Este documento describe las vibraciones libres amortiguadas de un sistema de un grado de libertad. Introduce conceptos como la constante de amortiguamiento, la relación de amortiguamiento y la constante crítica de amortiguamiento. Explica que la solución de la ecuación diferencial de movimiento depende del grado de amortiguamiento, pudiendo dar lugar a vibraciones subamortiguadas, críticamente amortiguadas o sobre amortiguadas.
El documento describe el uso de las ecuaciones de Lagrange para modelar sistemas mecánicos. Explica que la mecánica de Lagrange es una reformulación de la mecánica newtoniana que utiliza energías escalares en lugar de fuerzas vectoriales. Aplica las ecuaciones de Lagrange a varios ejemplos como el péndulo simple, un péndulo con resorte y un péndulo colgado de un vagón en movimiento para derivar las ecuaciones diferenciales de movimiento.
Este documento introduce los sistemas de N grados de libertad, donde la deformación de la estructura está representada por más de un grado de libertad. Explica que las ecuaciones de movimiento para estos sistemas involucran matrices de masa, rigidez y amortiguamiento. También describe cómo determinar las frecuencias naturales y formas modales de vibración resolviendo la ecuación característica. Finalmente, discute la propiedad de ortogonalidad de las formas modales.
Análisis de la respuesta transitoria. sistemas de segundo ordenjeickson sulbaran
Básicamente, el primer ejercicio se trata de la demostración para determinar los parámetros para un sistema de lazo cerrado de segundo orden. Mientras que, los otros dos ejercicios se basa en la resolución por el caso de sistema subamortiguado, es decir, un sistema que oscila en el transcurso del tiempo.
Este documento describe los aspectos generales del movimiento periódico y oscilatorio, incluidos ejemplos comunes en la naturaleza como el movimiento de un péndulo o una masa sujeta a un resorte. Luego, se enfoca en describir el movimiento armónico simple (MAS), cuya característica fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. Finalmente, analiza la cinemática de un MAS, relacionando la posición, velocidad y aceleración a través de funciones coseno y seno
El documento presenta información sobre movimiento forzado. Explica que es un movimiento periódico de un cuerpo que oscila a ambos lados de su posición de equilibrio debido a una fuerza externa. También describe la ecuación diferencial que modela este movimiento y cómo resolverla para diferentes casos, incluyendo fuerzas periódicas y la resonancia que ocurre cuando la frecuencia forzada coincide con la frecuencia natural del sistema.
Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENOJuanJacoboGonzlezHer
El documento describe el movimiento de un péndulo simple utilizando la segunda ley de Newton. Se obtiene una ecuación diferencial que modela el movimiento del péndulo y se resuelve aproximadamente para ángulos pequeños. La solución es que el ángulo θ varía periódicamente con el tiempo como una función senoidal θ(t) = R sen(ωt + φ).
Este documento analiza la respuesta transitoria de un sistema oscilatorio. En la primera sección, se describen métodos para calcular el tiempo de levantamiento, tiempo pico, sobrepaso máximo y tiempo de asentamiento para una oscilación amortiguada a partir de su función de transferencia. En la segunda sección, se analiza un sistema específico para determinar el factor de amortiguamiento y otros parámetros de la respuesta transitoria cuando se aplica una entrada escalón unitario.
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El documento describe el movimiento armónico simple, definiendo la amplitud, periodo, frecuencia y fase. Explica que la velocidad y aceleración pueden expresarse en función del desplazamiento y tiempo. También cubre la fuerza elástica, energía cinética y potencial en este tipo de movimiento.
El documento presenta información sobre vibraciones mecánicas. Describe la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad con un resorte y amortiguador viscoso. Se resuelve la ecuación para determinar la frecuencia natural no amortiguada y la constante de amortiguamiento del sistema a partir de datos experimentales.
Este documento describe el sistema lineal de un grado de libertad (SDOF) y su ecuación de movimiento. Explica que la solución para la respuesta libre no amortiguada es una función armónica simple con un período natural Tn y una frecuencia natural ωn que dependen únicamente de la masa m y la rigidez k del sistema. También indica que dos sistemas pueden tener propiedades de masa y rigidez diferentes pero tener la misma respuesta siempre que su relación m/k sea la misma.
