Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Desarrollo de polinomios interpolantes, definición, teoremas, practicas y link de videos. con el fin de dar una completa referencia al tema.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARINAS
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
Nombre (s) y Apellido (s): Santa Duran
C.I. 11.927.304
Carrera: Ingeniería Industrial
Barinas, 16 de agosto 2019

2. CONTENIDO
• Polinomios
• Interpolantes
• interpolaciones de Lagrange
• interpolantes de Newton-Gregory.
• interpolartes de Hermite.
• Diferencias divididas de newton
• Diferenciación numérica

3. POLINOMIOS
Es una expresión algebraica que se
obtiene al expresar cualquier suma de
monomios no semejantes.
Si recordamos la suma de monomios,
cuando estos no eran semejantes, no se
podían sumar. En este caso lo que se
obtiene es por tanto un polinomio.
Ejemplo:
3ab23ab2
3a(b+2)2
La primera es un termino algebraico
donde solo se ven las operaciones
de multiplicación y potencia, pero en
la segunda podemos ver un termino
algebraico donde existe la operación
de adición en su estructura. Las dos
son dos expresiones algebraicas
racionales enteras.
https://www.youtube.com/watch?v=3QW6pG27U7U
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4. TEOREMA DEL RESTO
El resto de la división de un polinomio P(x),
entre un polinomio de la forma (x − a) es el
valor numérico de dicho polinomio para el
valor x = a, es decir R= P(a).
TEOREMA DEL FACTOR
El polinomio P(x) es "divisible por" un
polinomio de la forma x – a R= P(a) = 0.
Se dice que x-a es un "factor" del
polinomio P(x) y que x= a es una raíz o
cero de P(x).
TEOREMA DEL RESIDUO.
Teorema que establece que si un polinomio
de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es
cualquier número real o complejo, entonces
el residuo es f(a). Como se muestra, la
expresión anterior nos puede llevar
fácilmente a esperar que 4 sea
el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
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https://www.youtube.com/watch?v=GBJc9Slf3Kg

5. EJERCICIOS DE POLINOMIOS
1) Calcula las siguientes sumas para los siguientes polinomios:
P(x) = 5x2 - 7x + 3
Q(x) = -5x2 + 2x
R(x) = x3 + x2 + 2
a) P(x) + Q(x)
P(x) + Q(x) = 5x2 - 7x + 3 - 5x2 + 2x =
= 5x2 - 5x2 - 7x + 2x + 3 = -5x + 3
b) P(x) + R(x))
b) P(x) + R(x) = 5x2 - 7x + 3 + x3 + x2 + 2 =
= x3 + 5x2 + x2 - 7x + 3 + 2 = x3 + 6x2 - 7x + 5
c) Q(x) + R(x)
c) Q(x) + R(x) = -5x2 + 2x + x3 + x2 + 2 =
= x3 - 5x2 + x2 + 2x + 2 = x3 - 4x2 + 2x + 2

6. POLINOMIOS. - INTERPOLANTES
Consiste en construir una función que pase por
los valores conocidos (llamados polos) y utilizar
ésta como aproximación de la función primitiva.
Si se utilizan polinomios como funciones de
aproximación, hablamos de interpolación
polinómica.
En análisis numérico, la interpolación
polinómica (o polinomial) es una técnica
de interpolación de un conjunto de datos o de
una función por un polinomio. Es decir, dado
cierto número de puntos obtenidos por muestreo o
a partir de un experimento se pretende encontrar
un polinomio que pase por todos los puntos.
https://www.youtube.com/watch?v=u01W3We9Z1g
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7. EJERCICIOS

9. INTERPOLACIONES DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del
polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se
puede representar concretamente como:
en donde:
denota el "producto de". por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:
https://www.youtube.com/watch?v=2nju-o6t3kQ
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10. al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error
aproximado dado por:
La ecuación se deriva directamente del polinomio de Newton. Sin embargo, la
razón fundamental de la formulación de Lagrange se puede comprender
directamente notando que cada término Li(X) será 1 en X=Xi y 0 en todos los
demás puntos.
Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor de f(Xi) en el punto Xi. Por
consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación es el
único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n+1 puntos.

11. EJERCICIOS
Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y segundo orden
para evaluar ln 2en base a los datos:
Solución: El polinomio de primer orden es:
y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es

12. De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:
Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron
previamente usando la interpolación polinomial de Newton.
En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el
método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento
de las diferentes fórmulas de orden superior. Ademas la aproximación del error
dada por la ecuación (20), en general puede integrarse fácilmente en los cálculos
de Newton ya que la aproximación usa una diferencia dividida. De esta forma,
desde el punto de vista de cálculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.
Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de
Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo de calculo similar. Sin
embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. T ambien
existen casos en donde la forma de Newton es mas susceptible a los errores de
redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar diferencias
divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio
se conoce a priori.

