z

1. EXAMEN TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES. 4º Op A
- Problemas con fracciones
1. Un ciclista recorre el primer día 2/7 de la distancia, el segundo día 1/8 y el tercero 3/14.
¿Qué fracción de distancia lleva recorrido?
Solución:
distancialade
8
5
losrecorridosLleva
8
5
56
35
56
12
56
7
56
16
14
3
8
1
7
2
==++=++
2. Un coche tiene que recorrer una distancia de 300 km en 3 horas. La primera hora
recorre 3/9 de la distancia, la segunda 5/10 y la última 2/12. ¿Cuántos kilómetros recorrió
cada hora?
Solución:
km.50
12
600
300
12
2
:horaTercera
km.150
10
1500
300
10
5
:horaSegunda
km.100
9
900
300
9
3
:horaPrimera
==⋅
==⋅
==⋅
3. Raúl se gasta
5
2
de su paga en el cine y
4
1
en la compra de una revista ¿Qué
fracción de su dinero se ha gastado?
Solución:
20
13
20
5
20
8
4
1
5
2
=+=+
4. De una garrafa de agua, Juan saca 1/3 del contenido y Pedro 1/3 de lo que queda. Al
final restan en la garrafa 4 litros de agua. ¿Cuál es la capacidad de la garrafa?
Solución:
Después de sacar Juan
3
1
quedan
3
2
del contenido.
Pedro saca
3
1
de lo que queda, es decir,
9
2
3
2
3
1
=⋅
Queda:
9
4
9
5
1
9
2
3
1
1 =−=





+−
Por tanto,
9
4
equivalen a 4 litros.
9
1
equivale a 1 litro y
9
9
equivalen a 9 litros.
La garrafa contenía 9 litros de agua.
- Fracciones equivalentes y ordenar números racionales
1. Carlos dedica 2/9 de su tiempo a estudiar, 1/8 a hacer deporte y 1/3 a dormir. ¿Cuál es
la actividad a la que dedica menos tiempo?

2. Solución:
deporte.haceratiempomenosdedicaCarlos
3
1
9
2
8
1
72
24
72
16
72
9
72,3)m.c.m.(9,8
72
24
3
1
Dormir
72
9
8
1
Deporte
72
16
9
2
Estudiar
<<→<<
=
=→=→=→
2. Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones:
6
5
y
3
4
,
10
1
,
5
4
−−
Solución:
300,3,6)m.c.m.(5,1
6
5
10
1
5
4
3
4
30
25
30
3
30
24
30
40
30
25
,
30
40
,
30
3
,
30
24
6
5
y
3
4
,
10
1
,
5
4
=
−>−>>→−>−>>→−−→−−
3. Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:
a)
2
1
,
4
3
y
6
5
b)
20
7
,
5
6
y
10
3
Solución:
5
6
20
7
10
3
20
24
20
7
20
6
20
6
,
20
24
,
20
7
10
3
y
5
6
,
20
7
)b
6
5
4
3
2
1
12
10
12
9
12
6
12
10
,
12
9
,
12
6
6
5
y
4
3
,
2
1
)a
<<→<<→→
<<→<<→→
4. Ordena de forma decreciente los números: 35,1−
5
7
9
8
− 95,0

Solución:
Pasando los decimales a fracción se obtiene:
11
15
99
135
35,1 −=−=−
5
3
90
54
90
559
95,0 ==
−
=

Reduciendo las fracciones a denominador común:
495
675
11
15
−=−
495
693
5
7
=
495
440
9
8
−=−
495
297
5
3
=
Como
5
7
>
5
3
>
9
8
− >
11
15
− , entonces
5
7
> 95,0

>
9
8
− > 35,1−
5. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
a)
5
2
y
2
3

3. b)
6
5
y
9
7
Solución:
a)
2
3
y
5
2
m.c.m.(2,5) = 10
10
15
5·2
5·3
2
3
== y
10
4
2·5
2·2
5
2
==
b)
9
7
y
6
5
m.c.m.(9,6) = 18
18
14
2·9
2·7
9
7
== y
18
15
3·6
3·5
6
5
==
- Operaciones con fracciones
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) =





−−⋅−
4
3
2
1
14
4
2
1
7
2
b) =





−⋅+
2
4
1
5
3
3
4
5
2
Solución:
a) 11/28 b) 91/80
2. Realiza las siguientes operaciones:
a) =−−+
8
3
6
2
4
1
2
1
b) =+−⋅
5
1
5
2
2
1
4
3
Solución:
a) 1/24 b) 7/40
3. Realiza las siguientes operaciones
a) =−−+
8
3
6
2
4
1
2
1
b) =⋅−⋅
5
1
2
1
4
3
5
2
c) =−





+
4
3
6
2
3
1
:
3
4
Solución:

4. a) 1/24 b) 1/5 c) 5/4
4. Realiza las siguientes operaciones
a) =−+⋅−
5
3
:
4
1
3
5
3
2
5
4
3
2
:
10
4
b) =−+⋅





−
5
3
:
4
1
3
5
3
2
5
1
3
2
:
10
4
Solución:
a) 121/60 b) -9/12
5. Realiza las siguientes operaciones






++−−−
+−
++−





−−
1
5
6
2
11
6
5
c)
5
1
3
2
:
2
1
4
3
b)
125
124
25
3
25
3
5
1
a)
Solución:
30
925
10
33
6
5
10
33
6
5
10
102·65·11
6
5
1
5
6
2
11
6
5
c)
5
1
5
1
4
3
4
3
5
1
2·2
3·1
4
3
5
1
3
2
:
2
1
4
3
b)
125
149
125
124
125
25
125
124
5
1
125
124
5
1
125
124
25
3
25
3
5
1
a)
+−
=+−=





−−−=




 ++−
−−=





++−−−
=+−=+−=+−
=+=+=+





−−=++−





−−
Realiza las siguientes operaciones:
a) =−+⋅−
5
3
:
4
1
3
5
3
2
5
4
3
2
:
10
4
b) =








−+−+





+−−
2
2
6
1
3
2
3
4
4
1
6
5
2
7
3
2
Solución:
a) 121/60 b) -49/18
- Representación de fracciones y ordenar números racionales
1. El premio de un sorteo se reparte entre 12 personas. ¿Qué parte del premio recibirá
cada uno de ellos? ¿Qué fracción corresponde a lo que reciben 5 personas? Representa
el resultado en la recta real.
2. Representa en la recta real los siguientes números:
10
15
− -0,333333... 0,75
9
1
Solución:

5.    
10
15
− -1 -0,333.. 0
9
1
0,75 1
3. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3
Solución:
2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
8
5
y
3
4
5
3
2
5
4
1
3
2
2
1
Solución:
Reducimos a común denominador:
120
75
8
5
y
120
160
3
4
120
72
5
3
120
300
2
5
120
30
4
1
120
80
3
2
120
60
2
1
=======
El orden de las fracciones, cuando todas tienen el mismo denominador, está dado por el orden
de los numeradores, ya que si el numerador es menor, la fracción es menor.
Ordenados de menor a mayor:
2
5
3
4
3
2
8
5
5
3
2
1
4
1
<<<<<<
3. Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones:
6
5
y
3
4
,
10
1
,
5
4
−−
Solución:
300,3,6)m.c.m.(5,1
6
5
10
1
5
4
3
4
30
25
30
3
30
24
30
40
30
25
,
30
40
,
30
3
,
30
24
6
5
y
3
4
,
10
1
,
5
4
=
−>−>>→−>−>>→−−→−−
4. Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:
c)
2
1
,
4
3
y
6
5
d)
20
7
,
5
6
y
10
3
Solución:

6. 5
6
20
7
10
3
20
24
20
7
20
6
20
6
,
20
24
,
20
7
10
3
y
5
6
,
20
7
)b
6
5
4
3
2
1
12
10
12
9
12
6
12
10
,
12
9
,
12
6
6
5
y
4
3
,
2
1
)a
<<→<<→→
<<→<<→→
- Fracción generatriz
1. Calcula, pasando a fracción, las siguientes operaciones:
0,777...0,333...c)
8...1,928928929...3,82982982b)
2,3444...0,4333...a)
+
−
+
Solución:
1
9
9
9
7
9
3
0,777...0,333...c)
999
1899
999
19273826
999
11928
999
33829
8...1,928928929...3,82982982b)
9
25
90
250
90
21139
90
23234
90
443
2,3444...0,4333...a)
==+=+
=
−
=
−
−
−
=−
==
+
=
−
+
−
=+
2. Calcula, pasando a fracción, las operaciones:
a) 0,333... + 0,525252...
b) 5,2333... - 1,3222...
Suma luego, directamente, los números decimales, pásalos a fracciones y comprueba
que se obtiene el mismo resultado.
Solución:
90
352
90
39391
3,91111...1,3222...5,2333...
90
352
90
119471
90
13132
90
52523
1,3222...5,2333...b)
99
85
.85858585..0,85858585.....52525252..0,52525252.....33333333..0,33333333
99
85
99
5211·3
99
52
9
3
.0,525252..0,333...a)
=
−
==−
=
−
=
−
−
−
=−
==+
=
+
=+=+
4. Calcula la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes), según
corresponda de:
22
63
d)..14,371717.b)
160
28
c)9,2777..a)
Solución:
a)
90
92927 −
Parte entera 9,anteperiodo 2, periodo 7
b)
9900
14314371 −
Parte entera 14, anteperiodo 3, periodo 71
c) 0,175 No es un número periódico
d) 2,863636… Parte entera 2, anteperiodo 8, periodo 36
5. Escribe en forma de fracción los siguientes números reales:
a) 1,43000…

7. b) -9,636363….
c) 1,010010001…
d) 9,636363…
Solución:
a)
100
143
b)
99
954
99
9963 −
=
+−
c) No se puede porque es irracional
d)
99
954
99
9963
=
−
6. Escribe primero los decimales en forma de fracción y luego calcula:
6,2
2
1
·5,0
4
3 
+−
Solución:
6
19
180
570
180
48045135
9
24
20
5
4
3
9
226
2
1
·
10
5
4
3
6,2
2
1
·5,0
4
3
==
−−
=+−=
−
+−=+−

- Clasificar números reales
1. Sin realizar las siguientes operaciones, indica si su resultado es un numero racional o
irracional y por qué.
a) 0,01100011100001111… + 1,313131…
b) 0,33333…. + 0,333333…
c) 93 ⋅
d) 0,31323132… + 9
Solución:
a) Irracional, porque en la suma hay un irracional.
b) Racional, porque se están sumando dos periódicos que se pueden escribir como fracciones.
c) Irracional, porque en el producto hay un irracional.
d) Racional, porque sumamos dos racionales, un periódico y uno entero.
2. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la
razón:
a) 1,3030030003...
b) 2,1245124512...
c) 4,18325183251...
d) 6,1452453454...
Solución:
a) 1,3030030003... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
b) 2,1245124512... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 1245
c) 4,18325183251... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 18325
d) 6,1452453454... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.

8. 3. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la
razón:
a)
2
π
b) 23
c)
3
3
d)
100001
1
−
Solución:
a)
2
π
→ IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no
periódico.
b) 23 → IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no
periódicas.
c)
3
3
→ IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras
decimales no periódicas.
d)
100001
1
− → RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal
periódico.
- Potencias
- Operar utilizando las propiedades de las potencias
1. Expresa el resultado como potencia única:
( ) ( ) 43
5-2
4
3
2
6:6-c)
7
2
7
2
b)
4
3
a)
−
−






−⋅





−
























Solución:
( ) ( ) ( ) ( )
( )74343
35-2
24
4
3
2
666:6-c)
7
2
7
2
7
2
b)
4
3
4
3
a)
−=−=−






−=





−⋅





−






=
























−−−
−
2. Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de
potencia:

9. ( ) ( ) ( )
625
1
d)
128-c)
555
1
b)
5
3
5
3
5
3
a)
−⋅−⋅−






−⋅





−⋅





−
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
4
4
7
3-
3
3
5
5
1
625
1
d)
2-128-c)
5-
5-
1
555
1
b)
5
3
5
3
5
3
5
3
a)
−
==
=
==
−⋅−⋅−






−=





−⋅





−⋅





−
3. Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo:
a) 5 · 5 · 5 · 5
b) ( ) ( ) ( )3·3·3 −−−
c)
2·2·2·2·2
1
d) 81
e) −27
f)
25
1
Solución:
a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54
b) ( ) ( ) ( ) ( )3
33·3·3 −=−−−
c)
5
2
1
2·2·2·2·2
1






=
d) 81 = 34
e) ( )3
327 −=−
2
5
1
25
1






=
4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el
resultado como potencia única:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) 24223
4532
6:66b)
5-:5-5-a)
−
⋅
⋅
Solución:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1881081082524223
74564564532
666:66:66:66b)
555:555-:5-5-a)
====⋅
−=−=−−⋅−=⋅
−−−−−
−+
5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente operación
como una única potencia:

10. 21
52
16·32
8·4
−
−
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
14
3
11
85
154
2415
5322
21
52
2
2
2
2·2
2·2
2·2
2·2
16·32
8·4 −
−
−
−
−
−
−
−
====
- Notación científica
1. Pasa estos números de notación científica a forma ordinaria:
a) 2,43 · 104
=
b) 6,31 · 10-6
=
c) 63,1 · 10-6
=
d) 3,187 · 109
=
Solución:
a) 2,43 · 104
= 24.300
b) 6,31 · 10-6
= 0,00000631
c) 63,1 · 10-6
= 0,0000631
d) 3,187 · 109
= 3.187.000.000
2. Escribe los siguientes números en notación científica e indica su orden de magnitud.
a) 91.700.000.000
b) 6.300.000.000.000
c) 0,00000000134
d) 0,071
Solución:
a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010
. Orden 10
b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012
. Orden 12
c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9
. Orden -9
d) 0,071=7,1 · 10-2
. Orden -2
3. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en
notación científica a dos cifras decimales:
a) (3,72 · 1011
) · ( 1,43 · 10-7
)
b) (2,9 · 10-5
) · ( 3,1 · 10-3
)
c) (4,1 · 102
) · 103
d) (1,7 · 10-9
) · ( 2,1 · 10-7
)
Solución:
a) (3,72 · 1011
) · ( 1,43 · 10-7
) = 5,32 · 104
b) (2,9 · 10-5
) · ( 3,1 · 10-3
) = 8,99 · 10-8
c) (4,1 · 102
) · 103
= 4,1 · 105
d) (1,7 · 10-9
) · ( 2,1 · 10-7
) = 3,57 · 10-2
4. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en
notación científica a dos cifras decimales:
a) (1,7 · 10-9
) · ( 2,1 · 107
)
b) (6,0 · 10-4
) : ( 1,5 · 10-3
)
c) (2,37 · 1012
) · ( 3,97 · 103
)
d) (4,5 · 109
) : ( 2,5 · 10-3
)

11. Solución:
a) (1,7 · 10-9
) · ( 2,1 · 107
) = 3,57 · 10-2
b) (6,0 · 10-4
) : ( 1,5 · 10-3
) = 4 · 10-1
c) (2,37 · 1012
) · ( 3,97 · 103
) = 9,4 · 1015
d) (4,5 · 109
) : ( 2,5 · 10-3
) = 1,8 · 1012
5. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en
notación científica a dos cifras decimales:
a) (1,46 · 105
) + ( 9,2 · 104
)
b) (2,96 · 104
) - ( 7,43 · 105
)
c) (9,2 · 1011
) · ( 5,4 · 103
)
d) (2,9 · 10-7
) : ( 1,4 · 10-5
)
Solución:
a) (1,46 · 105
) + ( 9,2 · 104
) = 2,38 · 105
b) (2,96 · 104
) - ( 7,43 · 105
) = -7,13 · 105
c) (9,2 · 1011
) · ( 5,4 · 103
) = 4,97 · 1015
d) (2,9 · 10-7
) : ( 1,4 · 10-5
) = 2,07 · 10-2
- Radicales
1. Reduce los siguientes radicales a índice común y ordénalos de menor a mayor:
.8,3c);10,12b);3,4a) 53543
Solución:
.836488;2433310mcm(2,5)c)
.12101000001010;1728121215mcm(5,3)b)
.342733;2564412mcm(3,4)a)
51010 251010 5
531515 531515 35
431212 341212 43
>⇒====⇒=
>⇒====⇒=
>⇒====⇒=
2. Expresa como radical:
.5d);7c);3b);3a)
5
2
3
13
4
2
53
1
4
14
1
6
5
































Solución:
.55d);777c);33b);33a)
15 215
2
3 103
10
6
20
1212
1
24 524
5
=====
3. Saca del radicando la mayor cantidad posiblede factores:
.800d);240c);250b);405a) 3
Solución:
.22025252800d)
.3025322532240c)
.10552552250b)
.595353405a)
225
333 43
3
24
=⋅=⋅=
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
==⋅=
4. Simplifica los siguientes radicales:
a) 9 3
8
b) 3
16
c) 3 3
7

12. Solución:
a) ( ) 2228
9 99 339 3
===
b)
3
22216
3 43
==
c) ( ) 7777 2
1
6
1
36 3
===
5. Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se
pueda:
a) 5 10
3
b) 7 14
2
c) 6
7
Solución:
a) 9333 25
10
5 10
===
b)
4222 27
14
7 14
===
c)
343777 32
6
6
===
6. Calcula las siguientes raíces factorizando cuando sea necesario:
a) 5
243
32
b) 7 28
5
c) 3
1331
343
d) 11
16
5
10
10
Solución:
a)
3
2
3
2
3
2
3243,232
5 5
5 5
5
5
5
55
==⇒==
b) 625555 47
28
7 28
===
c)
11
7
11
7
11
7
111331,7343
3 3
3 3
3
3
3
33
==⇒==
d)
10
1
101010
10
10 111
11
11 1111
16
5
==== −
−
−
7. Realiza las siguientes operaciones:
.285175
5
2
3433b);1250
5
1
1623a) 44
−−−
Solución:

13. .7971072721
72575
5
2
773727228;7575175;777343b)
.28229
25
5
1
2331250
5
1
162325521250;2332162a)
223
444
444444 4444 44
=−−=
=⋅−⋅−⋅⇒=⋅==⋅===
=−=
=⋅−⋅=−⇒=⋅==⋅=
- Calcular aproximaciones y errores
1. Un atleta corre los 50 metros en 10 segundos y 856 milésimas. Le piden el resultado
con dos cifras decimales. ¿Qué marca dará si aproxima por defecto?
Solución:
10,856 seg. aproximando por defecto ≈ 10,85 seg
- Intervalos y semirrectas
1. Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:
2x1-d)3x0c)-1x4-b)0x3-a) ≤≤<≤≤<<<
Solución:
a) Abierto (-3,0)
b) Abierto por la izquierda (-4,-1]
c) Abierto por la derecha [0,3)
d) Cerrado [-1,2]
2. Escribe y dibuja los siguientes intervalos:
1xd)x0c)x1-b)1xa) ≤≤<−<
Solución:
a) ( )1,−∞− b) ( )+∞−1, c) [ )+∞0, d) ( ],1∞−