Apuntes de ondas. 1D, 2 2D

1. Onda
Apuntes de Ondas
Miguel Bustamante S.
Profesor: Miguel Bustamante Página 1

2. Onda
Fundamentos matemáticos de las Ondas
En los capítulos previos se ha estudiado un campo en que la geometría euclidiana ha
dado una buena descripción junto con la hipótesis de Fermat. Sin embargo, la luz es una
onda y necesita de otras matemáticos para poder tener un mejor entendimiento de este y de
otros fenómenos.
Para comenzar debemos definir que es una onda.
La onda es una función matemática (r,t) que debe satisfacer la siguiente ecuación
diferencial:

∇2
 −
1
v
2
∂
2

∂
2
t
=0
La Ecuación FM.1 es conocida como la ecuación de onda y (r,t) representa la
función solución de esta ecuación. La función (r,t) puede ser incluso una función vectorial,
no solo escalar.
Supongamos que tenemos una función f(r), con segunda derivada existente.
Definamos (r,t)=f(r-vt). Si aplicamos el laplaciano a f(r-vt), se obtiene

∇2
f 
r−
v t= f 
r−
v t ; si derivamos f(r-vt) dos veces con respecto al tiempo se obtiene
que
∂2
f
∂2
t
=v2
f 
r−
v t Al remplazar en FM.1, se obtiene que es igual a cero. Por tanto una
función f(r), con segunda derivada existente cumple con la ecuación de onda y podemos
llamarla “onda”.
Supongamos que tenemos una función del tipo f(x-vt)= e
x−vt
2
2 En t=0, está centrado
en el origen. En t=1, se ha desplazado; t=4 ha avanzado más.
Profesor: Miguel Bustamante Página 2
FM.1

3. Onda
supongamos esta vez, que f(x-vt) es una función sinosoidal, del tipo
f(x-vt)=Asin(k(x-vt)). La función Sin(x) es periódica; la función f(x,t) es periódica en el espacio
y en el tiempo.
Periódica en el espacio es f(x+-vt)=f(x-vt). Esto implica que el armuento de la función
sin(k(x+-vt)=sin(k(x-vt)). La conclusión es que |k=2La magnitud  se denomina longitud
de onda y k es el número de onda.
Supongamos que es periódica en el tiempo, es decir f(x-v(t+T))=f(x-vt). Esto implica
que |kvT|=2definimos w=kv, y llamamos a T el periodo temporal y w es la frecuencia
angular. La frecuencia asociada a una onda es el inverso del periodo, es decir =1/T.
La unidad de T es el segundo o cualquier unidad de tiempo, la unidad de la frecuencia
es 1/seg, y se denomina Hertz; corresponde a los batidos por segundo de un evento
repetitivo.
Supongamos ahora que tenemos dos ondas que se mueven en direcciones opuestas,
f(x-vt) y g(x+vt). La función f(x)=exp(-x2
/2) y g(x)=x*exp(-x2
)
La función que se ha graficado es h(x,t)=f(x-t)+g(x+t); con velocidad v=1. Como
vemos ha medida que las perturbaciones se acercan la función resultante es la suma de las
Profesor: Miguel Bustamante Página 3

