Este documento contiene la práctica 1 de la asignatura Matemáticas III de la Universidad Central de Venezuela. La práctica cubre temas relacionados con ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, incluyendo determinar el orden, grado, linealidad y variables de ecuaciones diferenciales; verificar soluciones; y resolver ecuaciones diferenciales separables y homogéneas mediante sustituciones apropiadas. Contiene 19 problemas para que los estudiantes practiquen estas habilidades.

1. Prof.Andr´es P´erez
Matem´aticas III
“...Ense~nar en la Universidad, no es impartir clases,
sino contagiar irreverencias...”
Prof. Jes´us Alberto Le´on

2. Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Pr´acticas de Matem´aticas III
Prof.: Andr´es P´erez
Caracas, Agosto de 2012

3. UNIDAD I
Pr´acticas: 1 - 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
• EDO de primer orden
• Ecuaciones Separables
• Ecuaciones Lineales
• Ecuaciones reducibles a estas
• Aplicaciones de las EDO de primer orden
“Existe al menos un rinc´on del universo que con toda seguridad
puedes mejorar...y eres t´u mismo”
Aldous Huxley

4. 4
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 1
E.D.O. de primer orden* Prof. Andr´es P´erez
Parte I: Ordenes ∼ Grados ∼ Soluciones
1. En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible), si es lineal o no, la funci´on incognita
y la variable independiente.
1.1) (y′′
)2
− 3yy′
+ xy = 0 1.2) x4
y(4)
+ xy′′′
= ex
1.3) t2¨s − t˙s = sen t
1.4) y(4)
+ xy′′′
+ x2
y′′
− xy′
+ sen y = 0 1.5)
dn
x
dyn
= y2
+ 1 1.6)
(
d2
r
dy2
)2
+
d2
r
dy2
+ y
dr
dy
= 0
1.7)
(
d2
y
dx2
)3/2
+ y = x 1.8)
d7
b
dp7
= 3p 1.9)
(
db
dp
)7
= 3p
1.10) s2 d2
t
ds2
+ st
dt
ds
= 8 1.11) (y′
)3
+ 5xyy′
− xy sen t = 0 1.12)
(
y(n)
)m
+ ay(n)
+ q(x)y = p(x)
1.13) t2 d2
y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sen t 1.14)
d2
y
ds2
+ sen(s + y) = sen s 1.15)
d3
y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2
t)y = t3
2. Verifique que las siguientes funciones (expl´ıcitas o impl´ıcitas) son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferen-
ciales:
2.1) y′
= 2x ; y = x2
+ C 2.2) xy′
= 2y ; y = Cx2
2.3) yy′
= e2x
; y2
= e2x
+ C 2.4) xy′
= y + x2
+ y2
; y = x tan x
2.5) y = arcsen xy ; xy′
+ y = y′
√
1 − x2y2 2.6) y′
= y2
/(xy − x2
) ; y = Cey/x
2.7) y + sen y = x ; (y cos y − sen y + x)y′
= y 2.8) 1 + y2
+ y2
y′
= 0 ; x + y = arctan y
2.9) y′′
− y′
= 0 ; y1(x) = ex
, y2(x) = cosh x 2.10) xy′
= y + x sen x ; y = x
∫x
0
sen t
t
dt
2.11) y′
(x + y) = y ; x = y ln(Cy) 2.12) y(4)
+ 4y′′′
+ 3y = x ; y1(x) = x
3 , y2(x) = e−x
+ x
3
2.13) y′′
+ y = sec x, 0 < x < π
2 ; y(x) = cos(x) ln(cos x) + x sen x 2.14) y′
− 2xy = 1 ; y(x) = ex2
∫x
0
e−t2
dt + ex2
3. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r, para el o los cuales la E.D.O. dada
tiene soluciones de la forma y = erx
.
3.1) y′
+ 2y = 0 3.2) y′′
− y = 0 3.3) y′′
+ y′
− 6y = 0 3.4) y′′′
− 3y′′
+ 2y′
= 0
4. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r, para el o los cuales la E.D.O. dada
tiene soluciones de la forma y = xr
, para x > 0.
4.1) x2
y′′
+ 4xy′
+ 2y = 0 4.2) x2
y′′
− 4xy′
+ 4y = 0
5. Pruebe que y = Cx4
, es soluci´on general de xy′
− 4y = 0. Adem´as, Halle dos soluciones particulares y una soluci´on
singular.
6. Considere la EDO, dada por: y′
= y2
− 1. Demuestre que: y =
1 + Ce2x
1 − Ce2x
, es soluci´on general. ¿Ser´a y = −1 soluci´on
singular de la EDO?

