Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO.
INGENIERIA BIOQUIMICA.
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.
EQUIPO 3:
FRAGOSO JIMENEZ JAVIER CUAUHTEMOC.
NAVARRETE LEYVA LUIS ENRIQUE.
PASTRANA DIAZ YURIDIANA.
JAIMES MORALES RAFAEL.
PEREZ CHACON ROSA ISELA.

2. DISTRIBUCION GEOMETRICA O DE PASCAL
La distribución geométrica es un modelo adecuado para
aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la
consecución del éxito a resultado deseado y tiene
interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta
manera . También implica la existencia de una dicotomía de
posibles resultados y la independencia de las pruebas entre
sí.

3. Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso
experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las
siguientes características
· El proceso consta de un número no definido de pruebas o
experimentos separados o separables. El proceso concluirá
cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado
(éxito).
· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente
excluyentes : A y no A
· La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es
p y la de obtener un resultado no A es q
siendo (p + q = 1).

4. Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas
,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un
proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con
devolución del individuo extraído) .
· (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias
aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria
X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera
vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una
distribución geométrica de parámetro p.

5. De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es
el número de pruebas necesarias para la consecución del
primer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores
enteros a partir del uno ; ( 1,2,………)
La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de
X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en
la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del
suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A
en la prueba número X teniendo en cuenta que todas las
pruebas son independientes y que conocemos sus
probabilidades.

6. Consideramos una sucesión de v.a. (variable aleatoria)
independientes de Bernouilli,
Una v.a. X sigue posee una distribución geométrica, , si esta
es la suma del número de fracasos obtenidos hasta la
aparición del primer éxito en la sucesión .

7. Modelo matemático.

8. De este modo tenemos que la ley de probabilidad de X es
Observación
Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de
probabilidad, es decir, . Para ello basta observar que la sucesión
es una progresión geométrica de razón q, a la que podemos
aplicar su fórmula de sumación:

9. En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores
que puede tomar la variable () es infinito numerable, mientras
que en la de Bernouilli y en la binomial, estos eran en número
finito.
La función característica se calcula teniendo en cuenta que de
nuevo aparece la sumación de los términos de una progresión
geométrica, pero esta vez de razón eit q:

10. Ejemplo 1: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de
tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de
2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de
1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento
aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos
represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos
que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en
donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila;
como se muestra a continuación:
SSSSSSSA
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias
para que
ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos

11. p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último
lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular
probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p

12. Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x
por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por
primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048

13. Ejemplo 2: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de
medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es
la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de
medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una
desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de
medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre
una desviación excesiva?.

14. Solución:
a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el
primero que muestre una variación excesiva
p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición
muestre una variación excesiva
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no
muestre una variación excesiva
p(x = 6) = (0.95)6–1(0.05)= 0.03869
b) x = 7 que el séptimo dispositivo de medición probado, sea
el primero que no muestre una desviación excesiva
p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no
muestre una variación excesiva
q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición
muestre una variación excesiva
p(x = 7) = (0.05)7–1(0.95)= 0.0000000148

15. Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de
probabilidad representa el numero de repeticiones necesarias
de un experimento de Bernoulli para obtener el primer éxito,
entonces tiene por función de densidad: X-1
P (x=x) = función de densidad, de la variable aleatoria con
distribución geométrica.
X Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito.
p probabilidad de éxito
q probabilidad de fracaso (1 - p)

16. Ejemplo 3: Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la
tercera vez que lanzamos un dado.
Definir éxito: sale No. 5
x=3
p = 1/6 = 0. 1666
q = (1 - 0.16660) = 0.8333
P(X=3) = (0.8333)2(0.1666) =0.1156
Ejemplo 4:
Calcular la probabilidad de que salga águila la 6ta ocasión que
lanzamos una moneda.
Definir éxito: salga águila.
x=6
p = 1/2= 0.5
q = 0.5
P(X=6) = (0.5)5(0.5)= 0.0156

17. Ejemplo 5:
En el salón hay 8 alumnos de ojos cafés, 9 de ojos azules, 7 de
ojos negros, y 10 de ojos verdes; si extraemos 6 alumnos,
calcular la probabilidad de que este ultimo tenga los ojos
claros.
Definir éxito: tenga ojos claros.
X=6
p = 0.5588
q = 1- 0.5588 = 0.4412
P(X=6) = (0.4412)5(0.5588) = 0.0093 = 9.3418 x 10

18. Ejemplo 6:
Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una
fabrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del
5%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su
primer producto defectuoso en la octava ocasión que
selecciona un producto para su inspección.
Definir éxito: salga defectuoso el producto.
X=8
p = 0.05
q = 1 - 0.05 = 0.95
P(X=8) = (0.95)7(0.05) = 0.0349