4. Onda
dos ondas. Sin embargo, pasado un lapso de tiempo las ondas permanecen de igual forma
una vez que se cruzaron. Estas es una de las características de las ondas. La información
no cambia al interactuar con otra perturbación, permanece inalterable.
En general, la función de onda con que vanos a trabajar tiene la forma analítica
f(x-vt)=Asin(k(x-vt));una función que va prestar muchos servicios en el entendimiento de las
ondas. Sobre la base de lo anterior, la función f(x) tiene una representación compleja que
tiene como mérito el usar las propiedades de los complejos en el desarrollo matemático del
problema; f(x-vt) se puede escribir como: f(x-vt)=Aeik(x-vt+)
.
Definamos (x,t)=k(x-vt). De la ecuación anterior se desprende ∣
∂
∂t x
∣=w , que es
el cambio de fase en el tiempo; ∣
∂
∂x t
∣=k . De las expresiones anteriores, podemos
obtener que
∂x
∂t 
=
−∂
∂tx
∂
∂x
Onda Plana.
Vamos a estudiar los tipos de ondas. Supongamos que tenemos un vector r, y un vector r0.
Una onda plana se caracteriza por que l
producto interno de (r-r0)*k=0, o una expresión
equivalente r*k=a, donde a es una constante.
La ecuación r*k=a, describe la ecuación de un
plano. Esto s denomina una onda plana. El
avance del “plano” está en la dirección del
vector k .
Ondas Esféricas
Supongamos que tenemos una fuente puntual de onda. La propagación se realiza en
todas direcciones, como una esfera que aumenta de radio. Como existe una gran simetría
en la propagación (se asume un medio isotrópico), la función de onda debe ser
independiente de la distribución angular. La expresión del laplaciano (ver tablas
matemáticas) se reduce a :
Profesor: Miguel Bustamante Página 4
r-r0
.
r0
r
X
Y
Z
k

5. Onda
∇
2
 =
1
r2
∂
∂r
r
2 ∂
∂r

Si aplicamos la ecuación de onda, desarrollando e igualamos a la ecuación FM.2 se obtiene
que :
1
r

∂
2
r
∂
2
r
=
1
v
2
∂
2

∂t
2
La ecuación FM.3 se puede rescribir como:
∂2
r
∂r2
=
1
v2
∂2
r
∂t2
Pero, sabemos que la funciones que satisfacen la ecuación de onda son del tipo f(r-vt) ó
g(r+vt) ; por tanto r(r,t)=f(r-vt) ó r(r,t)=g(r+vt). Así, la inda esférica tiene una estructura del
tipo
 
r , t=c1
f 
r−
v t
r
c2
g
r
v t
r
En una dimensión, vamos a suponer que f(x-vt)=sin(x-vt). Por tanto la onda
(x,y)=sin(x-vt)/x. En un gráfico de posición, para distintos tiempo se vería.
La función de onda disminuye su amplitud a medida que avanza, a la razón de 1/x.
En visión de una onda de agua en un estanque;
La amplitud de la onda que se propaga en el
estanque va disminuyendo, como aumenta el radio de
la onda.
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Curva
1/x
Función f(x-vt)/x
FM.3
FM.2

6. Onda
Ondas Cilíndricas
En este caso el laplaciano se puede escribir, independiente del ángulo de z.
∇
2
 =
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r

Aplicando las matemáticas previas se obtiene que la función de onda es del tipo:
 
r−
v t≈
A
r
e

k 
r−
vt
Recordemos que eia
=cos(a)+isin(a). La representación compleja tiene la ventaja de una
mejor manipulación matemática. A es la amplitud inicial de la onda.
Una visión de una onda cilíndrica será:
Ondas vectoriales y escalares
Hasta el momento, hemos hablado de ondas escalares, pero si la amplitud A fuese un
vector, la función sería una función vectorial y también cumple con la condición de la
ecuación de onda.
Interludio matemático:
Cuando escribimos una onda de la forma f(x,t)=sin(k(x-vt)) o f(x,-vt)=cos(k(x-vt)),
también podemos escribrila de de la forma f(x-vt)=ei(k(x-vt))
, ya que la parte real o imaginaria
de la solución compleja, son soluciones de la ecuación de onda.
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7. Onda
Equivalencias Matemáticas.
.
Coordenad
as
Cartesianas
(Referencia)
Cilíndricas Esféricas
x,y,z x=rcos(),
y=rsin(),z=z
x=rcos()sin(),y=rsin()sin(),z=rcos()
Elemento
de camino
dr
dxi+dyj+dzk
Elemento
de área
dxdy, dydz,
dzdx
rdrd,drdz,rddz rdrd,rdrsin()d,dr rsin()d
Elemento
de
Volumen
dxdydz rdrddz r2
drdsin()d
Gradiente
Laplaciano
Rotor
Profesor: Miguel Bustamante Página 7
x
Y
Z
x
Y
Z
P
P
(
(
(
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas

8. Onda
Movimientos periódicos, y fenómenos periódicos
En este capítulo, va,os a entran al mundo de los fenómenos con periodicidad tanto espacial
como temporal. Vamos a definir nuevos términos para entender el mundo de las “ondas”.
Movimientos periódicos.
En las antiguas civilizaciones (Egipcia, Zaumeria, Griega), la Astronomía fue unos de los
desarrollos importantes. Tanto así, que la confección de los calendario [1] fue debido a la
observación de los astros y los eventos repetitivos de los fenómenos en el firmamento: El Sol
sale cada “24 horas”, la órbita de la luna es de “28 días”, el movimiento de la Tierra en torno
al Sol es de “365 días”. Todos estos fenómenos tiene en común que repiten cada cierto
tiempo. Vamos a definir el primero concepto: Periodo.
Según los anterior, el periodo de la rotación de la tierra es de “24 horas”, el periodo
de traslación de la Tierra en torno al sol es de “365 días”. En una representación gráfica, la
función f(t) puede ser discreta y periódica (figura 1 ).
Profesor: Miguel Bustamante Página 8
Periodo: Es el tiempo mínimo que tiene un proceso repetitivo en llegar al mismo estado
inicial, completar un ciclo. Es decir, si un fenómeno esta descrito por la función f(t) aun
tiempo t, en un tiempo T (periodo) va estar en el mismo estado que f(t), es decir
f(t+T)=f(t); pero en un tiempo nT, también va estar en el mismo estador, es decir
f(t)=f(t+nT)
con n entero ( n∈ℤ ).

9. Onda
La función en este ejemplo .es f (t)=Ceil(10sin (2t )) , donde la función ceil(t)
toma la parte entera del número. El periodo de esta función es T=π s. Como podemos
ver, el periodo es una variable temporal, por tanto se mide en unidades de tiempo, como el
segundo en el sistema internacional.
Definamos un nuevo concepto: frecuencia.
La frecuencia, tiene como unidad el [1/s] que es conocido por “hertz” (1 hertz=1/s).
Pero también se habla de [rpm] (revoluciones por minuto). En un auto, el “tacómetro” mide
la revoluciones del motor, que es un de 3000 a 4000 [rpm]; otro ejemplo son los latinos del
corazón que es reposo puede ir de 70 a 80 latidos por minuto.
Existe otro término, con el que se confunde pero que están relacionado: frecuencia angular
w. La frecuencia angular se define como w=2πf y las unidades son [rad/s]. Este valor se
relaciona cuantos ciclos da en una unidad de tiempo.
Profesor: Miguel Bustamante Página 9
Figura 1: Función periódica, con periodo
Frecuencia: Se define como el inverso del periodo T 1/T . La frecuencia corresponde al
número de ciclos (eventos) que ocurren en una unidad de tiempo.

10. Onda
Sin embargo, existe otro tipo de periodicidad: la espacial.
Periodo Espacial
El dominio ahora no es el tiempo, sin el espacio. El periodo espacial es la mínima distancia
de una función G(x) que está en el mismo estado de G(x), es decir G(x)=G(x+λ) , donde
l es el periodo espacial conocido como “longitud de onda”. La unidad de este parámetro es el m, cm,
mm, etc
Veamos un ejemplo de periodo espacial: Supongamos la función f (x)=e
−cos(3 x)
(figura 2).
En este caso, el periodo corresponde a l=2p/3.
Mas ejemplo de esto, podemos encontrarlo en las calles, como los pasos de cebra (figura 3)
Ahora, vamos a definir un nuevo termino: Amplitud
Profesor: Miguel Bustamante Página 10
Figura 2: Función periódica en el espacio
Figura 3: Paso de Cebra

