El documento presenta los temas a tratar sobre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo resolver ecuaciones lineales con una variable utilizando inversos aditivos y multiplicativos. También describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. Además, introduce el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.

1. Brian Bastidas
Ecuaciones – Sistema de Ecuaciones
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Docente: Brian Bastidas
Clase de Ecuaciones
Temas a trabajar:
• Ecuaciones Lineales con una Variable
• Sistema de Ecuaciones lineales
• Método de Sustitución
• Método de Igualación
• Método de Eliminación
• Método Gráfico
• Ecuaciones Cuadráticas
• Formula Cuadrática
Ecuaciones Lineales con una Variable
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, una ecuación que se puede expresar de la
forma + = 0, con ≠ 0 se llama ecuación lineal o ecuación de primer grado (Exponente de x=1).
Solución:
+ − = 0 −
= −
= −
= −
Para resolver una ecuación lineal con una variable se debe despejar la variable y para realizarlo podemos utilizar
las siguientes estrategias
Teniendo en cuenta que siempre se debe mantener la igualdad, podremos realizar cualquier operación
matemática (añadir una suma o una resta, multiplicar o dividir por un número, elevar o sacar raíz) siempre y
cuando se haga en ambos lados de la ecuación.
• Cuando la variable a despejar va acompañada de un término que lo está sumando o restando debemos
sumar por el inverso aditivo del número en ambos lados de la ecuación ejemplo:
−
5
3
= 0
Inverso aditivo de − es la suma quedaría:
−
5
3
+
5
3
=
5
3
Utilizamos el inverso aditivo porque sabemos que la suma nos va a dar 0 y va a quedar solo la x
=
5
3
Como conclusión, cuando tenemos términos que están sumando a nuestra variable que necesitamos
despejar va a ser lo mismo que los inversos aditivos de esos términos al otro lado de la ecuación ejemplo:

2. Brian Bastidas
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+ 8 − 3 +
3
4
= 0
Pasando los inversos al otro lado de la ecuación:
= −8 + 3 −
3
4
Resolviendo la suma de los términos semejantes:
= −
23
4
Conclusión final: si el termino está sumando a nuestra variable pasa a restar y si está restando pasa a
sumar al otro lado de la ecuación
• Cuando la variable a despejar va acompañada de un factor que lo está multiplicando o dividiendo vamos
a multiplicar por el inverso multiplicativo en ambos lados de la ecuación ejemplo:
3 = 21
Podemos ver que nuestra variable va acompañada del factor 3 que la está multiplicando, para cancelar
el 3 debo multiplicar por su inverso
3 ∙
1
3
= 21 ∙
1
3
Podemos simplificar los 3 al lado izquierdo de la ecuación y al lado derecho podemos resolver la
operación
= 7
En conclusión, si tenemos factores que están multiplicando o dividiendo a nuestra variable, pasaremos
sus inversos multiplicativos al otro lado de la ecuación también a multiplicar ejemplo:
7
4
= 35
El inverso multiplicativo de es pasaría a multiplicar al otro lado de la ecuación
= 35 ∙
4
7
Resolviendo la operación
= 20
Conclusión final: si el factor está multiplicando a nuestra variable pasa a dividir y si está dividiendo pasa
a multiplicar al otro lado de la ecuación
Así como pasa con las operaciones básicas también nos va a servir para las operaciones complementarias si deseo
quitar un término de un lado de la ecuación o una operación debo realizar la operación contraria al otro lado de
la ecuación ejemplo:
• Si está sumando pasa a restar – Si está restando pasa a sumar
• Si está multiplicando pasa a dividir – Si está dividiendo pasa a multiplicar
• Si está elevado se debe sacar raíz con el índice igual a la potencia – Si está con raíz se debe elevar a la
misma potencia del índice del radical

