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Análisis Semiclásico de Operadores de Schrödinger
1. An´alisis Semicl´asico de Operadores de
Schr¨ondinger
Juliho David Castillo Colmenares
Escuela de Ciencias, UABJO
Juliho David Castillo Colmenares An´alisis Semicl´asico de Operadores de Schr¨ondinger
2. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
En la presente tesis, analizaremos el comportamiento asint´otico cuando
λ → ∞ del eigenvector Ω0(x; λ), asocidado al primer eigenvalor E0(λ),
del operador ,
H (λ) = −
1
2
∆ + λ2
V (x) (1.1)
el cual actua en L2
(Rn
), y donde ∆ es el operador de Laplace y
V : Rn
→ R actua por multiplicaci´on.
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3. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Este an´alisis se realizar´a bajo las siguientes hipotesis sobre el potencial
V : Rn
→ R:
(1) V es C∞
y no negativa;
(2) l´ım x →∞ V (x) = ∞;
(3) V se anula exactamente en dos puntos a, b y ∂2
V /∂xi ∂xj es una
matriz no singular para x = a, b.
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4. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
De manera adicional, suponemos que
(4) l´ım inf
λ↑∞
( jaΩ0(λ) jbΩ0(λ) ) > 0,
donde ja, jb son funciones con soporte en vecindades muy peque˜nas de a
y b.
Finalmente, pediremos que ∆V este acotado, lo que es equivalente a que
la funci´on V : Rn
→ R sea semiconcava.
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5. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
En este an´alisis, usaremos la m´etrica de Agmon, que se define de la
siguiente manera
ρ(x, y) =´ınf
1
0
2V (γ(s))| ˙γ(s)|ds γ(0) = x, γ(1) = y , (1.2)
la distancia geod´esica en la m´etrica Riemanniana 2V (x)dx2
, conforme
con la m´etrica Euclidiana.
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6. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Sin embargo, usaremos una versi´on equivalente de la m´etrica de Agmon,
que es la siguiente.
Proposici´on
Sea ρ dada por (1.2). Entonces
ρ(x, y) = ´ınf
γ,T
1
2
T
0
|˙γ(s)|2
ds +
T
0
V (γ(s))ds γ(0) = x, γ(T) = y ,
(1.3)
donde tambien minimizamos sobre T.
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7. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
El resultado principal de esta tesis es el siguiente teorema
Teorema
Si se satisfacen las hiportesis (1)-(4), y si suponemos que el potencial V
es semiconcavo, entonces para cualquier x
l´ım sup
1
λ
ln |Ω0(λ; x)| = − m´ın (ρ (x, a) , ρ (x, b)) ,
siendo este l´ımite uniforme en subconjuntos compactos.
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8. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
En [11] se demuestra este teorema de dos maneras diferentes: la primera,
usando el M´etodo de Grandes Desviaciones y la segunda, con m´etodos de
ecuaciones diferenciales parciales. En la presente tesis, daremos una
demostraci´on alternativa de nuestro resultado principal usando m´etodos
variacionales.
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9. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Este resultado tiene particular importancia en f´ısica. Nuestro estudio
considera λ → ∞, que corresponde al estudio del operador de
Schr¨ondinger, cuando → 0, es decir, cuando consideramos como un
parametro muy peque˜no, lo cual ocurre en sistemas cl´asicos. Por esto, se
le conoce como an´alisis semicl´asico de operadores de Schr¨ondinger.
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10. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Consideremos el operador de Schr¨ondinger
H = −
2
2m
∆ + V (x), (2.1)
que actu´a en L2
(Rn
), donde ∆ es el operador de Laplace y V : Rn
→ R
es una funci´on que actua por multiplicaci´on.
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11. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
En f´ısica cu´antica, se estudia la ecuaci´on conocida como de
Schr¨ondinger, la cu´al para sistemas cu´anticos estacionarios, es decir, que
no dependen del tiempo, tiene la forma
Hψ = Eψ,
donde E representa los niveles de energ´ıa de los estados cu´anticos
estacionarios.
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12. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Consideremos la sustituci´on formal
2
m = 1
λ2 en (2.1), de lo cual se obtiene
H = −
1
2λ2
∆ + V (x), (2.2)
y a partir de (1.1), se obtiene la relaci´on H = λ−2
H(λ). Como se puede
observar,
2
2m → 0 es equivalente a λ → ∞.