5. 5
7. Demuestre que las siguiente s familias de funciones son soluciones generales de las EDO asociadas.
7.1) C(x + y)2
= xey/x
; (x2
+ y2
)dx + x(x − y)dy = 0 7.2) x2
y + y2
= C ; 2xydx + (x2
+ 2y)dy = 0
8. En los problemas dados a continuaci´on, hallar C1 y C2 de tal forma que las funciones dadas satisfagan las condiciones
iniciales establecidas.
8.1) y(x) = C1ex
+ C2e−x
+ 4 sen x ; y(0) = 1, y′
(0) = −1 8.2) y(x) = C1x + C2 + x2
− 1 ; y(1) = 1, y′
(1) = 2
8.3) y(x) = C1ex
+ C2e2x
+ 3e3x
; y(0) = 0, y′
(0) = 0 8.4) y(x) = C1 sen x + C2 cos x + 1 ; y(π) = 0, y′
(π) = 0
8.5) y(x) = C1ex
+ C2xex
+ x2
ex
; y(1) = 1, y′
(1) = −1 8.6) y(x) = C1 sen x + C2 cos x ; y(π
4 ) = 0, y′
(π
6 ) = 0
Parte II: Ecuaciones Separables
9. Hallar la soluci´on general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separadas:
9.1) y′
= e3x
− x 9.2) xy′
= 1 9.3) y′
= xex2
9.4) y′
= arcsen x 9.5) (1 + x)y′
= x 9.6) (1 + x3
)y′
= x
9.7) (1 + x2
)y′
= arctan x 9.8) xyy′
= y − 1 9.9) xy′
= (1 − 2x2
) tan y
9.10) (1 + x2
)
dy
dx
+ (1 + y2
) = 0 9.11) y ln ydx − xdy = 0 9.12) y′
+ y tan x = 0
9.13)
dy
dx
=
xy + 2y − x − 2
xy − 3y + x − 3
9.14) sec2
xdy + cosec ydx = 0 9.15) 2
dy
dx
−
1
y
=
2x
y
9.16) (1 + x2
+ y2
+ x2
y2
)dy = y2
dx
y
x
9.17) y ln x
dx
dy
=
(
y + 1
x
)2
9.18)
dy
dx
=
(1 + x2
)−1/2
(1 + y2)1/2
9.19) (4y + yx2
)dy − (2x + xy2
)dx = 0 9.20) ex
y
dy
dx
= e−y
+ e−y−2x
9.21)
dx
dy
=
1 + 2y2
y sen x
9.22) sec y
dy
dx
+ sen(x − y) = sen(x + y) 9.23)
dy
dx
=
xy + 3y − x − 3
xy − 2x + 4y − 8
9.24)
dy
dx
= sen x(cos 2y − cos2
y)
9.25) ey
sen 2xdx +
(
cos
(
e2y
)
− y
)
dy = 0 9.26) sen 3xdx + 2y cos3
3xdy = 0 9.27) (y − yx2
)
dy
dx
= (1 + y2
)
10. Resuelva los siguientes Problemas de Valores Iniciales (P.V.I).
10.1) y′
sen x = y ln y ; y(π
2 ) = e 10.2) (x2
+ 1)dx +
1
y
dy = 0 ; y(−1) = 1
10.3) xex
dx + (y5
− 1)dy = 0 ; y(0) = 0 10.4) x2
y′
= y − xy ; y(−1) = −1
10.5)
dy
dx
= xy3
(1 + x2
)−1/2
; y(0) = 1 10.6)
dT
dt
= k(T − 50) ; T(0) = 200
11. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales (P.V.I) y determine el intervalo donde la soluci´on es v´alida.
11.1) y′
=
1 + 3x2
3y2 − 6y
; y(0) = 1 11.2) (3y2
− 4)dx = 3x2
dy ; x(−1) = 1 11.3∗
)
dy
dx
=
3x2
+ 4x + 2
2(y − 1)
; y(0) = −1
Sugerencia: Para encontrar el intervalo de definici´on, busque los puntos en los que
dy
dx
= 0 ´o
dx
dy
= 0.