3. Brian Bastidas
Ecuaciones – Sistema de Ecuaciones
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Ejemplos:
• 5 − 40 = 0
Utilizando la fórmula de la ecuación lineal = 5 y = −40 su solución es:
= −
−40
5
= 8
De otra forma: el 40 está restando pasa a sumar
5 = 0 + 40
El 5 está multiplicando pasa a dividir
=
40
5
= 8
• 4 + 6 − 2 + 4 = 8 − 6 + 3
Para los casos donde haya varios términos con variable, lo recomendado es pasar variables a un lado y
números al otro lado de la ecuación, se pueden sumar semejantes antes de hacer este proceso, para
nuestro ejemplo se solucionaron los semejantes de cada lado de la ecuación:
8 + 4 = 2 + 3
Luego se pasaron los términos con variable al lado izquierdo de la ecuación y los números solos al lado
derecho:
8 − 2 = 3 − 4
Sumando semejantes:
6 = −1
Por último, despejando la variable:
= −
1
6
• + 9 − 2 = +
Este caso es parecido al anterior la única diferencia es que los coeficientes de las variables, algunos son
fracciones, en este caso pasamos variables a un lado y números al otro:
3
5
−
2
15
− 2 =
3
2
− 9
Solucionamos la suma de fracciones
9 − 2
15
− 2 =
3 − 18
2
7
15
− 2 =
−15
2
Se soluciona la suma de fracción con el entero
7 − 30
15
=
−15
2
−
23
15
= −
15
2
Por último, se despeja la variable y se solucionan las operaciones:
= −
15
2
∙ −
15
23

4. Brian Bastidas
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=
225
46
• =
Para este caso no se puede pasar los términos del numerador, las variables ni los números solos, porque
tienen un número que divide a todo el lado de la ecuación, para solucionarlo debemos quitar primero los
denominadores utilizando la operación contraria pasaría al otro lado de la ecuación a multiplicar:
3 3 + 2 = 4 5 − 3
Realizamos la ley distributiva para quitar los paréntesis:
9 + 6 = 20 − 12
Ahora si podemos pasar, términos con variables a un lado y números al otro lado:
9 − 20 = −12 − 6
Solucionamos términos semejantes:
−11 = −18
Por último, despejamos la variable y solucionamos operaciones
=
−18
−11
=
18
11
• √2 −
√
= √8
Primero se pasan términos con variable a uno solo lado y números solos al otro:
√2 − √8 =
1
√2
Suma de semejantes o factor común
√2 − √8 =
1
√2
En propiedades de las raíces podemos decir que √8 = √4√2
√2 − √4√2 =
1
√2
Solucionamos la raíz que se puede resolver
√2 − 2√2 =
1
√2
Podemos sacar √2 también como factor común
√2 1 − 2 =
1
√2
Resolvemos a resta y multiplicamos
−√2 =
1
√2
Se despeja la variable multiplicando por el inverso multiplicativo al otro lado de la ecuación
=
1
√2
∙
1
−√2
Resolvemos la operación
= −
1
2

5. Brian Bastidas
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Una ecuación lineal puede tener una única solución, solución infinita o puede no tener solución ejemplos:
• Única solución
3 + 4 = 13
3 = 13 − 4
=
9
3
= 3
El 3 es el único número real que satisface la ecuación.
• Solución Infinita
3 + 4 − 2 = 7 + 4 − 6
7 − 7 = 2 − 2
0 = 0
En este caso se cancelan las pero se mantiene la igualdad 0=0 significa que cualquier valor de
satisface la ecuación.
• Sin Solución
8 − 5 + 4 = 9 − 6 + 12
8 − 5 − 9 + 6 = 12 − 4
0 = 8
En este caso se cancelan las pero no se mantiene la igualdad 0 ≠ 8 significa que no hay valor de que
satisfaga la ecuación.
Ejercicios:
• −4 + 2 − 12 = 7 − 10 + 9 − 12
• + 9 − 2 = + 7
• =
!
Problemas:
Para solucionar los problemas primero se debe tener en cuenta cuál va a ser nuestra variable y si tenemos dos o
más variables trataremos de relacionar las otras variables y unificarlas
• Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a 100.
Para este caso nuestra variable seria el Numero: que cumpla esas operaciones, luego procedemos a
interpretar lo demás del enunciado, el doble de un numero se puede escribir como 2 y el triple como
3 , por último, planteamos la ecuación y despejamos.
2 + 3 = 100
5 = 100
= 20
Siempre se debe verificar nuestra solución: el doble de 20 es 40 y el triple de 20 es 60, la suma es igual a
100, 20 es el único número que cumple que su doble sumado con su triple es 100
2 20 + 3 20 = 100
40 + 60 = 100

6. Brian Bastidas
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• Si Ana es 12 años menor que Eva y dentro de 7 años la edad de Eva es el doble que la edad de Ana,
¿Qué edad tiene Eva?
Primero identificamos nuestras variables
Edad de Ana:
Edad de Eva: "
Si Ana es 12 años menor que Eva podemos plantear la siguiente ecuación:
= " − 12 #$% $&ó( 1
Dentro de 7 años Ana tendrá + 7 y Eva tendrá " + 7 y el doble lo representamos de la siguiente forma
2 + 7 = " + 7 #$% $&ó( 2
En la ecuación 2 tenemos dos variables, pero podemos reemplazar la ecuación 1 en ecuación 2 quedando
una sola variable:
2 " − 12 + 7 = " + 7
Solucionamos paréntesis y solucionamos la ecuación
2" − 10 = " + 7
2" − " = 10 + 7
" = 17
Llegando a la conclusión que Eva tiene 17 años, por lo tanto:
= 17 − 12 = 5
Ana tiene 5 años cumple que es 12 años menor que Eva y en 7 años Ana tendrá 12 y Eva 24
cumpliéndose que la edad de Eva es el doble de la de Ana
• Encontrar dos números positivos y consecutivos de modo que la suma de sus dobles sea igual al triple
del mayor de los dos números
Al hablar de dos números tendríamos dos variables
Número 1:
Número 2: "
Pero los dos números son consecutivos por lo tanto " = + 1, sería el consecutivo de
Número 1:
Número 2: + 1
Doble del Número 1: 2
Doble del Número 2: 2 + 1
La suma de sus dobles es: 2 + 2 + 1
El triple del mayor
Triple del Número 2: 3 + 1
Con toda la información anterior podemos plantear nuestra ecuación:
2 + 2 + 1 = 3 + 1
Resolviendo la ecuación:
2 + 2 + 2 = 3 + 3
2 + 2 − 3 = 3 − 2
= 1
Solución: Número 1 = 1 y número 2 " = 2

7. Brian Bastidas
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El doble de los dos números es 2 = 2 y 2" = 4 su suma es 6 que a su vez es el triple del número mayor
3" = 3 2 = 6
Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias variables en las cuales se quiere
buscar una solución en común
Ejemplo:
)
+ " = $
* + +" = ,
Donde , , $, *, +, , son números reales
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, en un sistema de ecuaciones
podemos:
• Intercambiar las ecuaciones.
)
+ " = $
* + +" = ,
= )
* + +" = ,
+ " = $
• Multiplicar o dividir por un numero diferente de 0 una de las ecuaciones.
Ejemplo: La ecuación 1 se multiplica por el número real h
)
+ " = $
* + +" = ,
= )
ℎ ∙ + " = $ ∙ ℎ
* + +" = ,
• Sumar o Restar una ecuación a la otra.
Ejemplo la ecuación 1 es igual a la suma de las dos ecuaciones
)
+ " = $
* + +" = ,
= )
+ * + + + " = $ + ,
* + +" = ,
Para solucionar un sistema de ecuaciones utilizando las propiedades anteriores veremos tres métodos:
• Método de Sustitución
Pasos:
1. Despejar una variable en una de las ecuaciones (Cualquier variable en cualquier
ecuación)
2. Sustituir esa variable en la otra ecuación
3. Despejar esta ecuación que queda con una sola variable
4. Hallar con el valor del punto 3 la otra variable reemplazando en la ecuación del punto 1
• Método de Igualación
Pasos:
1. Despejar cualquiera de las variables en las dos ecuaciones
2. Igualar las ecuaciones despejadas en el punto anterior
3. Despejar esta ecuación que queda con una sola variable

