Este documento resume un estudio sobre métodos iterativos de tercer orden como Newton para aproximar soluciones de ecuaciones integrales no lineales de Hammerstein. Se analiza la convergencia y orden de convergencia de estos métodos y se suavizan las condiciones de Kantorovich para extender la región de accesibilidad. Finalmente, se aplican los métodos a un operador integral de Hammerstein específico.

1. XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matem´atica Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–8)
Aproximaci´on de soluciones de algunas ecuaciones integrales
de Hammerstein mediante m´etodos iterativos tipo Newton
J. A. Ezquerro 1, M. A. Hern´andez 1, N. Romero1
1
Dpto. Matem´aticas y Computaci´on. Universidad de La Rioja. C/ Luis de Ulloa s/n. 26004 Logro˜no.
Spain. E-mails: jezquer@unirioja.es, mahernan@unirioja.es, natalia.romero@unirioja.es.
Palabras clave: ecuaciones no lineales en espacios de Banach, m´etodos iterativos, teorema de
convergencia semilocal, ecuaciones integrales no lineales.
Resumen
Consideraremos m´etodos iterativos de tercer orden de tipo Newton para aproximar
soluciones de ecuaciones integrales no lineales de Hammerstein mixto.
1. Introducci´on
En este trabajo consideraremos m´etodos iterativos de tercer orden de tipo Newton
(v´ease [4]) para aproximar soluciones de ecuaciones integrales no lineales de tipo Ham-
merstein mixto de la forma [2]:
x(s) = y(s) +
n
i=1
λi
b
a
Ki(s, t) x(t)qi
dt, s ∈ [a, b], λi ∈ R, qi ∈,
donde −∞ < a < b < ∞, Ki (i = 1, 2, . . . , n) e y son funciones conocidas y x es una fun-
ci´on soluci´on a determinar. Notemos que podemos plantear equivalentemente el siguiente
problema. Dado el operador F : Ω ⊆ C[a, b] → C[a, b] definido por:
F(x)(s) = x(s) − y(s) −
n
i=1
λi
b
a
Ki(s, t) x(t)qi
dt,
con x ∈ Ω ⊆ C[a, b] y s ∈ [a, b] y aproximar una soluci´on de la ecuaci´on F(x) = 0.
Los procesos iterativos generalmente tienen dos dificultades importantes: la limitaci´on
de su regi´on de accesibilidad, es decir, el dominio de puntos de salida a partir de los cuales
el m´etodo iterativo converge, y el coste operacional que conlleva su aplicaci´on.
1

2. J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez and N. Romero
La limitaci´on de la regi´on de accesibilidad de los m´etodos iterativos de tercer orden de
tipo Newton que vamos a considerar aqu´ı viene impuesta generalmente por las condiciones
de tipo Kantorovich bajo las cuales se da su convergencia semilocal (v´ease [4]). En el caso
de procesos iterativos de tercer orden las condiciones habituales de tipo Kantorovich son:
(C1) La existencia de un punto x0 ∈ Ω donde el operador Γ0 = [F (x0)]−1
∈ L(Y, X),
donde L(Y, X) es el conjunto de los operadores lineales y acotados de Y en X,
est´a est´a definido y Γ0 ≤ β,
(C2) Γ0F(x0) ≤ η,
(C3) F (x) ≤ M, ∀x ∈ Ω,
(C4) F (x) − F (y) ≤ k x − y , ∀x, y ∈ Ω, k > 0,
(C5) B(x0, R) ⊂ Ω.
El objetivo principal de este trabajo es suavizar las condiciones de tipo Kantorovich de
manera que podamos extender la regi´on de accesibilidad de los m´etodos considerados. As´ı,
consideramos las condiciones (C1),(C2), (C5) y:
(C3) F (x) ≤ ω( x ), ∀x ∈ Ω, con ω : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0} una funci´on mon´otona,
real, continua y tal que ω(0) ≥ 0.
(C4) La ecuaci´on
4t − 2h(βηϕ(t)) ((1 + βηϕ(t))t + η) − βηϕ(t)h(βηϕ(t))2
(t − 2η) = 0
tiene al menos una ra´ız positiva, con
ϕ(t) =
ω( x0 + t), si ω es creciente
ω( x0 − t), si ω es decreciente
y
h(t) = 1 +
1
2
t +
k≥2
Aktk
. (1)
Denotamos por R la ra´ız m´as peque˜na de la ecuaci´on anterior. Notemos que R debe
ser menor que x0 si ω es decreciente.
Bajo estas condiciones, como veremos m´as tarde, obtenemos una regi´on de accesibilidad no
acotada verticalmente semejante a la del m´etodo de Newton, en funci´on de los par´ametros
β, η y R.
Por otra parte, para aproximar la soluci´on de la ecuaci´on F(x) = 0 mediante los
procesos iterativos que se consideran, discretizaremos la ecuaci´on mediante una f´ormula de
integraci´on num´erica de Gauss. El proceso de discretizaci´on utilizado tiene la propiedad de
que, dada la expresi´on de la segunda derivada del operador considerado en dicho proceso,
se reduce notablemente el coste operacional a la hora de aplicar dichos m´etodos iterativos
de alto orden de convergencia, lo que justifica el inter´es de su utilizaci´on para resolver
num´ericamente estas ecuaciones.
Finalmente, retomando el problema de la limitaci´on de la regi´on de accesibilidad cons-
truiremos, a partir de los m´etodos tipo Newton, m´etodos iterativos de tipo predictor-
corrector, de manera que se pueda extender su regi´on de accesibilidad hasta la del m´etodo
de Newton.
2