Este documento trata sobre vibraciones mecánicas. Explica las generalidades de las vibraciones, incluyendo definiciones de términos como periodo, frecuencia y amplitud. Luego, desarrolla matemáticamente la ecuación del movimiento armónico simple para oscilaciones libres no amortiguadas y amortiguadas. Finalmente, enfatiza la importancia de modelar sistemas vibratorios para analizarlos matemáticamente.
1) La relatividad especial establece que las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales y que la velocidad de la luz es una constante universal independiente del movimiento de la fuente de luz.
2) La masa relativista de un objeto en movimiento es mayor que su masa de reposo.
3) La famosa ecuación E=mc2 describe cómo la energía de un objeto está relacionada con su masa y la velocidad de la luz, estableciendo que la energía de un objeto en repos
Aplicaciones de la_transformada_de_laplace_grupo_4José Puerta
Este documento presenta varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales mediante el método de la transformada de Laplace. Incluye ejemplos como la resolución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas que describen el movimiento de dos masas unidas por resortes, y la resolución de una ecuación integro-diferencial y una red eléctrica modelada como sistema de ecuaciones diferenciales.
El documento describe la ecuación de movimiento de una masa sujeta a un resorte que se libera desde una posición inicial. Se proporcionan los valores de la masa, la fuerza del resorte y las posiciones iniciales. Luego se resuelve la ecuación diferencial del movimiento para obtener la ecuación x = -1/4cos(4√6t), la cual describe la posición de la masa en función del tiempo.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Define un espacio vectorial como un conjunto no vacío con dos operaciones definidas (adición y multiplicación por escalares) que cumplen ciertos axiomas. Presenta ejemplos de espacios vectoriales como Rn, las matrices y los polinomios. Explica las nociones de combinación lineal, dependencia e independencia lineal de vectores, y define un conjunto generador y una base de un espacio vectorial.
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El documento presenta el análisis de un sistema de potencia trifásico de tres nodos mediante el método de Newton-Raphson. Se calcula la matriz de admitancias del sistema y se aplica el método iterativo para hallar las correcciones de ángulo de voltaje y voltaje en cada nodo que satisfagan las ecuaciones de balance de potencia y reactiva en cada iteración hasta alcanzar la convergencia deseada.
Este documento presenta dos problemas de ecuaciones diferenciales. El primero determina si una función es solución de una ecuación diferencial dada derivando la función dos veces y sustituyendo en la ecuación. El segundo problema resuelve dos ecuaciones diferenciales de primer orden, la primera usando un factor integrante y la segunda determinando que es exacta y encontrando su función integrante.
Este documento presenta el análisis matemático del flujo a través de una tubería circular. Primero se describen las ecuaciones y coordenadas involucradas. Luego, se realiza el balance de cantidad de movimiento considerando fuerzas como la viscosidad. Finalmente, se obtienen ecuaciones para la velocidad del fluido en función del radio, presión, viscosidad y otros parámetros.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el movimiento de sistemas estructurales sometidos a cargas dinámicas. Introduce conceptos como grados de libertad, ecuaciones de movimiento para sistemas de un grado de libertad, y métodos de solución como la solución clásica, integral de Duhamel y métodos de integración directa como diferencias finitas. Estos métodos permiten analizar la respuesta dinámica de estructuras de manera numérica.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el movimiento de sistemas estructurales sometidos a cargas dinámicas. Introduce conceptos como grados de libertad, ecuaciones de movimiento para sistemas de un grado de libertad, y métodos analíticos y numéricos para resolver dichas ecuaciones, incluyendo la solución clásica, la integral de Duhamel y métodos de integración directa como diferencias finitas. El documento es útil para comprender el análisis dinámico de e
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
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Este documento introduce los conceptos básicos de álgebra lineal como espacios vectoriales, transformaciones lineales, bases y dependencia lineal. Define un espacio vectorial como un conjunto con operaciones de adición y multiplicación por escalares que cumplen ciertos axiomas. Explica cómo identificar si un conjunto es una base de un espacio vectorial y cómo expresar vectores como combinaciones lineales únicas de vectores de una base.