8. Brian Bastidas
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4. Hallar con el valor del punto 3 la otra variable reemplazando en cualquiera de las
ecuaciones que despejamos en el punto 1
• Método de Eliminación
Como su nombre lo indica vamos a buscar eliminar una de las variables utilizando las propiedades de
un sistema de ecuaciones
Pasos:
1. Buscar un número que multiplicado por una de las ecuaciones y sumado a la otra
ecuación elimine una de las variables
2. Despejar la ecuación resultante
3. Con el valor del punto 2 reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales y
despejamos la variable que nos falta hallar
• Método Gráfico
Pasos:
1. En las dos ecuaciones despejamos " y le damos dos valores a
2. Ubicamos esas coordenadas , " en el plano cartesiano y unimos los puntos con una
línea recta
3. Donde se interceptan las dos líneas rectas esa coordenada es la solución a nuestro sistema
Método de Sustitución:
Ejemplo:
)
+ 2" = 5
3 − " = 8
Pasos:
1. Despejar una variable en una de las ecuaciones
Despejamos de la ecuación 1
= 5 − 2"
2. Sustituir esa variable en la otra ecuación
Sustituimos = 5 − 2" en la segunda ecuación:
3 − " = 8
3 5 − 2" − " = 8
3. Despejar esta ecuación que queda con una sola variable
Hacemos ley distributiva en los paréntesis y solucionamos la ecuación
15 − 6" − " = 8
−6" − " = 8 − 15
−7" = −7
" =
−7
−7
" = 1
4. Hallar con el valor del punto 3 la otra variable

9. Brian Bastidas
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Como " = 1 ahora podemos hallar
= 5 − 2 1
= 3
Llegando a la solución , " = 3,1 , por último, probamos la solución y verificamos nuestro sistema
)
+ 2" = 5
3 − " = 8
= )
3 + 2 1 = 5
3 3 − 1 = 8
= /
5 = 5
8 = 8
Ejercicio: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
)
2 − 3" = −14
−5 + " = 9
Método de Igualación:
Ejemplo:
)
+ 2" = 5
3 − " = 8
Pasos:
1. Despejar cualquiera de las variables en las dos ecuaciones
Vamos a despejar " en las dos ecuaciones:
Despeje de " en ecuación 1:
" =
5 −
2
#$% $&ó( 3
Despeje de " en ecuación 2:
" = 3 − 8 #$% $&ó( 4
2. Igualar las ecuaciones despejadas en el punto anterior
Igualamos ecuación 3 y 4
5 −
2
= 3 − 8
3. Despejar esta ecuación que queda con una sola variable
5 − = 2 3 − 8
5 − = 6 − 16
−6 − = −5 − 16
−7 = −21
=
−21
−7
= 3
4. Hallar con el valor del punto 3 la otra variable reemplazando en cualquiera de las ecuaciones que
despejamos en el punto 1
" = 3 − 8 = 3 3 − 8 = 1
Llegando a la misma solución del método de sustitución , " = 3,1
Ejercicio:
)
2 − 3" = −14
−5 + " = 9

