Este documento describe el método de las series para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Explica que cuando las soluciones de EDOs no pueden expresarse en términos de funciones elementales, se puede usar este método. Detalla los conceptos clave de series de Taylor y potencias, y los teoremas relacionados. También presenta dos métodos para obtener soluciones de EDOs lineales mediante series: diferenciaciones sucesivas y coeficientes indeterminados.
Se muestran y definen diferentes funciones, gráficas y su relación con los modelos matemáticos. Se analiza qué es un límite y los diferentes teoremas acerca de aquello. Finalmente, se estudia continuidad de una función en un número.
Matemáticas 2
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Universidad de Cuenca
Antiderivación
Técnicas de antiderivación
Área
Integral definida
Teorema del valor medio
Teorema fundamental del cálculo
Área de una región plana
Volúmenes de solidos
Valores extremos y comportamiento de las funciones y de sus gráficasAngel Vázquez Patiño
Extremos mínimos y máximos. Crecimiento y decrecimiento de una función. Concavidad de una función. Límites al infinito. Asíntotas horizontales y oblicuas. Análisis de funciones.
Causality and climate networks approaches for evaluating climate models, trac...Angel Vázquez Patiño
Climate consists of many components, for example, atmosphere, hydrosphere, cryosphere, and biosphere. All the components act under mechanisms that relate them in a highly nonlinear way, making the climate a complex system. This complexity is a challenge to study the climate and its implications at various spatiotemporal scales. However, the dependence of anthropogenic activities on the climate has encouraged its study in order, for example, to anticipate its periodic changes and, as far as possible, extreme events that may have adverse effects. As climate study is an intricate task, several approaches
have been used to unravel the underlying processes that dominate its behavior. Those approaches range from linear correlation analysis to complex machine learning-based knowledge discovery analysis. This last approach has become more relevant after the introduction of sophisticated climate simulation models and high-tech equipment (e.g., satellite) that allow a climate record of greater coverage (spatial and temporal) and that, together, have generated ubiquitous large databases. One of the knowledge discovery approaches based on this big data is based on climate networks. Nevertheless, causal reasoning methods have also been used recently to infer and characterize these networks, which
are called causal climate networks. Several studies have been carried out with climate networks; however, the recent introduction of causality methods makes the study of climate with causal climate networks an opportunity to explore and exploit them more widely. In addition, the particularities of the climate make it
necessary to understand specific operational issues that must be taken into account when applying networks. This thesis aims to propose new methodologies and applications of causal climate networks following as a common thread the characterization of physical phenomena that manifest
themselves at different spatial scales. For this, different case studies have been taken. They are the climate in South America and a large part of the Pacific and Atlantic oceans, then, reducing the scale, the surrounding factors that influence the rainfall of Ecuador, and, finally, the selection of predictors for downscaling models in an Andean basin. Among the main results are the following three.
First, a methodology for evaluating global climate models based on what is called here as causal flows. Second, an approach that studies causal flows and helps trace influence paths in flow fields. Third, the presentation of evidence that shows the effectiveness of methods based on causality in selecting predictors for downscaling models. The thesis contributes to efforts to bridge the gap between the climate science and causal inference communities. This through the study and application of causal reasoning and taking advantage of the enormous amounts of climate data available today.
Se explica lo que son los puntos fijos de una función, la condición para la existencia de un punto fijo, unicidad y convergencia del método y cómo aplicarlo para encontrar ceros de funciones.
Clase: https://youtu.be/2N9hyoUKwgE
Se indica cómo el intérprete trabaja cuando se interactua con objetos y cuando se lo hace usando variables para hacer referencia a dichos objetos. Además, se indica, con un ejemplo, la importancia de poner nombres nemotécnicos/descriptivos a las variables.
Clase: https://youtu.be/e_rwM31VnLU
Se indica que los métodos numéricos no son exactos y que es necesario aproximar/modelar los errores. Se explica lo que son las cifras significativas, la diferencia entre exactitud y precisión en los métodos numéricos y qué es lo que se espera en los que uno desarrolla, y, las definiciones de error.
Se presentan los fundamentos de computación y nociones básicas acerca de la resolución de problemas mediante la computación. Se indica lo que es el conocimiento imperativo, los algoritmos y los componentes de un lenguaje de programación.
