Este documento presenta información sobre la transformada inversa de Laplace. Explica que la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función original f(t). También cubre propiedades como la linealidad y cómo se pueden usar teoremas de traslación para calcular transformadas de funciones como e^kt sen(t). Finalmente, muestra un ejemplo completo del cálculo de la transformada inversa de Laplace de 4s/(s-2)(s^2+4).

1.  Carrera:
Tranco comun
 Asignatura:
Matemática
 Grupo: 1
 Actividad:7
 Tema:
Transformada inversa de Laplace
 Elaborado por:
Ángel Tonnyno Medina Q.
 Fecha:
19/02/19

3. Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una
función continua 𝑓(𝑡) , es decir, 𝐿 𝑓(𝑡) =
𝐹 𝑠 , entonces la transformada inversa de
Laplace de 𝐹(𝑠), escrita 𝐿−1 𝐹(𝑠) es 𝑓(𝑠), es
decir, 𝐿−1 𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡) de forma que 𝐿[𝑓] = 𝐹,
aunque está perfectamente claro que tal 𝑓 no
es única.
En este contexto, destacamos las siguientes
propiedades de Transformada inversa que
serán especialmente interesantes a la hora de
las aplicaciones.

4.  Para Transformada de Laplace
Esta propiedad será muy útil para resolver
ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes, a la vez que permitirá
el cálculo de la transformada de algunas
funciones. 𝐿 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠) y 𝐿 𝑔(𝑡) = 𝐺(𝑠)
existen, entonces:
𝐿 𝑓 𝑡 + 𝑐𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡) + 𝐿 𝑔(𝑡) = 𝐹 𝑠 + 𝐺(𝑠)

5.  Para Inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace esta
también una transformada lineal para
constantes 𝛼 𝑦 𝛽 se verifica:
𝐿−1 𝛼𝐹 𝑠 + 𝛽𝐺 𝑠 = 𝛼𝐿−1 𝐹 𝑠 + 𝛽𝐿−1 {𝐺 𝑠 }.

6. No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera
calcular una transformada, por ejemplo, la integración por
partes involucrada al calcular 𝐿 𝑒 𝑘𝑡
𝑆𝑒𝑛(𝑡) , es bastante tediosa.
Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran
trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.
Si conocemos que 𝐿 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 , podemos calcular la
transformada de 𝐿 𝑒 𝑘𝑡
𝑆𝑒𝑛(𝑡) como una traslación, de 𝐹(𝑠) a
𝐹(𝑠 − 𝑘), siguiendo el siguiente teorema:
Si 𝑘 es un número real y 𝐿 𝑓(𝑡) existe, podemos decir que:
𝐿 𝑒 𝑘𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡) = 𝐹(𝑠 − 𝑘),
De donde 𝐹(𝑠) = 𝐿 𝑓(𝑡)
Lo cual es habitual escribir esta definición como:
𝐿 𝑒 𝑘𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝑡) = 𝐿 𝑓(𝑡) | 𝑠→(𝑠−𝑘)

7.  Teorema de traslación de forma inversa
tenemos:
𝑒 𝑘𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐿−1 𝐹(𝑠 − 𝑘) = 𝐿 𝐹(𝑠)| 𝑠→(𝑠−𝑘)

8.  Si 𝐹 𝑠 = 𝐿 𝑓 𝑡 𝑦 𝑎 > 0 tenemos:
𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠 𝐹(𝑠)
Forma inversa de la Transformada de Laplace
tenemos:
Si 𝑓 𝑡 = 𝐿−1{𝐹 𝑠 }
La forma inversa de este teorema es:
𝐿−1 𝑒−𝑎𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑢(𝑡 − 𝑎)

10.  Aplicación de linealidad de la transformada
inversa de Laplace.
𝐿−1
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4

11.  Utilizando fracciones parciales:
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4
=
𝑨
𝒔 − 𝟐
+
𝑩𝒔 + 𝑪
𝒔 𝟐 + 𝟒
4𝑠 = 𝑨 𝒔 𝟐 + 𝟒 + 𝑩𝒔 + 𝑪 𝒔 − 𝟐
 Encontramos las raíces reales:
𝒔 − 𝟐 = 𝟎
𝒔 = 𝟐

12.  Remplazando:
4(2) = 𝑨 𝟐 𝟐
+ 𝟒 + 𝑩 𝟐 + 𝑪 𝟐 − 𝟐
 Ahora tenemos:
8 = 𝑨 𝟒 + 𝟒
𝑨 = 𝟏
 Sustituyendo:
4𝑠 = (𝟏) 𝒔 𝟐 + 𝟒 + 𝑩𝒔 + 𝑪 𝒔 − 𝟐
4𝑠 = 𝒔 𝟐
+ 𝟒 + 𝑩𝒔 𝟐
− 𝟐𝑩𝒔 + 𝑪𝒔 − 𝟐𝑪
 Sacamos factor común s e igualamos a la potencia
respectiva.
4𝑠 = 𝒔 𝑪 − 𝟐𝑩 ; 𝒔 𝟐
𝟏 + 𝑩 ; 𝟒 − 𝟐𝑪
𝑪 − 𝟐𝑩 = 4
𝟏 + 𝑩 = 0
𝟒 − 𝟐𝑪 = 0

13.  Resolviendo las ecuaciones tenemos:
𝑩 = −1
𝑪 = 2
 Sustituyendo las soluciones a los parámetros de
la fracción parcial inicial:
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4
=
𝟏
𝒔 − 𝟐
+
−𝟏 𝒔 + 𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟒
=
𝟐 − 𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟒
+
𝟏
𝒔 − 𝟐
=
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟒
−
𝒔
𝒔 𝟐 + 𝟒
+
𝟏
𝒔 − 𝟐


14.  Al final tenemos:
𝐿−1
4𝑠
𝑠 − 2 𝑠2 + 4
= 𝐿−1
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟒
− 𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 4
+ 𝐿−1
𝟏
𝒔 − 𝟐
= sin 2𝑡 − cos 2𝑡 + 𝑒2𝑡
 Este es el proceso general para hallar soluciones
de ecuaciones diferenciales mediante Laplace,
tomar en cuenta que el tema de fracciones
parciales serán muy útiles para lo que es Laplace.
 Además necesitamos basarnos de algunas
trasformadas establecidas:

17. Bibliografía:
Información:
• Figueroa., G. (2012). Ecuaciones Diferenciales. Escuela de
Matemática, Costa Rica. Obtenido 19/02/19 de:
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-
geo/laplace/node2.html
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de
modelado / Dennis G. Zill (9a. ed.--.). México D.F.: Cengage
learning.
Tabla de transformadas de Laplace.
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de
modelado / Dennis G. Zill (9a. ed.--.). México D.F.: Cengage
learning.