El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
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Catalogo Coleccion Atelier Bathco Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Explora el catálogo general de la colección Atelier de Bathco, disponible en Amado Salvador, ofrece una exquisita selección de lavabos y sanitarios de alta gama con un enfoque artesanal y exclusivo. Como distribuidor oficial Bathco, Amado Salvador presenta productos Bathco que encarnan la excelencia en calidad y diseño. Este catálogo destaca la colección Atelier, la más exclusiva de Bathco, que combina la artesanía tradicional con la innovación contemporánea.
La colección Atelier de Bathco se distingue por su atención meticulosa a los detalles y la utilización de materiales de primera calidad. Los lavabos y sanitarios de esta colección son verdaderas obras de arte, diseñados para elevar el lujo y la sofisticación en cualquier baño. Cada pieza de la colección Atelier refleja el compromiso de Bathco con la excelencia y la elegancia.
Amado Salvador, distribuidor oficial Bathco en Valencia. Explora este catálogo y sumérgete en el mundo de la colección Atelier de Bathco, donde la artesanía y la elegancia se unen para crear espacios de baño verdaderamente excepcionales.
Catalogo General Grespania Ceramica Amado Salvador Distribuidor Oficial ValenciaAMADO SALVADOR
Descarga el catálogo general de productos cerámicos Grespania, presentado por Amado Salvador, distribuidor oficial de cerámica Grespania. Explora la amplia selección de productos Grespania de alta calidad diseñados para brindar belleza y durabilidad a tus proyectos de construcción y diseño.
Grespania es reconocida por la excelencia en productos cerámicos. Como distribuidor oficial de cerámica Grespania, Amado Salvador te ofrece acceso a una variedad de productos que cumplen con los más altos estándares de calidad.
En este catálogo encontrarás una amplia gama de opciones en azulejos, pavimentos y revestimientos cerámicos, todos ellos fabricados con la alta calidad que caracteriza a Grespania. Desde diseños modernos hasta clásicos atemporales, los productos satisfacen las necesidades de cualquier proyecto.
Confía en Amado Salvador como tu distribuidor oficial de cerámica Grespania para encontrar los productos perfectos que se adapten a tus proyectos. Descarga el catálogo ahora y descubre los productos de Grespania. Amado Salvador distribuidor oficial Grespania en Valencia.
Del caos surge mi perfección.
Soy valen! Siempre en una búsqueda constante en el equilibrio de ambas, donde encuentro mi verdadera yo, apreciando la belleza de la imperfección mientras acepto los desafíos y errores, y desafiando mi caos para alcanzar mi perfección.
Soy una mente inquieta, siempre buscando nuevas
inspiraciones en cada rincón.Encuentro en las calles y en los detalles cotidianos los colores vibrantes y las formas audaces que alimentan mi creatividad y a través de ellos tejo collages en mi imaginación, donde mi energía juega un papel fundamental en cada textura, cada forma, cada color mostrando mi esencia capturada.
Soy una persona que ama desafiar las convenciones establecidas, por eso tomo la moda y el arte como
referentes hacia mi inspiración, permitiéndome expresarme con libertad mi identidad de una manera única.
Soy la búsqueda de la estética, que es mi guía en cada viaje creativo, así creando una imagen única que genere armonía y impacto visual.Sin embargo, no podría lograr esta
singularidad sin el uso de la ironía como aliada en mi búsqueda de la originalidad.
Soy una diseñadora con un proceso creativo
llamado: rompecabezas donde al principio se encuentran miles de piezas desordenadas sobre la mesa para que luego cada pieza encaje perfectamente para crear una imagen
Catalogo General Durstone Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Descubre el catálogo general de Durstone, presentado por Amado Salvador, el distribuidor oficial de cerámica Durstone. Este catálogo incluye una amplia variedad de productos de alta calidad de Durstone, conocidos por su resistencia, durabilidad y diseño innovador. Como distribuidor oficial de cerámica Durstone, Amado Salvador ofrece una selección completa de cerámica Durstone que abarca desde baldosas para interiores y exteriores hasta soluciones personalizadas para proyectos arquitectónicos.
Durstone se destaca por su compromiso con la excelencia y la innovación en el diseño de cerámica. Cada pieza es creada para satisfacer los estándares más altos de calidad, asegurando que cada proyecto se beneficie de productos que no solo son estéticos, sino también extremadamente duraderos.