La clase está en https://youtu.be/lRmk1wJBwTc
Causality Strength Signatures for Measuring GCMs Performance: The South Ameri...Angel Vázquez Patiño
Granger causal strength networks as metric for measuring GCMs performance.
Everything presented resulted in the following scientific article: Vázquez‐Patiño, A., Campozano, L., Mendoza, D., Samaniego, E., 2020. A causal flow approach for the evaluation of global climate models. Int J Climatol 1–21. https://doi.org/10.1002/joc.6470
En este trabajo se realizó una caracterización básica del río Tomebamba analizando las curvas de nivel de un área del Cantón Cuenca, visualizando el perfil topográfico del río y la cuenca hidrográfica y, finalmente, hacer una primera prueba de algún método para estudiar zonas de inundación.
El trabajo le pertenece a Daniel Gómez, Brian Mora y Ariana Román. Gráficos por Computador, semestre marzo-agosto 2018.
Comparación de redes causales climáticas mslp vs ght y tpw vs omegaAngel Vázquez Patiño
Comparación de resultados de redes causales climáticas entre variables de superficie (mslp vs ght) y variables a un nivel de 925 hPa (tpw vs omega).
Mean sea level pressure
Geopotential height
Total precipitation water
NCEP DOE Reanalysis 2
Everything presented resulted in the following scientific article: Vázquez‐Patiño, A., Campozano, L., Mendoza, D., Samaniego, E., 2020. A causal flow approach for the evaluation of global climate models. Int J Climatol 1–21. https://doi.org/10.1002/joc.6470
libro conabilidad financiera, 5ta edicion.pdfMiriamAquino27
LIBRO DE CONTABILIDAD FINANCIERA, ESTE TE AYUDARA PARA EL AVANCE DE TU CARRERA EN LA CONTABILIDAD FINANCIERA.
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Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Convocatoria de becas de Caja Ingenieros 2024 para cursar el Máster oficial de Ingeniería de Telecomunicacion o el Máster oficial de Ingeniería Informática de la UOC
1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
Aletas de Transferencia de Calor o Superficies Extendidas.pdfJuanAlbertoLugoMadri
Se hablara de las aletas de transferencia de calor y superficies extendidas ya que son muy importantes debido a que son estructuras diseñadas para aumentar el calor entre un fluido, un sólido y en qué sitio son utilizados estos materiales en la vida cotidiana
1. Método de las Series para la
resolución de EDOs
Facultad de Ingeniería – Universidad de Cuenca
2. En ciertas ocasiones las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales no pueden ser representadas de
manera implícita o explicita en términos de funciones elementales. Además de los métodos gráficos vistos
previamente y los numéricos que se revisaran más adelante, presentaremos el método de las series para la
resolución de ecuaciones diferenciales. Resulta complicado encontrar los valores de la variable dependiente a
partir de los valores dados a la variable independiente. Entonces, primero se realizará un repaso de las series
de Taylor como de definiciones y ciertos teoremas.
3. Revisión: Serie exponencial
a0, a1, a2, a3, …, xo son constantes
x es la variable
Intervalo de convergencia, los valores de x para los cuales la serie converge
1. Converge cuando x=xo
2. Converge absolutamente para los valores de x que se encuentran en el
vecindario de xo, converge para lx-xol<h; diverge para lx-xol>h
3. Converge absolutamente para todos los valores de x, para -∞ <x<∞
4. Test del radio
Se emplea para determinar un intervalo de convergencia en una serie de
potencias.
Sea la serie:
Converge absolutamente si:
5. Ejemplo 37.14
Sea la serie de potencia:
Se determina u(n) = n!x^n y u(n+1)=(n+1)!x^(n+1)
Aplicando el test del radio:
Para x ≠ o, l(n+1)xl → ∞ si n → ∞.
Por lo que no cumpliéndose el límite ≠ k<1 la serie converge
cuando x=0.
6. Ejemplo 37.15
Sea la serie de potencia:
Se determina u(n) = x^2(n-1)/ (2n-2)! y u(n+1)=x^2n/ 2n!
