Razonamiento Lógico

Razonamiento Lógico Matemático
para la toma de decisiones

Dr. Enrique Luis Graue Wiechers
Rector
Dr. Leonardo Lomelí Vanegas
Secretario General

Dr. Juan Alberto Adam Siade
Director
Mtro. Tomás Humberto Rubio Pérez
Secretario General
Lic. Ma. del Carmen Márquez González
Secretaria de Divulgación y Fomento Editorial

Razonamiento Lógico Matemático para la toma de decisiones
Primera edición: 2015
Fecha de la edición: 26 de febrero de 2015
Fecha de 1ª. reimpresión: 27 de abril de 2015
D.R. © 2019 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, C.P. 04510, México, Distrito
Federal
Facultad de Contaduría y Administración
Publicaciones Empresariales unam. fca Publishing
Circuito Exterior s/n, Ciudad Universitaria
Delegación Coyoacán, C.P. 04510, México, Distrito Federal.
ISBN: 978-607-30-1160-0
“Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización
escrita del titular de los derechos patrimoniales”.
“Reservados todos los derechos bajo las normas internacionales. Al pagar por
este libro, se le otorga el acceso no exclusivo y no transferible para leer el texto

de esta edición electrónica en la pantalla o en caso de ser libro impreso su lectura
en papel. No tiene permitido reproducir total o parcialmente por cualquier
medio, transmitir, descargar, descompilar, aplicar ingeniería de regresión, ni
almacenarse o introducirse en sistemas de almacenamiento y recuperación
electrónicos o mecánicos existentes o que se inventen en el futuro sin la
autorización escrita del autor, casa editorial y/o titular de los derechos
patrimoniales.”
Hecho en México.

Dedicado a:
Mis dos ángeles:
Norma Paola y Arturo
A tres de mis mejores profesores:
Dr. Alberto Barajas Celis,
Mtro. Gonzalo Zubieta Russi,
Dr. José Alfredo Amor Montaño

Agradecimientos:
A Dios
A las autoridades universitarias que me brindaron todo su apoyo
para que este libro de texto fuera una realidad.

Índice
Introducción
Parte I
Capítulo I
LÓGICA MATEMÁTICA
Introducción
I. Conceptos preliminares
II. Demostraciones directas de una condicional
III. Demostración directa de una proposición simple o demostración directa por
casos
Bibliografía
Capítulo II
ARITMÉTICA
Introducción
I. Conceptos preliminares (teoría de conjuntos)
II. Diagramas de Venn
III. Operaciones entre conjuntos

IV. Conjuntos numéricos
V. Operaciones binarias en los conjuntos numéricos
VI. Razones y proporciones
Bibliografía
Capítulo III
GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO
Introducción
II. Trigonometría
III. Figuras planas
IV. Perímetros y áreas de polígonos
V. Volúmenes de sólidos
Bibliografía
Capítulo IV
ÁLGEBRA
Introducción
II. Polinomios
III. Ecuaciones de primer grado

IV. Ecuaciones de segundo grado
Bibliografía
Parte II
Capítulo V
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Introducción
II. Programación lineal
III. Modelación de problemas de programación lineal
IV. Método Gráfico
V. Método simplex simple
VI. Portafolios de inversión
VII. Uso de LINDO 6.1
VIII. Administración de proyectos
Bibliografía
Anexos

En el mundo, la mayoría de universidades de prestigio que ofrece posgrados en
el área de negocios utiliza como herramienta de selección de sus alumnos el
Graduate Manegement Admission Test (gmat), un examen estandarizado que
evalúa el razonamiento numérico y verbal de los aspirantes. Está elaborado de
manera tal que puede determinar las capacidades del alumno, no sus
conocimientos. Se presenta por completo en inglés.
El gmat consta de tres grandes rubros: Redacción analítica, Sección cuantitativa
y Sección verbal. En la Sección cuantitativa, se maneja dos tipos de problemas:
Problem solving (solución de problemas), de opción múltiple con la variante de
que es más fácil equivocarse si no se tiene el cuidado adecuado, y los Data
Sufficiency (suficiencia de datos), que presentan un razonamiento totalmente
nuevo para el estudiante.
En la Facultad de Contaduría y Administración, dentro de sus planes de estudio
2012, se consideró y aprobó la inclusión de una asignatura que permitiera al
alumno reforzar los conocimientos cuantitativos adquiridos hasta su ingreso a la
facultad e introducir el razonamiento lógico matemático que se requiere para
presentar este examen de admisión, por si le interesa al alumno continuar sus
estudios. Claro está que también debe considerar el estudio del idioma inglés.
Este libro tiene por objeto reforzar los conocimientos cuantitativos que los
alumnos han adquirido a la fecha; entrenar a los alumnos en un nuevo tipo de
razonamiento lógico matemático, que les facilite la presentación del gmat, o,
incluso, un nuevo enfoque en la resolución de problemas de tipo cuantitativo;
finalmente, enseñar una pequeña proporción de la teoría y algoritmos
matemáticos fundamentales en la Toma de Decisiones.
Se presenta como parte I, un capítulo de cada uno de los temas más relevantes en
gmat: Lógica Matemática, Aritmética, Álgebra, Geometría Plana y del Espacio.
En cada sección, se presenta problemas prototipo del gmat. En la Parte II, se
incluye una pequeña porción de la teoría y algoritmos necesarios en la Toma de
Decisiones.
Importante

Los problemas presentados en este texto tienen la finalidad de que el
razonamiento de quien los resuelve se agilice y tome un rigor de inspección en la
redacción del mismo. Las figuras NO son réplica idéntica de lo que se quiere
presentar, incluso, puede no estar de acuerdo con la redacción del problema.
Para poder contestar los problemas en la categoría de opción múltiple, se
recomienda realizar las operaciones, dibujos y razonamientos en una hoja aparte,
antes de elegir su opción.
Los problemas de la categoría suficiencia de datos necesitan que usted examine
con detenimiento la pregunta y cada una de las dos declaraciones que se le
proporcionan en todos los capítulos de la primera parte de este libro. Para
resolver este tipo de problemas, será necesario que siempre tenga a la mano la
siguiente tabla:
Solución del problema Justificación
A La declaración (1) por sí sola es suficiente, pero la declaración (2) por
B La declaración (2) por sí sola es suficiente, pero la declaración (1) por
C Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna declaración
D Cada declaración por sí sola es suficiente.
E Ambas declaraciones no son suficientes.

Capítulo 1
Lógica Matemática

Introducción
La Real Academia Española define a la Lógica como: “Del lat. log ĭ ca , y este
del gr. λογική. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento
científico.”
Y a la Lógica formal o matemática como: “f. La que opera utilizando un
lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos.”
La Lógica Matemática es de vital importancia en el aprendizaje de las
matemáticas, pues adentra al estudiante en el manejo del lenguaje formal y es la
base del razonamiento deductivo.
Aristóteles, nacido en el año 384 a.C., es el creador de la lógica. Sus
aportaciones, junto con las de los estoicos y los escolásticos, constituyen
prácticamente toda la lógica hasta el siglo xix. La lógica aristotélica se ocupa del
estudio de los conceptos, prestando especial atención a los razonamientos
deductivos categóricos o silogismos. A diferencia de la lógica formal, la lógica
aristotélica parte del supuesto de que las formas de pensamiento reproducen lo
que ocurre en la realidad.
Adicionalmente, se considera que la historia de la lógica se divide en tres
periodos claves: el Clásico Antiguo (hasta el siglo VI d. C.), la Escolástica
(siglos xi-xv) y la Lógica Matemática (desde el siglo xix); durante esta última, se
construye una forma de álgebra abstracta. Kneale señaló que la diferencia
principal entre estos periodos radica en que los dos primeros fueron
desarrollados por filósofos y el tercero por matemáticos (Kneale, 1980, 349). En
la actualidad, es la Lógica Matemática la que fundamenta todo razonamiento
matemático.
Es Leibniz a quien se le considera el precursor de la moderna lógica matemática,
a pesar de que sus escritos lógicos fundamentales salieron a la luz hasta que L.
Couturat los publicó en 1901. Begriffsschrift de G. Frege, publicada en 1879, es
el momento de madurez de la moderna lógica, pese a que su impacto real ocurrió
hasta que Russell lo descubrió (Martín, 1997, 479).

El último periodo es el contemporáneo. Aparecen nuevos sistemas lógicos como
el de Lewis (1918), las lógicas polivalentes de Post y Lukasiewiez (1920-21) y la
lógica institucionista de Heyting. Los trabajos de Gödel, Ramsey, Tarski o
Carnap hablan de la complejidad alcanzada por la nueva ciencia totalmente
constituida (Martín, 1997, 481).
Es Gödel quien demuestra que en una teoría consistente, no todo teorema es
demostrable. Esta importante aportación justifica el trabajo trascendente de todo
matemático y es digno de señalarse en esta breve historia de la lógica.
Finalmente, en el siglo xx surge la lógica matemática, donde todo puede decirse
con la precisión que se desee, y donde todo se puede demostrar con el rigor que
se quiera. Sólo hace falta, a fin de difundir estos recursos entre un público no
matemático, disponer de ejemplos cotidianos que tengan un valor ilustrativo
equivalente al de los ejemplos matemáticos (Zubieta, 1992, xiii).

El razonamiento ordenado en las matemáticas es fundamental para su aplicación.
Se requiere tener claridad en el pensamiento y saber fundamentar solamente en
argumentos, resultados y algoritmos previamente demostrados para llegar a la
solución de un problema.
Tomando completamente como base el libro de texto del Mtro. Gonzalo Zubieta,
Taller de Lógica Matemática, se presenta a continuación un extracto de él.
Definiciones:
1. Una proposición es una frase que afirma o niega algo. Una proposición
condicional es aquella que tiene la forma Si H entonces T, donde a H se le
conoce como hipótesis y a la T como tesis.
2. Definición implícita de un término es una lista convencional de proposiciones,
llamadas axiomas, que contienen al término en sí.
Las definiciones implícitas son como las adivinanzas: no dicen lo que el objeto
es, sino qué propiedades tiene. Toda definición implícita obliga a interpretar los
términos de manera que valgan los axiomas, por eso se dice que los axiomas son
válidos por definición.
3. La definición implícita de veraz, mitómano y normal, se conforma de los
siguientes axiomas:

I. Si x es veraz, y x dice que P, entonces P
II. Si x es mitómano, y x dice que P, entonces no P
III. Si x es veraz entonces x no es mitómano
Si x es mitómano entonces x no es normal
Si x es normal entonces x no es veraz
IV. x es veraz o x es mitómano o x es normal
De acuerdo con esta definición, veraz es el que siempre dice la verdad, el que es
mitómano es el que siempre miente y normal es quien a veces dice la verdad y a
veces dice mentiras. De igual manera, cualquier ser humano, sólo puede
pertenecer a una y sólo una categoría.
También se considera como parte de esta definición implícita a los respectivos
giros de cada axioma¹, a saber:
I*. Si no P, y x dice que P, entonces x es no veraz
II*. Si P, y x dice que P, entonces x es no mitómano

III*. Si x es mitómano entonces x no es veraz
Si x es normal, entonces x no es mitómano
Si x es veraz entonces x no es normal
IV*. Si x no es veraz y x no es mitómano entonces x es normal
Si x no es veraz y x no es normal entonces x es mitómano
Si x no es normal y x no es mitómano entonces x es veraz
Note usted que si x dice una mentira, no se puede garantizar que x sea
mitómano, pero sí que no es veraz. Si x dice una verdad, no se puede garantizar
que sea veraz, pero sí que no es mitómano. De igual manera, cualquier ser
humano, sólo puede pertenecer a una y sólo una categoría.
Como ejercicio, se sugiere al lector que busque en un diccionario la definición
de veraz y mitómano para que tenga mayor claridad de estos conceptos.