13. INTERPOLANTES DE NEWTON-GREGORY
Este actúa, cuando la función ha sido
tabulada, se comporta como un polinomio,
se le puede aproximar al polinomio se le
parece.
Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos
esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton-Gregory (en
avance y retroceso).
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https://www.youtube.com/watch?v=znnp4kmwPpI

14. EJERCICIO

15. https://www.youtube.com/watch?v=uEzXbQ9bvI8
En el análisis numérico, la interpolación de Hermite, nombrada así en honor a
Charles Hermite, es un método de interpolación de puntos de datos como una
función polinómica. El polinomio de Hermite está estrechamente relacionado
con el polinomio de Newton, en tanto que ambos se derivan del cálculo de
diferencias divididas.
Consiste en buscar un polinomio Hn(x) por pedazos, que sea cúbico en cada
subintervalo [X (i-1), Xi], 1 <= i <= n y que cumpla f’(X) en los puntos {
X0,…..,Xn }, donde f(X) es la función que se quiere interpolar.
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16. EJERCICIO
Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio P(x) de grado 2 que
satisfaga: p(1) = 0, p'(1) = 7 , p''(2) =10
Como existe la derivada del polinomio P(x), quiere decir que el método a utilizar
es el de Hermite (en el caso de que no nos dijeran el método a utilizar),
entonces la tabla quedaría de la forma;
X P(x)
1 0
1 0 7
2 10 P [1,2]=10 P [1,1,2]=3
P [1,2]= 10/1
P [1, 1,2]= (10-7)/1 = 3
El polinomio de interpolación quedaría expresado de la forma
P(x)=7(x-1)+3(x- 1)2
P(x)=3 2 + x-4 satisface las condiciones de p(1)= 0, p' (1) = 7, p(2) = 10 .

17. DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
Se denomina Diferencia Dividida a la constante Cn resultante de
En las diferencias divididas de la función f(x), el soporte es{x0,x1,…,xn-1,xn}y
se representa por:f[x0,x1,…,xn-1,xn]
Propiedades
El orden en el que estén ordenados los valores del soporte no altera el resultado
final.
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https://www.youtube.com/watch?v=klOWp2SYycc

18. La relación entre las diferencias divididas verifica:
Fórmula de Newton
Por medio de las diferencias divididas podemos deducir el polinomio
interpolador de Newton, que se representa por la siguiente expresión:

19. Un método para conseguir esta expresión es mediante la tabla de Frasser-
Logenze.
Diferencias Finitas
Podemos distinguir entre diferencias finitas progresivas y regresivas.

20. Diferencias Finitas Progresivas
Se denomina diferencia finita progresiva de un orden determinado a la siguiente
expresión:
y, particularizando para m=0, nos queda:
Para calcular diferencias finitas progresivas, haremos uso de la siguiente tabla:

21. Diferencias Finitas Regresivas
Para calcular diferencias finitas regresivas, haremos uso de la siguiente tabla:
Las diferencias finitas progresivas guardan cierta relación con las regresivas,
como podemos ver a continuación:
Diferencias finitas progresivas
Diferencias finitas regresivas

22. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x)
dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de
ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones
numéricas de una derivada a partir de los valores de la función. Pero el método de
diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable
y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original
esta bien aproximada, por lo que el error f’(x) – p’(x) puede ser muy grande
especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones. Ahora su p(x) es
un polinomio de interpolación de f(x) entonces e(x) = f(x)- p(x) es el error de
aproximación, por lo que e’(x)=(f(x) – p(x))’= f’(x) – p’(x) es el error de interpolación
en la derivación de f(x) con respecto a la aproximación con el polinomio p(x).
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https://www.youtube.com/watch?v=0PGWcSfhU5g

23. EJERCICIO

24. CONCLUSION
De acuerdo al desarrollo de este contenido se pudo conocer la
resolución de polinomios donde se desarrollan funciones aplicadas
con sus respectivos teoremas y aplicaciones .
El polinomio interpolador parte de conocer los valores de la función
del plano entre puntos emparéntales, es un método usado para
conocer la aproximación de valores de una función.
De tal modo que el material presentado será de gran utilidad para
sintetizar los polinomios y sus adyacencias.