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13. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Supondremos que el potencial V cumple las hipotesis que se enunciaron
en la secci´on anterior. En un contexto f´ısico, se dice que un potencial que
cumple con las hipotesis (1)-(3) tiene un doble pozo en a y b, ya que a y
b son m´ınimos globales de este funci´on. La hipotesis (4) nos dice que la
funci´on de onda del estado base esta esencialmente concentrada en
ambos pozos (efecto tunel). La ´ultima suposici´on tiene sentido
f´ısicamente pues, de otra manera, las soluciones “explotar´ıan” en un
tiempo finito.
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14. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
El resultado principal respecto al efecto tunel es el siguiente:
Teorema
Sea V una funci´on en Rn
que obedece (1)-(4). Sea
H(λ) = −1
2 ∆ + λ2
V (x) y sea E1(λ), E0(λ) los dos eingenvalores m´as
peque˜nos de H(λ). Entonces
l´ım
λ→∞
−λ−1
ln [E1(λ) − E0(λ)] = ρ(a, b) (2.3)
donde ρ(a, b) es la distancia de a a b en la m´etrica de Agmon.
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15. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Por simplicidad, demostraremos solamente la siguiente proposici´on
Proposici´on
l´ım inf
λ→∞
−λ−1
ln [E1(λ) − E0(λ)] ≥ ρ(a, b). (2.4)
De manera informal, esta desigualdad nos dice que
E1(λ) − E0(λ) ≤ e−λρ(a,b)
,
es decir, a medida que λ → ∞, el primer estado exitado decae
exponencialmente en el estado base.
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16. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Para esta demostraci´on, necesitaremos el teorema 1.1. De hecho,
solamente necesitaremos el siguiente hecho
Observaci´on
Para cada > 0, existe una subsucesi´on {λn} , tal que
Ω(λn, x) ≤ e−λn(ρ(x)− )
(2.5)
donde ρ(x) ≡ m´ın(ρ(x, a), ρ(x, b)).
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17. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Definici´on
Sea
B ≡ {x|ρ(a, x) = ρ(b, x)} ,
al cual llamaremos como bisector geod´esico.
Definimos
d(x) ≡
ρ(x, a) − ρ(x, b)
ρ(a, b)
, (3.1)
de manera que
d(x) =
−1 x = a
0 x ∈ B
1 x = b
(3.2)
Por la proposici´on 3.3 en [6], d es diferenciable cas´ı en todas parte y m´as
a´un, podemos suponer que lo es en todas partes.
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18. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Para cualquier α > 0 fija, escogemos hα ∈ C∞
(R), con |hα| ≤ 1, y de
manera que
hα(x) =
1, x ∈ [α, ∞),
−1, x ∈ (−∞, α],
(3.3)
y hα(−x) = −hα(x). Definimos
g(x) ≡ hα(d(x)),
y notamos que g ∈ C1
(Rn
) y supp ( g) ⊂ {x| d(x) < α} , que es una
vecindad alrededor de B.
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19. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Figura: Las funciones d y g, y el bisector geod˜A c sico.
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20. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Finalmente definimos, para cualquier operador A con Ω0(λ) ∈ D(A),
A λ ≡ AΩ0(λ), Ω0(λ) .
al cual llamaremos el elemento de matriz de A en el estado Ω0(λ).
Necesitamos la siguiente funci´on,
f = g− g λ, f λ = 0, (3.4)
para la cual se tiene el siguiente
Lema
Sea E0, E1 los dos primeros eigenvalores de H(λ). Entonces
E1 − E0 ≤
1
2
| f | Ω0(λ)
2
f Ω0(λ)
−2
. (3.5)
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21. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
De (3.5), tenemos que
∆E ≡ l´ım inf
λ→∞
−
1
λ
ln[E1 − E0]
≥ l´ım inf
λ→∞
−
1
λ
ln | f | Ω0(λ) +
1
λ
ln f Ω0(λ) . (3.6)
N´otese que | f | = | g| , y recordemos que supp (| g|) esta localizada
en una vecindad alrededor de B. Ahora, a partir de 2.5, obtenemos
| f | Ω0(λ)
2
≤ eλn(ρ− )
Ω0(λ)
2
e−λ(˜ρ− /2)
≤ e−λ(˜ρ− /2)
, (3.7)
donde ˜ρ ≡ m´ın {ρ(x)|x ∈ supp (| g|)} .