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Catalogo General Azteca Ceramica Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
El catálogo general de Azteca Cerámica de Amado Salvador presenta una amplia gama de productos de alta calidad y diseño exclusivo. Como distribuidor oficial Azteca, Amado Salvador ofrece soluciones de cerámica Azteca que destacan por su innovación y durabilidad. Este catálogo contiene una selección detallada de productos Azteca que cumplen con los más altos estándares del mercado, consolidando a Amado Salvador como el distribuidor oficial Azteca en Valencia.
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MATERIAL DIDACTICO Vibraciones LIBRE-AMORTIGUADO.pptx
1. VIBRACIONES LIBRE
AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE
LIBERTAD
Área Académica: INGENIERÍA MECÁNICA
Profesor(a): DR. MIGUEL ÁNGEL FLORES RENTERÍA
Periodo: JULIO – DICIEMBRE 2016
2. En esta lección se abordará el tema de vibraciones libre
amortiguadas en sistemas de un grado de libertad,
correspondiente al curso de Vibraciones Mecánicas del sexto
semestre de la carrera de Ingeniería Mecánica.
INTRODUCCIÓN
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
3. Un sistema que vibra está constituido por elementos que tienen
propiedades másicas o de inercia (almacenan energía cinética),
elásticas (almacenan energía potencial) y de disipación de energía.
Una vibraciones mecánicas es el movimiento de una partícula o
cuerpo el cual oscila alrededor de su posición de equilibrio.
La mayoría de la vibraciones son indeseables debido a que aumentan
los esfuerzos y generan una pérdida de energía. Se clasifican como
libres y forzadas.
INTRODUCCIÓN
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
4. • Vibración libre amortiguada, se presenta cuando un sistema oscila bajo la
acción de fuerzas inherentes y con una pérdida de energía.
La disminución de energía se conoce como amortiguamiento, en este caso se
analizará el amortiguamiento viscoso. Cuando un sistema vibra en un fluido
como lo es el aire, algún gas o aceite, la resistencia ofrecida por el fluido hace
que se disipe energía en forma de calor.
En el amortiguamiento viscoso la fuerza de amortiguamiento es proporcional
a la velocidad del cuerpo vibratorio.
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
5. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Considere el sistema mostrado en la figura 1 y las siguientes
suposiciones
• La masa del sistema denotada por m es constante y totalmente
rígida.
• El resorte es lineal y de masa despreciable, se representa mediante
una constante denominada k, La relación entre la fuerza y la
deformación del resorte está dada por F = kd, en donde k es la
constante de rigidez y d el desplazamiento.
• Existe un amortiguamiento lineal representado por la constante de
amortiguamiento c, la fuerza de amortiguamiento es proporcional a
la velocidad de la masa Fa = cv.
• El movimiento de la masa es de translación rectilínea.
6. ma + cv + kx = 0 escribiendo en función del
desplazamiento
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + kx = 0 (1)
M
𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 = 𝑚a
El diagrama de cuerpo libre bajo las condiciones anteriores se muestra en la figura 2.
Aplicando la segunda ley de Newton y sumando las fuerzas actuantes en eje X, se obtiene.
Figura 1
DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Figura 2 D.C.L.
kx
cv
ma
Ordenando la expresión
La ecuación 1 describe el movimiento vibratorio libre
amortiguado.
7. Se propone como solución de la ecuación (1) a la función 𝐱 𝒕 = 𝑪𝒆𝝀𝒕
(2) la cual es una
transformación lineal de un espacio de funciones continuamente diferenciables sobre sí
mismo con primer y segunda derivadas iguales a:
𝒅𝒙(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅𝑪𝒆𝝀𝒕
𝒅𝒕
= 𝑪𝝀𝒆𝝀𝒕
;
𝒅𝟐𝒙(𝒕)
𝒅𝒕𝟐 =
𝒅𝑪𝝀𝒆𝝀𝒕
𝒅𝒕
=
𝑪𝝀𝟐
𝒆𝝀𝒕
(3)
Al sustituir las ecuaciones 2 y 3 en 1, se obtiene la condición necesaria y suficiente para
que x(t)=Ceλt sea solución de la ecuación diferencial (1);
𝑀𝐶𝜆2
𝑒𝜆𝑡
+ 𝑐𝐶𝜆𝑒𝜆𝑡
+ 𝑘𝐶𝑒𝜆𝑡
≡ 0 ∀𝑡 ≥ 0 factorizando la ecuación se tiene:
𝑪𝒆𝝀𝒕
𝑴𝝀𝟐
+ 𝑐𝜆 + 𝒌 ≡ 𝟎 ∀𝒕 ≥ 𝟎
Este proceso transforma la ecuación diferencial en una algebraica
Para determinar el valor de λ se tiene tres posibles casos.