II. Demostraciones directas de una condicional
A continuación, se presenta la forma en que se puede hacer una demostración
formal, con un razonamiento ordenado, mediante la definición implícita de
veraz, mitómano y normal de la sección anterior.
Definiciones:
1. Una deducción de la proposición P a partir de la proposición H es una cadena
de proposiciones P1, P2, …, Pn, n ≥ 2, llamadas pasos, tales que Pn es P y cada
paso es un resultado conocido, o es H o se infiere de pasos anteriores mediante
un resultado conocido. También se le puede definir como demostración directa
de la condicional si H entonces P.
2. Resultado conocido es toda proposición cuya validez se ha demostrado antes,
o es un axioma o una tautología (proposición válida por su forma, no por su
contenido).
Ejemplo 1
Mediante el uso de un conjunto de datos, se demostrará una proposición
condicional.
A dice que B es mitómano B dice que C es normal C dice que A no es normal
Si A es veraz e

1 A es veraz
2 A dice que B e
3 B es mitómano
4 B dice que C e
5 C no es normal
6 C dice que A n
7 C no es mitóm
8 C es veraz

Explicación
En una demostración directa de una condicional, el paso inicial es tomar a la
hipótesis como proposición válida. Como se parte de una afirmación acerca de la
variable A, se revisa en los datos que dice A; posteriormente, se utiliza el
Axioma I para poder inferir en el paso 3. Observe que este proceso se repite
hasta llegar al paso 5, donde hay una negación; por tanto, siempre se procederá a
revisar en los datos, quién habla de la hipótesis. En este caso, es la variable C.
En ese momento, se utilizan los giros de los primeros axiomas para realizar
inferencias. La demostración termina cuando el último paso coincide con la
tesis, a través del axioma IV*.
Se recomienda al lector reproducir este ejemplo, justificando cada paso en voz
alta.
Ejemplo 2
A dice que B es normal B dice que C es normal C dice que A no es veraz
Si B es mitómano e
1 B es mitómano
2 B dice que C es nor
3 C no es normal
4 A dice que B es nor
5 B no es normal
6 A no es veraz
7 C dice que A no es
8 C no es mitómano
9 C es veraz

Explicación
Nuevamente, como es una demostración directa de una condicional, el paso
inicial es tomar a la hipótesis como proposición válida. Como se parte de una
afirmación acerca de la variable B, se revisa en los datos que dice B.
Posteriormente, se utiliza el Axioma II para poder inferir en el paso 3. Observe
que ahora se tiene una primera negación, por eso se procederá a revisar en los
datos quién habla de la hipótesis. En este caso es la variable B.
NOTE que en la hipótesis se habla de mitómano y en el dato de normalidad, por
lo tanto se debe utilizar el axioma 3 para que después, en el paso 6, se pueda
realizar una inferencia a través del Axioma I*, que es un giro del axioma I.
Como nuevamente se infiere, una negación debe considerar el dato de quién
habla de esta última variable A; por tanto, C es quien habla de A y se utiliza el
axioma II* para inferir. La demostración termina cuando el último paso coincide
con la tesis, utilizando el axioma IV*.

III. Demostración directa de una proposición simple
o demostración directa por casos
La forma en que se puede hacer una demostración formal de una proposición
simple es revisar los datos para saber quién habla de la variable en la proposición
simple y construir dos proposiciones condicionales: Una con la afirmación de la
característica de quien habla y otra con la negación de la hipótesis de la primera
(una de ellas se puede demostrar muy fácilmente).
Ejemplo 1. Mediante un conjunto de datos, se demostrará una proposición
simple.
A dice que B es mitómano B dice que C no es normal C dice que A es veraz
C no es veraz
Caso 1 Si B es mitóman
1 B es mitómano
2 B dice que C no
3 C es normal
4 C no es veraz
Caso 2 Si B no es mitóm
1 B no es mitóman
2 A dice que B es
3 A no es veraz
4 C dice que A es
5 C no es veraz

Explicación
En una demostración directa de una proposición simple, “C no es veraz”; se
analiza primero quién habla de C, en este caso es B; como B dice que C no es
normal, entonces si B fuera veraz se inferiría que C no es normal por lo tanto
podría ser veraz o mitómano y lo que se quiere es que no sea veraz. Por esta
razón, se elige que B sea mitómano para la construcción de la primera
condicional. La segunda condicional es más sencilla de construir, basta con
negar la hipótesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden demostrar de
manera directa, la proposición simple queda demostrada.
Ejemplo 2. A partir de un conjunto de datos, se demostrará una proposición
simple.
A dice que B es normal B dice que C no es veraz C dice que A es veraz
B no es mitómano
Caso 1 Si A es veraz entonce
1 A es veraz
2 A dice que B es norm
3 B es normal
4 B no es mitómano
Caso 2 Si A no es veraz ento
1 A no es veraz
2 C dice que A es veraz
3 C no es veraz
4 B dice que C no es ve
5 B no es mitómano

Explicación
En una demostración directa de una proposición simple, “C no es veraz”. Se
analiza primero quién habla de C; en este caso es B. Como B dice que C no es
normal, entonces si B fuera veraz, se inferiría que C no es normal, por lo tanto
podría ser veraz o mitómano y lo que se quiere es que no sea veraz. Por esta
razón, se elige que B sea mitómano para la construcción de la primera
condicional. La segunda condicional es más sencilla de construir, basta con
negar la hipótesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden demostrar de
manera directa, la proposición simple queda demostrada.
Problemas
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro Taller de lógica matemática.
Realice las demostraciones directas de las proposiciones a, b, c y d considerando
los datos que se le proporcionan, tal como se muestra en el capítulo.
1. A dice que B es mitómano B dice que C es mitómano C dice que A no es veraz
a) B no es veraz
b) C no es mitómano
c) Si A es mitómano entonces B es normal
d) Si A es veraz entonces C es normal
2. A dice que B es veraz B dice que C es veraz C dice que A no es veraz
a) A no es veraz
b) C no es mitómano
c) Si B es veraz entonces A es normal
d) Si B es mitómano entonces C es normal

Suficiencia de datos
1. A dice que B no miente
B dice que A miente
Para demostrar que A tiene la razón se tendría que considerar que:
(1) Si B miente entonces A no miente
(2) Si B no miente entonces A no miente
2. A dice que B miente
B dice que A no miente
Para demostrar que A miente se tendría que considerar que:
(1) Si B miente entonces A miente
(2) Si B no miente entonces A miente

B dice que C miente
C dice que A miente
Para demostrar que C miente se tendría que considerar que:
(1) Si C miente entonces B no miente y si C no miente entonces B no miente
(2) Si A miente entonces B no miente y si A no miente entonces B no miente
B dice que C miente
C dice que A y B mienten
Para demostrar que C miente se tendría que considerar que:
(1) Si B no miente entonces C miente y si B miente entonces C miente
(2) Si A no miente entonces C miente y si A miente entonces C miente

Bibliografía
Kneale, W y M. Kneale (1980). El desarrollo de la lógica, Madrid: Tecnos.
Martín Collantes, C. y O. Expósito Hernández (1997). El comienzo de la Lógica
Matemática. Revista del Seminario Orotava de Historia de la Ciencia Año III, de
la ciencia triunfante a la pérdida de la certidumbre (1700-1900) (Actas año III),
Canarias, noviembre: 477-514.
Zubieta Russi, G. (1992). Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico),
México: McGrawHill.
http://www.rae.es/rae.html (07-febrero-2013)
¹ Llámese giro de una proposición a cualquier otra, cuya negación coincide con
la original.

Introducción
Aún no se cuenta con un documento base real que pueda explicar quién fue el
primero en descubrir las matemáticas suficientes para poder conseguir que se
construyeran esas grandes edificaciones en el pasado. No obstante, se encuentra
muchas exposiciones generales del origen de las matemáticas en Egipto, por
ejemplo en los escritos de Heródoto y otros viajeros griegos.
Según Aristóteles, las matemáticas se originaron porque la clase sacerdotal de
Egipto, tenía el tiempo necesario para dedicarse a su estudio. Más de dos mil
años más tarde se obtuvo una corroboración exacta de esta observación,
mediante el descubrimiento de un papiro conservado actualmente en la colección
Rhind en el British Museum. Esta obra muestra una colección de problemas de
geometría y aritmética.
La palabra aritmética es definida por la Real Academia de la Lengua como
“parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con
ellos”.
En este capítulo, será de vital importancia el manejo de conceptos básicos de la
Teoría de Conjuntos, de los conjuntos numéricos, de sus operaciones elementales
y de algunas aplicaciones.

I. Conceptos preliminares (teoría de conjuntos)
Para dar inicio en el aprendizaje de la aritmética, es preciso definir los conceptos
elementales para la comprensión del tema.
Definición: Un conjunto es la colección de objetos denominados elementos.
A los conjuntos se les denota con letras mayúsculas A, B, C, etc., y a sus
elementos con letras minúsculas x, y, z, etcétera.
Definición: Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos
elementos.
Para denotar que un elemento forma parte de un conjunto o no, se utilizará
cualquiera de las siguientes expresiones con su respectiva notación:
x A { x pertenece al conjunto A x es elemento de A x está en A x A { x no pertenece

Definición: Se dice que el conjunto A está contenido en B, o que el conjunto
A es subconjunto de B, si y sólo si cada elemento de A es elemento de B y se
denota A B.
Definición: Se dice que un conjunto A no está contenido en B o que un
conjunto A no es subconjunto de B, si y sólo si existe un elemento de A que
no pertenece a B y se denota A ⊈ B.
Existen dos maneras de describir a un conjunto:
Por extensión, cuando se enumeran los elementos del conjunto.
Por comprensión, cuando a la totalidad de los elementos se le describe a
través de una fórmula o carac terística.
Ejemplos
Por extensión:
1. El conjunto A de todas las letras que conforman la palabra “Xochimilco”.
A = {x, o, c, h, i, m, l}
Note usted que omite las letras que se repiten. La razón es porque resulta
redundante.
2. El conjunto B de los meses del año cuyo nombre inicia con la letra m.

B = {marzo, mayo}
3. El conjunto C de los números pares positivos.
C = {2, 4, 6, 8, 10, …}
Por comprensión:
1. El conjunto A que se comprende de todos los meses del año.
A = {x | x es un mes del año}
2. El conjunto B de las soluciones de una ecuación de 2° grado.
B = {x | – 2x2 + 5x + 3 = 0}
Si recuerda usted que una ecuación de 2° grado puede tener dos, una o ninguna
solución, se podrá percatar que este conjunto puede tener 0, 1 o 2 elementos.
Definición: Al conjunto que contiene a la totalidad de elementos en un
problema, se le denomina Conjunto Universal y se denota U.