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22. Planteamiento del problema
El ef´ecto tunel
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Demostraci´on de la proposici´on 2.2
Ahora bien, para cualquier > 0, existe una α suficientemente peque˜na,
tal que
˜ρ ≥
ρ(a, b) −
2
,
ya que m´ın ρ(x)|x ∈ B = 1
2 ρ(a, b). A partir de (3.6), (2.5) y (3.7),
obtenemos que para cualquier > 0,,
∆E ≥ ρ(a, b) − + l´ım inf
λn→∞
1
λ
ln f Ω0(λ) .
Si l´ım inf(1/λ) ln f Ω0, f Ω0 < 0, entonces o bien jaΩ0 o bien jbΩ0
se hacen peque˜nas, de tal manera que por la hip´otesis (A4) tenemos que
l´ım inf 1
λ ln f Ω0, f Ω0 ≥ 0. Como > 0 es arbitraria, tenemos que
∆E ≥ ρ(a, b).
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23. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
En nuestro problema, trabajamos con un Lagrangiano L : Rn
× Rn
→ R
de la forma
L(x, v) =
1
2
|v|2
+ V (x)
con el Hamiltoniano H : Rn
× Rn
→ R asociado
H(x, p) =
1
2
|p|2
− V (x)
donde V : Rn
→ R cumple las hipotesis (A1)-(A4). De manera adicional,
pediremos que ∆V este acotado, lo que es equivalente a que la funci´on
V : Rn
→ R sea semiconcava.
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24. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Como se explicar´a en el la siguiente secci´on, para c ≥ 0, la ecuaci´on de
Hamilton-Jacobi
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = c (4.1)
tiene soluciones φ : Rn
→ R, las cuales. para c = 0 no son soluciones
cl´asicas, y que en este contexto llamaremos soluciones de viscosidad.
Aunque para c = 0 existe una infinidad de soluciones que solamente
difieren por una constante, tambien existen soluciones que no solamente
difieren por esta caracteristica, si no que de hecho, depende de los valores
en a y b.
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25. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Consideremos ahora la ecuaci´on de Hamilton Jacobi con viscosidad:
ε∆φ(x) +
1
2
|Dφ(x)|
2
− V (x) = c(ε), (4.2)
donde el parametro ε es el coeficiente de viscosidad. Como en el caso sin
viscosidad, existe una ´unica constante c(ε) tal que la ecuaci´on de
Hamilton Jacobi con viscosidad. Sin embargo, en este caso, la soluci´on
ser´a ´unica, salvo una constante y la denotaremos φε.
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26. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
De hecho, si φε es una soluci´on de (4.2), entonces exp(φε/2ε) es una
eigenfunci´on del operador de Schr¨ondinger 2ε2
∆ − V (x), con eigenvalor
c(ε).
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27. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Considere ahora la sustituci´on ε = 1/2λ. Recordemos que si λ → ∞,
entonces E0(λ)
λ →
√
ω#, esta ´ultima una constante. Entonces
c(1/2λ) → 0, cuando λ → ∞. De manera equivalente c(ε) → 0, cuando
ε → 0.
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28. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Observaci´on
A partir de ahora, por los argumentos anteriores, trabajaremos con la
notaci´on ψε(x), para referirnos al estado base Ω(λ; x). Debemos tener
presente las relaciones 2ε = 1
λ y φε = eψε/2ε
.
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29. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Para obtener la demostraci´on del teorema 1.1, estudiaremos el
comportamiento de φε cuando ε → 0, de manera que podamos obtener
subsucesiones que convergen uniformemente y, aplicando el m´etodo de
Laplace, obtendremos el resultado deseado. De hecho, obtendremos la
m´etrica de Agmon como una expresi´on del l´ımite de φε, en terminos de a
y b.
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30. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Definici´on
Una funci´on continua φ : Rn
→ R se dice soluci´on de viscosidad hacia el
futuro de la ecuaci´on (4.1) si satisface las siguientes propiedades:
1 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´ınimo local en x entonces
1
2
|Dv(x)|
2
− V (x) ≥ 0,
2 Si v ∈ C1
y φ − v tiene un m´aximo local en x entonces
1
2
|Dv(x)|
2
− V (x) ≤ 0.