3. M´etodos iterativos de tercer orden y ecuaciones integrales de tipo Hammerstein
2. An´alisis de la convergencia y orden de convergencia
Consideramos el problema de aproximar una soluci´on x∗ de una ecuaci´on no lineal
F(x) = 0, (2)
con F : Ω ⊆ X → Y , X, Y espacios de Banach, Ω un conjunto abierto convexo y no vacio.
Asumimos que F es un operador continuo y dos veces diferencible Fr´echet.
Para resolver (2) consideramos en primer lugar la siguiente familia de m´etodos itera-
tivos dada en [4]:



xn+1 = xn − H(LF (xn))[F (xn)]−1F(xn), n ≥ 0,
H(LF (x)) =
k≥0
AkLF (x)k
, A0 = 1, A2 = 1/2, Ak ∈ R+
, k ≥ 2, (3)
donde x0 ∈ Ω, I es el operador identidad en X, LF (x) es el grado de convexidad logar´ıtmico
definido por LF (x) = F (x)−1F (x)[F (x)−1F(x)] ∈ L(X) [3], siempre que [F (x)]−1 exista
en cada paso xn, y
k≥0
Aktk
< +∞, para |t| < r. (4)
Los operadores F (x) y F (x) denotan respectivamente la primera y la segunda derivada
Fr´echet del operador F.
El siguiente resultado prueba que el orden de convergencia de los m´etodos (3) es
localmente al menos tres.
Teorema 1 Suponemos que F : Ω ⊆ X → Y es un operador suficentemente derivable
en un conjunto abierto convexo y no vacio Ω. Si F tiene una ra´ız simple x∗ ∈ Ω, F (x)−1
existe en un entorno de x∗ y x0 est´a suficentemente cercano a x∗, entonces los m´etodos
(3) tienen orden de convergencia al menos tres.
A continuaci´on, presentamos un an´alisis general de la convergencia. Asumimos que F
es un operador continuo y dos veces diferencible Fr´echet satisfaciendo las condiciones (C1),
(C2), (C3), (C4) y (C5).
Sea a0 = βηϕ(R), definimos la sucesi´on escalar:
an+1 = anf(an)2
g(an), n ≥ 1, (5)
donde
f(t) =
1
1 − th(t)
, (6a)
g(t) = h(t) 1 +
t
2
h(t) − 1. (6b)
Usando una t´ecnica basada en relaciones de recurrencia, probamos que bajo las con-
diciones (C1), (C2), (C3), (C4) y (C5), los procesos iterativos dados en (3) convergen a
una soluci´on de la ecuaci´on (2). Tambi´en, damos dominios de existencia y unicidad de
soluci´on.
3