11. Onda
En una representación, vemos que la amplitud es la magnitud desde el punto de
equilibrio a la cima (figura 4) y otro conepto de amplitud que se habla es la magnitud cima a
sima (peak to peak).
La unidades de la amplitud va a depender del fenómeno. Puede ser como longitud de
voltaje (volt), corriente (A), como dimensiones espaciales (m, cm. km), como la altura de un
ola.
Comentarios finales
En la naturaleza existen varios fenómenos que se repiten en un
periodo T. Estos fenómenos se pueden describir con matemáticas
adecuada. Sin embargo, estas magnitudes son abstracciones de un
evento que vemos que se repite, pero que no es exactamente
periódico. Veamos el caso de un péndulo matemático. El periodo de
un péndulo matemático es T=2π
√L
g
, donde L es el largo del
péndulo, g la aceleración de gravedad (g=9.8 m/s2
). Según esta
Profesor: Miguel Bustamante Página 11
Amplitud: En física la amplitud (del latín amplitūdō) de un movimiento oscilatorio,
ondulatorio o señal electromagnética es una medida de la variación máxima del
desplazamiento u otra magnitud física que varía periódica o cuasiperiódicamente en el
tiempo. Es la distancia entre el punto más alejado de una onda y el punto de equilibrio
o medio.[3]
Figura 4: Ondas, con amplitud y amplitud peak to peak
Figura 5: Péndulo
simple

12. Onda
expresión de Perido T es independiente del angulo de desviación inicial. Sin embargo, para
ángulo mayores que 30° comienza a haber una diferencia con la expresión del periodo. De
hecho, se puede calcular que el periodo para ángulos superiores depende del ángulo inicial.
Por tanto, la expresión que dimos como periodo es una aproximación válido para ángulo de
desplazamiento inicial menores a 30°[2].
En la gráfica 6 se puede apreciar la diferencia
Profesor: Miguel Bustamante Página 12
Figura 6: Periodo del pendulo simple, considerando el ángulo inicial

13. Onda
[1] “Descubren en Escocia el calendario más antiguo del mundo.” Prensa Latina, 2013.
[2] J. B. Marion and J. B. Marion, Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed.
Reverté, 1996.
[3] “Amplitud (física) - Wikipedia, la enciclopedia libre.” [Online]. Available:
https://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_(física). [Accessed: 03-Jan-2017].
Profesor: Miguel Bustamante Página 13

14. Onda
Cuerda, membrana cuadrada y
membrana circular.
Estamos en condiciones de estudiar algunos sistemas reales como son las cuerdas y
membranas de los instrumentos musicales. Estos nos servirá para entender los principios
de los sonidos y escalas musicales.
La cuerda
Supongamos que tenemos una cuerda sometida a una tensión T, que puede estar
dado por el diagrama siguiente
Para proseguir debemos tener ciertas hipótesis:
1. Despreciamos la carga que implica la atmósfera ambiente ; es decir, se supone que la
Profesor: Miguel Bustamante Página 14
Mas
a M

15. Onda
cuerda opera en el vacío.
2. Se supone que no hay pérdidas de energía ni en la cuerda si es el mecanismo de su
movimiento a través de la atmósfera.
3. Se supone que la cuerda está muy tensa entre los dos puntos 0 y 1.
4. Se suponen movimientos de pequeña amplitud.
5. Se desprecian deformaciones y fuerzas debida a la gravedad.
6. Se define la cuerda como un cuerpo cuyas dimensiones transversales son pequeñas
frente a su longitud. Las componentes de esfuerzo que se ejercen sobre una sección
normal a su longitud suelen poderse integrar para formar como una fuerza cortante y
un momento flector. Para la cuerda, se supone que
7. la fuerza y el momento flector se anulan, quedando la dirección dirigido axialmente.
Analicemos microscópica la región dentro del recuadro.
Sobre la base del
diagrama , la fuerza vertical en el tramo x es F(sin(1)-sin(2)). Para ángulo muy pequeños,
sin()tang(). En el punto A, tenemos la siguiente relación:
F tang1=F
∂ y
∂x A
La fuerza neta actuando en el tramo se escribe como:
F
∂ y
∂x B
−F
∂ y
∂x A
Escribiendo una expansión de Taylor de primer orden de en torno a A, se tiene
que : . Remplazando la expresión en (*) se tiene que la fuerza
vertical es igual a . Pero, según la segunda ley de Newton, la fuerza se
iguala a la masa por la aceleración. Anotamos m como la masa en el tramo AB. La
igualdad obtenida es: Fy=F
∂
2
y
∂x
2
 x= m
∂
2
y
∂t
2 o que es lo mismo , donde
=dm/dx (densidad lineal). Como notamos la ecuación obtenida tiene la estructura de la
Profesor: Miguel Bustamante Página 15
A
B
F
F
1
2
x
(*)
C.1

16. Onda
ecuación de onda; y la velocidad de propagación es v=
F

.
Para resolver esta ecuación, se utiliza el método de variables separadas . Se asume que
y(x,t)=Y(x)T(t), donde Y(x) es una función de la posición y T(t) del tiempo. Remplazando en
la ecuación C.1 se obtiene las siguientes relación diferencial
T(t)Y''(x)=1/v2
T''(t)Y(x).
Las funciones X(x) y T(t) son independientes una de la otra, por tanto se obtienen las
siguientes ecuaciones diferenciales por cada función:
Y''(x)=k'Y(x) y T''(t)=k'/v2
T
Si k'=-c2
entonces la ecuación tiene la forma:
Y''(x)=-c2Y
(x)
T''(t)=-c2
/v2
T
La solución general de C.2 es de la forma Y(x)=A'sin(cx)+B'cos(cx).; y la solución de
C.3 tiene la forma T(t)= . La solución es X(x)T(t).
Si las condiciones de la cuerda son Y(0,t)=0 y Y(L,t)=0, Esto implica que B'=0, y que
Y(L)=Asin(cL)=0; esto implica cL=ncon n natural. El valor c es un número que depende de
n, de la forma cn=n/L. La solución general es entonces de la ecuación diferencial:
Ecu 2: solución ecuación de ondas
con 0<x<L.
La condiciones extremas de la cuerda impone la solución. En la serie, el primer
termino es cuando n=0, que no contribuye a la solución, el segundo es cuando n=1, y
corresponde a la función sin(/Lx), con n=2, la función es sin( 2/Lx), etc...
La situación inicial es cuando t=0, y corresponde cuando
Esta situación es la condición inicial, la configuración inicial de la cuerda. Supongamos que
la cuerda tiene la condición inicial que se ve en la figura:
Profesor: Miguel Bustamante Página 16
C.2
C.3
Yx ,t =∑
n=0
∞
An
cos
F

cn
t Bn
sin
F

cn
tsinn

L
x 

17. Onda
Si además suponemos que partió del reposo, la derivada de la posición con respecto
al tiempo es cero, lo cual se obtiene que
Los coeficientes de la serie, An se calculan como
La expresiòn de An se puede reducir como y resto cero.
La solución se reduce a :
Yx,0=∑
n=1
∞
An
sin
n  x
L

Grafiquemos la solución, pero con distintos n. el valor de H=1
Observe que la cada onda contribuye a la suma total. Vamos a graficar con distintas
contribuciones de la suma de los n impares que contribuyen a la onda total.
Profesor: Miguel Bustamante Página 17
H
L

18. Onda
Como vemos, a medida que sumamos más contribuciones la función tiene la forma de
la situación inicial.
Las amplitudes An están relacionadas con la frecuencias de oscilación de la cuerda.
Mientras mayor el valor sea el valor de An, mayor importancia tiene dentro de la onda
Pero, esta solución es cuando t=0. En particular, y sabiendo que la velocidad inicial
de cuerda es cero. La ecuación solución en función de tiempo es:
Yx ,t =∑
n=0
∞
An
cos
F

cn
t sinn

L
x
Supongamos que la velocidad de la velocidad de propagación es 100. Grafiquemos
la solución de la cuerda con los extremos fijos para distintos tiempos.
Profesor: Miguel Bustamante Página 18

19. Onda
Este gráfico es el resultado de la solución de la ecuación diferencial de la cuerda, con
los bordes fijos.
Veamos el caso de un extremo libre. La situación con extremo libre, implica que la
fuerza en ese extremo es cero. En forma matemática se puede expresar como:
Ecu 3
Esto implica de la solución general 2, el termino A=0 y B debe ser distinto de cero.
De la ecuación 3, se tiene que el valor de k debe satisfacer
kn= π
2L
(2n−1)
La solución de onda en estas circunstancias es:
Membranas
Membrana rectangular
Supongamos que tenemos una membrana de dimensiones conocidas. En un punto
(x,y) del plano de la membrana se ejerce una tensión constante S. Tomemos un elemento
de la membrana, un elemento de área dxdy. Observemos este elemento de área desde el
punto de vista de x.
En forma a náloga se puede estudiar desde el punto de vista de y. La ecuación para
el elemento de área de la membrana e igualando a la masa del elemento de área (segunda
ley de Newton), nos da la ecuación:
Profesor: Miguel Bustamante Página 19
w
w+w',xdx
w',x+w'',xdx
dx
w',x
∂ y
∂ x x=L
=0

20. Onda
Sdy
∂²w
∂x²
dxS dx
∂²w
dy²
dy=
∂² w
∂t²
dxdy
o su expresión equivalente . Tenemos una ecuación de la forma
donde c=S/Vamos a suponer que la solución es la separación de
variables w=TXY. Esto implica que X''/X=-2
, Y''/Y=-2
y T''/(c2T)=-2
-2
. Por tanto
X=Asin(x)+Bcos(x), Y=Hsin(y)+Dcos(y) y T=Esin(c(t)+Fcos(c(t). Es ta es la
solución general de la membraba rectangular de dimensiones a pot b. Las condiciones de
bordes son:
w(x,0,t)=0
w(0,y,t)=0
w(x,b,t)=0
w(a,y,t)=0
w(x,y,0)=f(x,y) configuración inicial y w'(x,y,0)=0 (No hay velocidad inicial.
Imponiendo las condiciones iniciales se tiene la solución particular es:
w=∑
n=1
∞
∑
m=1
∞
Amn cos ct
m²
a²

n²
b²
sin
m  x
a
sin
n y
b

En este caso Ajk =
4
ab
∫
0
a
∫
0
b
f x , ysin
j x
a
sin
k y
b
dxdy y la frecuencia temporal
viene dada por la expresión
Representamos los modos normales de vibración:
Para n=1, m=1
n=2, m=1
Profesor: Miguel Bustamante Página 20

21. Onda
n=2,m=3
Membrana circular.
La ecuación siguen siendo válida, pero debe expresarse en otras coordenadas,
coordenadas cilíndricas
∂ ² w
∂ t²
=c²
∂ ² w
∂ r2

1
r
∂ w
∂r

1
r²
∂ ²w
∂  ²
La solución de este tipo de
ecuaciones es de la forma w=RT. Esto implica que cada función debe satisfacer las
siguientes ecuaciones diferenciales:
T ' '
c² T
=− ²=
R' '
R

1
r
R'
R

1
r²
 ''

Profesor: Miguel Bustamante Página 21

22. Onda
Así, T(t)=Asin(ct)+Bcos(ct) . Ahora,
Así Hsin(Dcos() . Por las condiciones geométricas  es una función
periódica; por tanto =n=0,1,2,3.... y la ecuación R es  r²
1
R
r²R' 'rR'−n²=0 La
solución de esta ecuación es R=AJn(r)+BYn(r), donde Jn e Yn son las funciones de
Bessel. Por las condiciones de frontera, en r=0, implica B=0 (Yn, r0).
R= Jn  r=∑
k=0
∞
−1
k
k!nk1

 r
2

n2k
Existe además la condición de contorno que Jn(ia)=0, que impone condiciones a 
La solución general es
w= ∑
=1
∞
∑
n=0
∞
A' Jni rcosncosci t
Profesor: Miguel Bustamante Página 22

23. Onda
Veamos las ceros de la función de Bessel: Si la membranas tienes una radio a,
busquemos los valores ia que sean las raíces de Jn(ia)
Bessel Raíces 1 2 3
J0(ia)=0 2.4048 5.5201 8.6537
J1(ia)=0 3.8317 7.0156 10.1735
Profesor: Miguel Bustamante Página 23