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31. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
De hecho, una funci´on es una soluci´on de viscosidad adelantada de (4.1)
si y solo si resuelve el siguiente problema de punto fijo, para toda
x ∈ Rn
, t ≥ 0,
v(x) = sup
γ:[0,t]→Rn,γ(0)=x
{v(γ(t)) −
t
0
1
2
|˙γ(s)|
2
+ V (γ(s))ds} (5.1)
donde el supremo se toma sobre las curvas C1
a trozos. Esta f´ormula es
conocida como de Lax-Oleinik o principio de programaci´on din´amica.
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32. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
De hecho, como lo veremos en la siguiente secci´on, la soluci´on esta dada
por
φ(x) = m´ax{φ(a) − ρ(x, a), φ(b) − ρ(x, b)}. (5.2)
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33. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Definamos, para toda y ∈ Rn
,
ζ(y) =´ınf
t
0
1
2
|˙γ(s)|
2
+ V (γ(s))ds|t ≥ 1, γ(0) = γ(t) = y ,
y entonces, definimos el conjunto de Aubry A como
A = {y ∈ Rn
|ζ(y) = 0} .
Como ζ(y) ≥ V (y), y entonces, ζ(y) = 0 ⇐⇒ y = a, b, es claro que
A = a, b.
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34. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Definimos S como el conjunto de soluciones de viscosidad, y para
φ ∈ S , definimos E (v) como el conjunto de curvas absolutamente
continuas γ, que satisfacen para r < t,
φ(γ(t)) = φ(γ(r)) + ρ(φ(r), φ(t)).
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35. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Lema
Sea φ ∈ S y γ ∈ E . Existe una funci´on Ψ ∈ S de manera que
φ(γ(t)) − ρ(·, γ(t)) → Ψ in C(Rn
),
cuando t → ∞.
M´as a´un, Ψ = φ en γ([0, ∞)) y Ψ ≤ φ en Rn
.
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36. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Denotaremos por g(φ, γ), la funci´on Ψ ∈ S que obtuvimos en el lema
anterior. Es decir,
g(φ, γ)(x) = l´ım
t→∞
[φ(γ(t)) − ρ(x, γ(t))] para x ∈ Rn
.
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37. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Teorema (F´ormula de representaci´on de soluciones de viscosidad)
Sea φ ∈ S . Entonces, para toda x ∈ Rn
,
φ(x) = sup {g(φ, γ)(x)|γ ∈ E } .
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38. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Observaci´on
Para φ ∈ S , no es existe γ ∈ E , tal que l´ımt→∞ |γ(t)| = ∞.
Por tanto, la f´ormula de representaci´on se reduce a
φ(x) = m´ax {φ(a) − ρ(x, a), φ(b) − ρ(x, b)} .
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39. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
La soluci´on a la ecuaci´on de viscosidad (4.2) puede ser caracterizada por
una f´ormula variacional an´aloga a (5.1). En el caso viscoso, necesitamos
introducir un movimiento Browniano W (t) : Ω → Rn
. Denotaremos por
E la esperanza con respecto a la medida de probabilidad P.
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40. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
La soluci´on a la ecuaci´on (4.2) satisface la f´ormula de Lax
φε(x) = sup
v
E φε(Xε(τ)) −
τ
0
1
2
|v(s)|
2
+ V (Xε(s))ds − c(ε)τ ,
(7.1)
donde v es un control admisible progresivamente medible, τ es un tiempo
de paro finito y Xε es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial estoc´astica
dXε(t) = v(t)dt + (2ε)dW (t)
Xε = x,
(7.2)
que se deduce del lema 3.1 en [5].
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41. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
El supremo en (7.1) se alcanza y el control ´optimo se obtiene de la
siguiente manera. Si consideramos la soluci´on del siguiente ecuaci´on
diferencial estoc´astica
dXε(t) = Dφε(Xε(t))dt + (2ε)dW (t)
Xε = x,
(7.3)
entonces el control ´optimo esta dado por la siguiente f´ormula
v(t) = Dφε(Xε(t)).
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42. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
El siguiente lema se puede probar usando la F´ormula de Lax y la ´ultima
hipotesis que introdujimos, es decir, que V es semiconcavo.