Definición: Al conjunto que no contiene elementos, se le denomina Conjunto
Vacío y se denota Ø. A lo largo del tiempo, los matemáticos lo han
caracterizado de distintas maneras, una de ellas es:
Ø = {x | x ≠ x}

II. Diagramas de Venn
La manera de representar gráficamente a los conjuntos es a través de los
diagramas de Venn. Éstos consisten en un rectángulo grande, que representa al
conjunto universal; éste, a su vez, contiene pequeños círculos que representan
cada uno de los conjuntos involucrados.
Ejemplo 1
Represente con un diagrama de Venn a los siguientes conjuntos:
A = {1, 2, 5, 10}
B = {7}
C = {1, 3, 5, 6, 7, 9}
D = {4, 8}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Estos diagramas también tienen aplicación a problemas con cifras. A
continuación, se muestran.
Ejemplo 2
En una encuesta realizada a una muestra de 300 profesores de carrera de la fca
sobre sus hábitos de lectura dominical, se encontró que 141 leen el periódico El
Financiero y 158 El Universal, pero 63 leen los dos periódicos.
Esta información quedaría representada en el siguiente diagrama de Venn. Los
63 profesores que leen ambos periódicos son contabilizados entre los lectores
que leen al menos una publicación; pero para determinar a los que
“exclusivamente leen una publicación”, se debe restar los 63 que leen ambos
periódicos. De igual manera, existen profesores que no leen estos periódicos,
estos quedarían representados en la parte complementaria a estos conjuntos,
dentro del universo conformado por la muestra.

Definición: Se dice que el elemento x pertenece al complemento del conjunto
A, si y sólo si, x A y se denota x (AC).
AC = {x│x A}

III. Operaciones entre conjuntos
Las principales operaciones entre conjuntos son: La Unión , La Intersección ∩
y La Diferencia –, a continuación, se define formalmente a cada una de ellas.
Definición: Se dice que el elemento x pertenece a la unión de dos conjuntos
A y B, si y sólo si, x A o x B o x está en ambos y se denota x (A
B).
A B = {x│x A o x B}

Definición: Se dice que el elemento x pertenece a la intersección de dos
conjuntos y B, si y sólo si, x A y x B y se denota x (A ∩ B).
A ∩ B = {x │ x A y x B}

Definición: Se dice que el elemento x pertenece a la diferencia de dos
conjuntos A menos B si y sólo si, x A y x B y se denota x (A – B).
A – B = {x│x A y x B}

IV. Conjuntos numéricos
A continuación, se presenta los conjuntos numéricos más importantes dentro de
las matemáticas:
1. Los números naturales N
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
2. Los números enteros Z
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
3. Los números racionales

4. Los números Irracionales I

5. Los números reales R
R = Q I
Nota: El conjunto de números reales, para las matemáticas que se manejan en
este curso, es el conjunto que contiene a cualquier número.

V. Operaciones binarias en los conjuntos numéricos
Definición. Una operación binaria * en un conjunto numérico A es una
aplicación a dos elementos y el resultado permanecerá nuevamente al
conjunto A, es decir, si a, b, c A si el resultado de aplicar la operación * a
los elementos a y b es c, entonces:
a * b = c
Como ejemplos de operaciones binarias, el lector debe conocer la suma, resta,
multiplicación y división.
El conjunto de los Números Naturales tiene asociadas dos operaciones binarias,
la adición o suma y el producto o multiplicación que satisfacen los siguientes
axiomas:
1. La suma de números naturales es conmutativa, es decir, si a, b N entonces:
a + b = b + a
2. La suma de números naturales es asociativa, es decir, si a, b, c N entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. El producto de números naturales es conmutativo, es decir, si a, b, N
entonces:

a × b = b × a
4. El producto de números naturales es asociativo, es decir, si a, b, c N
entonces:
(a × b) × c = a × (b × c)
5. Existe en N un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si a N
entonces:
a × 1 = 1 × a = a
6. En N el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c N entonces:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Para conocer más acerca de los Números Naturales, es preciso enunciar los cinco
Axiomas de Peano:
1. El 1 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el n+1 también es un número natural (a
n+1 se le denomina sucesor de n).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m tales que n + 1 = m + 1, entonces n = m.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el
sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto; entonces todos los
números naturales pertenecen a ese conjunto.
Notas:
1. Este conjunto de axiomas define implícitamente al conjunto de los números
naturales. Recuerde que en el capítulo de Lógica Matemática se explica lo que
significa una definición implícita y el por qué se dice que los axiomas son
válidos por definición.
2. El último axioma presenta la fundamentación de la Inducción matemática, que
generalmente se utiliza para demostrar propiedades en este conjunto de números.

El conjunto de los Números Enteros tiene asociadas dos operaciones binarias, la
adición o suma y el producto o multiplicación que satisfacen los siguientes
axiomas:
1. La suma de números enteros es conmutativa, es decir, si a, b Z entonces:
a + b = b + a
2. La suma de números enteros es asociativa, es decir, si a, b, c Z entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. Existe en Z un elemento neutro para la suma el 0, es decir, si a Z entonces:
a + 0 = 0 + a = a
4. Para cada a Z, existe en Z su inverso aditivo que se denota –a, entonces:
a + (–a ) = (–a) + a = 0
5. El producto de números enteros es conmutativo, es decir, si a, b, Z
entonces:

a × b = b × a
6. El producto de números enteros es asociativo, es decir, si a, b, c Z
entonces:
(a × b) × c = a × (b × c)
7. Existe en Z un elemento neutro para el producto el 1, es decir, si a Z
entonces:
a × 1 = 1 × a = a
8. En Z el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c Z entonces:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Nota: A cualquier conjunto numérico que cumpla con estos ocho axiomas se
le conoce como ANILLO.
El conjunto de los Números Racionales (o fraccionarios) tiene asociadas dos
operaciones binarias: la adición o suma y el producto o multiplicación, definidas
respectivamente de la siguiente manera, sean a, b, c, d Z entonces

Nota: En adelante, para denotar el producto se omitirá el signo x.
Con estas dos operaciones binarias se satisfacen los siguientes axiomas:
1. La suma de números racionales es conmutativa, es decir, si entonces:

2. La suma de números racionales es asociativa, es decir, si entonces:

3. Existe en Q un elemento neutro para la suma el , es decir, si entonces:

4. Para cada existe en Qsu inverso aditivo que se denota , entonces:

5. El producto de números racionales es conmutativo, es decir, si entonces

6. El producto de números racionales es asociativo, es decir, si entonces

7. Existe en Q un elemento neutro para el producto el , es decir, si entonces

1. Para cada , con existe en Q su inverso multiplicativo (otro número racional
que al ser multiplicado por éste da como resultado al ), a saber, el número , que
se denota por entonces:

2. En Q, el producto distribuye a la suma, es decir, si entonces:

Notas:
1. A cualquier conjunto numérico que cumpla con estos nueve axiomas se le
conoce como CAMPO.
2. Cualquier número entero a Z es un número racional, puesto que

3. Otra manera de identificar a un número racional es cuando al realizar la
división de este número su expansión decimal es finita o periódica.
El conjunto de los Números Irracionales se caracteriza, precisamente, porque no
puede expresarse como cociente de números enteros; más aún, son aquéllos cuyo
cociente tiene una expansión decimal infinita.
El propósito de este libro no tiene contemplado el estudio a mayor profundidad
de este conjunto numérico, por lo que sólo se presentará algunos ejemplos de
estos números.
π = 3.1415926535…
e = 2.7182818284…
√ 2 = 1.4142135623…
√ 3 = 1.7320508075…
También tienen asociadas dos operaciones binarias: la suma y el producto.
Los números reales se definieron como la unión de los números racionales con
los irracionales. Éste es un conjunto con un número infinito incontable de
elementos; también tienen asociadas dos operaciones binarias: la suma y el
producto. Recuerde que en todos sus estudios anteriores tuvo que operar con
estos números, incluso en su forma decimal.
Las operaciones comúnmente utilizadas con los números reales, coloquialmente
son: la suma, la resta, la multiplicación y la división, porque con toda la
formalidad se tiene definidas sólo la suma y el producto. Las otras dos
operaciones derivan de los inversos aditivos y multiplicativos.

VI. Razones y proporciones
Cuando se realiza la comparación de dos números reales, se puede hacer a través
de una diferencia (resta) o, de igual manera, se puede utilizar un cociente y se
determina qué tanto es mayor uno del otro. En este caso, se abordará la
comparación con cocientes.
Definición. Se dice que la razón de dos números es el resultado de dividirlos.
Sean c, d R, c/d o c: d representa la razón c es a d.
Ejemplo:
La razón de 5 a 3, se denota 5/3 o 5: 3 y se lee cinco es a tres.
En este caso, el número 5 se denomina antecedente y el 3 se denomina
consecuente.
Definición. Una proporción consiste en la igualdad entre dos razones y se puede
representar de dos maneras:
o a: b:: c: d y se lee: a es a b como c es d.
Proporcionalidad
Definición. Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se dice
que las magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo 1:

Cualquier producto cuyo costo dependa de su peso o unidad de volumen (carne,
gasolina, papel, etc.). Se dice que los costos son proporcionales a las unidades
adquiridas.
Ejemplo 2:
Suponga que el litro de gasolina magna tiene un costo de $12.50. Complete la
siguiente tabla con los costos de llenar un tanque con los litros de gasolina que
se piden.
Gasolina (l) 5 10 15 20 25 30 35
Costo ($) 62.50 125.00 187.50 250.00 312.50 375.00 437.50

Es muy sencillo ver que los precios solicitados para los distintos números de
litros se puede determinar a través de una sencilla regla de tres.
Definición. Cuando una magnitud crece mientras que la otra magnitud
decrece, se dice que son inversamente proporcionales.
Ejemplo 1:
Suponga que quiere almacenar cajas en un almacén con capacidad de 240 metros
cúbicos; cuenta con cajas cuyo volumen son de 1, 2, 4 y 8 metros cúbicos.
Entonces podrá llenar el almacén de acuerdo con:
Número de cajas 240 120 60 30
Tamaño en m3 1 2 4 8

Observe usted que entre más crezca el volumen de la caja, menor será el número
de cajas que podrá almacenar.
Problemas
1. En la progresión geométrica a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 ¿cuál es el valor de a4?
(1) a1 = 6 = 6x1
(2) a7 = 4374
2. ¿Cuánto pesa un atún si su cola pesa 2 kg?
(1) La cabeza pesa lo mismo que la cola y la mitad de su cuerpo.
(2) El cuerpo pesa lo mismo que la cabeza y la cola juntas.
3. En dos cuartos hay 76 personas, ¿cuántas personas había en la primera
habitación?

(1) Quedaron el mismo número de personas cuando se salieron 30 del primero y
40 del segundo.
(2) En el segundo cuarto hay 10 personas más que en el primero.
4. En una misma caja, hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros.
En otra caja, hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos negros.
¿Cuántos guantes debe sacar al menos de la caja para garantizar un par del
mismo color (el que sea)?
(1) Debe sacar tres calcetines.
(2) Los guantes son izquierdo y derecho.
5. Un corredor de autos calculó que si hacía 10km/h llegaría a la meta una hora
después del mediodía ¿A qué velocidad debe correr para llegar exactamente a
mediodía?
(1) Si corre a 15 km/h llegaría una hora antes del mediodía.
(2) Recorrió 60 km.
6. Un hombre comentó a sus amigos la siguiente anécdota: Tenía yo tantos años
como lo expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento; le platiqué a
mi abuelo y él me contestó que le ocurría lo mismo. Los amigos dijeron de
inmediato que era imposible; pero él les contestó que su abuelo tenía razón y les
cuestionó. ¿Cuántos años tenía cada uno de nosotros?
(1) El siglo xx fue de 1900 a 1999.