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
8. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Caso 1
C = 0, lo cual da el siguiente resultado
x 𝑡 = 𝐶𝑒𝜆𝑡= 0𝑒𝜆𝑡= 0
Esta solución conduce a un sistema en equilibrio, el cual no es de interés en esta lección
Caso 2
𝑒𝜆𝑡 = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0 Si se considera que t = 0 se obtiene 𝑦 0 = 𝑒𝜆0 = 1
lo cual no es posible, equivale a afirmar que 1 = 0
Caso 3
𝑴𝝀𝟐
+ 𝑐𝜆 + 𝒌 = 0 Esta condición proporciona la ecuación característica del sistema
(4)
9. El valor de λ está definido por;
𝜆1,2 =
−𝑐± 𝑐2−4𝑚𝑘
2𝑚
= -
𝑐
2𝑚
±
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
(5)
La solución general de la ecuación diferencial (1) está constituida por las dos soluciones
particulares 𝑥1 𝑡 y 𝑥2 𝑡 ,
𝑥1 𝑡 = 𝐶1𝑒
− 𝑐
2𝑚
+
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑥2 𝑡 = 𝐶2𝑒
− 𝑐
2𝑚
−
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
𝑡
(6)
𝑥𝐺 𝑡 = 𝐶1𝑥1 𝑡 + 𝐶2𝑥2 𝑡 .
𝑥𝐺 𝑡 = 𝐶1𝑒
− 𝑐
2𝑚
±
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
𝑡
+ 𝐶2𝑒
− 𝑐
2𝑚
±
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
𝑡
(7)
En donde C1 y C2 son constantes arbitrarias que se determinas a partir de las condiciones
iniciales.
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
10. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
De la ecuación 4 se pueden obtener tres casos, para su entendimiento se introducirá el
concepto de relación de amortiguamiento y constante critica de amortiguamiento.
La constante crítica de amortiguamiento se define como el valor de la constante de
amortiguamiento c para el cual
𝒄
𝟐𝒎
𝟐
−
𝒌
𝒎
= 0
𝒄𝒄 = 𝟐𝒎
𝒌
𝒎
= 𝟐𝒎𝒘𝒏 = 𝟐 𝒌𝒎
La relación de amortiguamiento 𝜻 =
𝒄
𝒄𝒄
es la relación entre la constante de
amortiguamiento y la constante critica de amortiguamiento.
𝜻 =
𝒄
𝒄𝒄
𝒄𝒄 =
𝒄
𝜻
= 𝟐𝒎𝒘;
𝒄
𝟐𝒎
= 𝜻𝒘𝒏
Con lo anterior la ecuación 7 se puede re escribir como:
𝑥𝐺 𝑡 = 𝐶1𝑒(− ζ+ ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 + 𝐶2𝑒(− ζ− ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 (8)
Con esto las raíces de la ecuación característica λ1,2 y el comportamiento de la solución de
ecuación (8) dependen de la magnitud de amortiguamiento.
11. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Caso 1 Sistema SUB AMORTIGUADO ζ<1 o 𝟐𝒎 <
𝒌
𝒎
Para esta condición (ζ2
− 1) toma un valor negativo y las raíces λ1,2 se pueden
expresar como λ1= (− ζ + 𝑖 1 − ζ2) 𝑤𝑛𝑡 y λ2= (− ζ − 𝑖 1 − ζ2) 𝑤𝑛𝑡
La solución de la ecuación 8 toma la forma de
𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒(− ζ+ ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 + 𝐶2𝑒(− ζ− ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 factorizando 𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡
=𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡
(𝐶1𝑒𝑖 1−ζ2 𝑤𝑛𝑡
+ 𝐶2𝑒−𝑖 1−ζ2 𝑤𝑛𝑡
) Por identidad trigonométrica
=𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡 𝐶1 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 + 𝐶1 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡
𝒙 𝒕 = 𝒆−𝜻𝒘𝒏𝒕
𝑪𝟏
∗
𝒄𝒐𝒔 𝟏 − 𝜻𝟐 𝒘𝒏𝒕 + 𝑪𝟐
∗
𝒔𝒆𝒏 𝟏 − 𝜻𝟐 𝒘𝒏𝒕 (9) Donde 𝐶1 + 𝐶2 =𝐶1𝑦2
∗
𝑥 𝑡 = 𝑋0𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡
𝑠𝑒𝑛( 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 + 𝜃0) (10)
𝑥 𝑡 = 𝑋𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡 cos( 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 + 𝜃0)
𝒆+𝒊𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝒊𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y𝒆−𝒊𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝒊𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
Aplicando identidades trigonométricas de suma de senos y cosenos
12. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Las variables 𝐶1
∗
, 𝐶2
∗
, 𝑋, 𝑋0, 𝜃, 𝜃0 son constantes arbitrarias que se determinan con las
condiciones iniciales, para lo cual se considera que 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑥 0 = 𝑥0 para t=0,
aplicando a la ecuación 9
𝑥0=𝑒−𝜁𝑤𝑛(0)
𝑪𝟏
∗
𝑐𝑜𝑠 1 − ζ2 𝑤𝑛(0) + 𝐶2
∗
𝑠𝑒𝑛 1 − ζ2 𝑤𝑛(0)
𝒙𝟎=𝑪𝟏
∗
0
1
1
𝑥0= 𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡 −𝐶1
∗
1 − ζ2 𝑤𝑛𝑠𝑒𝑛 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 + 𝑪𝟐
∗
𝟏 − 𝜻𝟐 𝒘𝒏𝑐𝑜𝑠 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 −
𝜻 𝒘𝒏𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡
𝑪𝟏
∗
𝑐𝑜𝑠 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 + 𝐶2
∗
𝑠𝑒𝑛 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡
1
Aplicando la condiciones inicial de velocidad se tiene que;
𝑪𝟐
∗
=
𝒙𝟎 + 𝜻𝒘𝒏𝒙𝟎
𝟏 − 𝜻𝟐) 𝒘𝒏
La ecuación 9 describe el movimiento libre amortiguado con una frecuencia angular igual a
𝑤𝑑 = 1 − ζ2 𝑤𝑛
0
1
1
𝑥0 = 𝑪𝟐
∗
𝟏 − 𝜻𝟐 𝒘𝒏 - 𝜻 𝒘𝒏 𝑪𝟏
∗
𝑥0 + 𝑥0𝜁 𝑤𝑛 = 𝐶2
∗
1 − ζ2 𝑤𝑛
0 1
13. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
𝑥 𝑡 = 𝑥0𝑐𝑜𝑠 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 +
𝑥0 + 𝜁𝑤𝑛𝑥0
1 − 𝜁2 𝑤𝑛
𝑠𝑒𝑛 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡
La solución al sistema sub amortiguado es
𝑋0 = 𝐶1
2
+ 𝐶2
2
=
𝑥0
2
𝑤𝑛
2
+ 𝑥0
2
+ 2𝑥0𝑥0𝜁𝑤𝑛
1 − 𝜁2 𝑤𝑛
𝜙0 = tan−1
𝐶1
𝐶2
= tan−1
𝑥0𝑤𝑛 1 − 𝜁2
𝑥0 + 𝜁𝑤𝑛𝑥0
La amplitud de la vibración se determina mediante la expresión
El ángulo de fase será igual a;
La figura 3 muestra el
comportamiento de un
sistema sub amortiguado.
Figura 3
14. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Caso 2 Críticamente Amortiguado
El sistema es críticamente amortiguado cuando 𝜁 = 1 𝑜 𝑐
2𝑚 = 𝑘 𝑚 , en el caso
críticamente amortiguado las raíces de la ecuación característica son iguales, esto es;
𝑠1 = 𝑠2 =
𝑐𝑐
2𝑚
= −𝑤𝑛 y la solución del sistema es 𝑥 𝑡 = (𝐶1 + 𝐶2𝑡)𝑒−𝑤𝑛𝑡.
