1. El documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y las ecuaciones diferenciales por factor integrante. 2. Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas cuya forma general es M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 y cuyas derivadas parciales son iguales. 3. Las ecuaciones diferenciales por factor integrante no son exactas, pero pueden hacerse exactas multiplicando por un factor integrante que depende de x, y o xy.

1. 1
V. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS:
Son EDO cuya formal general es M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 y se cumple que
sus derivadas parciales y son iguales. La función solución será:
u(x, y) = c.
Solución:
1) Se plantea la solución:
u(x, y) = ∫ M(x, y)dx + φ(y) ó u(x, y) = ∫ N(x, y)dy + φ(x)
Se escoge según la función que sea más fácil para integrar.
2) Se deriva parcialmente la expresión planteada en el paso 1:
∂u
∂y
y se iguala a N(x, y) ó
∂u
∂x
y se iguala a M(x, y)
3) Se despeja φ (y) obteniéndose una f(y) que se integra y se halla
φ(y).
O Se despeja φ (x) obteniéndose una f(x) que se integra y se halla
φ(x).
4) Finalmente se sustituye el φ(y) o φ(x) en la expresión planteada
en el paso 1.
Ejemplos:
1) (2 + 3 ) + 2 = 0
∂M
∂y
=
∂N
∂x
; 4xy = 4xy ; se cumple que las derivadas parciales son iguales.
u = M(x, y)dx + φ(y) ; u = (2xy + 3x )dx + φ(y) = x + y + x + φ(y)

2. 2
∂u
∂y
= N(x, y) ; 2x y + φ (y) = 2x y ; φ (y) = 0 ; φ(y) = C
u = x y + x + C ;
K = x y + x
2) (x + y) dx + (2xy + x − 1)dy = 0
desarrollando el producto notable: (x + 2xy + y )dx + (2xy + x − 1)dy = 0
∂M
∂y
=
∂N
∂x
; 2x + 2y = 2x + 2y; las derivadas parciales son iguales
u = (x + 2xy + y )dx + φ(y) =
x
3
+ x y + xy + φ(y)
∂u
∂y
= N(x, y) ; x + 2xy + φ (y) = 2xy + x − 1
φ (y) = −1 → φ(y) = −y + c
u =
x
3
+ x y + xy − y + c
=
3
+ + −

3. 3
3) dx + − dy = o
∂M
∂y
=
∂N
∂x
;
1
x
=
1
x
las derivadas parciales son iguales.
u = N(x, y)dy + φ(x) ; u = −
1
x
dy + φ(x) = −
y
x
+ φ(x)
∂u
∂x
= M(x, y) ;
y
x
+ φ (x) =
y
x
φ (x) = 0 ; φ(x) = c
u = −
y
x
+ c
K = −
y
x
4) (5x + 4y)dx + (4x − 8y )dy = 0
∂M
∂y
=
∂N
∂x
; 4 = 4 las derivadas parciales son iguales.
u = (5x + 4y)dx + φ(y) =
5
2
x + 4xy + φ(y)
∂u
∂y
= N(x, y) ; 4x + φ (y) = 4x − 8y
φ (y) = −8y ; φ(y) = −2y + c
=
5
2
+ 4 − 2

4. 4
5) x y − dx + x y dy = 0
∂M
∂y
=
∂N
∂x
; 3x y = 3x y las derivadas parciales son iguales.
u = (x y )dy + φ(x) =
x y
3
+ φ(x)
∂u
∂x
= M(x, y) ; x y + φ (x) = x y −
1
1 + x
φ (y) = −
1
9 x + 1
9
; φ(y) = −
1
9
∗ 3arctag(3x) + c
=
3
−
1
3
(3 )

5. 5
VI. ECUACIONES DIFERENCIALES POR FACTOR INTEGRANTE:
Dada M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 y si ≠ se debe hallar un factor
integrante tal que μ(x, y)M(x, y)dx + μ(x, y)N(x, y)dy = 0 sea una EDO
Exacta.
A) Factor integrante que depende de x: ( )
ln[μ(x)] =
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
dx debe ser constante o una f(x)
Ejemplo: (2y + 3x)dx + 2xydy = 0
∂M
∂y
= 4y
∂N
∂x
= 2y ln[μ(x)] =
4y − 2y
2xy
dx =
2y
2xy
dx =
dx
x
= ln(x)
ln[μ(x)] = ln(x) → μ(x) = x
se multiplica este factor integrante por la EDO y queda:
(2xy + 3x )dx + 2x ydy = 0
∂M
∂y
= 4xy
∂N
∂x
= 4xy ahora es una EDO Exacta
u = (2xy + 3x )dx + φ(y) = x y + x + φ(y)
∂u
∂y
= 2x y + φ (y) ; 2x y + φ (y) = 2x y
φ (y) = 0 ; φ(y) = C
= +

6. 6
B) Factor integrante que depende de y: ( )
ln[μ(x)] =
∂M
∂y
−
∂N
∂x
−M
dy debe ser constante o una f(y)
Ejemplo: = → (x + y + 1)dy + (−3x )dx
∂M
∂y
= 0
∂N
∂x
= 3x las parciales son distintas
ln[μ(y)] =
0 − 3x
3x
dy = − dy = −y ; ln[μ(y)] = −y ; μ(y) = e
este factor integrante por la EDO y queda:
e (−3x )dx + e (x + y + 1)dy = 0
u = −3x e dx + φ(y) = −x e + φ(y)
∂u
∂y
= x e + φ (y) = x e + ye + e
φ (y) = ye + e ; φ (y) = e (y + 1)
φ(y) = −e (y + 1) − e ; φ(y) = −e (y + 2) + c
u = −x e − e (y + 2) + c
= − − ( + 2)

7. 7
C) Factor integrante que depende de xy: = ( )
ln[μ(xy)] =
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N ∗ y − Mx
dz debe ser constante o una z = (x, y)
Ejemplo: (2xy + y)dx + (x + 2x y − x y )dy = 0
∂M
∂y
= 4xy + 1
∂N
∂x
= 1 + 4xy − 4x y las parciales son distintas
ln[u(z)] =
4xy + 1 − 1 − 4xy + 4x y
xy + 2x y − x y − 2x y − xy
dz
ln[u(z)] =
4x y
−x y
dz = −
4
z
dz
ln[u(z)] = −4 ln z ; u(z) =
1
z
; u(z) =
1
x y
2
x y
+
1
x y
dx +
1
x y
+
2
x y
−
1
y
dy = 0
∂M
∂y
= −
4
x y
−
3
x y
;
∂N
∂x
= −
3
x y
−
4
x y
u = Mdx + φ(y) =
2
x y
+
1
x y
dx + φ(y)
u = −
1
x y
−
1
3x y
+ φ(y)

8. 8
∂u
∂y
=
2
x y
+
1
x y
+ φ (y) ;
2
x y
+
1
x y
+ φ (y) =
1
x y
+
2
x y
−
1
y
φ (y) = −
1
y
; φ(y) = − ln y + c ; u = −
1
x y
−
1
3x y
− ln y + c
K =
1
x y
+
1
3x y
+ ln y