(2) La anécdota sucedió en 1932.
7. Un padre y su hijo trabajan en la misma compañía. El hijo hace 20 minutos de
casa de sus papás al trabajo; el papá, 30 minutos de su casa al trabajo. ¿En
cuántos minutos a lcanza el hijo al padre?
(1) El hijo recorre en 5 min ¼ del camino al trabajo.
(2) El papá recorre en 5 min 1/6 del camino al trabajo.
8. ¿Puede usted expresar el número 1000 utilizando ocho dígitos idénticos en su
conformación? Además de las cifras se permite utilizar también los signos de
operaciones.
(1) El dígito buscado es par.
(2) El dígito buscado es potencia de 2.
Problemas de opción múltiple
1. Un alumno realizó un examen de 50 preguntas. Cada respuesta correcta tiene
un valor de tres puntos, pero por cada respuesta incorrecta, o que el alumno no
responda, se le resta dos puntos. Si obtuvo 60 puntos, ¿cuántas respuestas
estuvieron correctas?
a. Falta información para resolverlo

b. Tuvo 20 aciertos
c. Tuvo 30 aciertos
d. Tuvo 32 aciertos
e. Tuvo 25 aciertos
2. El cociente de una división es nueve y el resto 4.Si el divisor disminuye en
dos, el cociente aumenta en tres y el resto permanece igual. Determine el
dividendo y divisor.
a. El dividendo es 2/21 y el divisor 34/7
b. El dividendo es 76 y el divisor 8
c. El dividendo es 34/7 y el divisor 2/21
d. El dividendo es 8 y el divisor es 76
e. El dividendo es 16 y el divisor 3

Bibliografía
Cárdenas, H. y otros (1986). Álgebra Superior, México: Trillas.
Newman, James R. (1994). SIGMA El mundo de las matemáticas Vol. 1,
México: Grijalbo.
Zubieta Russi, G. (1992). Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico),
México: McGrawHill.

Capítulo 3
Geometría plana y del espacio

Introducción
La palabra geometría se deriva de las palabras griegas geo , que significa
“tierra”, y metron , que significa medir. Los antiguos egipcios y babilonios
(4000-3000 a. C.) pudieron desarrollar una serie de reglas prácticas para medir
figuras geométricas sencillas y para determinar sus propiedades.
De Egipto y Babilonia, el conocimiento de la geometría pasó a Grecia. Los
griegos legaron algunos de los más grandes descubrimientos para el avance de
las matemáticas.
Entre los griegos más prominentes que contribuyeron al progreso estaban Tales
de Mileto (640-546 a. C.), Pitágoras discípulo de Tales (¿580?-500 a. C.) ,
Platón (429-348 a. C.), Arquímedes (287-212 a. C.) y Euclides (alrededor de 300
a. C.).
Euclides, que enseñaba matemáticas en Alejandría, escribió el primer tratado de
geometría amplio y lo intituló Elementos. La mayor parte de los principios que
se presenta ahora en los libros modernos estaban ya contemplados en este
tratado. Su obra ha servido de modelo para la mayor parte de los libros de
geometría que se han escrito a lo largo del tiempo.

Para dar inicio a la comprensión de la teoría necesaria en el aprendizaje de la
geometría, es precisa la definición de los conceptos elementales. Euclides intentó
hacer esto al definir el punto como lo que tiene posición pero no dimensión. No
obstante, las palabras “posición” y “dimensión” también son conceptos básicos y
sólo pueden describirse usando tautologías. También intentó definir la recta
como lo que tiene sólo una dimensión.
Definición: Un punto es lo que tiene posición, pero no dimensión. Se denota
por medio de una letra mayúscula escrita cerca de él.
Definición: Una recta es un conjunto de puntos que de manera conjunta
tiene una sola dimensión. También se le puede definir como el conjunto de
puntos que no tiene partes curvas. La recta se denota designando dos puntos
sobre ella con letras mayúsculas.

Definición: Los puntos que se encuentran todos en el mismo plano son
coplanares.
Definición: Un ángulo es la unión de dos segmentos de recta que coinciden
en un punto extremo.
Ejemplo: En la figura siguiente, se muestra el ángulo α que está
determinado por los segmentos de recta .

Definición: Los ángulos generalmente se miden en términos de unidad
grado (°). A cada ángulo le corresponde un valor real entre 0° y 360°, la
medida de un giro completo.
Definición: Se dice que dos ángulos son ángulos adyacentes si, y solo si,
tienen el mismo vértice. Un lado en común y los otros dos lados están
contenidos en los semiplanos cerrados opuestos determinados por la recta
que contiene el lado común.
Ejemplo: En la figura siguiente, los ángulos α y β son ángulos adyacentes. El
vértice O es común y comparten el segmento de recta ; de igual forma, los
segmentos de recta se encuentran opuestos al segmento común.

Definición: Un ángulo es un ángulo recto si, y sólo si, tiene medida de 90°.
Definición: En geometría, se utiliza la palabra congruente para definir lo
que tiene el mismo tamaño y la misma forma. Dos ángulos son congruentes
si, y sólo si, tienen la misma medida.
Definición: Dos rectas son perpendiculares si, y sólo si, se intersectan para
formar un ángulo recto.
Ejemplos:
.

Definición: Se dice que dos ángulos son ángulos complementarios si, y sólo
si, la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 90°.
Definición: Se dice que dos ángulos son ángulos suplementarios si, y sólo si,
la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180°.
Ejemplos:
Ángulos complementariosÁngulos suplementarios

Definición: Dos rectas son paralelas si, y sólo si, son coplanares y no se
intersectan.
Definición: Dos planos son paralelos si, y sólo si, su intersección es el
conjunto nulo.
Ejemplos: A continuación, se muestra que la recta y la recta son paralelas;
de igual manera, el plano ABCD y el plano A’ B’ C’ D’ son paralelos.

Teorema 1: Si dos rectas se intersectan entre sí, los ángulos opuestos por el
vértice son iguales.

En este dibujo, el teorema afirma que α = α’ y que β = β’. La razón de la
veracidad de este teorema radica en que α y β son ángulos suplementarios, y los
ángulos α’ y β’ también son suplementarios (suman 180°).
Teorema 2: Si dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal
entonces se cumplen las siguientes postulados:
1) Los ángulos correspondientes son congruentes.
2) Los ángulos internos del mismo lado son suplementarios.
3) Los ángulos alternos internos son congruentes.

A partir de este dibujo, se explicará cada uno de los postulados:
1. Los ángulos correspondientes se refieren a α con α’, a β con β’, a θ con θ’ y aδ
con δ’. Es claro que al ser rectas paralelas el ángulo que se forma con la
transversal para estos casos queda idéntico.
2. Los ángulos internos del mismo lado se refieren a α con β, a β con θ, a θ con δ
y a δ con α. La justificación es muy evidente, puesto que la suma de cada pareja
es de 180°. Ocurre exactamente lo mismo para el caso de α’, β’, θ’ y δ’.
3. Los ángulos alternos internos se refieren a β’ con δ y a θ con α’; éstos son
iguales, respectivamente. La razón por la que se cumple este postulado es porque
β’ es igual a δ’ por ser ángulos opuestos y, al aplicar el postulado 2, δ’ es igual a
δ. Por transitividad, el postulado es verdadero. Se verifica de igual manera cada
caso.

II. Trigonometría
En matemáticas, se ha convenido que los ángulos medidos en sentido contrario a
las manecillas del reloj son positivos; pero si se miden en el mismo sentido que
las manecillas del reloj, se consideran negativos.
Ejemplos:
a) Ángulo positivo b) Ángulo negativo

Para poder definir las llamadas razones o funciones trigonométricas, se
considera un triángulo rectángulo:

Observación: En este caso, se considera al ángulo α para entender con
mayor facilidad las siguientes definiciones; también se usarán siglas.
Definiciones:
El seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
El coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
La cotangente es la razón entre cateto adyacente y el cateto opuesto.
La secante es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
La cosecante es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Seno Coseno Tangente
Cosecante Secante Cotangente

Para poder comprender en términos más generales las definiciones, considere el
triángulo rectángulo ABC:

Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
Seno Coseno Tangente
Cosecante Secante Cotangente

Algunos valores importantes para estas funciones trigonométricas son aquéllos
relacionados con 0°= 360°, 90°, 180° y 270°, por tanto se enunciarán a
continuación:
sen 0° = 0 cos 0° = 1 tan 0° = 0
sen 90° = 1 cos 90° = 0 tan 90° = ∞
sen 180° = 0 cos 180° = –1 tan 180° = 0
sen 270° = 1 cos 270° = 0 tan 270° = ∞

Algunas relaciones entre funciones trigonométricas:
sen² α + cos² α = 1 sen² α = 1 — cos² αcos² α = 1 — sen² α

Ley de los senos
Es una herramienta básica para resolver los ángulos o magnitudes de triángulos
de cualquier tipo, siempre y cuando se conozcan algunos de los datos:

Ley de los cosenos
Es una herramienta básica que no es necesaria para los propósitos de este libro,
pero se presenta como breviario cultural:
a² = n² + c² — 2bc (cos A) b² = a² + c² — 2ac (cos B) c² = a² + b² — 2ab (cos C)

III. Figuras planas
Definición: Se define como triángulo a la figura plana que consta de tres
lados y tres ángulos interiores. Éstos se clasifican principalmente en tres
tipos: Escaleno, Isósceles y Equilátero.
Un triángulo es Escaleno si, y sólo si, no tiene dos lados que sean iguales.
Un triángulo es Isósceles si, y sólo si, tiene dos lados iguales.
Un triángulo es Equilátero si, y sólo si, tiene tres lados iguales.
Ejemplos:
Escaleno Isósceles Equilátero

Definición: Se dice que un triángulo es un triángulo rectángulo si, y sólo si,
tiene un ángulo recto.

Propiedades:
1) La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es de 180°
2) En un triángulo escaleno, todos los ángulos son diferentes.
3) En un triángulo isósceles, dos de los ángulos son iguales.
4) En un triángulo equilátero, los tres ángulos miden 60°.
Definición: Según la Real Academia de la Lengua Española, un polígono es
una porción del plano limitada por líneas rectas.
Ejemplos:

Observación 1: De acuerdo con esta definición, el polígono debe tener
asociados los ángulos internos determinados por las líneas rectas que se
unen y forman un vértice.
Observación 2: A la circunferencia, también se le conoce como un polígono
con un número infinito de lados.
Definición: Un polígono es un polígono regular si, y sólo si, todos sus lados y
sus ángulos son iguales. De otra manera, se le denomina polígono irregular.
Como ejemplos de polígonos regulares, podemos citar al triángulo equilátero y
al cuadrado.

IV. Perímetros y áreas de polígonos
Definición: Se denomina perímetro a la medida del contorno de una figura o
superficie.
Definición: La unidad de medida para un perímetro será la longitudinal.
Ejemplo:
P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14 m

En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas fórmulas de perímetros.
Definición: Se denomina área o superficie de una figura plana a la medida
de esa superficie.
Definición: La unidad de medida para un área o superficie será el cuadrado
de la unidad de medida longitudinal.
Ejemplo:
a = 8 m²

En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas fórmulas de áreas.

V. Volúmenes de sólidos
Definición: Se denomina volumen de un sólido al número de unidades de la
medida de espacio en el sólido.
Definición: La unidad de medida para el espacio será el cubo de la unidad
de medida longitudinal.
Ejemplo:
v = 12 m³

En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas fórmulas de volúmenes.
Problemas
1. Una persona observa un avión a 500 m. Obtener la altura del avión.
(1) El ángulo de elevación respecto de la vista del observador es de 50°.
(2) La distancia en la persona a donde está el avión en tierra es de 321.394 m.