4. J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez and N. Romero
Notemos que, desde (C1), (C2), (C3), (C4) y (C5), tenemos
LF (x0) ≤ Γ0 ω( x0 ) Γ0F(x0) ≤ ϕ(R)βη = a0 < r,
donde r es el radio de convergencia de la serie (4). Puesto que H LF (x0) existe y
H LF (x0) ≤
k≥0
AkLF (x0)k
≤
k≥0
Akak
0 = h(a0),
x1 est´a bien definido. Adem´as,
x1 − x0 ≤ H LF (x0) Γ0F(x0) ≤ h(a0) Γ0F(x0) .
Lema 1 Suponemos que x0, xn ∈ Ω, para n ∈ N. Si a0 < r, a0h(a0) < 1, y a0f(a0)2g(a0) <
1, entonces las siguientes relaciones se satisfacen:
(I) Existe Γn = [F (xn)]−1 y Γn ≤ f(an−1) Γn−1 ,
(II) ΓnF(xn) ≤ f(an−1)g(an−1) Γn−1F(xn−1) ,
(III) ϕ(R) Γn ΓnF(xn) ≤ an y existe H(LF (xn)),
(IV) xn+1 − xn ≤ h(an) ΓnF(xn) ,
(V) xn+1 − x0 ≤
n
i=0
h(ai)
i−1
k=0
f(ak)g(ak) Γ0F(x0) .
A continuaci´on, damos un resultado donde se muestran algunas propiedades de las
funciones reales h, f y g, dadas en (1) y (6), y de la sucesi´on {an} dada en (5), desde las
cuales establecemos la convergencia semilocal de los m´etodos de tercer orden dados en (3).
Lema 2 Sean h, f y g las funciones reales dadas en (1) y (6), y la sucesi´on {an} dada
en (5). Si a0h(a0) < 1, entonces
(i) f(t) es una funci´on creciente y f(t) > 1 para t ∈ (0, a0) y g(t) es una funci´on
creciente para t > 0.
(ii) Si f(a0)2g(a0) < 1, entonces {an} es una sucesi´on decreciente.
El siguiente resultado garantiza la convergencia semilocal de los procesos iterativos (3)
y establece dominios de existencia y unicidad de soluci´on.
Teorema 2 Sean X y Y dos espacios de Banach y F : Ω ⊆ X → Y un operador dos
veces diferenciable Fr´echet en un conjunto abierto convexo y no vacio Ω. Suponemos que
Γ0 = F (x0)−1 ∈ L(Y, X) existe para alg´un x0 ∈ Ω y que las condiciones (C1), (C2), (C3),
(C4) y (C5) se satisfacen. Si
a0 < r, a0h(a0) < 1, f(a0)2
g(a0) < 1 (7)
y B(x0, R) ⊆ Ω, entonces los m´etodos (3), comenzando en x0, generan una sucesi´on {xn}
que converge a una soluci´on x∗ ∈ B(x0, R) de la ecuaci´on (2). Adem´as, x∗ es ´unica en
B(x0, ˜R) ∩ Ω, donde ˜R es la ra´ız m´as peque˜na de la ecuaci´on
β
1
0
1
0
ϕ(s(R + t( ˜R − R)))(R + t( ˜R − R)) ds dt = 1. (8)
4

5. M´etodos iterativos de tercer orden y ecuaciones integrales de tipo Hammerstein
0.1 0.2 0.3 0.4
1
2
3
4
5
6
reg(a0)
a0
Figura 1: Regiones de accesibilidad para el m´etodo tipo-Chebyshev
Como ya hemos dicho, la limitaci´on de la regi´on de accesibilidad de los m´etodos iterati-
vos de tercer orden de tipo Newton viene impuesta por las condiciones de tipo Kantorovich
bajo las cuales se garantiza su convergencia semilocal. Al suavizar estas condiciones, la
regi´on de accesibilidad de estos m´etodos se modifica. Como mostramos en la Figura 1
para el m´etodo tipo-Chebyshev (m´etodo de la familia (3), con A2 = 1/2, Ak = 0, k ≥ 3),
bajo las condiciones anteriores (C1)–(C5), la regi´on de accesibilidad para el m´etodo tipo
Chebyshev est´a delimitada por la curva (v´ease [4]):
reg(a0) =
3
4
(8 − 16a0 − 8a2
0 − 5a3
0 + 8a4
0 + 3a5
0 + 2a6
0).
Si imponemos condiciones (C1), (C2), (C3), (C4) y (C5), la regi´on de accesibilidad
para el m´etodo de tipo-Chebyshev es ahora una regi´on acotada por las condiciones (7),
que se reducen a a0 ≤ 0,300637, e ilimitada verticalmente.
3. Aplicaci´on
Aplicamos el estudio anterior a un operador integral de tipo Hammerstein:
F(x)(s) = x(s) − 1 −
1
0
G(s, t) x(t)5/2
+ x(t)3
/5 dt, s ∈ [0, 1], (9)
donde x ∈ C[0, 1], s, t ∈ [0, 1], y el n´ucleo G es la funci´on de Green
G(s, t) =
(1 − s)t, t ≤ s,
s(1 − t), s ≤ t.
5