Aplicando el test del radio:
Siendo el valor de K=0 < 1 se determina que como todos los
valores de x como el intervalo de convergencia.
7. Teorema 37.16. Si una serie de potencias converge en un
intervalo I: lx-xol < R, en donde R es una constante positiva, de
la serie de potencias se define una función f(x) que es continua
para cada x en el intervalo I.
8. Para la serie:
Es convergente para un I: -1 < x < 1. Entonces se necesita conocer la
función f(x).
Como se trata de una serie geométrica para lxl < 1
Sea x = 1/2, f(1/2) = 1/(1 – 1/2) = 2 la serie geométrica converge a 2.
Sea x = 2, f(2)= 1/(1-2) = -1 la serie no converge a -1.
9. Sea la serie:
Cuyo intervalo de convergencia I: -1 < x < 1
La función f(x) será Arctan(x).
Es importante resaltar que algunas series de pontecias
convergentes pueden ser representadas por funciones elementales
por lo que se presentan una serie de teoremas que nos permitirán
definir funciones para esas series de potencias.
10. Convergen en el mismo Intervalo I de converger f(x) en dicho
interval I.
Teorema 37. 2
Sean f(x) y f’(x) series de potencias definidas por:
11. f(x) = g(x) si y solo si:
ao=bo, a1=b1, a2=b2, … .
Teorema 37.23
Sean f(x) y g(x) dos funciones que definen sus respectivas series de
potencias:
12. TEOREMAS
• Si la serie converge en un intervalo 𝐼: 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅 con un radio de convergencia
constante, entonces la serie define una función 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐼.
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥0
2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0
𝑛 converge en un
intervalo 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, su derivada 𝑓′ 𝑥 = 𝑎1 + 2𝑎2(𝑥 − 𝑥0) + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛(𝑥 −
también converge en el mismo intervalo.
• Si 𝑓 𝑥 = 0
𝑛
𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0
𝑛 , 𝑔 𝑥 = 0
𝑛
𝑏𝑛 𝑥 − 𝑥0
𝑛 con el mismo intervalo de
convergencia 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ↔ 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖∀𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑛 .
• Si 𝑓 𝑥 = 0
𝑛
𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0
𝑛 convergiendo en 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅, 𝑎𝑖 =
𝑓 𝑖 𝑥0
𝑖!
∀𝑖 ∈
0,1 … , 𝑛
• Serie de Taylor: 𝑓 𝑥 = 0
∞ 𝑓 𝑛 𝑥0
𝑛!
𝑥 − 𝑥0
𝑛 , Serie de Maclaurin: 𝑓 𝑥 =
13. CONCEPTOS
• Si 𝑓(𝑥) se deriva para todos los ordenes en un intervalo 𝐼: 𝑥 − 𝑥0 < ℎ, 𝑓 𝑥 =
)
𝑥0
𝑛
+ +𝑅𝑛(𝑥), donde 𝑅𝑛(𝑥) representa el término restante o suma desde el n+1-ésimo
término.
• Función analítica en un punto: 𝑓(𝑥) es una función analítica en 𝑥 = 𝑥0 si se puede
expresar la misma en una expansión en series de Taylor/Maclaurin en potencias de 𝑥 −
𝑥0 válida, para cada 𝑥 en el vecindario de 𝑥0.
• Función analítica en un intervalo: 𝑓(𝑥) es analítica en un intervalo 𝐼 si es analítica en
cada 𝑥 ∈ 𝐼.
MÉTODOS DE SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES POR SERIES
• Se plantean soluciones para las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con
siguiente estructura:
𝒚 𝒏 + 𝒇𝒏−𝟏 𝒙 𝒚 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒇𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒇𝟎 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙
14. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
• Teorema 65.2 (Tenenbaum et. al, 1963): Si los coeficientes 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1) y
𝑄(𝑥) en la ecuación diferencial lineal son continuas de 𝑥 ∈ 𝐼, entonces para 𝑥0 ∈ 𝐼 y
𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1 hay una sola función 𝑦(𝑥) que satisface las condiciones iniciales 𝑦𝑖 𝑥0 =
𝑎𝑖 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1).
• Teorema 37.51 (Tenenbaum et. al, 1963): Si cada uno de los coeficientes 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈
(0,1, … , 𝑛 − 1) y 𝑄(𝑥) es analítica en 𝑥 = 𝑥0, hay una única solución 𝑦(𝑥) que es
en 𝑥 = 𝑥0 y satisface las condiciones iniciales 𝑦𝑖
𝑥0 = 𝑎𝑖 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1).
COMENTARIOS
• Un polinomio es una serie finita, por lo que es válido para todas las 𝑥.
• Si 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑛 − 1) son polinomiales, entonces cada solución tiene una serie de
Taylor válida para todas las 𝑥.
17. PRIMER MÉTODO MEDIANTE SERIES: DIFERENCIACIONES SUCESIVAS
PROCEDIMIENTO
• Expresar la ecuación diferencial de la forma 𝑦 𝑛
+ 𝑓𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑓1 𝑥 𝑦′
+ 𝑓0 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 .
al menos 𝑛 − 1 condiciones iniciales.
• Plantear una serie de Maclaurin (si 𝑥0 = 0) o una serie de Taylor (si 𝑥0 ≠ 0) para expresar la solución de la
ecuación diferencial.
𝑦 𝑥 =
0
∞ 𝑦 𝑛
𝑥0 𝑥 − 𝑥0
𝑛
𝑛!
• Encontrar mediante el uso de las condiciones iniciales brindadas el siguiente valor de 𝑦 𝑛
(𝑥0).
• Derivar sucesivamente la ecuación diferencial original, mientras se reemplazan los valores ya encontrados
de 𝑦 𝑖
𝑥0 hasta cierto 𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑛 hasta encontrar 𝑦 𝑛
(𝑥0) donde 𝑛 = 𝑘.
• Reemplazar todos los 𝑦 𝑖
𝑥0 encontrados donde 𝑖 ∈ (0,1, … , 𝑘) en 𝑦 𝑥 , es decir, nuestra solución
expresada como:
𝑦 𝑥 ≈
𝑛=0
𝑘 𝑦 𝑛
𝑥0 𝑥 − 𝑥0
𝑛
𝑛!
• En la ecuación original, para todas las 𝑓𝑖 𝑥 ∀𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑛 − 1 existe un intervalo de convergencia de su
20. Según método de las series, coeficientes indeterminados:
Este segundo método de la obtención de soluciones a series
resultara más útil que el método precedente, a pesar de ello
resultara difícil la obtención de derivadas sucesivas.
21. La solución en serie de potencias de x es valido para toda x y tiene
la forma:
Ejemplo 37.6.
Encuentre por el método de las series de potencias una solución
particular para la ecuación lineal.
Con los valores iniciales y(0) = 1 y’(0) = 1
22. Substituyendo y(x), y’(x) y y’’(x) en la Ecuación diferencial se cumple
la igualdad:
Por el Teorema 37.2, existen dos derivadas sucesivas, que son
validas para todo x, siendo:
23. Por el Teorema 37.23, la ecuación será una identidad en x si y solo
si cada coeficiente es cero. Por ende se iguala a:
Operando la expresión anterior se simplifica a:
24. Por el Teorema 37.24 y las condiciones iniciales dadas
y(0) = 1 y y'(0) = 1 tenemos:
El mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 37.541
25. Esta ED tiene como solución una serie en potencia de (x-1) para 0<
x <2, esta tiene la forma:
Ejemplo 37.6.
Encuentre por el método de las series de potencias una solución
particular para la ecuación diferencial.
Con los valores iniciales y(1) = 1 y’(1) = 0 y’’(1) = 1
26. Por el Teorema 37.2, existen tres derivadas sucesivas, que son
validas para todo 0< x <2, siendo:
30. Por el Teorema 37.24 y las condiciones iniciales dadas
y(1) = 1 y’(1) = 0 y’’(1) = 1 tenemos:
El mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 37.56
31. Todos los coeficientes de la ED son analíticos cuando x = 0.
Entonces la serie será:
Ejemplo 37.6.
Encuentre por el método de series de potencias la solución general
para la ecuación diferencial.
Con los valores iniciales y(1) = 1 y’(1) = 0 y’’(1) = 1
32. Por el Teorema 37.2, existen dos derivadas sucesivas.
Se conoce: