ecuaciones de primer grado

1. Ecuaciones de primer grado
Largo
Ancho
2x + 10
x
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.

2. Ecuaciones de primer grado
Lenguaje ordinario
Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
El número natural siguiente
al número n
El cuadrado de un número
menos el mismo número
Lenguaje algebraico
c – 5 (Llamamos c al número)
El cuadrado de un número x2
Perímetro del
cuadrado de lado x
x
x
x
x
4x
x2 – x
n + 1
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá x + 12
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía: 13 – x
Al-Khuwrizmi

3. Ecuaciones de primer grado
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son
expresiones que contienen letras, o números y letras:
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras
unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Observaciones:
1. El factor 1 no se escribe.
a
b
Área del triángulo:
2
h
·
b
b
h
Área de un rectángulo: a · b
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
1 · x2 · y1
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2 · y1
x2 · y x2 y
5abc3
5 · a · b · c3
(t = tiempo en horas)

4. Ecuaciones de primer grado
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados
y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la
expresión algebraica 5x – 6
x
x
Si queremos hallar el área de un cuadrado
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm
de lado, se sustituye x por 4:
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:
x2
A = x2 = 42 = 16
para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4
5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180

5. Ecuaciones de primer grado
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y
resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales
deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?
x x x x x x x x
5x 3x
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
5x
x x x x x x x x
3x
5x + 3x = 8x
Suma:
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
x x x x x
5x 3x
2x
5x – 3x = 2x
Resta:
Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o
restarse es necesario que sean semejantes.
No se pueden sumar
2x + x2
Se deja indicado

6. Ecuaciones de primer grado
La balanza está equilibrada.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la
izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
10 + 2 = 4 + 8
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
1er miembro 2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

7. Ecuaciones de primer grado
La balanza está equilibrada: el peso
de los dos platillos es el mismo.
A lo que pesa el trozo de queso le
podemos llamar x.
Tendremos la igualdad: x + 100 = 350
Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor
es desconocido.
Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números
relacionados por operaciones aritméticas.
Las letras se llaman incógnitas.
a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21
x = 4, pues:
4 + 3 = 7
y = 6, pues:
6 – 2 = 4
x = 7, pues:
7 · 3 = 21
El signo “por”, ×,
se sustituye por un
punto: “·”
P a r a p r a c t i c a r
x

8. Ecuaciones de primer grado
Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14
Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de
menos es que la llamemos x, y o t).
Son ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer
grado con una incógnita:
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación
que tiene una sola incógnita con exponente 1.
x x x x x x x x x
2
5
x
8
4 1
x + 2 = 5 x + x + x = x + 8 x + 4 = x + x + x + x + 1
3 · x = x + 8 x + 4 = 4 · x + 1
No son de primer grado las ecuaciones:
x2 = 9 6 · t2 + 2 · t + 2 = 0 2 · x3 = 250