Lema
Las soluciones φε de (4.2) son Lipschitz y semiconvexa uniformemente en
ε, en compactos. Entonces, adicionando una condici´on de
“normalizaci´on”, como φε(x0) = 0, siempre existen subsucesiones que
convergen en la norma C0
.
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43. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Teorema
[9] Sea fn una suceci´on de funciones diferenciables convexas que
convergen puntualmente a una funci´on diferenciable f . Entonces Dfn
convege puntualmente a Df , y en compactos, lo hace uniformemente.
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44. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Una aplicaci´on inmediata de este lema (y del teorema que se enunci´o) es
el siguiente
Lema
Suponga que la sucesi´on φεn de soluciones de (4.2) converge C0
a φ0.
Supongamos que φ0 es diferenciable en un abierto V . Entonces dφεn
converge a dφ0 uniformemente en cada subconjunto compacto de V .
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45. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Recordemos que las soluci´on de viscosidad de (4.1) esta dada por
φ(x) = m´ax{φ(a) − ρ(x, a), φ(b) − ρ(x, b)}.
En esta secci´on, mostraremos que φ(a) = φ(b), usando el m´etodo de
Laplace. Este se puede enunciar de la siguiente manera
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46. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Lema (M´etodo de Laplace)
Suponga que l : Rn
→ R es una funci´on continua que crece a los m´as
linealmente, y que k : Rn
→ R es una funci´on continua, dos veces
diferenciable en una vecindad de y0 ∈ Rn
, de manera que
k(y0) = m´ın
y∈R
k(y).
Entonces
l´ım
ε→0
Rn l(y)e
−k(y)
ε dy
Rn e
−k(y)
ε dy
= l(y0).
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47. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Primero observemos que ∀γ ∈ Cac
(x, y) : A(γ) ≥ 0, por lo que
h(x, y) ≥ 0. De donde, a, b son m´aximos locales de φ(x). De hecho, por
la forma de la soluci´on, por lo menos uno deber´ıa ser m´aximo global.
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48. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Ahora bien, supongamos que φ(a) > φ(b). Entonces a es un m´aximo
global. Como en una vecindad de a, φ es C3
, (por el lema 1 en [9]) y a
m´aximo local, por el teorema de Taylor, φ tiene decrecimiento por lo
menos cuadr´atico. Entonces, podemos aplicar el m´etodo de Laplace y
despu´es de unos c´alculos, obtenemos
l´ım
ε→0 Rn
l(y)ψ2
ε(y)dy = l(a).
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49. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
En particular si B = {x : |x − b| < δ}, para δ > 0 suficientemente
peque˜no, y χ una partici´on de la unidad, con soporte conteniendo a B,
tenemos que
0 = χB (a)
= l´ım
ε→0 Rn
χB (y)ψ2
ε(y)dy
= l´ım inf
λ→∞
jb(Ω) ,
donde ja es una funci´on de soporte en B. esto contradice la hipotesis
(A4). Por lo cual, tenemos que φ(a) = φ(b).
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50. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Con esto, hemos obtenido el resultado deseado. Como φ(a) = φ(b),
podemos normalizar de manera que ambas constantes sean iguales a
cero. Ahora bien, nuestra soluci´on
φ(x) = l´ım
εn→0
φεn
.
Pero
φεn
= 2εn ln ψεn
.
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51. Introducci´on
Soluciones de viscosidad
Representaci´on de las soluciones de viscosidad
F´ormula estoc´astica de Lax
M´etodo de Laplace
Resultado
Recordemos que ψεn es el estado base Ω(λ; x) de 1.1, y de hecho,
haciendo 2εn = 1
λ ,
εnψεn =
1
λ
Ω(λ; x)(x).
Entonces, bajo las hipotesis (A1)-(A4), adem´as de suponer que la funci´on
V : Rn
→ R es semiconcava, hemos demostrado que
l´ım
λ→∞
1
λ
Ω(λ; x) = m´ax (−ρ(x, a), −ρ(x, b))
= − m´ın (ρ(x, a), ρ(x, b)) .
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52. Ideas principales
Aportaciones
El efecto t´unel puede ser analizado al estudiar el v´ınculo entre
mec´anica cl´asica y mec´anica cu´antica, ya que el comportamiento de
un sistema cl´asico puede verse como el l´ımite de un sistema cu´antico
cuando → 0. Esto se conoce como an´alisis semicl´asico.
El v´ınculo entre mec´anica cu´antica y mec´anica cl´asica se entiende
mejor, al usar la f´ormulaci´on por integral de caminos de Feynman. A
trav´es de esta, podemos observar como la mec´anica cu´antica esta
relacionada con la teor´ıa de procesos estoc´asticos. En especial con
procesos de difusi´on, que vienen de problemas en sistemas cl´asicos.
La soluciones de viscosidad son una t´ecnica relativamente reciente
para resolver ecuaciones diferenciales. A trav´es de est´a t´ecnica,
hemos podido estudiar el comportamiento de sistem´as cl´asico y
vincularlos con un problema de mec´anica cu´antica.
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53. Ideas principales
Aportaciones
Por un lado, se explic´o el trabajo realizado por B. Simon en [11], de
manera que un alumno sin estudios de posgrado pueda enteder el
problema, y se han explicado las herramientas utilizadas, de manera que
pueda interesarse en el estudio de tales t´ecnica, tanto por su ´utilidad en
la f´ısica matem´atica, como en la matem´atica pura, en especial, en el
estudio de las ecuaciones diferenciales. Adem´as, se presentan los terminos
de la f´ısica, de manera que un un estudiante de matem´aticas pueda darse
cuenta de las posibles aplicaciones de sus conocimientos.
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54. Ideas principales
Aportaciones
Por otro lado, una aportaci´on importante fue emplear m´etodos
variacionales, en especial, los relacionados con soluciones de viscosidad,
para resolver un problema que se hab´ıa tratado con algunas otras
t´ecnicas. La importancia de abordar el problema desde esta perspectiva
es que este tema, que se ha empezado a investigar de manera reciente,
ha sido ya utilizado ampliamente para resolver muchos otros problemas
en ecuaciones diferenciales, pues echa mano de la teor´ıa del control
estoc´astico, el cual ha sido ampliamente desarrollado. Por lo cual, ofrece
una perspectiva rica y diferente de un problema importande en f´ısica.
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55. Ideas principales
Aportaciones
Contreras, Gonzalo, Iturriaga, Renato; Global Minimizers of
Autonomous Lagrangians;
www.cimat.mx/ gonzalo/libro/lagrangians.pdf.
Evans, Lawrence; An Introduction to Stochastic Differential
Equations; http://math.berkeley.edu/ evans/SDE.course.pdf.
Evans, Lawrence; An Introduction to Mathematical Optimal Control
Theory; http://math.berkeley.edu/ evans/control.course.pdf.
Evans, Lawrence; Partial Differential Equations; American
Mathematical Society.
Fleming, W., Soner, M.; Controlled Markov Processes and Viscosity
Solution; Springer, 1993.
Hislop, Israel; Sigal, Michael; Introduction to Spectral Analysis: with
applications to Schr¨odinger operators; Springer Verlag Inc., 1996.
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56. Ideas principales
Aportaciones
Ichihara, Naoyuki; Ishii, Hitoshi; Long-time Behavior of Solutions of
Hamilton-Jacobi Equations with Convex and Coercive Hamiltonians;
Arch. Rational Mech. Anal. 194 (2009) 383-419.
Rudin, Walter; Real and Complex Analysis; McGraw-Hill, 1970.
S´anchez-Morgado, H´ector, et.al.; Physical solutions of the
Hamilton-Jacobi Equation; Discrete and Continuous Dynamical
Systems- Series B, Vol. 5, No. 3; 2005, pag 513-528.
Simon, Barry; Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, I.
Non-degenerate minima: asymptotic expansions; Annales de lˆaI. H.
P., secci´on A, tomo 38, no. 3 (1983), p. 295-308.
Simon, Barry; Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, II.
Tunneling; Annals of Mathematics, 120(1984), pag 89-118.
Simon, Barry; Functional analysis and quantum mechanics;
Academic Press Inc, 1979.
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57. Ideas principales
Aportaciones
Simon, B., Reed, M.; Methods of Modern Mathematical Physics,
Vol. I; Academic Press, 1979.
Strocchi, F.; An introduction to the Mathematical Structure of
Quantum Meechanics; Advanced Series in Mathematical Physics,
Vol. 27, World Scientific, 2005.
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