Este documento presenta varios ejercicios estadísticos relacionados con distribuciones normales. Calcula probabilidades y áreas bajo la curva para diferentes valores de variables aleatorias con medias y desviaciones estándar dadas. Los ejercicios abarcan temas como pistones, resistencia al cemento y fabricación de semiconductores.

1. TRABAJO DE ESTADISTICA
Variables aleatorias y
probabilidades
TALLER NUMERO 12
POR: CARLOS ANDRES HERRERA NAVARRO.
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

3. 3. Dada la distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que
a) P (Z < k) = 0.0427
Φ (k) = 0.0427 k = -1.72
b) P (Z>k) = 0.2946
Φ (k) = 1- 0.2946 = 0.7054 k = 0.54
c) P (-0.93<Z<k) = 0.7235
Φ (k) = 0.7235 + Φ (-0.9) = 0.8997 k = 1.28
4. Dada la dis tribución normal con me dia μ = 30 y de s viación estándar σ = 6, e ncuentre:
a) El área de la curva normal a la derecha de x=17
μ = 30 σ = 6
x =17 z = [x-μ/σ] z = [17-30/6] = -2.16
P (Z ≥ 17) = 1 – p (Z ≤ 17-30/6)
P (Z ≥ 17) = 1 – p (Z ≤ - 2.16)
P (Z ≥ 17) = 1 – 0.0154
P (Z ≥ 17) = 0.9846
b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22
X = 22
P (X≤22) = P (Z ≤ 22-30/6)
P (X≤22) = P (Z≤-1.33)
P (X≤22) = 0.0918
c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41
P (32≤ X ≤ 41) = P (32-30/6 ≤ X ≤ 41-30/6)
P (32 ≤ X ≤ 41) = P (0.33 ≤ Z ≤ 1.83)
P (32 ≤ X ≤ 41) = P (Z≤ 0.33) – P (Z≤ 1.83)
P (32 ≤ X ≤ 41) = 09664-0.6293
P (32 ≤ X ≤ 41) = 0.3371

4. d) El valor de x que tiene 80% del área de la curva normal a la izquierda
P (X ≤ K) = 0.8 Z = [x-μ/σ]
Z = 0.8 0.8 = (X – 30/ 6)
(0.8) (6) + 30 = X
35.04 = X
e) los dos valores de x que tiene 75% central del área normal de la curva normal
X = 0.75 P (0.7486)
Z = 0.67
- 0.67 0.67
X1 X2
(X - 30 / 6)
X = (0.67) + 30 = 34.02
X = (- 0.67) + 30 = 25.98

5. 1 0. El diámetro interior del anillo de un pistón ya terminado se distribuye
normalmente con una media de 10 centímetros y una desviación estándar de 0.03
centímetros.
a) ¿Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan 10.075
centímetros?
μ = 10
σ = 0.03
z = (x- μ/ σ)
p (x˃10.075) = 1-p(z<10.075-10/0.03) = 1- (z<2.50) = 1-0.9938 = 0.0062
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre
9.97 y 10.03 centímetros?
P (9.97<z<10.03) = p (9.97-10/0.03<Z<10.03-10/0.03) =
= P (Z˃ -1) – P (Z< 1)
=P (Z<1) – P (Z˃ -1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826
c) ¿por debajo de que valor del diámetro interior caerá el 15% de los anillos del pistón?
P(X<x) = 0.15 X = diámetro Z = - 1.04
z = (x- μ/ σ) - 1.04 = X-10/0.03 X= 10 – 0.03 (- 1.04) = 9.969

6. 4-53. La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede modelarse
mediante una distribución normal con una media de 6000 kilogramos por centímetro
cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramo por centímetro cuadrado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra sea menor
que 6250 kg/cm2
z = (x- μ/ σ) μ = 6000 k σ = 100 k
P(X<6250) =
z = (x – 6000/100)
z = (6250 -6000/100)
z = (250/100)
z = (2.5) = 0.9938
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra este entre
5800 y 5900 kg/cm2?
P (5800< Z< 5900)
P (5800-6000/100<Z<5900-6000/100)
= P (- 200/100<Z< -100/100)
= P (- 2<Z< -1)
= P (Z< -1) – P (Z< - 2) = 0.1587 – 0.0228 = 0.13905
c) ¿Cuál es la resistencia a la compresión que excede 95% de las muestras?
P (X > x) = 0.95
P (x – 6000/100) = 0.95
P [z > (x-6000)/100)] = 0.95
Z = 1.65
P (x>1.65) = 0.950529
Por tanto [(x-6000)/100] = 1.65
X = - 1.65 + 6000 x = 5835

7. 4-55. una herramienta utilizada en la fabricación de semiconductores tiene una
distribución normal con media 0.5 micrómetros y desviación estándar 0.05.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ancho de la herramienta sea mayor que 0.62
micrómetros?
μ = 0.5
σ = 0.05
P (X > 0.62) = 1 - P (Z < 0.62- 0.5/0.05)
= 1 - p (Z < 2.4)
= 1- 0.9918 = 0.0082
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ancho de la herramienta se encuentre entre 0.47 y 0.63
micrómetros?
z = (x- μ/ σ<X<x- μ/ σ)
P (0.47 ≤ Z ≤ 0.63) = P (0.47-0.5/0.05 < Z < 0.63-0.5/0.05)
= P (- 0.6 ≤ Z≤2.6)
= P (Z<2.6) – P (Z > -0.6)
= 0.9953 – 0.2743 = 0.721
c) ¿Cuál es el valor del ancho de la herramienta para el cual el 90 % las herramientas tienen
un ancho mayor?
P (X > x) = 0.9
= p(x – 0.5/0.05) = 0.9
P [z > (x-0.5)/0.05)]= 0.9
Z = 1. 65
P (x>1.65) = 0.950529
Por tanto [(x-6000)/100] = 1.65
X = - 1.65 + 6000
X = 5835