 퐹=−푘푥(푡) donde: 푘: Constante de elasticidad del resorte. 푥(푡): Distancia entre la longitud original del resorte y particula en el intante t.  Y el trabajo hecho por resorte se calcula mediante la siguiente ecuacion: 푊=−푘∫푥푑푥 푙2−푙표 푙1−푙0 donde: 푙0: Longitud natural del resorte. 푙1: Longitud del resorte en 푡=0. 푙2: Longitud del resorte en 푡=푡푓. 5) Trabajo:  Sea 퐹 la fuerza constante y Δd la distancia recorrida, se define fuerza como: 푊=퐹Δ푥 Entonces, de este modo, se define el trabajo necesario para mover la particula desde el punto 푎 hasta el punto 푏, mediante la siguiente formula: 푊푎 푏=∫퐹(푥)푑푥 푏 푎  Si la fuerza 퐹 no es constante y si el cuerpo se mueve desde el punto 푎 hasta el punto 푏, el trabajo realizado se calcula con la siguiente formula: 푊푘=푚푘푔푥푘∗ ⟹푇푇표푡푎푙=Σ푇푘 푛−1 푘=0 ⟹∫(퐹(푥)∙푥)푑푥 푏 푎
  • 3. 6) Centro de masa:  Centro de masa un sistema unidimensional: Sea 푥1,⋯,푥푘 las posiciones de masas 푚1,⋯,푚푘, se calcula el centro de masa con: 푥̅= Σ푚푘푥푘 푛푘 =1Σ푚푘 푛푘 =1  Centro de masa del sistema (Centroide): Sea 푃1,⋯,푃푘 las posiciones de masas 푚1,⋯,푚푘, se calcula el centro de masa con: 푥̅=(푥̅,푦̅)= (∫푥푓(푥)푑푥 푏 푎,12∫(푓(푥)) 2 푑푥 푏 푎) ∫푓(푥)푑푥 푏 푎  Centro de masa una region encerrada por dos funciones: Sean 푓,푔 funciones continuas con 푔(푥)>푓(푥) ∀x∈ℝ, su centroide es: 푥̅=(푥̅,푦̅)= (∫푥,푔(푥)−푓(푥)-푑푥 푏 푎,12∫,(푔(푥)) 2−(푓(푥)) 2-푑푥 푏 푎) ∫,푔(푥)−푓(푥)-푑푥 푏 푎  Momento: Sea 푥̅ el centro de masa, llamaremos momento a: 푀=푚푥̅  Momento del sistema respecto al eje X: 푀푋=Σ푚푘푦푘 푛 푘=1= 휌 2∫(푓(푥)) 2 푏 푎 푑푥⟹푦푈푛푖푑푖푚= 푀푥 Σ푚  Momento del sistema respecto al eje Y: 푀푌=Σ푚푘푥푘 푛 푘=1=휌∫푥푓(푥) 푏 푎 푑푥⟹푥푈푛푖푑푖푚= 푀푦 Σ푚  Teorema de Pappus: Sea 푅 una region acotada, 푙 una recta que NO corta a 푅 y 푑 la distancia recorrida por el centroide al rotar respecto a la recta 푙, si 푆 es el solido resultante producido por rotar 푅 en torno a 푙, entonces el area y volumen de 푆: 퐴=2휋퐿푑=∫(푔(푥)−푓(푥))푑푥 푏 푎 ⟹푉푆=2휋퐴푑=휋∫.(푔(푥)) 2−(푓(푥)) 2/푑푥 푏 푎 =퐴푑푅푒푐푝표푟푥
  • 4. B) Curvas parametricas I) Curvas en el plano cartesiano: Diremos que 훾 es una curva parametrica, con 푡 denominado como parametro, si: 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con (푥,푦): ,푡1,푡2-→ℝ 1) Tangente: Sea 푥=푓(푥)∧푦=푔(푥)⟹푔(푥)=퐹(푓(푥)), entonces: 퐹′(푥)= 푔′(푡) 푓′(푡) y la recta tangente a curva en el punto (푎,푏) es: 퐿:(푦−푏)=퐹′(푥)⋅(푥−푎) 2) Longitud: Sea 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, su longitud sera determinado por: 퐿=∫√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡 3) Area: Sea 푅 la region delimitada por 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, 푥′(푡)≥0, 푥=푥(푎), 푥=푥(푏) e 푦=0, entonces el area de la region 푅 se calcula mediante la siguiente formula: 퐴푅=∫푦(푡)⋅푥′(푡) 푏 푎 푑푡 4) Area de una superficie revolucion:  Sea 푅 la region delimitada por 훾(푡)=(푥(푡),푦(푡)) con 푡∈,푎,푏-, 푥′(푡)≥0, 푥=푥(푎), 푥=푥(푏) e 푦=0, entonces el area de la superficie del volumen generado al rotar region 푅 respecto al eje X se calcula mediante la siguiente formula: 푆푋=2휋∫푦(푡)√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡  Y al rotarlo entorno eje Y: 푆푌=2휋∫푥(푡)√(푥′(푡)) 2+(푦′(푡)) 2 푏 푎 푑푡
  • 5. Figuras tipicas: 1) Cicloide: Sea γ(θ)=(푥(휃),y(θ)): - 푥(휃)=푟(휃−푠푖푛(휃)) - 푦(휃)=푟(1−푐표푠(휃)) 2) Astroide: Sea x23+y23=푟 23 - 푥(휃)=푟푐표푠3(휃) - 푦(휃)=푟푠푖푛3(휃)
  • 6. II) Curvas en polares: 1) Coordenadas polares: 휌=휌(휃)=(휌,휃) (푥,푦)→(휌,휃) donde: Parametrizacion: 흆: Distancia entre el origen y punto P. 휽: Angulo recorrido en sentido anti-horario, con respecto al eje x. 풙=풓⋅풄풐풔(휽) 풚=풓⋅풔풊풏(휽) Con: 풙ퟐ+풚ퟐ=풓ퟐ 2) Tangente: Sea: 푥=푟⋅푐표푠(휃)=푓(휃)⋅푐표푠(휃) 푦=푟⋅푠푖푛(휃)=푓(휃)⋅푠푖푛(휃) 푑푦 푑푥 = 푑푦 푑휃 푑푥 푑휃 = 푑푟 푑휃 (푠푖푛(휃)+푟⋅푐표푠(휃) 푑푟 푑휃 (푐표푠(휃)−푟⋅푠푖푛(휃) 3) Formulas: a) Longitud de la curva polar: 퐿=∫√(휌(휃))2+(휌′(휃)) 2 푑휃 훽 훼 b) Area de la region encerrada por curva polar: 퐴= 12∫휌2(휃)푑휃 훽 훼
  • 7. 4) Tecnica de graficacion entre 0 y ퟐ훑: 휌(휃)=푎∙sin (휃) donde 푎=r 휌(휃)=푎∙cos (휃) donde 푎=r 휌(휃)=cos (푎휃) donde 푎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos pasan por eje Y. 휌(휃)=cos (푎휃) donde 푎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos no pasan por eje Y. 휌(휃)=sin (푎휃) donde 푎 sera igual a la doble de la cantidad de los petalos, si a es par. Los petalos no pasan por eje Y. 휌(휃)=cos (푎휃) donde 푎 sera igual a la cantidad de petalo, si a es impar. Los petalos pasan por eje Y, abajo (3), ariba(5), sucesivamente. 휌(휃)=푎(1−푛⋅푐표푠(휃)) donde 푎 sera igual al tercio del radio pesudo-circulo exterior y 푛 aumente junto con el radio de pseudo- circulo interior.
  • 8. C) Integral impropia Tipo I: Sea f(x) continua en ,푎,∞)∧(−∞,푏- y si ∃∫푓(푥)푑푥 t 푎,∀푡≥푎∧∫푓(푥)푑푥 b 푡,∀푡≤푏 ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 =lim 푡→∞ ∫푓(푥)푑푥 t 푎 ∧∫푓(푥)푑푥 b−∞ =lim 푡→−∞ ∫푓(푥)푑푥 b 푡 Tipo II: a) Sea f continua sobre ,푎,푏) y discontinua en 푏: ∫푓(푥)푑푥 b 푎 =lim 푡→b− ∫푓(푥)푑푥 t 푎 b) Sea f continua sobre (푎,푏- y discontinua en 푎: ∫푓(푥)푑푥 b 푎 =lim 푡→a+ ∫푓(푥)푑푥 b 푡 Concepto de la convergencia: 1) Convergente: Existe el limite de la integral. 2) Divergente: No existe el limite de la integral. c-1) Criterios de comparacion: a) Sean f y g continuas con 푓(푥)≥푔(푥)≥0,∀푥≥푎 Entonces: ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 es convergente ⇒ ∫푔(푥)푑푥 ∞ 푎 es convergente ∫푔(푥)푑푥 ∞ 푎 es divergente ⇒ ∫푓(푥)푑푥 ∞ 푎 es divergente b) Comparar con 1 푥휆:  Si 0≤흀≤ퟏ: ∫ 1 풙흀 ∞ 푎푑푥 diverge.  Si 흀>ퟏ: ∫ 1 풙흀 ∞ 푎푑푥 converge.
  • 9. D) Serie Sucesiones: Es una funcion que hace 푓:ℕ→ℝ. Sea 푓(푛)=푎푛, definiremos la convergencia de sucecion como: lim 푛→∞ 푎푛=퐿 | Si 푛≥푁 ⇒ ∀ℇ>0 ∧ |퐿−푎푛|<ℇ - Convergencia de sucesion: Si lim푛→∞푎푛=퐿< ∞, entonces la sucesion converge.  Teorema de valor absouluto: lim 푛→∞ |푎푛|=0⇒lim 푛→∞ 푎푛=0  Teorema de axioma del supremo: Toda sucesion monotona creciente o decreciente y acotada, converge.  Convergencia de la suceciones: Si 0≤lim 푛→∞ 푎푛<∞ con un solo valor determinado,entonces la sucesion converge.