Aplicando las condicione iniciales de 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑥 0 = 𝑥0 en forma similar al caso
anterior, se obtiene:
𝐶1 = 𝑥0 𝑦 𝐶1 = 𝑥0 + 𝑤𝑛𝑥0
La solución a este sistema será entonces.
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑥0 + 𝑤𝑛𝑥0 𝑡 𝑒−𝑤𝑛𝑡
15. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Caso 3 Sobre Amortiguado
El sistema es críticamente amortiguado cuando 𝜁 > 1 𝑜 𝑐
2𝑚 > 𝑘 𝑚 , las raíces
de la ecuación característica son reales y diferentes, definidas por;
𝑠1 = −𝜁 + ζ2 − 1 𝑤𝑛 < 0, 𝑠2= −𝜁 − ζ2 − 1 𝑤𝑛 < 0
La raíz 𝑠2 es muy pequeña con respecto a 𝑠1, la solución general del sistema es;
𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒
−𝜁+ ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
+ 𝐶2𝑒
−𝜁− ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
al aplicar las condiciones iniciales se obtiene los valores de 𝐶1𝑦𝐶2.
𝐶1 =
𝑥0𝑤0 𝜁 + ζ2 − 1 + 𝑥0
2𝑤𝑛 ζ2 − 1
𝐶2 =
−𝑥0𝑤0 𝜁 − ζ2 − 1 − 𝑥0
2𝑤𝑛 ζ2 − 1
16. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN
Movimiento sub amortiguado 𝜁2−1 < 0 0 < 𝜁 < 1
Tiene raíces negativas
λ1= (− ζ + 𝑖 1 − ζ2) 𝑤𝑛𝑡 y λ2= (− ζ − 𝑖 1 − ζ2) 𝑤𝑛𝑡
La solución de la ecuación diferencial es:
𝑥 𝑡 = 𝑥0𝑐𝑜𝑠 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡 +
𝑥0 + 𝜁𝑤𝑛𝑥0
1 − 𝜁2 𝑤𝑛
𝑠𝑒𝑛 1 − ζ2 𝑤𝑛𝑡
La amplitud del movimiento se define por 𝑋0 = 𝐶1
2
+ 𝐶2
2
=
𝑥0
2𝑤𝑛
2+𝑥0
2+2𝑥0𝑥0𝜁𝑤𝑛
1 − 𝜁2 𝑤𝑛
-
El ángulo de fase es igual a 𝜙0 = tan−1 𝐶1
𝐶2
= tan−1 𝑥0𝑤𝑛 1 − 𝜁2
𝑥0+𝜁𝑤𝑛𝑥0
17. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜 𝜁2
− 1 = 0 𝜁 = 1
Tiene raíces iguales
𝑠1 = 𝑠2 =
𝑐𝑐
2𝑚
= −𝑤𝑛
La solución de la ecuación diferencial es:
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑥0 + 𝑤𝑛𝑥0 𝑡 𝑒−𝑤𝑛𝑡
La amplitud del movimiento se define por 𝑋0 = 𝑥0
2 + (𝑥0 + 𝑤𝑛𝑥0)2
El ángulo de fase es igual a 𝜙0 = tan−1 𝐶1
𝐶2
= tan−1 𝑥0
𝑥0+𝑤𝑛𝑥0
18. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜 𝜁2
− 1 > 0 𝜁 > 1
Sus raíces son reales y diferentes
𝑠1 = −𝜁 + ζ2 − 1 𝑤𝑛 < 0, 𝑠2= −𝜁 − ζ2 − 1 𝑤𝑛 < 0
La solución general del sistema es;
𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒
−𝜁+ ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
+ 𝐶2𝑒
−𝜁− ζ2−1 𝑤𝑛𝑡
𝐶1 =
𝑥0𝑤0 𝜁 + ζ2 − 1 + 𝑥0
2𝑤𝑛 ζ2 − 1
𝐶2 =
−𝑥0𝑤0 𝜁 − ζ2 − 1 − 𝑥0
2𝑤𝑛 ζ2 − 1
El ángulo de fase es igual a 𝜙0 = tan−1 𝐶1
𝐶2
La amplitud del movimiento se define por 𝑋0 = 𝐶1
2
+ 𝐶2
2
19. FIN
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD