Este documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos y dígrafos. En el primer ejercicio se pide encontrar la matriz de adyacencia, determinar si el grafo es conexo, simple, regular o completo, y encontrar un árbol generador y un subgrafo parcial. En el segundo ejercicio se pide encontrar la matriz de conexión de un dígrafo, determinar si es simple, encontrar una cadena y un ciclo, y aplicar el algoritmo de Dijkstra para hallar distancias.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN
EJERCICIOS PROPUESTOS
AUTOR:
David Alejandro Singer
C.I 21.048.686
Estructuras Discretas II
Prof: Edecio Freitez
Noviembre del 2015

2. Ejercicios Propuestos
1- Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyacencia
b) Matriz de incidencia
c) Es conexo?. Justifique su respuesta
d) Es simple?. Justifique su respuesta
e) Es regular?. Justifique su respuesta
f) Es completo? Justifique su respuesta
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
h) Un ciclo no simple de grado 5
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Subgrafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
l) Demostrar si es hamiltoniano

3. Solución:
a) La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada A, en la que sus entradas AIJ
pertenecen al número de aristas que van desde VI hasta su vértice VJ.
b) La matriz de incidencia es una matriz M, en la que sus entradas MIJ son el número
de veces que la arista J coincide en el vértice I.
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 0 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 0 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 0 1 0
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 0 1
V7 1 0 1 1 1 0 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
A1 1 1 0 0 0 0 0 0
A2 1 0 1 0 0 0 0 0
A3 0 1 1 0 0 0 0 0
A4 1 0 0 1 0 0 0 0
A5 1 0 0 0 1 0 0 0
A6 1 0 0 0 0 0 1 0
A7 0 0 1 0 0 0 0 1
A8 0 1 0 0 0 1 0 0
A9 0 1 0 0 0 0 1 0
A10 0 1 0 0 0 0 0 1
A11 0 0 1 1 0 0 0 0
A12 0 0 1 0 1 0 0 0
A13 0 0 1 0 0 1 0 0
A14 0 0 0 1 0 1 0 0
A15 0 0 0 1 1 0 0 0
A16 0 0 0 0 0 1 0 1
A17 0 0 0 0 1 1 0 0
A18 0 0 0 0 1 0 1 0
A19 0 0 0 0 0 1 1 0
A20 0 0 0 0 0 0 1 1

4. c) El grafo dado es conexo debido a que existe una cadena entre cualquier par de
vértices.
d) El grafo es simple ya que no tiene ciclos y no posee más de una arista uniendo
un par de vértices, se puede observar que para cada par de vértices que están
unidos dicha unión es a través de una sola arista.
e) El grafo estudiado no es regular debido a que el grado de incidencia del vértice
V1=5 y el del vértice V3, por lo tanto para que un grafo sea regular todos los vértices
deberían de tener el mismo grado de incidencia.
f) Se puede observar que el grafo es completo porque el vértice V1 no esta
conectado al vértice V5 y para que sea completo cada vértice debe estar conectado
a cualquier otro vértice distinto.
g) Una simple no elemental de grado 6 (se repite el vértice V4) es: V6 a20 V8 a19
V4 a17 V7 a15 V5 A11 V3 a13 V4.
h) Un ciclo no simple de grado 5 (se repite la arista a11) es: V3 a11 V5 a15 V7 a17
V4 a13 V3 a11 V5.
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor:
- Elegimos S1=V1 Haciendo H1= [V1]
- Elegimos la arista A4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2= [v1,v4]
V1
A4
V4
- Elegimos la arista a15 que conecta a V4 con V7 haciendo H3= [v1 v4 v7]
V1
A4
V4
A15
V7
- Elegimos la arista a17 que conecta a V7 con V5 haciendo H4= [v1 v4 v5]

5. V1
A4
V5
V4 A17
A15
V7
- Elegiremos la arista A19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[v1 v4 v8]
V1
A4
V5
A19
V4 A17
A15 V8
V7
- Elegiremos la arista A20 que conecta V8 con V6 haciendo H6= [V1 v4 v7 v5 v8
v6]
V1
A4
V5 V6
A19
V4 A17 A20
A15 V8
V7
- Elegiremos la arista A10 que conecta a V6 con V2 haciendo H7= [v1 v4 v7 v5 v8
v6 v2]
V2
V1 A10
A4
V5 V6
A19
V4 A17 A20
A15 V8
V7

6. - Elegiremos la arista A3 que conecta a v2 con v3 haciendo H8=[v1 v4 v7 v5 v8 v6
v2 v3] . Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador
V3 A3 V2
V1 A10
A4
V5 V6
A19
V4 A17 A20
A15 V8
V7
j) Subgrafo parcial
V1 v2
V3
A2
a3
v4
v6 v8
a15
v5 a17 a20
v7
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
- Primero Seleccionamos a1
- Seleccionamos a3

7. - Seleccionamos a2
- Seleccionamos a4
- Seleccionamos a11
- Seleccionamos a12

8. - Seleccionamos a5
- Seleccionamos a6
- Seleccionamos a9
- Seleccionamos a10

9. - Seleccionamos a7
- Seleccionamos a13
- Seleccionamos a14
- Seleccionamos a15

10. - Seleccionamos a18
- Seleccionamos a20
- Seleccionamos a16
El grafo no es euleriano, ya que los vértices no tienen grado par, lo cual no es
posible construir un ciclo euleriano.
l) Demostrar si es hamiltoniano
V1 v2
A2
A3
A14 v3 a10
V4 v5 v6
A15 a17 a19 a20
V7 v8
Es Hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr (v1) ≥ 8/2=4 (i=1,2,8)

11. 2- Dado el siguiente dígrafo encontrar:
a) Encontrar matriz de conexión
b) Es simple? Justifique su respuesta
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
d) Encontrar un ciclo simple
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de
Dijkstra
a) Encontrar matriz de conexión
b) Es simple? Justifique su respuesta
El dígrafo si es simple, porque no tiene ningún lazo y tampoco existen arcos
paralelos que puedan partir de un mismo vértice a otro.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

12. c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
v1
v4
a6 a11 a12
a13
v5 v6
a14
C= [v1 a6 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 a13 v6]
d) Encontrar un ciclo simple
V4
A11 a12
V5
A14
C=[ v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 ]
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1
MC=
MC2=

13. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de
Dijkstra
[2,2](1) v1 a1 v2 [0],(0)
A6
A5 [3,2](1) a2 a3 a4
A9
V3 v4
A7 a12
A10 a11
V6 [3,2](1)
[3,2](1) V5 a13 a14
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
MC3=
MC4=
MC5=

14. Dv2 a v1: 2
Dv2 a v3: 3
Dv2 a v5: 3
Dv2 a v4: 4
Dv2 a v6: 3
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3