Este documento proporciona una introducción a los polinomios interpolantes. Explica que la interpolación polinómica consiste en construir un polinomio que pasa a través de puntos de datos conocidos para aproximar el valor de una función desconocida. Describe varios métodos para construir polinomios interpolantes, incluidos los polinomios de Newton-Gregory, Gauss y Lagrange. También discute el uso de splines cúbicos y cómo los métodos de interpolación numérica se pueden aplicar para resolver ecuaciones diferenciales.

1. POLINOMIOS
INTERPOLANTES
UNIDAD 4
ANÁLISIS NUMÉRICO
ANGÉLICA GARCÍA.
C.I.: 19.673.675

2. Interpolación Polinómica
 Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores.
Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un
experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos
calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las
conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y,
naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor
real. También puede suceder que sepamos la expresión analítica de la
función, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular
aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya
conocidos.
 Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más
utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que
pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como
aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como
funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.
 Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la
función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas
de los polos, se dice que estamos haciendo extrapolación.
 Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error.
El estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida
esta unidad didáctica.

3. Tabla De Diferencias
 Dados los valores de una función desconocida correspondiente a
dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el
propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras
de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que
satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los
valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de
la misma manera, en el intervalo en cuestión.
 Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función desconocida se puede establecer
un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco
engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con
los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas
para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores
funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se
estima o determina calculando las diferencias entre los valores de
la columna a su izquierda.

4. Polinomios Interpolantes de
Newton-Gregory y Gauss
Polinomio Interpolante de Gauss
 Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del
Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la
fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y
retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zigzag, es decir los
valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en
forma de zigzag.
 En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en
forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia
arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en forma de zigzag, iniciando
primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y
retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

5. Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora
tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los
puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones
gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la
segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este
tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de
los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes
propiedades:
 s(x) es polinomio cúbico en .
 existen y son continuas en .
 s(x) interpola a la función f en los datos .
 s(x) es continua en el intervalo.
Entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos
dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total
de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan
imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x).
Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal

6. Polinomio Interpolante De
Lagrange
 Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por
los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la
fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.
 Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento
de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado
del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar
iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se
propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con
algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite
el procedimiento.

7. Aplicación de los métodos numéricos
de interpolación en la resolución de
problemas
 Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a
través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las
computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con
fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton,
etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones
tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen
relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
 Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones
diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de
Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares
del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores
para un operador diferencial autoadjunto. Los polinomios de Hermite son
un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas
soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de
peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones
de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados
inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función
generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada.