Variación de Parámetros

2. VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
M´ETODO
La soluci´on de una ED no homog´enea de orden superior:
yn + Pn−1(x)y(n−1) + ... + P1(x)y + P0(x)y = f(x)
es de la forma: y = yc + yp
En donde yc representa las soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada y
yp la soluci´on particular.
El m´etodo de variaci´on de par´ametros permite determinar la soluci´on
particular yp, la cual tiene la forma:
yp = u1y1 + u2y2 + ... + unyn

4. VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
ELEMENTOS DE yp: ECUACI ´ON DE SEGUNDO ORDEN
Para determinar la soluci´on particular: yp = u1y1 + u2y2, son necesarios los
siguientes elementos:
Las soluciones y1, y2 de la ecuaci´on homog´enea asociada.
u1 =
W1
W
u2 =
W2
W
W es el wronsquiano obtenido de las soluciones de la ecuaci´on
homog´enea asociada.
W1 =
0 y2
f(x) y2
y W2 =
y1 0
y1 f(x)

5. VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
EJEMPLO 1
1 Encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y − 4y = 8e2x
Soluci´on:
Se inicia por solucionar la ecuaci´on homog´enea asociada y − 4y = 0.
m2 − 4 = 0
entonces m = 2 o m = −2
yc = C1e2x + C2e−2x
Se determina el wronsquiano W y los determinantes W1 y W2.
W =
e2x e−2x
2e2x −2e−2x = −4 W1 =
0 e−2x
8e2x −2e−2x = −8
W2 =
e2x 0
2e2x 8e2x = 8e4x

6. VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
CONTINUACI ´ON EJEMPLO 1
Se calcula u1 y u2
u1 =
−8
−4
= 2
u1dx = 2xdx
u1 = 2x
u2 =
8e4x
−4
= −2e4x
u2dx = −2e4xdx
u2 = −
e4x
2
Entonces la soluci´on particular yp = u1y1 + u2y2 es:
yp = 2xe2x −
e4x
2
e2x
yp = 2xe2x −
e2x
2
Con lo cual la soluci´on general de la ED es:
yc = C1e2x + C2e−2x + 2xe2x −
e2x
2

7. VARIACI ´ON DE PAR ´AMETROS
ELEMENTOS DE yp: ECUACI ´ON ORDEN SUPERIOR
De manera similar al caso de la ED de segundo orden, se plantean los
elemento para una ecuaci´on de grado n, por ejemplo para una ecuaci´on de
orden 3:
u1 =
W1
W
u2 =
W2
W
u3 =
W3
W
W1 =
0 y2 y3
0 y2 y3
f(x) y2 y3
W2 =
y1 0 y3
y1 0 y3
y1 f(x) y3
W3 =
y1 y2 0
y1 y2 0
y1 y2 f(x)

8. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.