  • 10. d-0) Serie: Sea *푎푘+푘=1 푛 una sucesion, se denomina la SERIE como suma determinada por: S=Σ푎푛 ∞ 푛=푘 =Σ푎푛 donde 푘<∞ donde lim푛→∞푆푛=푆 con 푆푛 la n-esima suma parcial Y S denominado como la SUMA DE SERIE.  Convergencia de series: Convergente: ∃lim푛→∞푆푛=푎1+⋯+푎푛=Σ푎푛 ∞푛 =1=푠 휖 ℝ ∧lim푛→∞푎푛=0 - Divergente: ∄lim푛→∞푆푛∧lim푛→∞푎푛≠0 d-1) Propiedad: Sean Σ푎푛 y Σ푏n series convergentes, las siguientes tambien lo son y ademas cumplen con la siguiente propiedad: 1) lim푛→∞푎푛=lim푚→∞Σ푎푖 ∞푖 =푚 2) Σ푐푎푛 ∞푛 =1=푐Σ푎푛 ∞푛 =1 3) Σ(푎푛±푏푛)∞푛 =1=Σ푎푛 ∞푛 =1±Σ푏푛 ∞푛 =1 d-2) Series conocidas: 1) Serie aritmetica: Σ푎푘 n 푘=1=푎1+⋯+푎푛= 푛(푎1+푎푛) 2,donde: 푑=푎푛−푎푛−1 푎푛=푎1+푑(푛−1) 2) Serie geometrica: Σ푟푘−1푛푘 =1=1+푟+⋯+푟∞{ 11−푟 , 푠푠푖 |푟|<1(1−푟푛) 1−푟 , 푠푠푖 푟>1 y la serie diverge cuando |푟|>1 Σ푟푘 ∞ 푘=푎 = 푟푎 1−푟 3) Serie armonica: La serie Σ1 푛 ∞푛 =1 se denomina como serie armonica y es divergente.
  • 11. d-3) Serie alternante: Sea *푎푛+ sucesion de terminos positivos, entonces llamaremos SERIE ALTERNANTE a: 푆=Σ푏푘 ∞ 푘=1=Σ(−1)푘−1∙푎푘 ∞ 푘=1  Criterio de Leibniz (o la serie alternante): i) 푎푛+1≤푎푛 ii) lim푛→∞푎푛=0 Entonces la serie alternante converge. d-4) Tipos de convergencia: a) Convergencia absoluta: Σ푎푘 ∞푘 =1 converge absolutamente, si Σ|푎푘|∞푘 =1 converge. Teorema: Si Σ푎푘 ∞푘 =1 converge absolutamente, entonces la serie converge. Pero esto no dice que la convergencia de una serie implica su convergencia absoluta. b) Convergencia condicional: Σ푎푘 ∞푘 =1 no converge absolutamente, pero si converge normalmente.
  • 12. d-5) Criterios de convergencia: 1) Criterio cero: Σ푎푛 ∞ 푛=1 converge ⇒lim 푛→∞ 푎푛=0 Es decir: lim 푛→∞ 푎푛≠0⇒Σ푎푛 ∞ 푛=1 diverge 2) Criterio de la integral: Sea 푓:,1,∞)→ℝ0+ continua y decreciente: a) ∫푓(푥)∞ 1푑푥<∞⇔Σ푓(푘)∞푘 =1<∞ b) ∫푓(푥)∞ 1푑푥=∞⇔Σ푓(푘)∞푘 =1=∞ 3) Criterio de comparacion: Sean 0≤푎푛≤푏푛: a) Σ푎푛 ∞푛 =1 diverge ⟹Σ푏푛 ∞푛 =1 diverge b) Σ푏푛 ∞푛 =1 converge ⟹Σ푎푛 ∞푛 =1 converge 4) Criterio de comparacion al limite: Sean 푎푛,푏푛∈ℝ+ tales que: lim 푛→∞ 푎푛 푏푛 =휌 Si 0<휌<∞: Σ푎푘 converge ⇔ Σ푏푘 converge Σ푎푘 diverge ⇔ Σ푏푘 diverge Si 휌=0: Σ푏푘 converge ⟹ Σ푎푘 converge Σ푎푘 diverge ⟹ Σ푏푘 diverge 5) Criterio de la razon y de la raiz: Considerando la serie Σ푎푛 ∞푛 =1: Criterio de la razon: Si ∃lim푛→∞| 푎푛+1 푎푛 |=푐>0 Criterio de la raiz: Si lim 푛→∞ √|푎푛|푛=푑>0 ퟎ≤퐜,퐝<ퟏ: Absolutamente convergente = Convergente. 퐜,퐝>ퟏ: Divergente. 퐜,퐝=ퟏ: No concluyente.
