Este documento describe el desarrollo de las matemáticas en Europa y Japón durante la Edad Moderna. En Europa, Newton y Leibniz crearon el cálculo infinitesimal, mientras que Euler y otros hicieron contribuciones importantes al análisis matemático. En Japón, matemáticos como Seki Kōwa desarrollaron independientemente conceptos similares, y los problemas matemáticos se presentaban en tablillas de madera llamadas sangaku.

1. Historia de la matemática
Edad Moderna
Durante la Edad Moderna se encuentran dos grandes focos en cuanto a las matemáticas.
Estos son Europa y Japón.
Europa
Las matemáticas se inclinan sobre aspectos físicos y técnicos. Isaac Newton y Gottfried
Leibniz crean el cálculo infinitesimal, con lo que se inaugura la era del análisis matemático,
la derivada, la integración y las ecuaciones diferenciales. Esto fue posible gracias al
concepto de límite, considerado la idea más importante de la matemática.​No obstante, la
formulación precisa del concepto de límite no se produjo hasta el siglo XIX con Cauchy.
El universo matemático de comienzos del siglo XVIII está dominado por la figura de
Leonhard Euler​y por sus aportes tanto sobre funciones matemáticas como teoría de
números, mientras que Joseph-Louis Lagrange alumbra la segunda mitad del siglo.
El siglo precedente había visto la puesta en escena del cálculo infinitesimal, lo que abría la
vía al desarrollo de una nueva disciplina matemática: el análisis algebraico, en el que, a las
operaciones clásicas del álgebra, se añaden la diferenciación y la integración. El cálculo
infinitesimal se aplica tanto en la física (mecánica, mecánica celeste, óptica, cuerdas
vibrantes) como en geometría (estudio de curvas y superficies). Leonhard Euler, en Calculi
différentialis (1755) y en Institutiones calculi integralis (1770), intenta establecer las reglas
de utilización de los infinitos pequeños y desarrolla métodos de integración y de resolución
de ecuaciones diferenciales. También se destacan los matemáticos Jean le Rond d'Alembert
y Joseph-Louis Lagrange. En 1797, Sylvestre François Lacroix publica Traité du calcul
différentiel et intégral que es una síntesis de los trabajos del Análisis del siglo XVIII. La
familia Bernoulli contribuye al desarrollo de la resolución de las ecuaciones diferenciales.

2. La función matemática se vuelve un objeto de estudio a parte entera. Matemáticos de la
talla de Brook Taylor, James Stirling, Euler, Maclaurin o Lagrange, la utilizan en problemas
de optimización; se la desarrolla en series enteras o asintóticas pero sin preocuparse de su
convergencia. Leonhard Euler elabora una clasificación de funciones. Se intenta aplicarla a
los reales negativos o complejos.
En esta época se produce el fenómeno contrario al observado en el siglo XVI. Álgebra y
geometría vuelven a unirse bajo un mismo método, pero ahora es el lenguaje algebraico el
que se aplica al estudio de los problemas geométricos.​El teorema fundamental del álgebra
(existencia de raíces eventualmente complejas a todo polinomio) que tenía forma de
conjetura desde hacia dos siglos, es revalorizado en la utilización de la descomposición en
elementos simples, necesario para el cálculo integral. Sucesivamente, Euler (1749) y
Lagrange (1771), intentan demostraciones algebraicas pero se enfrentan a la parte
trascendente del problema (todo polinomio de grado impar sobre R posee una raíz real),
que necesitará de la utilización de un teorema de valores intermedios.
La demostración de D'Alembert publicada en 1746 en los anales de la academia de Berlín,
es la más completa pero contiene aún algunas lagunas y pasajes obscuros. Gauss, en
1799, que critica a D'Alembert sobre estos puntos, no está exento de los mismos reproches.
Hay que hacer intervenir en un momento un resultado fuerte del Análisis que el siglo aún no
conoce. Además, este obstáculo se sitúa en la cuestión de los puntos de bifurcación: es una
cuestión ya debatida en la polémica sobre los logaritmos y los números negativos a la que
pondrá fin Euler. La segunda y tercera demostración de Gauss no adolecen de estas
carencias, pero ya no se inscriben dentro del mismo siglo.