2. El ángulo de un avión que va a aterrizar sobre una de las pistas de un
aeropuerto es de 15°. ¿Qué distancia recorre el avión hasta el instante que hace
contacto con la pista de aterrizaje?
(1) El coseno del ángulo de inclinación es de 0.9659°.
(2) La altura del avión en ese instante es de 1250 m.

3. Determinar el valor del ángulo x.
(1) y = 6 m (2) Sen (180°) = 0

4. Si el lado AB es paralelo al lado CD, ¿cuál es el valor de x?
(1) 30° < x°+90° < 180° (2) y = 40°

5. Determinar el valor del ángulo x. (***)
(1) Sen (0º) = 0 (2) y = 26 m

6. Determinar el valor del ángulo x. (***)
(1) r mide 10 m (2) El área del Δ es 400 m²

7. Determine las dimensiones de un rectángulo.
(1) Tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces su ancho.
(2) Su perímetro es de 19 cm
8. ¿Cuál es el volumen de un depósito abierto con fondo cuadrado y una altura
de 3 m si su costo total de construcción fue de $7,560.00?
(1) El costo del material que se ocupó para el fondo costó $360.00 por m².
(2) El costo del material para los lados costó $120.00 por m²
9. Un cuadrado se recorta en 36 cuadrados, 35 son iguales y uno es desigual.
¿Cuál es el área del cuadrado desigual?
(1) El área de los 35 cuadros iguales es de 1 cm²
(2) Los 35 cuadrados tienen igual área
10. ¿Cuántas caras tiene un lápiz de seis aristas?
(1) El lápiz no tiene punta
(2) La arista no es una cara

1. Si el lado PQ es paralelo al lado RS, determinar el valor de x.
a. 130º b. 140º c. 135º d. 165º e. 125º

2. Determinar x.
a. 90º b. 45º c. 35º d. 30º e. 60º

3. Determinar el valor de X.
a. (225)(1/2) b. 108/2 c. (63)(1/2) d. (21)(1/2) e. (42)(1/2)

4. Determinar el valor de X.
a. (125)(1/2) b. 20/5 c. (15)(2) d. (50)(1/2) e. (75)(1/2)

Bibliografía
Baldor, A. (1991). Geometría plana y del espacio con una introducción a la
trigonometría, México: Publicaciones Cultural.
Barnett, R. (1970). Teoría y problemas de geometría plana con geometría de
coordenadas, México: Mc Graw Hill.
Hemmerling, E. M. (1971). Geometría elemental, México: Centro Regional de
Ayuda Técnica (AID).
Wenworth, G. (1979). Geometría plana y del espacio, México: Porrúa.

Introducción
La Real Academia de la Lengua define el álgebra como: Parte de las
matemáticas en la que las operaciones aritméticas son generalizadas empleando
números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un
número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un
valor desconocido, se le llama incógnita.
La historia del Álgebra tiene sus orígenes en el año 2000 a. C., en Mesopotamia
y Babilonia, puesto que su base es justamente la aritmética. Más o menos en la
misma época, los egipcios desarrollaron un álgebra elemental para resolver
problemas cotidianos. Por su parte, los griegos en los siglos i, ii y iii d. C.,
hicieron grandes publicaciones acerca de la aritmética y la geometría.
En el siglo vii, los indios desarrollaron reglas algebraicas fundamentales para el
manejo de números positivos y negativos, y ya en el siglo ix d. C., Al-Jwarizmi,
matemático y astrónomo árabe, escribió sus investigaciones acerca de los
números, de los métodos de cálculo y de procedimientos algebraicos para
resolver sistemas de ecuaciones. A partir de ese momento, y hasta el siglo xii,
otros matemáticos de medio oriente hicieron notables contribuciones al álgebra.
En el año 1202, Leonardo Pisa, matemático italiano, mejor conocido como
Fibonacci, difundió en Europa el sistema de numeración arábiga, y publicó el
Liber Abaci (Tratado del Ábaco). En los siglos xv y xvi, otros notables
matemáticos europeos hicieron contribuciones importantes en el área.
En el año 1637, René Descartes, matemático francés, fusionó la geometría y el
álgebra al inventar la geometría analítica. En 1750, Gabriel Cramer, matemático
suizo, introdujo la regla de Cramer en el álgebra lineal para dar solución a los
sistemas de ecuaciones lineales.
En 1799, Carl Friedrich Gauss, matemático alemán, a quien se le conoce como el
Príncipe de las Matemáticas, demuestra el hoy conocido Teorema Fundamental
del Álgebra.

A partir de ese tiempo, y a la fecha, son muchas las grandes contribuciones que
otros matemáticos han realizado. Se citará solamente a algunos de ellos:
Pierre Frederic Sarrus, matemático francés que inventa la regla de cálculo en
1833.
Évariste Galois, matemático francés a quien se le considera el padre del álgebra
abstracta.
William Rowam Hamilton, matemático y astrónomo irlandés, quien desarrolló la
aritmética de los números complejos.
Hermann Grassmann, matemático alemán, a quien se le considera el creador del
álgebra lineal.
George Boole, matemático inglés, se le reconoce porque redujo la lógica formal
en una álgebra simple.
Giuseppe Peano, matemático italiano, quien enuncia los postulados con los que
se formaliza la definición de conjunto de los números naturales (Barrera, 2014).

Los símbolos usados en álgebra para representar cantidades son los números y
las letras.
Para dar inicio en el aprendizaje de la aritmética, es preciso definir los conceptos
elementales para la comprensión del tema.
Definiciones:
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Por convención, se usan las primeras letras del abecedario para denotar también
cantidades conocidas como coeficientes.
Se denomina variables a las letras que representan cantidades desconocidas. Por
convención, se usa las últimas letras del abecedario como u, v, w, x, y, z.
Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una
o más operaciones algebraicas.
Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de
varios símbolos no separados entre sí por el signo + o el signo –.
Ejemplo:
La siguiente es una expresión algebraica:

3x² + 5xy –183
Esta expresión consta de tres términos:
Primer término Segundo término Tercer término
3 x² 5 x y -183

Observe que cuando un término no va precedido por un signo, toma el valor
positivo.
Ejemplo:

El grado de este polinomio es 5.

II. Polinomios
Cuando un término involucra un coeficiente, una variable y un exponente, estos
elementos se distinguen:
axn a = coeficiente
x = variable en la base
n = exponente

Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que tiene la forma:
anxn + an–1 xn–1 + … + a²x² + a1 x + a0
Definiciones:
Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.
Un polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término.
El grado de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.
Por lo general, un polinomio se ordena de forma ascendente o descendente al
grado del polinomio.
Suma de polinomios
Para poder sumar dos polinomios, será necesario hacerlo únicamente de
términos semejantes, es decir, se suman los coeficientes que estén multiplicando
a variables con la misma potencia.
Ejemplo. Realice la suma de los siguientes polinomios:
P(x) = –8x⁵ + 4x⁴ + 10x³ – 15x² + 20x – 100 Con Q(x) = – 12x⁵ – 12x³ + 15x² +
2x + 117
Se recomienda colocar en orden cada uno de los términos y sumar los
coeficientes, como se muestra a continuación:

+ –8x⁵ +4x⁴ +10x³ –15x² +20x –100
–12x⁵ –12x³ +15x² +2x +117
–20x⁵ +4x⁴ –2x³ 0x² +22x +17

Puesto que por convención no se expresa de manera escrita un término que esté
multiplicado por cero, el polinomio que resultó de la suma es:
–20x⁵ + 4x⁴ – 2x³+22x + 17
Leyes de los exponentes
x = 1
x¹ = x
xn = xx … x (multiplicar x n-veces)(x–n)m = x –(nm)
xn xm = xn+m
(axn)(bxm) = (ab)xn+m
(xn)m = xnm
(xy)n = xn yn

Producto de polinomios
Recuerde la forma de multiplicar que estudió en su educación básica: cuando las
unidades se sumaban con unidades, decenas con decenas y centenas con
centenas. Ese mismo proceso se realizará, pero considerando un orden
estrictamente relacionado con la potencia del término en cuestión.
A continuación, se hará un ejemplo de la manera en que se multiplican dos
polinomios. Recuerde que para los propósitos de este libro se están ordenando de
forma descendente.
Ejemplo:
Multiplicar –10x³ + 15x² – 20x + 10 con 5x² – 2x + 11
X –10x³ +15x² –20x +10
5x² –2x +11
–110x³ +165x² –220x +110
+20x⁴ –30x³ +40x² –20x
–50x⁵ +75x⁴ –100x³ +50x²
–50x⁵ +95x⁴ –240x³ +255x² –270x +110

Por lo tanto, el polinomio que resulta del producto es:
–50x⁵ + 95x⁴ – 240x³ + 255x² – 270x + 110
También se puede realizar este producto de forma lineal, al aplicar
continuamente la propiedad distributiva del producto respecto de la suma,
aplicar repetidamente las leyes de los exponentes y sumar los términos
semejantes.
Sin embargo, observe que el método expuesto de multiplicar polinomios permite
reducir un posible error por omisión de algún término.

III. Ecuaciones de primer grado
Como su nombre lo indica, se presenta a continuación expresiones algebraicas
de grado 1. Para el propósito de este libro, sólo se analizarán los casos más
simples.
La recta
Una recta en su expresión pendiente ordenada al origen se expresa de la
siguiente manera:
y = mx + d
La pendiente de una recta indica su grado de inclinación, de esta manera:
m > 0 m < 0
m = 0 m, no determinada

Y en términos generales, a la ecuación de una recta, también se le presenta
como:
a x + by = c
Pero son exactamente lo mismo; mire a continuación el despeje que se hará de la
ecuación general de la recta:
ax +by = c
by = c – ax

Note que y que
Además, existe también la manera de determinar la ecuación de una recta de la
que se conoce su pendiente y que pasa por un punto, digamos P0 (x0, y0):
(y – y0) = m(x – x0)
Observe que x y y, que no tienen subíndice son unas variables, y x0, y0 son
valores conocidos.
En caso de no conocer la pendiente, pero sí dos puntos en el plano cartesiano por
los que pasa, digamos P1(x1, y1) y P2 (x2, y2), la forma de determinar la
ecuación de la recta es a partir de la pendiente, con la fórmula:

De esta manera, la ecuación de la recta queda:

Ejemplos:
1. Determine la recta cuya pendiente es -1/2 y que pasa por el punto (-3,5)
Se sustituyen los valores directamente en la fórmula:

Quedando la ecuación de la recta con pendiente y ordenada al origen:

O, si se multiplica por completo por 2:
– x + 2y = 7

2. Determine la recta que pasa por (2,3) y por (–3, –5).
Se sustituye los valores directamente en la fórmula:

O, si se multiplica por completo por 5:
–8 x + 5y = –1
Ejemplo de aplicación
Un partido político, para la campaña del Jefe de Gobierno del Distrito Federal en
las próximas elecciones, observó que si pasan 3 comerciales en apoyo a su
candidato en horario estelar su candidato obtiene 35% de posibles votantes en la
encuesta de un periódico; pero si pasan 6 comerciales en ese mismo horario, su
candidato obtiene el 42% de posibles votos. ¿Cuántos comerciales deberían
pasar en horario estelar para obtener 55% de posibles votantes?
Solución
Primero, se determina que el porcentaje de votantes depende del número de
comerciales en horario estelar; por tanto, se tiene la siguiente información:
P1(3,35) y P2(6,42)
Para poder contestar la pregunta, es necesario construir la recta que pasa por
estos puntos, utilizando la fórmula correspondiente:

Después de realizar operaciones algebraicas, se llega a la siguiente función
lineal:

Ahora, observe que se quiere determinar cuántos comerciales son necesarios
transmitir para obtener un porcentaje del 55% de posibles votantes, es decir, se
requiere despejar la variable x, puesto que ya se conoce el valor de y. En la
función se sustituye el valor de y y se despeja el valor de x:

11.571428 = x
Por tanto, se requiere de aproximadamente 12 comerciales en horario estelar.
Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2
Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 se expresa de la siguiente forma:
(Ecuación 1) a1x + b1 y = c1
(Ecuación 2) a2x + b2 y = c2
Como puede apreciarse, se trata de dos líneas rectas en el plano cartesiano, por
tanto, la solución implica determinar el punto en que se intersectan dichas rectas,
si no son rectas paralelas.
Para determinar la solución de un sistema de ecuaciones de 2x2, hay una
diversidad de algoritmos, de los cuales se recordará sólo cuatro:
Suma y resta
Sustitución
Igualación
Determinantes
Suma y resta

El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
1. Elegir una variable a despejar (x o y).
2. El coeficiente de la variable no elegida en la ecuación 1, multiplicará a toda la
ecuación 2, y el coeficiente de la variable no elegida en la ecuación 2,
multiplicará a toda la ecuación 1.
3. Restar la ecuación 2 de la ecuación 1.
4. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer grado con una incógnita, por
tanto se despeja su valor.
5. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 4, se sustituye en
cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor de la otra variable.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y.

