La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurran cierta cantidad de eventos en un período de tiempo, cuando dichos eventos son independientes y ocurren con baja frecuencia. Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson en 1838. La distribución de Bernoulli modela la probabilidad de éxito o fracaso en un único experimento binario.

1. Distribución de Poisson:
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo.

2. Propiedades:
Donde:
 k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
 λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
 e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

3. Ejemplos:
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es
Grafica: Distribución de Poisson
El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

4. Función de probabilidad
Distribución de Bernoulli
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (
) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (
).
Si
es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria
se distribuye como una Bernoulli de parámetro
.
La fórmula será:
Su función de probabilidad viene definida por:

5. Propiedades:
Varianza:
Función generatriz de momentos:
Función característica:
Moda: 0 si q > p (hay más fracasos que éxitos) 1 si q < p (hay más éxitos que fracasos) 0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

6. Ejemplo; "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz). Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

7. DIFERENCIA ENTRE POISSON Y BERNOULLI BERNOULLI:
La distribución binomial mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos Bernoulli. El número de ensayos es fijo, es por tal razón que el recorrido de la variable aleatoria va desde 0 hasta n. Cosa que no ocurre en la distribución de Poisson cuyo recorrido va desde 0 a infinito.
EJEMPLO:
En una fábrica de ampolletas se sabe que la probabilidad de que una ampolleta este defectuosa es de 0,2. Si se revisa una caja de 70 ampolletas, ¿cuál es la probabilidad de que existan 6 ampolletas defectuosas?. En este caso existe un límite de ampolletas defectuosas por las que nos podrían preguntar (70). Cada ampolleta que se revise en la caja puede resultar defectuosa o no defectuosa (sólo 2 resultados posibles).

8. POISSON
La distribución de Poisson se utiliza para obtener probabilidades de ocurrencia dentro de un marco continuo (conociendo una tasa de ocurrencia por unidad de peso, volumen, tiempo, etc.). El recorrido de la variable Poisson va de 0 a infinito, no se limita como la distribución Binomial.
EJEMPLO:
Se sabe que el número de llamadas telefónicas que recibe una central telefónica es de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 7 llamadas en 3 minutos?
Una pista para responder problemas con distribución Poisson: la unidad de medida (en este caso tiempo) sobre la cual nos preguntan es en base a 3 minutos, pero nos dan la tasa de 5 llamadas por 1 minuto. Lo que hay que hacer es expresar la tasa en base al mismo tiempo sobre el cual nos preguntan. En este caso lambda=5*3. Y la función quedaría así
P(x=7)=15^7[exp(-15)]/7!
Y si nos preguntaran: ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 7 llamadas en 4 minutos?, la función quedaría así:
P(x=7)=20^7[exp(-20)]/7!