3. En aritmética, Euler demuestra el pequeño teorema de Fermat y da una versión extendida a
los números compuestos (1736-1760).
Japón
La matemática que se desarrolla en Japón durante el período Edo (1603 - 1887), es
independiente de la matemática occidental; a este período pertenece el matemático Seki
Kōwa, de gran influencia por ejemplo, en el desarrollo del wasan (matemática tradicional
japonesa), y cuyos descubrimientos (en áreas como el cálculo integral), son casi
simultáneos a los matemáticos contemporáneos europeos como Gottfried Leibniz.
La matemática japonesa de este período se inspira de la matemática china, está orientada a
problemas esencialmente geométricos. Sobre tablillas de madera llamadas sangaku, son
propuestos y resueltos «enigmas geométricos»; de allí proviene, por ejemplo, el teorema del
sexteto de Soddy.
Sangaku o San Gaku (算額 lit. Tablilla Matemática?) son tablillas de origen japonés con
problemas matemáticos principalmente geométricos, creadas durante el período Edo.
Un sangaku es una tablilla de madera con figuras geométricas, ubicadas en los templos y
santuarios como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y
visitantes, escritos en kanbun, una forma antigua de japonés. Cada tablilla sangaku
contiene entre 1 y 10 problemas, y cada problema está formado de la siguiente manera:
arriba (o a la derecha) de la tablilla se ubican las figuras geométricas; abajo (o a la
izquierda) se encuentran la pregunta y soluciones (procedimiento, respuesta, o ambas si las
hay); y por último el creador del sangaku, el profesor, la escuela y la fecha de su colgado.
Los sangaku provienen de la costumbre nipona de colgar tablillas en los templos, originada
por el sintoísmo (del japonés Shinto (神道 shintō?). El sintoismo o shintoísmo afirma la
existencia de divinidades o seres espirituales (Kami (神?)) que pueden encontrarse en la
naturaleza o en niveles superiores de existencia. Este término, que constituye el concepto
central del culto, se aplica a cualquier fuerza sobrenatural o dios, como los dioses de la
naturaleza, hombres sobresalientes, antepasados deificados o hasta deidades que
representan ciertos ideales o simbolizan un poder abstracto. Se trata de vivir en armonía
con los kami, y así poder disfrutar de su protección y aprobación. Y dado que a los kami les
encantan los caballos vivos, los fieles que no podían ofrendar un caballo, tenían la opción
de ofrecer un remado en madera. Es por esto que muchas tablillas que datan del siglo XV o
antes, contienen representaciones de caballos.

4. El periodo Edo fue un periodo de paz, el cual duró cerca de dos siglos y medio. Antes de
ese momento el país había sido devastado por una serie de guerras internas provocadas
por los distintos clanes rivales que querían llegar al poder. Hasta que finalmente el orden fue
restablecido por el shogun que es la máxima autoridad después del emperador, tokugawa
leyasu, llevó a cabo la reunificación del país tanto política como económica, fue así como la
capital fue trasladada de Kioto a Edo, desde ese momento Japón llevó un aislamiento
voluntario con respecto al resto del mundo, y todo aquel que se atreviese a desobedecer
esto, era condenado a muerte, fue así como que en 1854 el gobierno fue derrocado por la
fuerza naval norteamericana. Este periodo de aislamiento también produjo que las
matemáticas avanzaran mucho en Japón ya que no tenían acceso al resto del mundo,
fueron las mismas personas tanto campesinos como samuráis quienes dieron un desarrollo
genuino a este periodo.
Muchas de estas tablillas se perdieron durante el período de modernización que siguió al
período Edo, de las 2625 tablillas que se supone existieron, 884 se conservan.​La tablilla
Sangaku más antigua que se conoce proviene de la prefectura de Tochigi y se remonta a
1683. Aunque el diario del matemático japonés Kazu Yamagushi (1781-1850) se alude a
una tablilla del año 1668, perdida en la actualidad.
Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas
Sangaku, en sus obras Shinpeki Sanpō (Problemas matemáticos suspendidos en el Templo)
en 1789, y una segunda parte en 1806, Zoku Shinpeki Sanpō. Una colección de Sangaku
fue publicada en 1989 por Hidetoshi Fukagawa y Daniel Pedoe, la primera en inglés, en el
libro: Japanese Temple Geometry Problems.