La presente presentación muestra contenido acerca de la transformada inversa de Laplace.

1.  Carrera:
Tranco comun
 Asignatura:
Matemática
 Grupo: 1
 Actividad:7
 Tema:
Transformada inversa de Laplace
 Elaborado por:
Ángel Tonnyno Medina Q.
 Fecha:
19/02/19

3. Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una
función continua 𝑓(𝑡) , es decir, 𝐿 𝑓(𝑡) =
𝐹 𝑠 , entonces la transformada inversa de
Laplace de 𝐹(𝑠), escrita 𝐿−1 𝐹(𝑠) es 𝑓(𝑠), es
decir, 𝐿−1 𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡) de forma que 𝐿[𝑓] = 𝐹,
aunque está perfectamente claro que tal 𝑓 no
es única.
En este contexto, destacamos las siguientes
propiedades de Transformada inversa que
serán especialmente interesantes a la hora de
las aplicaciones.

4.  Para Transformada de Laplace
Esta propiedad será muy útil para resolver
ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes, a la vez que permitirá
el cálculo de la transformada de algunas
funciones. 𝐿 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠) y 𝐿 𝑔(𝑡) = 𝐺(𝑠)
existen, entonces:
𝐿 𝑓 𝑡 + 𝑐𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡) + 𝐿 𝑔(𝑡) = 𝐹 𝑠 + 𝐺(𝑠)

5.  Para Inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace esta
también una transformada lineal para
constantes 𝛼 𝑦 𝛽 se verifica:
𝐿−1 𝛼𝐹 𝑠 + 𝛽𝐺 𝑠 = 𝛼𝐿−1 𝐹 𝑠 + 𝛽𝐿−1 {𝐺 𝑠 }.

6. No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera
calcular una transformada, por ejemplo, la integración por
partes involucrada al calcular 𝐿 𝑒 𝑘𝑡
𝑆𝑒𝑛(𝑡) , es bastante tediosa.
Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran
trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.
Si conocemos que 𝐿 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 , podemos calcular la
transformada de 𝐿 𝑒 𝑘𝑡
𝑆𝑒𝑛(𝑡) como una traslación, de 𝐹(𝑠) a
𝐹(𝑠 − 𝑘), siguiendo el siguiente teorema:
Si 𝑘 es un número real y 𝐿 𝑓(𝑡) existe, podemos decir que:
𝐿 𝑒 𝑘𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡) = 𝐹(𝑠 − 𝑘),
De donde 𝐹(𝑠) = 𝐿 𝑓(𝑡)
Lo cual es habitual escribir esta definición como:
𝐿 𝑒 𝑘𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡) = 𝐿 𝑓(𝑡) | 𝑠→(𝑠−𝑘)

7.  Teorema de traslación de forma inversa
tenemos:
𝑒 𝑘𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐿−1 𝐹(𝑠 − 𝑘) = 𝐿 𝐹(𝑠)| 𝑠→(𝑠−𝑘)

8.  Si 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓 𝑡 𝑦 𝑎 > 0 tenemos:
𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠 𝐹(𝑠)
Forma inversa de la Transformada de Laplace
tenemos:
Si 𝑓 𝑡 = 𝐿−1{𝐹 𝑠 }
La forma inversa de este teorema es:
𝐿−1 𝑒−𝑎𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢(𝑡 − 𝑎)

10.  Aplicación de linealidad de la transformada
inversa de Laplace.
𝐿−1
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4

11.  Utilizando fracciones parciales:
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4
=
𝑨
𝒔 − 𝟐
+
𝑩𝒔 + 𝑪
𝒔 𝟐 + 𝟒
4𝑠 = 𝑨 𝒔 𝟐 + 𝟒 + 𝑩𝒔 + 𝑪 𝒔 − 𝟐
 Encontramos las raíces reales:
𝒔 − 𝟐 = 𝟎
𝒔 = 𝟐

12.  Remplazando:
4(2) = 𝑨 𝟐 𝟐
+ 𝟒 + 𝑩 𝟐 + 𝑪 𝟐 − 𝟐
 Ahora tenemos:
8 = 𝑨 𝟒 + 𝟒
𝑨 = 𝟏
 Sustituyendo:
4𝑠 = (𝟏) 𝒔 𝟐 + 𝟒 + 𝑩𝒔 + 𝑪 𝒔 − 𝟐
4𝑠 = 𝒔 𝟐
+ 𝟒 + 𝑩𝒔 𝟐
− 𝟐𝑩𝒔 + 𝑪𝒔 − 𝟐𝑪
 Sacamos factor común s e igualamos a la potencia
respectiva.
4𝑠 = 𝒔 𝑪 − 𝟐𝑩 ; 𝒔 𝟐
𝟏 + 𝑩 ; 𝟒 − 𝟐𝑪
𝑪 − 𝟐𝑩 = 4
𝟏 + 𝑩 = 0
𝟒 − 𝟐𝑪 = 0

13.  Resolviendo las ecuaciones tenemos:
𝑩 = −1
𝑪 = 2
 Sustituyendo las soluciones a los parámetros de
la fracción parcial inicial:
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4
=
𝟏
𝒔 − 𝟐
+
−𝟏 𝒔 + 𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟒
=
𝟐 − 𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟒
+
𝟏
𝒔 − 𝟐
=
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟒
−
𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟒
+
𝟏
𝒔 − 𝟐


14.  Al final tenemos:
𝐿−1
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4
= 𝐿−1
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟒
− 𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 4
+ 𝐿−1
𝟏
𝒔 − 𝟐
= sin 2𝑡 − cos 2𝑡 + 𝑒2𝑡
 Este es el proceso general para hallar soluciones
de ecuaciones diferenciales mediante Laplace,
tomar en cuenta que el tema de fracciones
parciales serán muy útiles para lo que es Laplace.
 Además necesitamos basarnos de algunas
trasformadas establecidas:

17. Bibliografía:
Información:
• Figueroa., G. (2012). Ecuaciones Diferenciales. Escuela de
Matemática, Costa Rica. Obtenido 19/02/19 de:
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-
geo/laplace/node2.html
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de
modelado / Dennis G. Zill (9a. ed.--.). México D.F.: Cengage
learning.
Tabla de transformadas de Laplace.
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de
modelado / Dennis G. Zill (9a. ed.--.). México D.F.: Cengage
learning.