6. J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez and N. Romero
Consideramos, F : C+[0, 1] ⊆ C[0, 1] → C[0, 1], donde C+[0, 1] = {x ∈ C[0, 1] | x(t) ≥
0, t ∈ [0, 1]} y
[F(x)](s) = x(s) − 1 −
1
0
G(s, t) x(t)5/2
+ x(t)3
/5 dt, s ∈ [0, 1]. (10)
Usando la norma del m´aximo y teniendo en cuenta que x∗ una soluci´on de (9) en
Ω = C+[0, 1] debe satisfacer
x∗
−
x∗ 5/2
8
−
x∗ 3
40
− 1 ≤ 0,
es decir, x∗ ≤ ρ1 = 1,28982 . . . o x∗ ≥ ρ2 = 2,28537 . . ., con ρ1 y ρ2 raices positivas de
z − z5/2/8 − z3/40 − 1 = 0, si buscamos una soluci´on tal que x∗ > ρ2, es claro que no
podemos a cotar el operador F si no prefijamos una bola, de localizaci´on de la ra´ız. Sin
embargo, F satisface (C3), con
ω(z) =
15
32
z1/2
+
3
20
z.
Si elegimos x0(s) = 2,3, entonces Γ0 ≤ 2,05428 . . . = β y Γ0F(x0) ≤ 0,0144011 . . . =
η y
ϕ(t) = ω( x0 + t) =
3
160
(25 2,3 + t + 8(2,3 + t)).
Consecuentemente podemos obtener a0 y los radios de existencia R y unicidad de soluci´on
˜R, los cuales dependen del correspondiente m´etodo en la familia (3) que sea aplicado.
Discretizamos el problema, de manera que aproximamos la integral mediante la f´ormula
de cuadratura de Gauss-Legendre:
1
0
f(t) dt ≈
1
2
m
j=1
βjf(tj),
donde βj son los pesos y tj los nodos.
Si denotamos xi = x(ti), i = 1, . . . , 8, la ecuaci´on F(x) = 0 queda:
xi = 1 +
1
2
8
j=1
βjG(ti, tj) x
5
2
j +
x3
j
5
, i = 1, 2, . . . 8.
Ahora, si denotamos aij =



1
2
(1 − ti)tjβj, j ≤ i,
1
2
ti(1 − tj)βj, i ≤ j,
entonces
xi = 1 +
8
j=1
aij x
5
2
j +
x3
j
5
, i = 1, . . . , 8. (11)
Adem´as, denotando x = (x1, . . . , x8)T , 1 = (1, . . . , 1)T y A = (aij), podemos escribir el
sistema (11) como:
F(x) = x − 1 − A x5/2
+ x3
/5 . (12)
6

7. M´etodos iterativos de tercer orden y ecuaciones integrales de tipo Hammerstein
Por lo tanto, F (x)(y) = I − A 5
2 D3/2(x) + 3
5 D2(x) y, ∀y ∈ R8, donde Dk(x) denota
la matriz diagonal con las componentes el vector (xk
1, xk
2, . . . xk
n) en la diagonal, y F es el
operador bilineal definido por
F (x)(y, z) = −
3
20
A (25x
1/2
1 + 8x1)z1y1, . . . , (25x
1/2
8 + 8x8)z8y8
t
, ∀y, z ∈ R8
.
Observamos que el coste operacional del c´alculo del operador F se reduce considerable-
mente, de modo que la utilizaci´on de m´etodos iterativos de alto orden para aproximar una
soluci´on de (12) est´a justicado desde el punto de vista del coste computacional.
Usamos el m´etodo tipo-Chebyshev ((3) con A2 = 1
2 , Ak = 0, k ≥ 3), para aproximar
una soluci´on de (12). Realizamos los siguientes pasos:
1. C´alculo de una LR-descomposici´on para F .
2. Resolvemos el sistema lineal: F (xk)ck = −F(xk).
3. Resolvemos el sistema lineal: F (xk)zk = F (xk)(ck)2.
4. Resolvemos el sistema lineal: F (xk)wk = F (xk)ckzk.
5. Definimos: xk+1 = xk + ck −
1
2
(zk − wk).
Denotamos por xn = (x
(n)
1 , x
(n)
2 , . . . , x
(n)
8 )t la n-´esima iteraci´on. Si elegimos x
(0)
i = 2,3,
para i = 1, 2, . . . , 8, despu´es de siete iteraciones aplicando el m´etodo de tipo-Chebyshev
y usando el criterio de parada xn − x∗ < 10−15, obtenemos la soluci´on num´erica x∗ =
(x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
8) de (12) dada en la Tabla 1.
x∗
1 1,11867 . . . x∗
2 1,60102 . . . x∗
3 2,33903 . . . x∗
4 2,97704 . . .
x∗
5 1,97704 . . . x∗
6 2,33903 . . . x∗
7 1,60102 . . . x∗
8 1,11867 . . .
Tabla 1: Soluci´on num´erica x∗ del sistema (12)
4. M´etodos predictor-corrector
En el ejemplo anterior, si elegimos x
(0)
i = 2,75, (i = 1, 2 . . . , 8), las condiciones (7) del
Teorema 2, no se satisfacen para ninguno de los procesos iterativos de la familia (3). Por
tanto, no se puede garantizar la convergencia de ning´un m´etodo (3) a una soluci´on de
(9). Evitamos esta situaci´on haciendo una predicci´on a los m´etodos de (3). La idea para
aproximar una soluci´on z∗ de la ecuaci´on (2) es aplicar el m´etodo de Newton N0 veces,
empezando en x0 ∈ Ω, y a partir de z0 = xN0 aplicar una iteraci´on de (3).
Esto es, tomar como x0 un punto que est´e en la regi´on de accesibilidad del m´etodo
de Newton realizar un n´umero de iteraciones N0 con ´este m´etodo, hasta z0 = xN0 , que
est´e dentro de la regi´on de accesibilidad de un m´etodo (3). Consideramos entonces el
7

8. J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez and N. Romero
siguiente algoritmo:



x0 ∈ Ω,
xn = xn−1 − Γn−1F(xn−1), n = 1, 2, . . . , N0,



z0 = xN0 ,
zn+1 = zn − H(LF (zn))[F (zn)]−1F(zn), n ≥ 0,
H(LF (z)) = I +
1
2
LF (x) +
k≥2
AkLF (z)k
, Ak ∈ R+
, k ≥ 2,
(13)
donde x0 debe cumplir que α0 = βηϕ(R1) < 1/2, con R1 la ra´ız positiva m´as peque˜na
de la ecuaci´on 3βϕ(t)t − 2βη2ϕ(t) − 2t + 2η = 0, mientras que z0 = xN0 satisface las
condiciones (7). Notemos que α0 < 1/2 es la condici´on que se debe cumplir para que el
m´etodo de Newton converja semilocalmente bajo las condiciones (C1), (C2), (C3), (C4) y
(C5), con h(t) = 1, (v´ease [1]). Entonces, si se cumple α0 < 1/2, podemos usar el m´etodo
de Newton un n´umero finito de pasos N0 hasta que xN0 = z0 cumpla (7), y aplicar despu´es
una iteraci´on de (3). La clave del problema reside en garantizar la existencia de N0, lo que
conseguimos en el siguiente resultado.
Teorema 3 Sean X e Y dos espacios de Banach y F : Ω ⊆ X → Y un operador dos veces
diferenciable Fr´echet definido en un dominio abierto convexo no vac´ıo Ω. Sea x0 ∈ Ω y
supongamos que se cumplen (C1), (C2), (C3), (C4) y (C5) para alg´un x0 ∈ Ω. Supongamos
que α0 = ϕ(R1)βη < 1/2 y B(x0, R1 + R) ⊆ Ω son ciertas, pero no se satisface alguna de
las condiciones (7). Si z0 = xN0 con N0 = m´ax{N1, N2, N3}, N1 = 1+ log r−log α0
log α0−log(2(1−α0)2)
,
N2 = 1 + log α0+log h(α0)
log(2(1−α0)2)−log α0
, N3 = 1 + log s−log α0
log α0−log(2(1−α0)2)
, cuando estos valores sean
positivos, y nulos en otro caso, s la ra´ız positiva m´as peque˜na de f(t)2g(t) − 1 = 0 y [t] la
parte entera del n´umero real t, entonces z0 satisface las condiciones dadas en(7).
As´ı, para el punto considerado en el ejemplo x
(0)
i = 2,75, (i = 1, 2 . . . , 8), obtenemos
para el m´etodo de tipo-Chebyshev N0 = 6. De modo que tomamos z0 = w6 = x6. Ahora,
desde z0 podemos garantizar la convergencia del m´etodo tipo-Chebyshev despu´es de un
iteraci´on, a la soluci´on de sistema (12), que hemos mostrado en la Tabla 1.
Referencias
[1] J. A. Ezquerro and M. A. Hern´andez, On a application of Newton’s method to nonlinear operators
with ω-conditioned second derivative, BIT, 42, 3, (2002), 519–530.
[2] M. Ganesh and M. C. Joshi, Numerical solvability of Hammerstein integral equations of mixed type,
IMA J. Numer. Anal. 11 (1991), 21-31.
[3] M. A. Hern´andez and M. A. Salanova, Indices of convexity and concavity: Application to Halley
method, Appl. Math. Comput., 103, (1999), 27–49.
[4] M. A. Hern´andez and N. Romero, On a chatacterization of some Newton-like methods of R-order at
least three, J. Comput. Appl. Math. 183 (2005), 53-66.
8