2. Multiplicar la ecuación 1 por (–3) y la ecuación 2 por (–3).
–9x – 15y = –42
+9x – 9y = –54
3. Restar la ecuación 2 de la ecuación 1.
–24y = –96
y = 4
cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor de la otra variable.
3x + 5(4) = 14
3x = 14 – 20
3x = –6
x = –2

Sustitución
1. Elegir una variable a despejar (x o y) de una de las dos ecuaciones (1 o 2) y
despejarla.
2. Sustituir la variable despejada en la ecuación no-elegida.
4. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 3, se sustituye en la
variable despejada en el paso 1.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y de la ecuación 2.

3y = 18 + 3x
y = 6 + x
2. Sustituir la variable despejada en la ecuación 1.
3x + 5(6 + x) = 14
3x + 5(6 + x)= 14
3x + 30 + 5x = 14
8x = 14 – 30
x = – 2
4. X = –2, se sustituye en la variable despejada en el paso 1.
y = 6 – 2
y = 4
Igualación

1. Elegir una variable a despejar (x o y) de las dos ecuaciones y despejarlas.
2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer
grado con una incógnita, por tanto se despeja su valor.
una de las variables despejadas en el paso 1.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, digamos x de las dos ecuaciones y despejarlas.

2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer
grado con una incógnita, por tanto se despeja su valor.

una de las variables despejadas en el paso 1; por ejemplo, en la x que se despejó
de la primera ecuación.

Determinantes
Antes de abordar el algoritmo como en los casos anteriores, será preciso definir
algunos conceptos:
Definición: El determinante de una matriz de orden 2x2 de valores reales es
un valor numérico que se determina de acuerdo con:

En el sistema de ecuaciones de 2x2:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Se tendrá asociados tres determinantes: el determinante del sistema, a quien se
denotará ∆s, el determinante para despejar el valor de la incógnita x ∆x y el
determinante para despejar el valor de la incógnita y ∆y:

La solución al sistema de ecuaciones se determina con los siguientes
cocientes:

Observaciones:
1. Note que el determinante del sistema se conforma únicamente de los
coeficientes que multiplican a las variables.
2. Para determinar el determinante de la variable x, se cambiaron los coeficientes
que multiplican a esta variable por los coeficientes del lado derecho de las
igualdades; análogamente, se procedió con el determinante de la variable y.
3. Un punto relevante en este caso es que si el determinante del sistema es cero,
entonces este sistema de ecuaciones NO tiene solución.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
Se calcula los determinantes asociados a los sistemas de ecuaciones:

Finalmente, se determina la solución al sistema:

Una compañía fabrica dos tipos de jabón, A y B, que se deben procesar por dos
departamentos: producción y empaque. Si los tiempos estimados en la
producción de 100 jabones se presentan en la siguiente tabla, determinar cuántos
jabones de cada tipo deben fabricarse para aprovechar al máximo la capacidad
de la fábrica.
Departamento Productos Horas disponibles
A B Por mes
Producción 4 3 4300
Empaque 3 1.5 2625

Solución
x = Número de jabones del tipo A a producir en un mes
y = Número de jabones del tipo B a producir en un mes
El modelo es:
Depto. de producción 4x + 3y = 4300
Depto. de empaque 3x + 1.5y = 2625
Se resolverá utilizando igualación:

La solución es:
1) Se requiere producir mensualmente 475 jabones del tipo A
2) Se requiere producir mensualmente 800 jabones del tipo B
De esta manera, se aprovechará por completo la capacidad de los departamentos
en esta fábrica.

IV. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado en su expresión genérica se representa
mediante:
ax² + bx + c=0
Gráficamente, en el plano cartesiano, representa a una parábola que puede abrir
hacía arriba si el signo del coeficiente a > 0 (es positivo), o puede abrir hacía
abajo ∩ si el signo del coeficiente a < 0 (es negativo).
Una parábola puede intersectar al eje de las “x” en uno, en dos o en ningún
punto:
Intersección en dos puntosIntersección en un punto No existe intersección
a > 0 a > 0 a > 0
a < 0 a < 0 a < 0

Gráficamente es visible la correspondencia biunívoca que existe entre el número
de soluciones de la cuadrática y las intersecciones con el eje de las “x”. Es más:
en el caso en que no toca a este eje, sí tiene soluciones, pero éstas pertenecen al
conjunto de los números complejos no contemplados en este texto.
Regresando a ax² + bx + c = 0, la ecuación cuadrática, la manera de resolverla se
puede analizar por casos, dependiendo de cuál de los coeficientes no está
presente o de manera genérica, cuando los tres coeficientes están presentes.
Caso 1) c = 0
3x² – 9x = 0
En este caso, se puede proceder factorizando la expresión de la siguiente forma:
3x (x – 3)= 0
Note que se tiene un producto de dos expresiones igualado a cero. Esto implica
que uno de los dos factores debe ser cero, entonces hay dos soluciones posibles:
(3)(x) = 0 y, por tanto x = 0
Con factor derecho del producto, se tendría:
x – 3 = 0 y, por tanto x = 3
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
x1 = 0 y, x2 = 3
Caso 2) b = 0

–3x² + 12 = 0
En este caso, se realiza el despeje algebraico correspondiente:
–3x² = –12

Finalmente, las dos soluciones posibles son:
x1 = 2 y, x2 = –2
Caso 3) a, b, c ≠ 0
Es justamente este caso el que requiere la fórmula general para su solución:

Ejemplo:
–2x² + 5x +3 = 0
En este caso:
a = –2, b = 5 y C = 3
Aplicando la fórmula para determinar las dos soluciones posibles y haciendo las
operaciones correspondientes, se tiene:

Se determina la primera solución con el signo positivo de la raíz y la segunda
solución con el signo negativo de la raíz:

Aprovechando este último caso en la solución de ecuaciones cuadráticas, es
importante subrayar que el vértice es el punto que pertenece a la parábola, y es
aquel donde alcanza su valor máximo o mínimo, según sea el caso; pero siempre
se puede determinar a través del uso de las siguientes formulas, derivadas de la
fórmula general. De esta manera:

La función demanda de un producto es una función lineal donde y representa la
demanda en miles de unidades, y x es el precio del producto en pesos
mexicanos:
y = f (x) = 1500 – 50x
La función que expresa los ingresos totales de la venta de y unidades como
producto de x por y es:
I(x) = (x)(y)
Sustituyendo la y por la función que depende de x, queda expresada de la
siguiente forma:
I(x) = (x)(1500 – 50x)
I(x) = 1500x – 50x²
Que es precisamente una función cuadrática del caso 1, c = 0 y, por lo tanto,
intersecta al eje de las x en 0 y 30; como –50 < 0, entonces el gráfico tiene la
forma ∩ y el punto donde se obtienen los mayores ingresos es justamente en el
vértice; solo se requiere determinar los valores de cada coordenada.
Solución
y,

La interpretación que se da es inmediata de la manera en que se construyó la
función:
Cada unidad se debe vender en $15.00 por unidad.
Los ingresos totales serán de $11,250.00
Problemas
1. Determine las dimensiones de un rectángulo.
(3) Tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces su ancho.
(4) Su perímetro es de 19 cm.
2. Un parque posee un jardín de flores de 50 m de largo y 30 m de ancho, así
como un andador de ancho constante a su alrededor. Calcular el ancho del
andador.
(1) El área plantada con flores es de 1500 m².
(2) El área del andador es de 600 m².

3. Una mujer tiene dinero invertido en dos cuentas de las que recibe anualmente
una ganancia neta de $14,560.00. De una inversión, ella recibe el 12% anual, y
de la segunda el 8% anual. ¿Qué cantidad de dinero tiene invertida en cada tipo
de inversión?
(1) La mujer inicialmente invirtió $150,000.00 en total.
(2) En la que genera 12% de ganancia, ella invirtió más de dos terceras partes
que en la de 8%.
4. Determine qué cantidad de cada solución debe usar un químico para obtener 6
l de una solución ácida al 10% mezclando dos soluciones ácidas.
(1) La primera solución está al 7% de acidez.
(2) La segunda solución está al 12% de acidez.
5. Se recaudaron $42,795.00 de la venta de boletos para una función de teatro,
¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
(1) El costo de los boletos para el público general fue de $60.00
(2) El costo de los boletos para estudiantes fue de $45.00
6. ¿Existen dos números pares consecutivos cuya suma de recíprocos es ?

(1) Un entero es múltiplo de 4
(2) Un entero es múltiplo de 5
7. Luisa compró un vestido que tenía descuentos extraordinarios y pagó por él
$280.00. ¿Cuál era el precio original?
(1) El vestido tenía un 50% más el 20% de descuento.
(2) Luisa pagó por su vestido sólo el 40% de su precio original.
8. Una compañía fabrica dos tipos de computadoras, la LX3 y la LTT1. ¿Cuántas
computadoras deben vender de cada tipo para obtener utilidades totales de
$11’500,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada computadoras modelo LX3
es de $2,500.00
(2) Las utilidades netas que genera la venta de cada computadoras modelo LTT1
es de $3,500.00
9. Una compañía fabrica dos tipos de muebles, el A y el B. ¿Cuántos muebles
deben vender de cada tipo para obtener utilidades totales de $130,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada mueble es de $250.00 y
$350.00 para los del tipo A y B, respectivamente.
(2) El fabricante ha determinado que se puede vender 20% más de los muebles A
que de los del tipo B.

10. Una tienda de autos paga a sus vendedores un porcentaje con base en los
primeros $100,000.00 de ventas, más otro porcentaje sobre el excedente de los
$100,000.00 ¿A cuánto asciende cada porcentaje?
(1) Un vendedor obtuvo $8,500.00 por ventas de $175,000.00 y otro por
$14,800.00 por vender $280,000.00
(2) El segundo porcentaje es el triple de la mitad del primer porcentaje.
11. Determine las utilidades de este año y las del año pasado para una compañía
que reportó.
(1) El año pasado la empresa obtuvo utilidades por $800,000.00
(2) Este año la empresa obtuvo utilidades por $200,000.00 por encima de las
obtenidas el año anterior, e indicaron que aumentaron 25%.
12. Si usted decide realizar dos inversiones que le reditúan lo mismo, ¿cuánto
invirtió en cada una de ellas?
(1) De la cantidad total invertida, de ella más $600,000.00 invirtió en la primera.
(2) Al final del primer año usted recibió $150,000.00 de ganancia total.
13. Dos engranes, uno de ocho dientes y otro de 24 dientes, al dar la vuelta el
engrane más grande, el más chico gira alrededor del grande. ¿Cuántas veces gira
el engrane pequeño sobre su propio eje mientras da una vuelta completa

alrededor de la grande?
(1) Es sencillo: son 3 vueltas.
(2) Al girar un cuerpo trazando una circunferencia, se tiene siempre una
revolución más de las que pueden contarse.

14. ¿De cuántas formas se puede elegir una mesa directiva que consta de un
presidente, un tesorero y dos vocales, considerando que el orden es importante?
(1) El presidente es más importante que el tesorero y el tesorero que los dos
vocales.
(2) Son 20 profesores a los que se puede elegir.
¿De cuántas formas se puede elegir una muestra aleatoria de 500 personas para
un estudio de mercado?
(1) La población a considerar se divide en 7 estratos.
(2) La población a considerar se tiene 4 características de relevancia a
considerar.
1. Un deportista desea establecer una dieta a partir de pescado y pollo, que
contenga 183 gramos de proteína y 93 gramos de hidratos de carbono. Si una
porción de pescado de 100 gr contiene un 70% de proteínas y un 10% de
hidratos de carbono, y una porción de pollo de 100 gr contiene un 30% de
proteína y un 60% de hidratos de carbono, ¿qué cantidad de pescado se necesita
cada día?
a. 190 gr

b. 230 gr
c. 250 gr
d. 210 gr
e. 200 gr
2. El precio de un refrigerador es de $10,350.00. ¿Cuánto costaba hace un año si
aumentó un 11.7%?
a. $ 9,139.05
b. $ 10,230.30
c. $ 5,219.36
d. $ 9,265.90
E. $ 11,721.40
3. El 30 de marzo el IPC cerró en 5,327.5 puntos. ¿Con cuánto cerró el día
anterior si subió 0.82%?
a. 958.95
b. 4,923.75
c. 2,927.19
d. 4,514.83
e. 4,368.55

4. ¿Qué capital se debe invertir hoy al 27% capitalizable por meses para tener
$30,000.00 en 7 meses?
a. $ 24,500.00
b. $ 21,900.00
c. $ 26,700.00
d. $ 23,622.05
e. $ 25,673.08
5. ¿Qué capital se debe invertir hoy al 30.5% capitalizable por meses para tener
$13,000.00 en 5 meses?
a. $ 11,466.78
b. $ 9,035.00
c. $ 6,825.00
d. $ 9,961.68
e. $ 7,669.61
Otros
6. En un estudio reciente, se indica que la función representa la popularidad del

ex presidente de la República Mexicana durante su sexenio, cuando 0 ≤ t ≤ 6.
Determine el valor de t para el cual obtuvo la mayor popularidad.
7. La policía del Distrito Federal estudia la compra de carros patrulla. Los
analistas estiman que el costo de cada carro, completamente equipado, es de
$185,000.00, además, han estimado un costo promedio de $20.00 por kilómetro
recorrido. Determine:
a) La función de costo total
b) ¿Cuál es el costo de cada carro patrulla, si en promedio recorre 50,000
kilómetros en su vida útil?
c) ¿Y si recorriera 75,000 kilómetros?
8. Problema 7. La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos,
depende del número de artículos x en cientos de unidades, de acuerdo con la
siguiente función:
U(x) = –4x² + 5x + 10
a) ¿Cuántos artículos se deben vender para obtener la ganancia más grande?
b) ¿De cuánto es esa ganancia?

Bibliografía
Baldor, Aurelio (1980). Álgebra, Madrid: Ediciones y distribuciones códice.
Budnick, Frank (2007). Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía
y Ciencias Sociales, México: Mc Graw Hill.
Cárdenas, H. y otros (1986). Álgebra Superior, México: Trillas.
Newman, James R. (1994). SIGMA El mundo de las matemáticas Vol. 1,
México: Grijalbo.
Web
Barrera Francisco, Historia del Álgebra, Facultad de Ingeniería unam
http://www.dcb.unam.mx/users/ericagv/algebra/historia%20del%20algebra.pdf
Consultada el 1 de octubre de 2014.

Capítulo 5
Investigación de operaciones

Introducción
Sus principios son los mismos que los del método científico, cuyo origen exacto
se desconoce. A través de diversos estudios, se asignan sus orígenes a partir del
siglo xviii . Previamente, al ingeniero Frederick Winslow Taylor,
norteamericano, se le reconoce la paternidad de la Administración Científica
debido a sus aportaciones, como la división del trabajo mediante capacitación,
selección y adiestramiento de los trabajadores. Además, de la aplicación del
análisis científico a los problemas de manufactura, estableciendo normas de
trabajo y de especialización. Por su parte, Henry L. Gant planeó las tareas de las
máquinas para evitar demoras de producción.
El desarrollo como Investigación de Operaciones io, se dio en el siglo xx,
justamente en el transcurso de la Segunda Guerra Mundial, cuando los llamados
Aliados (Reino Unido, Unión Soviética, Estados Unidos, Francia, etc.),
congregaron a un grupo multidisciplinario de científicos para determinar tácticas
de guerra que les permitieran vencer al bloque opositor (liderado por Alemania,
Japón e Italia). Como se conoce hasta la fecha, fueron justamente los
denominados aliados quienes finalmente ganaron la Segunda Guerra Mundial,
pero a estas tácticas de guerra desarrolladas en este periodo se le conoció como
Investigación de Operaciones (militares).
Al término de la guerra, en los países que quedaron devastados, se siguió
utilizando para la reconstrucción del país, pero, por ejemplo, en los Estados
Unidos de Norteamérica se siguieron desarrollando algoritmos muy importantes
que permitieron integrarse en las organizaciones para su óptimo desarrollo en
problemas de tipo logísticos, el desarrollo de patrones de vuelo, planeación de
maniobras navales.
Ya en la década de 1950, con el desarrollo y comercialización de computadoras,
se pudieron mejorar notablemente los algoritmos para este tipo de problemas. Es
más: se inventaron muchos otros, sobre todo en programación entera y
simulación en donde la solución de problemas sería impensable si no existieran
las computadoras.

La Programación Lineal es una de las áreas mayormente conocidas dentro de la
io por su gran facilidad de aplicación a diversos problemas empresariales y
financieros. Otra área de gran aplicación es la Evaluación y Administración de
proyectos, en la que se requieren conocimientos de las matemáticas financieras.
Ahora se cuenta con un sinnúmero de algoritmos para resolver distintos
problemas que se han clasificado dentro de la investigación de operaciones, para
ello se requiere determinar el modelo más adecuado utilizando diversas
herramientas de las matemáticas.
En la actualidad, el desarrollo de esta disciplina ha sido tan importante que su
ámbito de aplicación abarca casi todas las disciplinas.

Lo principal es conocer las definiciones clave dentro de la io, de manera muy
breve, pero después hacer un análisis más profundo en la Programación Lineal.
Definición: La Investigación de Operaciones es la aplicación del método
científico para la solución de un problema específico, por un grupo
multidisciplinario de personas, con un enfoque de sistemas.
Metodología
Se debe precisar que en la definición, la aplicación del método científico no es
literal; evidentemente, se debe adaptar cada uno de los pasos involucrados en la
metodología.
Método científico Metodología de la io
Observación Análisis del problema
Elaboración de hipótesis Elaboración de un modelo (generalmente matemático)
Experimentación Resolver el modelo
Comprobación Comparar la solución con la realidad
Conclusión Implantar la solución o modificar el modelo

Clasificación de problemas en io
Existen diversas maneras de clasificar los tipos de problemas que pueden
abordarse en io. Una de ellas es con base en la naturaleza de sus variables (puede
variar):

II. Programación lineal
En esta sección, se profundizará en la teoría y aplicación de los problemas de
programación lineal, los más aplicados en diversas áreas.
Definición: Un Problema de Programación Lineal (ppl) está conformado
por una función objetivo (fo) de tipo lineal, a maximizar o minimizar en
presencia de un conjunto de restricciones lineales de la forma ≤, ≥ 0 =.
Maximizar z = c1 x1 + c2 x2 + ⋯ + cn xn
Sujeto a
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn ≤ b2
⋮ ⋮ ⋮
am1 x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn ≤ bm
x1, x 2, …, xn ≥ 0
Definición: Un punto factible o solución factible es una n-ada , de valores
reales, tales que satisfacen a la totalidad de restricciones.
Definición: Una región factible es el conjunto de soluciones factibles.
Para observar gráficamente lo que representaría una región factible, se utilizará
un ppl en dos variables, como el siguiente problema:
Min z = 8x1 + 6x2
Sujeto a
x1 + x2 ≥ 15

–4x1 + 6x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
A continuación, se debe dibujar en el plano cartesiano las distintas regiones que
están acotando cada una de las restricciones lineales:

Note usted que, por ejemplo, el punto de coordenadas (17,1) está en la región
factible y satisface a la totalidad de restricciones del ppl; lo mismo ocurre con
(17,2), (18,1), (19,1), (19,2), etc. Por tanto, existe una infinidad de parejas de
números que satisfacen a las restricciones del ppl, y los métodos para resolver
este tipo de problemas encuentran la solución que maximice o minimice a la fo,
según sea el caso.

III. Modelación de problemas de programación lineal
Los ejemplos presentados en esta sección son ficticios; pero muy didácticos,
muestran con claridad situaciones de la vida cotidiana que pueden modelarse
matemáticamente a través de un PPL.
Problema 1. La dieta
Una actriz de televisión está preocupada por su peso y el costo de la comida
diaria. Para bajar de peso, ella requiere consumir un máximo de 2000 kcal, pero
para mantenerse nutrida requiere un mínimo de 400 mg de vitaminas diversas,
325 mg de proteínas y 125 mg de calcio; los demás nutrientes los tomará en
cápsulas.
La actriz ha elegido alimentos que le gustaría incluir en su dieta, baratos y
nutritivos.
Alimento Porción kcal Vitaminas (mg) Proteínas (mg) Calcio (mg)
Huevo 1 pieza 30 15 35 25
Frutas 1 plato 40 25 10 —
Pollo en mole Pierna con muslo75 20 50 15
Cerdo en verdolagas Dos trozos 100 25 65 10
Leche 1 taza 25 20 15 14
Pan o tortilla 2 piezas 43 15 — 20

Al analizar la tabla, ella se percató de que podría satisfacer su problema
consumiendo únicamente cerdo con verdolagas, por lo que decidió considerar
que diariamente a lo más puede comer cuatro porciones de huevo, dos de fruta,
dos de pollo, dos de cerdo, tres de leche y cuatro de pan o tortilla.
Solución
Primero, se debe definir lo que va a significar cada una de las variables de
decisión. En este caso, la cantidad de porción que se va a incluir en la dieta
diaria, de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan los requerimientos de
nutrientes con los que indican las cantidades máximas a consumir.
El modelo completo es:
xi = Cantidad de porción del alimento i a incluir en la dieta diaria,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Minimizar z = 2x1 + 50x2 + 75x3 + 95x4 + 10x5 + 5x6
Sujeto a
30x1 + 40x2 + 75x3 + 100x4 + 25x5 + 43x6 ≤ 2000 Kcal
15x1 + 25x2 + 20x3 + 25x4 + 20x5 + 15x6 ≥ 400 mg vitaminas
35x1 + 10x2 + 50x3 + 65x4 + 15x5 –––≥ 325 mg proteinas
25x1 ––– + 15x3 + 10x4 + 14x5 + 20x6 ≥ 125 mg calcio
0≤ x1 ≤ 4
0≤ x2 ≤2

0≤ x3 ≤2
0≤ x4 ≤2
0≤ x5 ≤3
0≤ x6 ≤4
Problema 2. De producción
Una compañía de zapatos mantiene en su producción tres líneas: zapatillas,
calzado para caballero y de niña. Las utilidades netas que proporciona cada par
de zapatos son de $35, $25 y $19, respectivamente, y se requiere para la
fabricación de una hora con 30 minutos, 45 minutos y 30 minutos de corte,
respectivamente; una hora y 30 minutos, media hora y una hora de costura,
respectivamente; finalmente, 15 minutos de revisión para cada par de zapatos.
Si la próxima semana se tiene un pedido de 50 pares de zapatillas y 25 pares de
zapatos de niña, pero, según un estudio de mercado, no se venderán más de 125
pares de caballero. Determine el modelo de pl que determine la producción ideal,
considerando que sólo se dispondrá de 45 horas de corte, 40 horas de costura y
30 horas para revisión.
Solución
xi = Número de pares de zapatos del tipo i a fabricar en la semana,
i = 1 (zapatillas), 2 (caballero), 3 (niña)
Maximizar z = 35x1 + 25x2 + 19x3

Sujeto a
30x1 + 45x2 + 30x3 ≤ 45 × 60 = 2700 min de corte
90x1 + 30x2 + 60x3 ≤ 40 × 60 = 2400 min de costura
15x1 + 15x2 + 15x3 ≤ 30 × 60 = 1800 min de revisión
50 ≤ x1
0 ≤ x2 ≤ 125
25 ≤ x3
x1, x2, x3 enteros
Problema 3. De contratación de personal
Restaurantes California abrirá un restaurante en la Col. Copilco. Su gerente
quiere determinar cuántas meseras deberá contratar para que atienda a los
comensales en los distintos horarios. Este restaurante trabaja las 24 horas del día,
las meseras trabajarán ocho horas consecutivas y se requieren como mínimo
distintos números para la demanda en horarios de cuatro horas.
Horario Número mínimo de meseras
0 - 4 3
4 - 8 4
8 - 12 8
12 - 16 10
16 - 20 9
20 - 24 6

Solución
xi = Número de meseras a contratar para que inicien sus labores en el horario i,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Minimizar z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
Sujeto a
x1 + x2 –––––––––––––––≥ 4 meseras en el horario 2
–––––––x2 + x3 –––––––≥ 8 meseras en el horario 3
–––––––––– x3 + x4 –––––≥ 10 meseras en el horario 4
––––––––––––x4 + x5 –––≥ 9 meseras en el horario 5
–––––––––––––––x5 + x6 ≥ 6 meseras en el horario 6
x1 ––––––––––––––– + x6 ≥ 3 meseras en el horario 1
x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 y enteros
Problema 4. Concesión de contratos
Una Secretaría de Estado requiere contar con alternativas de proveedores de
productos de papelería para realizar sus compras de manera transparente. A
continuación, se muestra tres opciones para la licitación:
Costos ofertados para el producto ($)

Proveedor 1 2 3
1 5.00 57.50 3.00
2 57.25 3.20
3 4.80 57.75 3.10
Requerimientos de la secretaría 20000 15000 30000

Observe que los proveedores no necesariamente hacen ofertas de los cinco
productos mayormente demandados por la entidad; también, algunos de ellos
indicaron cantidades máximas que pueden surtir de productos particulares. El
proveedor 1 indicó que no puede surtir más de 10,000 unidades del producto 3, y
el proveedor 2 no puede surtir más de 8,000 unidades del producto 2. Las
regulaciones de compras estatales no permiten que se compren todas las
unidades de un producto solicitado a un solo proveedor.
Solución
xij = Número de artículos del tipo i a comprar al proveeedor j,
i = 1, 2, 3, 4, 5 j = 1, 2, 3
Minimizar z
= 5x11 + 4.8x13 + 57.5x21 + 57.25x22 + 57.75x23 + 3x31 + 3.2x32 + 3.1x33
+ 8.75x42 + 9x43 + 104.5x51 + 103.2x52
Sujeto a
x11 – x13 ––––––––––––––––––––––––––––––≥ 20,000 artículos del tipo 1
x21 + x22 + x23 –––––––––––––––––––––––≥ 15,000 artículos del tipo 2
x31 + x32 + x33 –––––––––––––––≥ 30,000 artículos del tipo 3
x42 + x43 –––––––––––––––≥ 25,000 artículos del tipo 4
x51 + x52 ≥ 2,000 artículos del tipo 5
x31 ≤ 10,000

x22 ≤ 8,000
x11 ,x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33, x42, x43, x51, x52 ≥ 1 y enteros
Problema 5. De transporte
Después de un huracán en el Pacífico Mexicano, se dañaron severamente tres
entidades del estado de Guerrero. El Gobierno Federal decidió enviar
provisiones y medicamentos desde la capital de cuatro estados de la República
Mexicana. Debido al costo de transporte aéreo por tonelada, a continuación se
presenta los costos en miles de pesos por tonelada transportada:
Localidades de guerrero
Capital proveedora 1 2 3 Oferta (T)
D. F. 3 2.5 4.5 80
Guadalajara 5 6 2.5 30
Monterrey 7 6.5 3 80
Toluca 9 8 4.5 35
Demanda (T) 90 70 65

Solución
xij = Número de toneladas de suministros a transportar de la capital i a la
localidad j,
i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3
Minimizar z
= 3x11 + 2.5x12 + 4.5x13 + 5x21 + 6x22 + 2.5x23 + 7x31 + 6.5x32 + 3x33
+ 9x41 + 8x42 + 4.5x43
Sujeto a
x11 + x12 + x13 –––––––––––––––––––––≤ 80 Ton disponibles en el DF
x21 + x22 + x23 –––––––––––––––––––––≤ 30 Ton disponibles en Guad
x31 + x32 + x_33 ––––––––––––––––≤ 80 Ton disponibles en Mty
x41 + x42 + x43 ≤ 35 Ton disponibles en Tol
x11––––– + x21–––––––+ x31––––––– + x41 ≥ 90 Ton necesarias en loc.1
x12–––– + x22 ––––––+ x32–––––– + x42 – ≥70 Ton necesarias en loc.2
x13–––– + x23––––––+ x33–––––– + x43≥65 Ton necesarias en loc.3
x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33, x41, x42, x43 ≥ 0
Problema 6. De asignación

En un Juzgado de Distrito, se quiere asignar cuatro jueces a cuatro listas de
causas de los tribunales. El responsable de esta tarea estimó el número de días
que requeriría cada juez para completar cada listado, con base en su experiencia
y la composición de equipos de caso en cada lista, así como su experiencia para
culminar los diferentes casos:
Grupo de causas
Juez 1 2 3 4
1 20 18 2224
2 18 21 2620
3 22 26 2725
4 25 24 2224

Solución:
xij = {
1, si el juez i se asigna al grupo de causas j
0, si el juez i NO se asigna al grupo de causas j
i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4
Sujeto a
x11 + x12 + x13 + x14 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––= 1
x21 + x22 + x23 + x24 ––––––––––––––––––––––––= 1
x31 + x32 + x33 + x34 –––––––––––––––––= 1
x41 + x42 + x43 + x44 = 1
x11 ––––––––– + x21 –––––––––– + x31 –––––––––– + x41 –––––––––– = 1
x12 ––––––––– + x22 ––––––––– + x32 ––––––––– + x42 ––––––––– = 1
x13 –––––––– + x23 –––––––– + x33 –––––––– + x43 –––––––– = 1
x14 ––––––––– + x24 ––––––––– + x34 ––––––––– + x44= 1
Note usted que las primeras cuatro restricciones sólo están restringiendo el
hecho de a cada juez le debe tocar solamente un grupo de causas; pero si el
modelo quedara así, podría suceder que el mismo grupo de causas se asignara a
todos los jueces; por tanto, las últimas cuatro restricciones indican que también
se debe cumplir que cada grupo de causas se le asignen a un sólo juez.
Problema 7. Tipo mochila

En una secretaría de Estado, se analizaron varios proyectos de inversión, de los
cuales se elegirán sólo cinco como candidatos para elegir. Puesto que éstos
reditúan buenas ganancias, la decisión de elegir en cuáles invertir no es sencilla,
puesto que al elegir un proyecto se tendrá que invertir el costo total y la
secretaría sólo asignó $8’000,000.00 para este propósito.
Proyecto Costo (Millones de pesos) Ganancias (Millones de pesos)
1 1.5 0.5
2 2 1
3 2.1 1.2
4 3 1.6
5 2.5 1.8

El modelo que se usará se denomina “mochila” porque se hace una comparación
con el excursionista que desea llevar al viaje una serie de objetos; pero no puede
llevarse todos, pues la capacidad de su mochila es limitada, es decir, sólo se debe
considerar una restricción. Por tanto, el modelo quedaría:
Solución:
xij = {
1, si se invierte en el proyecto i
0, si eNO se invierte en el proyecti i
i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 0.5x1+ x2 + 1.2x3+ 1.6x4 + 1.8x5
Sujeto a
1.5x1+ 2x2+ 2.1x3+ 3x4+ 2.5x5 ≤ 8 ($ disponibles)

IV. Método Gráfico
Pedagógicamente, es importante su aprendizaje, porque permite entender la idea
intuitiva del método simplex. Por esta razón, no se profundizará en el tema; sólo
se mostrará la idea básica y un ejemplo completo de aplicación.
Definición: El método gráfico consiste en utilizar la geometría analítica para
resolver problemas de programación lineal en dos variables: a través de
graficar la región factible e identificar los puntos de tangencia de ésta con la
Función Objetivo.
Algoritmo del método gráfico
1. Dibujar las rectas correspondientes a las restricciones lineales.
2. Determinar la región factible involucrando las restricciones del tipo ≤ o ≥
3. Dibujar la fo que pasa por el origen (0, 0)
4. Trazar rectas paralelas a la fo en dirección de la región factible y encontrar el
punto (los puntos) de tangencia.
5. Determinar las coordenadas del punto (los puntos) de tangencia de la fo con la

región factible y calcular el valor óptimo de la fo.
Ejemplo numérico:
Maximizar z = 4x1 + 6x2
Sujeto a
2x1 + x2 ≤18
x1 + 2x_2 ≥ 16
x1, x_2 ≥ 0
Dibujar las rectas correspondientes a las restricciones lineales y determinar la
región factible involucrando las restricciones del tipo ≤ o ≥
L1 2x1 + x2 = 18 pasa por (0,18) y (9,0);
Evaluar (0,0) 2(0) + (0) = 0 < 18 como SÍ satisface la restricción. La región es
hacia el origen, en el primer cuadrante.

L2 x1 + 2x2 = 16 pasa por (0,8) y (16,0);
Evaluar (0,0) (0) + (0) = 0 < 10
Como SÍ satisface la restricción, la región es hacia el origen, en el primer
cuadrante.

La región factible que resulta es la intersección de las dos regiones delimitadas
por el par de rectas.

Dibujar la fo que pasa por el origen (0,0)
4 x 1 + 6 x 2 = 0 pasa por el punto (0,0) y, por ejemplo, por el punto (-6,4)

Trazar rectas paralelas a la fo en dirección de la región factible y encontrar
el punto (los puntos) de tangencia.

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