10. Brian Bastidas
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Método de Eliminación:
Ejemplo:
)
+ 2" = 5 #$% $&ó( 1
3 − " = 8 #$% $&ó( 2
Pasos:
1. Buscar un número que multiplicado por una de las ecuaciones y sumado a la otra ecuación elimine una
de las variables
Si queremos eliminar en la ecuación 2 debo multiplicar por -3 la ecuación 1 y sumarla a la ecuación 2
Ecuación 1 por -3
−3 + 2" = 5 −3
−3 − 6" = −15 #$% $&ó( 3
Ecuación 2 + ecuación 3
−3 − 6" = −15
+ 3 − " = 8
−7" = −7
2. Despejar la ecuación resultante
" =
−7
−7
= 1
3. Con el valor del punto 2 reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales y despejamos la variable
que nos falta hallar
Con " = 1 sustituimos en Ecuación 1 y despejamos
+ 2 1 = 5
= 5 − 2 = 3
Llegando a la misma solución , " = 3,1
Ejercicio:
)
2 = " − 2
3 = 5" + 4
Método Gráfico
Ejemplo:
)
+ 2" = 5 #$% $&ó( 1
3 − " = 8 #$% $&ó( 2
Pasos:
1. En las dos ecuaciones despejamos " y le damos dos valores a
Despeje de " en ecuación 1:

11. Brian Bastidas
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" =
5 −
2
#$% $&ó( 3
Despeje de " en ecuación 2:
" = 3 − 8 #$% $&ó( 4
En ecuación 3 cuando = 1
" =
5 − 1
2
= 2 01 1,2
En ecuación 3 cuando = 5
" =
5 − 5
2
= 0 02 5,0
En ecuación 4 cuando = 1
" = 3 1 − 8 = −5 03 1, −5
En ecuación 4 cuando = 4
" = 3 4 − 8 = 4 04 4,4
2. Ubicamos esas coordenadas en el plano cartesiano y unimos los puntos con una línea recta
Coordenadas Ecuación 1 01 1,2 " 02 5,0 y su grafica es:
Coordenadas Ecuación 2 03 1, −5 " 04 4,4 y su grafica es:

12. Brian Bastidas
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3. Realizamos lo mismo con la otra ecuación y donde se interceptan las dos líneas rectas esa coordenada es
la solución a nuestro sistema
Podemos ver que las dos rectas se interceptan en el punto # 3,1 dando solución a nuestro sistema.
Los sistemas de ecuaciones al igual que las ecuaciones lineales también tienen tres tipos de solución, solución
única, solución infinita o no tiene solución, solución única como los ejemplos que recién trabajamos o
gráficamente cuando las rectas se interceptan en un punto.
• Solución Infinita
)
3 − 2" = 12 #$% $&ó( 1
−6 + 4" = 24 #$% $&ó( 2
Solucionando por Eliminación multiplico por 2 la ecuación 1 y sumo el resultado a la ecuación 2.
6 − 4" = 24
+ − 6 + 4" = 24
0 = 0
Se cancelan las dos variables, pero se mantiene la igualdad por lo tanto la solución es:
Despejamos una variable y representamos la solución de la siguiente forma:
" =
3 − 12
2

13. Brian Bastidas
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Solución: 5 , 6, si este ejercicio se soluciona por método grafico debemos llegar a una línea
recta encima de la otra.
• Sin solución
)
−4 − 3" = −2 #$% $&ó( 1
12 + 9" = 8 #$% $&ó( 2
Solucionando por Eliminación multiplico por 3 la ecuación 1 y sumo el resultado a la ecuación 2.
−12 − 9" = −6
+ 12 + 9" = 8
0 = 2
Se cancelan las dos variables, pero no se mantiene la igualdad 0 ≠ 2, no es un sistema de ecuaciones, si
se soluciona por método grafica vamos a ver dos líneas rectas que son paralelas:

14. Brian Bastidas
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Ecuaciones Cuadráticas
Podemos reconocer una ecuación cuadrática como su nombre lo indica cuando nuestra variable su
mayor exponente es 2, de manera general podemos verla de la siguiente forma:
789
+ :8 + ; = <
*=(*+ , " $ >=( $=(>? (?+> " , $ @%+*+( >+A $+A=.
Ecuación cuadrática cuando : = <: Cuando b es 0, la solución va a ser muy parecida a una ecuación lineal,
ejemplo:
−3 − 4 = −9 + 50
Pasamos variables a un lado y números al otro:
9 − 3 = 50 + 4
Sumamos semejantes
6 = 54
Pasamos a dividir:
=
54
6
Dividiendo:
= 9
Hasta aquí, sería el proceso de una ecuación lineal, pero vemos que nuestra variable en este caso, todavía
no está despejada, para despejarla recordemos que necesitamos realizar la operación contraria en ambos
lados:
C = √9
Recordemos que la raíz con índice par de un numero da como resultado dos números:
= 3 , = −3
En este caso los dos resultados serían solución a nuestra ecuación y se les llama raíces o ceros de
nuestra ecuación.
Ecuación cuadrática cuando : ≠ <: En este caso nos vamos a complicar un poco porque no podemos
solucionarlo igual que el anterior, si aplicamos el mismo proceso de una ecuación lineal no llegaremos a
ningún lado, ejemplo:
3 − 7 + 9 = 2 + 3 − 2
Si pasamos variables a un lado y números al otro:
3 − 2 − 7 + 2 = 3 − 9
Sumamos semejantes:

15. Brian Bastidas
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− 5 = −6
Esas dos variables no nos semejantes y no las podemos sumar, si sacamos factor común y pasamos a
dividir el factor nos va quedar x en ambos miembros de la ecuación, por lo tanto, tampoco haríamos nada.
Para terminar este ejercicio dejaremos nuestra ecuación de la forma general (con un cero a un lado), para
ello pasamos el número -6 a sumar:
− 5 + 6 = 0
Teniéndolo de esta forma podemos ver que ese trinomio lo podemos factorizar de la forma + + $
− 3 − 2 = 0
Aquí utilizaremos la propiedad del producto cero en los números reales que nos indica cuando dos
números multiplicados es igual a cero ∙ = 0 la única forma de que se de el resultado es que uno de
los dos números sea cero, = 0 = = 0 = D => >=( 0.
Para nuestro caso:
= − 3 = − 2
O sea que uno de los dos paréntesis es cero:
− 3 = 0 − 2 = 0
Despejamos nuestras dos ecuaciones lineales
= 3 = 2
Los dos números serian solución a nuestra ecuación.
Otro ejemplo:
5 − 12 = 3 − 9 − 1
Dejamos uno de los dos lados en cero.
5 − 3 − 12 + 9 + 1 = 0
Sumamos semejantes
2 − 3 + 1 = 0
Factorizamos utilizando trinomio de la forma + + $
− 1 2 − 1 = 0
Igualamos los dos paréntesis a cero
− 1 = 0 2 − 1 = 0
Despejamos ambas ecuaciones
= 1 =
1
2

16. Brian Bastidas
Ecuaciones – Sistema de Ecuaciones
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Encontrando las dos soluciones a nuestra ecuación.
Pero no siempre vamos a poder factorizar utilizando el trinomio de la forma + + $ o de la forma
+ + $, cuando no podamos factorizar de estas formas o utilizar división sintética, utilizaremos el
método de completar el cuadrado, ejemplo:
3 − 10 + 4 = 0
Teniendo nuestra ecuación de la forma + + $ = 0, vamos a dividir todo entre
3
3
−
10
3
+
4
3
= 0
Dejaremos solo los términos que tengan x en un solo lado y simplificamos
−
10
3
= −
4
3
Recordamos el resultado de un binomio al cuadrado + = + 2 + = − = −
2 + en nuestro caso tenemos
= , = " 2 =
10
3
Si despejamos b
=
10
3 2
=
10
3 2
=
5
3
" =
25
9
Como hallamos para completar el cuadrado debemos sumar en los dos lados de la ecuación
−
10
3
+
25
9
= −
4
3
+
25
9
El trinomio del lado izquierdo es un binomio al cuadrado o un trinomio cuadrado perfecto y lo podemos
factorizar, al lado derecho realizamos la suma de fracciones
E −
5
3
F =
13
9
Para eliminar el cuadrado sacamos raíz cuadrada en ambos lados:
GE −
4
3
F = G
13
9
−
4
3
= ±G
13
9
Despejamos
=
4
3
± G
13
9

17. Brian Bastidas
Ecuaciones – Sistema de Ecuaciones
PÁG. 17
Y tendremos dos resultados de la raíz cuadrada en este caso un numero irracional:
≈ 1,3 + 1,2 ≈ 2,5 " ≈ 1,3 − 1,2 ≈ 0,1
Obteniendo los dos resultados aproximados que dan solución a nuestra ecuación.
Este método completando cuadrado sirve para cualquier ecuación cuadrática por lo tanto se lo podremos
aplicar a la ecuación general:
+ + $ = 0
Dividimos por :
+ +
$
= 0
Pasamos números que no tengan variable a un lado
+ = −
$
Completamos el cuadrado + = + 2 + en este caso:
= , = " 2 =
Despejamos
=
2
=
2
=
2
" =
4
Completamos el cuadrado sumando este término en ambos lados
+ +
4
=
4
−
$
Factorizamos al lado izquierdo y sumamos fracciones al lado derecho.
E +
2
F =
− 4 $
4
Sacamos raíz cuadrada en ambos lados:
GE +
2
F = G
− 4 $
4
+
2
= G
− 4 $
4
Pasamos ese término a restar y al lado derecho podemos solucionar la raíz del denominador:

18. Brian Bastidas
Ecuaciones – Sistema de Ecuaciones
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=
√ − 4 $
2
−
2
Sumamos fracciones homogéneas y nos queda la formula cuadrática
Formula cuadrática
=
− ± √ − 4 $
2
Queda ± porque sabemos que el resultado de toda raíz con índice par nos arroja dos resultados, y esta
fórmula nos va a servir para solucionar cualquier ecuación cuadrática ejemplo:
7 + 6 − 4 = 5 + 9 + 1
Para utilizar la formula cuadrática necesitamos tener la ecuación de la forma + + $ = 0, para ello
pasamos todos los términos a un solo lado:
7 − 5 + 6 − 9 − 4 − 1 = 0
Sumamos semejantes
2 − 3 − 5 = 0
Ya aquí podemos ver los valores de , " $, teniendo en cuenta los signos en nuestro caso son:
= 2 = −3 $ = −5
Estos números los reemplazamos en la fórmula:
=
− −3 ± C −3 − 4 2 −5
2 2
Utilizamos la calculadora:
=
3 ± √9 + 40
4
=
3 ± √49
4
Y aquí llegamos a los dos resultados
=
3 + 7
4
=
10
4
=
5
2
=
3 − 7
4
=
−4
4
= −1
Muy parecido a la ecuación lineal y a los sistemas de ecuaciones una ecuación cuadrática puede tener dos
soluciones, una única solución, infinitas soluciones o no tener solución utilizando la formula cuadrática
podremos darnos cuenta de cuándo va a ocurrir esto:
Discriminante
C − 4 $
Esta raíz de la formula cuadrática es la que nos determina las dos soluciones de nuestra ecuación
dependiendo del resultado dentro de la raíz:

19. Brian Bastidas
Ecuaciones – Sistema de Ecuaciones
PÁG. 19
Si − 4 $ > 0 nuestra ecuación tiene dos soluciones distintas dentro de los reales
Si − 4 $ = 0 nuestra ecuación tiene una única solución dentro de los reales
Si − 4 $ < 0 nuestra ecuación no tiene solución dentro de los reales
Ejemplos: Solucionar las siguientes ecuaciones cuadráticas