  • 13. d-6) Resto: Sea 푎푛 sucesion y 푆=Σ푎푘 ∞푘 =1 convergente, con 푆푛=Σ푎푘 n푘 =1, se define el RESTO como: 푅푛=푆−푆푛=Σ푎푘 ∞ 푘=푛+1 Teorema: 1) La serie 푆=Σ푎푘 ∞푘 =1 converge, ssi lim푛→∞푅푛=0. 2) Si lim푛→∞푎푛=0 y 푓:,1,∞)→ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 푓(푛)=푎푛, entonces: 푆푛+∫푓(푥) ∞ 푛+1 푑푥≤푆≤푆푛+∫푓(푥) ∞ 푛 푑푥 3) Si lim푛→∞푎푛=0 y 푓:,1,∞)→ℝ0+ es contunua y decreciente, tal que 푓(푛)=푎푛, entonces: ∫푓(푥) ∞ 푛+1 푑푥≤푅푛≤∫푓(푥) ∞ 푛 푑푥 d-7) Estimacion de sumas: 1) Resto de una serie: Sea Σ푎푛 sucesion convergente, comparando con la serie Σ푏푛, es decir, 푎푛≤푏푛, y ademas 푓(푛)=푎푛 ∧ 푔(푛)=푏푛, entonces: 푅푛=푠−푠푛=푎푛+1+푎푛+2+⋯ 푇푛=푡−푡푛=푏푛+1+푏푛+2+⋯ y como 푅푛≤푇푛, y por lo tanto: 푅푛≤푇푛≤∫푔(푥) ∞ 푛 푑푥 donde el valor de ∫푔(푥) ∞ 푛푑푥 o 푇푛 seria el valor aproximado del error de la suma serie Σ푎푛 hasta 푛−푒푠푖푚표 terminos. 2) Resto de serie alternante: Si para la sucesion *푎푘+푘=1∞, se verifica que 푎푘>0 y es decreciente ∀k ϵ ℕ, entonces: Σ(−1)푘−1푎푘 ∞푘 =1 es convergente y debe cumplir con: |푅푘|=|푆푘−푆|≤|푆푘−푆푘+1|=푎푘+1 donde |푅푘| es el residuo, tamano de error y que el valor de 푎푘+1 seria el valor aproximado del residuo.
  • 14. d-9) Estrategias para determinar la convergencia: 1) Si lim푛→∞푎푛≠0, entonces la serie diverge. 2) Si la serie es de forma u orden Σ1 푛푝, es convergente si 푝<1 y divergente si 푝≥1. 3) Si la serie es geometrica (Σ푟푛−1 ∨ Σ푟푛), entonces la serie converge si |푟|<1 y diverge si |푟|≥1. 4) Si la serie es parecida a las 푝−푠푒푟푖푒푠, y si la serie es de terminos positivos, entonces se debe aplicar el criterio de comparacion al limite. Pero si la serie contiene algunos signos negativos, entonces se debe ver hay convergencia absoluta. 5) Si la serie es de forma Σ(−1)푛−1푎푛 o bien, Σ(−1)푛푎푛, entonces podria aplicar el criterio de Leibniz. 6) Si la serie contiene factorial y/o una potencia n-esima, entonces podria aplicar el criterio de la razon y si esto no funciona, de la raiz. 7) Si la serie es de forma Σ푏푛 푛, entonces el criterio de la raiz podria ser util. 8) Si 푓(푛)=푎푛, es conveniente resolver ∫푓(푥) ∞ 1푑푥, si la integral es evaluable con facilidad.
  • 15. d-9) Serie de potencias S(x)=Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 = Serie de potencias en (x−a) donde: - 풓: Es una sucesion denominada como RADIO DE CONVERGENCIA y se calcula: 푅= 1 푙푖푚푠푢푝 푛→∞ √|푐푛|푛=푙푖푚 푛→∞ | 푐푛 푐푛+1| Y el intervalo de convergencia esta dada por la inecuacion: |푥−푎|≤푟  Teorema de convergencia las series potencias: 1) La serie Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 es convergente, si: a) 푥=푎∧푟=0 b) |푥−푎|<푟 ∧푟∈(0,∞) 2) La serie Σ푐푛(푥−푎)푛∞푛 =0 es divergente, si: a) 푥≠푎∧푟=0 b) |푥−푎|>푟 ∧푟∈(0,∞) Si |푥−푎|=푟, se debe hacer un estudio para determinar si es convergente o no.  Derivacion e integracion de las series potencias: Se deriva e integra normalmente como la siguiente: 1) Derivacion: 푑 푑푥 (Σ푐푛(푥−푎)푛 ∞ 푛=0)=Σ푛∗푐푛(푥−푎)푛−1∞ 푛=1 2) Integracion: ∫(Σ푐푛(푥−푎)푛 ∞ 푛=0)=퐶+Σ1 푛+1∗푐푛(푥−푎)푛+1∞ 푛=0
  • 16. d-10) Serie de Taylor y Maclaurin  Serie de Taylor: 푇(x)=Σ 푓(푘)(푎)(푥−푎)푘 푘! ∞ 푘=0+ ∫(푥−푡)푛푓(푛+1)(푡) 푥 푎푑푡 푛! donde: Σ푓(푘)(푎)(푥−푎)푘 푘! ∞푘 =0 : Polinomio de Taylor. ∫(푥−푡)푛푓(푛+1)(푡) 푥 푎푑푡 푛! : Resto de Taylor.  Estimacion de error Taylor: Si |푓(푛+1)(푥)|≤푀 ∧ 푥∈,푎,푏-, entonces: |푅푛(푓,푥)|≤푀⋅ |푥−푎|푛+1(푛+1)! ≤푀⋅ |푏−푎|푛+1(푛+1)!  Serie de Maclaurin: Es la serie de Taylor con 푎=0. 푀(x)=Σ 푓(푛)(푎) 푛! (푥)푛 ∞ 푛=0=푓(0)+푥푓(1)(0)+ 푓(2)(0) 2! 푥2+⋯ Y al hacerlo n-veces, se obtiene la siguiente formula: 푓(푥)=푓(푎)+푓(1)(푎)(푥−푎)+ 푓(2)(푎) 2! (푥−푎)2+⋯+ 푓(푛)(푎) 푛! (푥−푎)푛+푅푛(푥)  La igualdad de Euler: 푒푖푥=cos(푥)+푖푠푖푛(푥) 푒푖휋+1=0  Serie binomial: (1+푥)k=Σ. 푘 푛 /푥푛 ∞ 푛=0=1+푘푥+ 푘(푘−1) 2! 푥2+ 푘(푘−1)(푘−2) 3! 푥3−+⋯ con 푎=0
  • 17. Series importantes: 11−푥 =Σ푥푛 ∞ 푛=0=1+푥+푥2+푥3+⋯ 11+푥 =Σ푥푛 ∞ 푛=0=1−푥+푥2−푥3+⋯ 푒푥=Σ푥푛 ∞ 푛=0=1+ 푥 1! + 푥22! + 푥33! +⋯ sin(푥)=Σ(−1)푛푥2푛+1(2푛+1)! ∞ 푛=0=푥− 푥33! + 푥55! − 푥77! +⋯ con 푎=0 cos(푥)=Σ(−1)푛푥2푛 (2푛)! ∞ 푛=0=1− 푥22! + 푥44! − 푥66! +⋯ con 푎=0 Arctan(푥)=Σ(−1)푛푥2푛+12푛+1∞ 푛=0=푥− 푥33+ 푥55− 푥77+⋯ con 푎=0 푙푛(1+푥)=Σ(−1)푛푥푛+1 푛+1∞ 푛=0=푥− 푥22+ 푥33− 푥44+⋯ con 푎=0 (1+푥)k=Σ. 푘 푛 /푥푛 ∞ 푛=0=1+푘푥+ 푘(푘−1) 2! 푥2+ 푘(푘−1)(푘−2) 3! 푥3−+⋯ con 푎=0
  • 18. E) Vectores y la geometria del espacio e-1) Espacio euclideo ℝ푛=*푥⃗=(푎1,푎2,푎3,⋯,푎푛)∶푎1,푎2,⋯푎푛∈ℝ+ Espacio euclideo de 3 dimensiones (ℝퟑ): ℝ∗ℝ∗ℝ=*(푥,푦,푧)∶푥,푦,푧∈ℝ+ donde sus sentidos estan determinados por la regla de mano derecha. Ecuacion de la distancia entre dos puntos en tres dimensiones: |푃1푃2|=√(푥2−푥1)2+(푦2−푦1)2+(푧2−푧1)2 Ecuacion de una esfera: Sea 푪=(풉,풌,풍), centro de una esfera y 풓 el radio, 푓(푥,푦,푧)=(푥−푕)2+(푦−푘)2+(푧−푙)2
  • 19. e-2) Vector Elemento del sistema coordenado que posee NORMA, DIRECCION y SENTIDO, donde la unica exepcion sera el vector cero (0⃗⃗) que es el unico vector sin direccion. 푟⃗=(푟1,푟2,⋯,푟푛)=( 푟1 푟2⋮ 푟푛 , Y sea A=(x1,푦1,푧1) 푦 B=(x2,푦2,푧2), el vector AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sera determinado de la siguiente manera: AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(푥2−푥1, 푦2−푦1, 푧2−푧1) Operaciones lineales en ℝퟑ: - Suma: 푎⃗±푏⃗⃗=(푎1±푏1,푎2±푏2,푎3±푏3) - Ponderacion: α푎⃗=(훼푎1,훼푎2,훼푎3) Propiedades: Sea a,b,c∈Vn∈ℝ푛 y d,e∈ℝ 1. 푎+푏=푏+푎 2. 푎+(푏+푐)=(푎+푏)+푐 3. 푎+0=푎 4. 푎+(−푎)=0 5. 푐(푎+푏)=푐푎+푐푏 6. (푐+푑)푎=푐푎+푑푎 7. 푑푒(푎)=푑(푒푎) 8. 1푎=푎 Longitud del vector (Norma): ‖푟⃗‖=√Σ푟푘 푛 푘=1 Base de ℝퟑ: î=<1,0,0> ĵ=<0,1,0> k̂ =<0,0,0> Combinacion lineal: 푥⃗ es combinacion lineal de 푢1⃗⃗⃗⃗⃗,⋯푢푛⃗⃗⃗⃗⃗, si: 푥⃗=훼1푢1⃗⃗⃗⃗⃗+훼2푢2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+훼푛푢푛⃗⃗⃗⃗⃗ Independencia lineal: 푢1⃗⃗⃗⃗⃗,⋯푢푛⃗⃗⃗⃗⃗ son linealmente independientes si: 훼1푢1⃗⃗⃗⃗⃗+훼2푢2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+훼푛푢푛⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⟹ 훼1≠훼2≠⋯≠훼푛
  • 20. e-3) Producto punto Sea 푎⃗=(푎1,푎2,⋯,푎푛) y 푏⃗⃗=(푏1,푏2,⋯,푏푛), entonces: 푎⃗∙ 푏⃗⃗=Σ푎푘푏푘 푛 푘=1 y que con z∈ℝn y λ∈ℝ: 1. 푎∙푎=‖푎‖2 2. 푎∙푏=푏∙푎 3. 푎∙(푏+푐)=푎∙푏+푎∙푐 4. (푑푎)∙푏=푑(푎∙푏)=푎∙(푑푏) 5. 0∙푎=0 Trivialidades: ‖푎‖=0⇔푎=0 ‖휆푎‖=|휆|‖푎‖ Teoremas: - Ley de coseno: 푎∙푏=‖푎‖‖푏‖푐표푠휃  Sea 푎∙푏 vectores no nulos: cos(휃)= 푎∙푏 ‖푎‖∙‖푏‖ - Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |푎∙푏|≤‖푎‖‖푏‖ - Desigualdad triangular: ‖푎+푏‖≤‖푎‖+‖푏‖ Distancia vectorial (Norma euclidinana): 푑(푎⃗,푏⃗⃗)=√(푎⃗−푏⃗⃗)∙(푎⃗−푏⃗⃗)=√Σ(푎푘−푏푘)2 푛 푘=1=‖푎⃗−푏⃗⃗‖ Propiedades: Sean 푎⃗=푏⃗⃗, los vectores coliniales, 1. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖≥0 2. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖=‖푏⃗⃗−푎⃗‖ 3. ‖푎⃗−푏⃗⃗‖=0, ssi 푎⃗=푏⃗⃗ 4. ‖푎+푏‖≤‖푎‖+‖푏‖
  • 21. Angulos directores: Sea 푎⃗=(푎1,푎2,푎3) un vector, podemos obtener sus cosenos directores utilizando la siguiente formula: Cosenos directores Angulos directores cos(훼)= 푎1‖푎‖ 훼=Arccos( 푎1‖푎‖ ) cos(훽)= 푎2‖푎‖ 훽=Arccos( 푎2‖푎‖ ) cos(훾)= 푎3‖푎‖ 훾=Arccos( 푎3‖푎‖ ) Proyeccion: - Proceso de Gramm-Schmidit: Sea V=*푣1,⋯,푣푛+ un conjunto LI, ∃ una base ortogonal P=*푝1,⋯,푝푛+ donde: p0=v1 p1=v2− 푣2∙푝1‖푝0‖2푝1 p2=v3− 푣3∙푝0‖푝0‖2푝0+ 푣3∙푝1‖푝1‖2푝1 y asi sucesivamente. - Definicion convencional en ℝ3: Componente 퐶표푚푝푎 푏 Se define como la magnitud de proyeccion vectorial, que es el mismo numero ‖푏‖푐표푠휃. 퐶표푚푝푎 푏= 푎∙푏 ‖푎‖ Proyeccion 푃푟표푗푎 푏 푃푟표푗푎 푏= 푎∙푏 ‖푎‖2푎
  • 22. e-4) Producto cruz Sea 푎⃗=(푎1,푎2,푎3) y 푏⃗⃗=(푏1,푏2,푏3), entonces: 푎⃗×푏⃗⃗=푑푒푡( 푖̂푗̂푘̂ 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3)=î| 푎2푎3 푏2푏3|−푗̂| 푎1푎3 푏1푏3|+푘̂ | 푎2푎3 푏2푏3| Producto cruz unitario: 푖̂×푗̂=푘̂ 푗̂×푘̂ =푖̂ 푘̂ ×푖̂=푗̂ 푗̂×푖̂=−푘̂ 푘̂ ×푗̂=−푖̂ 푖̂×푘̂ =−푗̂ Teoremas: - Ley de seno: ‖푎×푏‖=‖푎‖‖푏‖푠푖푛휃 Donde ‖푎×푏‖ es la magnitud del area del paralelogramo generado por el vector 푎 y 푏. - Ortogonalidad: (푎×푏)⊥(푎∧푏)  Normal unitario: Sea 푛⊥(푎∧푏) y ‖푐‖=1, entonces: 푛̂=± 푎×푏 ‖푎×푏‖ Entonces el vector 푛̂ sera un vector unitario perpendicular al plano generado por los vectores 푎 y 푏. - Paralelismo: 푎×푏=0 Propiedades: Sea a,b,c∈Vn∈ℝ푛 y d,e∈ℝ 1. 푎×푏=−푏×푎 2. (푑푎)×푏=푑(푎×푏)=푎×(푑푏) 3. 푎×(푏+푐)=푎×푏+푎×푐 4. (푎+푏)×푐=푎×푐+푏×푐 5. 푎∙(푏×푐)=(푎×푏)∙푐 6. 푎×(푏×푐)=(푎∙푐)푏−(푎∙푏)푐 Teorema: 푎⊥푎×푏 푏⊥푎×푏 푎×푏=−푏×푎
  • 23. Producto mixto: 푎∙(b×c)=(푎×푏)∙푐=det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+=−1∙det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+ - Propiedades: ,a,b,c-=−,a,b,c- Las filas de ,a,b,c- son permutables. - Volumen de paralelepipedo generado por los vectores a,b y c: |,푎,푏,푐-|=|푎∙(b×c)|=|(푎×푏)∙푐|=|푎|⋅푐표푠휃⋅|푏×푐| =det( 푎1푎2푎3 푏1푏2푏3 푐1푐2푐4+ Donde |푏×푐| es la area del paralelepipedo y |푎|⋅푐표푠휃, su altura. - Obs: Sean dos rectas τ1: 푝1+휆푑1∧τ2: 푝2+휆푑2 Paralelas Alabeadas Intersectan 푑1×푑2=0 ,푝1−푝2, 푑1, 푑2-≠0 ,푝1−푝2, 푑1, 푑2-=0 Nota: 1) 푎⃗ ∥ 푏⃗⃗, si: - Sus normas son paralelos. - Sus vectores directores son paralelos. 2) Un vector 푎 y H un plano, son PARALELOS, si: - 푎 no corta el plano H. - 푎=훼푏 con 훼∈ℝ. - 푎 ∥ 푏 ssi 푎=훼푏. 3) | 푎푏 푐푑 |=(푎⋅푑)−(푏⋅푐)
  • 24. e-5) Ecuaciones de recta y planos Recta: Sea Po=(푥0,푦0,푧0) y P=(푥,푦,푧) los puntos sobre la recta L, 풅⃗⃗ : Vector director. Siempre cumple: 풅⃗⃗ ∥L 풙풐⃗⃗⃗⃗⃗: Vector posicion de 푃표. 풙⃗⃗⃗: Vector posicion de 푃. 푎=푃표푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=푡푑 - Ecuacion vectorial: 푥⃗=푥표⃗⃗⃗⃗⃗+푡푑⃗ - Ecuacion parametrica: Sea (x,y,z)=(x0+푎푡, y0+푏푡, 푧0+푐푡) 푥=푥0+푎푡 푦=푦0+푏푡 푧=푧0+푐푡 - Ecuacion simetrica: 푡= 푥−푥0 푎 = 푦−푦0 푏 = 푧−푧0 푐 Plano: Sea n=(푎,푏,푐)∧푟=(푥,푦,푧)∧푟0=(푥0,푦0,푧0) - Ecuacion vectorial del plano: n∙(r−r0)=0⟺푛∙푟=푛∙푟0 - Ecuacion escalar del plano: (푎,푏,푐)∙(푥−푥0,푦−푦0,푧−푧0)=푎(푥−푥0)+푏(푦−푦0)+푐(푧−푧0)=0 - Ecuacion lineal del plano: 푎푥+푏푦+푐푧+푑=0 donde 푑=−(푎푥0+푏푦0+푐푧0) - Segmento de la recta 풓ퟎ 풂 풓ퟏ: 푟(푡)=(1−푡)푟0+푡푟1 푑표푛푑푒 0≤푡≤1
  • 25. Tips: 1) El angulo formado entre dos planos es igual al sus normales. 2) El vector director de la recta formada por interseccion entre dos planos se calcula: (푛1×푛2)∥퐿 3) La distancia entre una recta y un punto se calcula mediante la siguiente formula: 푑(푃,푆)= ‖푎×푏‖ ‖푎‖ 4) La distancia entre dos rectas se calcula mediante la siguiente formula: Sean 푙1:푃1+푡⋅푑1 ∧ 푙2:푃2+푡⋅푑2 y 푛=푑1×푑2: 푑(푙1,푙2)= |(푃2−푃1)⋅푛| ‖푛‖ 5) La distancia entre un punto y plano se calcula de la siguiente manera: Sea P0∈퐻∧P1∉H con P0=(푥0,푦0,푧0) ∧ 푃1=(푥1,푦1,푧1) ∧ 푛=(푎,푏,푐) ∧ 푑=−(푎푥0+푏푦0+푐푧0) Es decir, H=푎푥표+푏푦표+푐푧표+푑=0: 푑(푃1,퐻)=|퐶표푚푝푛 푏|= |푛∙푏| ‖푛‖ = |푎푥1+푏푦1+푐푧1+푑| √푎2+푏2+푐2
  • 26. F) Funciones vectoriales f-1) Funciones vectoriales y curvas en el espacio Funcion vectorial: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))=푖̂∙푓(푡)+푗̂∙푔(푡)+푘̂ ∙푕(푡) - Limite de funcion vectorial: lim푟(푡) 푡→푎 =(lim 푡→푎 푓(푡),lim 푡→푎 푔(푡),lim 푡→푎 푕(푡)* - Ecuacion parametrica de C: Sea 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡)), conjunto de todos los puntos la funcion se denomina como la CURVA C, donde t recibe el nombre de PARAMETRO, y siguiente ecuacion se denomina como ECUACION PARAMETRICA: 푥=푓(푡) 푦=푔(푡) 푧=푕(푡) Helice: 푟(푡)=(cos(푡),sin(푡),푡) f-2) Derivadas e integrales de funciones vectoriales Derivada: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))⇒ 푑 푑푡 푟(푡)=푟′(푡)=( 푑 푑푡 푓(푡), 푑 푑푡 푔(푡), 푑 푑푡 푕(푡)+=Vector tangente Propiedades: Sean 푢∧푣 funciones vectoriales, 푐∧푓(푥)∈ℝ, 1. 푑 푑푡 ,푢(푡)±푣(푡)-=푢′(푡)±푣′(푡) 2. 푑 푑푡 ,푐푢(푡)-=푐푢′(푡) 3. 푑 푑푡 ,푓(푡)푢(푡)-=푓′(푡)푢(푡)+푓(푡)푢′(푡) 4. 푑 푑푡 ,푢(푡)∙푣(푡)-=푢′(푡)∙푣(푡)+푢(푡)∙푣(푡) 5. 푑 푑푡 ,푢(푡)×푣(푡)-=푢′(푡)×푣(푡)+푢(푡)×푣(푡) 6. 푑 푑푡 ,푢푓(푡)-=푢′(푓(푡))푓′(푡) Integral: 푟(푡)=(푓(푡),푔(푡),푕(푡))⇒∫푟(푡)푑푡=(∫푓(푡)푑푡,∫푔(푡)푑푡,∫푕(푡)푑푡* Teorema: Sea C una curva parametrizada por 푟: ℝ⟶ℝ3 diferencible con ‖푟(푡)‖=푐푡푒, entonces: 푟(푡)⊥푟′(푡)
  • 27. f-3) Longitud de arco y curva a) Vector unitario tangente: Vector tangente a la curva C con el longitud igual 1. 푡̂(푡)= 푟′(푡) ‖푟′(푡)‖ b) Longitud de curva en ℝ푛: Sea C una curva con parametrizacion 푟(푡)=(푓1(푡),⋯,푓푛(푡)) 푠(푡)=∫‖푟′(푡)‖푑푡 푏 푎 =∫√Σ.푓푘 ′(푡)/ 2 푛 푘=1 푑푡 푏 푎 =∫√,푓1′(푡)-2+⋯+,푓푛 ′(푡)-2푑푡 푏 푎 =∫‖푟⃗′(푢)‖푑푢 푡 푡표  Se define la parametrizacion de posicion por longitud curva como: 푅⃗⃗′(푠)= 푟⃗′(푠) ‖푟⃗′(푠)‖ c) Curva suave: Sea γ una curva, diremos que es curva suave, si satisfacen las siguientes condiciones: - ddx 푟⃗(푡) continua. - ddx 푟⃗(푡)≠0 ∀푡 en un intervalo dado. d) Tangente: El vector tangente a la curva en un punto t se define como: 푡̂(푡)= 푟⃗′(푡) ‖푟⃗′(푡)‖ e) Normal: Dado que si ‖푟⃗(푡)‖=푐푡푒⇒푟⃗(푡)⊥푟′(푡), definiremos el vector normal unitario como 푛̂(푡)= 푡̂′(푡) ‖푡̂′(푡)‖ f) Binormal: 푏̂ (푡)= 푟⃗′(푡)×푟⃗′′(푡) ‖푟⃗′(푡)×푟⃗′′(푡)‖‖푟⃗′(푡)‖ = 푡̂′(푡)×푛̂(푡) ‖푡̂′(푡)×푛̂(푡)‖
  • 28. g) Curvatura: Sea T vector tangente unitario, s la longitud de curvatura, 휅(푠)=‖ 푑푡̂ 푑푠 ‖ 휅(푡)= ‖푡̂′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖ = ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖3 - Se calcula la curvatura de una funcion x siguiente manera: 휅(푥)= |푓′′(푥)| 01+(푓′(푥)) 213/2  Teorema 1: 휅(푠)≡0,ssi la curva es una recta.  Teorema 2: dds 푡̂= ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖ ‖푟′(푡)‖3푛̂ h) Torsion: 휏=−푁∙ 푑푏̂ 푑푠 = (푟′(푡)×푟′′(푡))∙푟′′′(푡) ‖푟′(푡)×푟′′(푡)‖2 i) Formulas de Frenet-Serret: 푑푇 푑푠 =휅푁 푑푁 푑푠 =−휅푇+휏퐵 푑퐵 푑푠 =−휏푁 j) Planos: - Plano normal a 풓(풕): Plano formado por 푛(푡) y 푏(푡). - Plano osculador a 풓(풕): Plano formado por 푛(푡) y 푡(푡).  Circulo osculador: Es un circulo que posee el mismo vector tangente unitario en el punto P de una curva 훾. Radio del circulo osculador: 휌= 1 휅
  • 29. Formulas importantes: 1) sin2(푥)= 1−cos(2푥) 2 2) cos2(푥)= 1+cos(2푥) 2 3) Sea 푡=tan. 푥 2/: sin(x)= 2t1+t2 ∧cos(x)= 1−t21+t2 ∧dx= 2dt1+t2 4) ∫√푎2−푥2푑푥= 12.푎2arcsin. 푥 푎 /+푥√푎2−푥2/+C 5) ∫sec푛(푥)푑푥= 1 푛−1(secn−2(푥)tan(푥))+ 푛−2 푛−1 퐼푛−2+C 6) ∫sec3(푥)푑푥= 12,sec(푥)tan(푥)+log (sec(푥)+tan(푥)-+C 7) ∫ 1 푥2+푎2푑푥= 1 푎 Arctan. xa/+퐶 8) ∫푎푥푑푥= 푎푥 log(푎) +퐶