6. 6
12. Resuelva las ecuaciones
12.1)
dy
dx
=
ax + b
cx + d
12.2) a
[
x
dy
dx
+ 2y
]
= xy
dy
dx
12.3)
dy
dx
=
ay + b
cy + d
donde a, b, c y d son constantes.
13. Transformar las siguientes ecuaciones diferenciales en las formas diferenciales que sean separables y luego resolver.
13.1) y′
=
y
x2
13.2) y′
=
xex
2y
13.3) y′
=
x2
y − y
y + 1
Parte III: Ecuaciones Reducibles a Ecuaciones Separables
14. Una ecuaci´on diferencial de la forma
dy
dx
= f(ax + by + c)
siempre se puede reducir a una ecuaci´on de variables separadas con la sustituci´on u = ax + by + c, b ̸= 0. En virtud de esta
sustituci´on, resuelva entonces las siguientes ecuaciones.
14.1)
dy
dx
= (−5x + y)2
− 4 14.2)
dy
dx
=
3x + 2y
3x + 2y + 2
; y(−1) = −1 14.3) (x + y)dx + (3x + 3y − 4)dy = 0
15. Para ecuaciones de la forma
yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0
la sustituci´on xy = u, las transforma en una ecuaci´on a variables separadas. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales,
con la sustituci´on indicada.
15.1) y(xy + 1)dx + x(1 + xy + x2
y2
)dy = 0 15.2) (y − xy2
)dx − (x + x2
y)dy = 0
15.3) (1 − xy + x2
y2
)dx + (x3
y − x2
)dy = 0
⋆ Ecuaciones Homog´eneas
16. Se dice que una funci´on f : D ⊂ R2
→ R, es homog´enea de grado α ∈ R, si se verifica que f(tx, ty) = tα
f(x, y), t > 0.
Determine si las funciones dadas son homog´eneas. Si lo son, indique entonces su grado de homogeneidad.
16.1) f(x, y) = x3
+ 2xy2
−
y4
x
16.2) f(x, y) =
√
x + y(4x + 3y) 16.3) f(x, y) =
x3
y − x2
y2
(x + 8y2)
16.4) f(x, y) =
x
y2 +
√
x4 + y4
16.5) f(x, y) = cos
(
x2
x + y
)
16.6) f(x, y) =
ln x3
ln y3
17. Suponga que M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es una ecuaci´on homog´enea. Demuestre que alguna de las sustituciones x = vy
o y = ux, reducen la ecuaci´on a una de variables separables.
18. Suponga que M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es una ecuaci´on homog´enea. Demuestre que la sustituci´on x = r cos θ ;
y = r sen θ, reducen la ecuaci´on a una de variables separables.
19. Resuelva las ecuaciones diferenciales homog´eneas dadas, utilizando la sustituci´on adecuada.
19.1) (x − y)dx + xdy = 0 19.2) (y2
+ yx)dx − x2
dy = 0 19.3) 2x2
ydx = (3x3
+ y3
)dy
19.4) (x2
+ xy − y2
)dx + xydy = 0 19.5) y
dx
dy
= x + 4y exp
(
−2x
y
)
19.6)
dy
dx
=
y
x
ln
(y
x
)
19.7)
(
y + x cotan
y
x
)
dx − xdy = 0 19.8)
dx
dy
=
x + 3y
3x + y
19.9)
dy
dx
=
y
x
+
x2
y2
+ 1
19.10) y′
=
y − x
x
19.11) y′
=
2y + x
x
19.12) y′
=
x2
+ 2y2
xy
19.13) y′
=
2xy
y2 − x2
19.14) y′
=
y
x +
√
xy
19.15) y′
=
x4
+ 3x2
y2
+ y4
x3y
19.16) (1 + 2ex/y
)dx +
2
e−x/y
(
1 −
x
y
)
dy = 0 19.17) (x2
+ y2
)dx + (x2
− xy)dy = 0 19.18)
dy
dx
=
y3
x3
−
y
x

7. 7
⋆ Ecuaciones Reducibles a Homog´eneas
Existen ecuaciones reducibles a homog´eneas y en consecuencia son tambi´en reducibles a separables, veamos
20. Para ecuaciones de la forma
dy
dx
=
f(ax + by + c)
g(mx + ny + p)
(1)
con c y n no nulos (no ambos). La sustituci´on
{
x = u + h
y = v + k
, transforma a la ecuaci´on (11) en una ecuaci´on homog´enea.
Utilizando esta sustituci´on, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
20.1)
dy
dx
=
2x + 9y − 20
6x + 2y − 10
20.2)
dy
dx
=
(2x − y)2
(4x − 2y − 1)2
20.3)
dy
dx
=
3y − 2x − 3
4x − 6y
20.4)
dy
dx
=
x + y − 2
−x + y − 4
20.5)
dy
dx
=
3x − 4y − 2
3x + 4y − 3
20.6)
dy
dx
=
2x + y + 7
3y − x
20.7) (2x + 2y − 1)dy − (x + y + 1)dx = 0 20.8) (x − y + 1)dx + (2x + y − 2)dy = 0
20.9) (x − 2y + 1)dx + (2x − 4y + 3)dy = 0 20.10) (12x + 21y − 9)dx + (47x + 40y + 7)dy = 0
20.11) (3y − 7x + 7)dx − (3x − 7y − 3)dy = 0 20.12) (2x − 5y + 3)dx + (2x + 4y − 6)dy = 0
21. Demuestre que la EDO: (x2
y2
− 1)dy + 2xy3
dx = 0, se puede transformar en una Ecuaci´on Homog´enea, haciendo la
sustituci´on: y = zα
. Halle α y resuelva esta ecuaci´on.
22. Realice la sustituci´on, x = zα
, para resolver la ecuaci´on: (x + y3
)dx + (3y5
− 3y2
x)dy = 0.
23. Demuestre que la sustituci´on y = ux, resuelve la ecuaci´on: xdy − ydx = (6x2
− 5xy + y2
)dx. ¿Es esta ecuaci´on
homog´enea?¿Por qu´e este cambio la resuelve?
⋆ Sustituciones Diversas
24. Algunas ecuaciones de la forma y′
= f(x, y), que no son separables, se pueden transformar en tales haciendo alguna
sustituci´on adecuada. Realizar una sustituci´on adecuada en cada uno de los siguientes casos, siguiendo las indicaciones o
buscando dicha sustituci´on.
24.1) y′
= sen(x − y) hacer x − y = z 24.2) (x + y)2
y′
= a2
24.3) (x2
y2
+ 1)dx + 2x2
dy = 0 hacer xy = z 24.4) y′
+ 1 =
(x + y)m
(x + y)n+1
24.5) x6
− 2x5
+ 2x4
− y3
+ 4x2
y + (xy2
− 4x3
)y′
= 0 hacer y = zx 24.6) (x + y)2
y′
= 2x + 2y + 5
24.7) y cos xdx + (2y − sen x)dy = 0 hacer u = sen x
24.8) 2(x2
y +
√
1 + x4y2)dx + x3
dy = 0 hacer y = zα

8. 8
Parte IV: Ecuaciones Lineales
25. Encuentre la soluci´on general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas:
25.1) 3y′
+ 12y = 4 25.2) x
dy
dx
+ 2y = 3 25.3) xdy = (x sen x − y)dx
25.4) x′
+ 3xy2
= y3
25.5) (x + 4y2
)dy + 2ydx = 0 25.6) (1 + x2
)y′
+ (xy + x3
+ x) = 0
25.7) (1 + ex
)
dy
dx
+ ex
y = 0 25.8)
dy
dx
=
1
cos y + xy2
25.9)
dy
dx
+ y =
1 − e−2x
ex + e−x
25.10) (1 + x)
dy
dx
− xy = x + x2
25.11) (x + 2)2
y′
= 5 − 8y − 4xy 25.12) ydx + (x + 2xy2
− 2y)dy = 0
25.13) sec x
dy
dx
+
y
cos2 x
= 1 25.14) xy′
+ 2y = ex
+ ln x 25.15) (x + 1)y′
+ (x + 2)y = 2xe−x
25.16) dy − (y + senh x)dx = 0 25.17) x
dy
dx
+ (3x + 1)y = e−3x
25.18) x
dy
dx
+ y + xy = e−x
sen 2x
25.19) y′
− y cotan x = ex
(1 − cotan x) 25.20) y′
x cos x + y(x sen x + cos x) = 1 25.21) s′
+ s tan t = 2t + t2
tan t
25.22) x + a
dy
dx
− 3y = (x + a)5
25.23) x ln x
dy
dx
+ y = 2 ln x 25.24) x
dy
dx
− y = (x − 1)ex
25.25) (x + 1)y′
+ (2x − 1)y = e−2x
25.26) x(x − 1)y′
+ y = x2
(2x − 1) 25.27) (6 − 2xy)
dy
dx
+ y2
= 0
25.28) (1 + t2
)y′
+ 4ty = (1 + t2
)−2
25.29) y′
+ 2ty = 2te−t2
25.30) (6 − 2xy)y′
+ y = te−t
+ 1
26. Resuelva la ecuaci´on diferencial lineal dada, sujeta a la condici´on inicial que se indica:
26.1) y′
+ y tan x = cos2
x ; y(0) = −1 26.2) sen x
dy
dx
+ y cos x = 0 ; y
(
−π
2
)
= 1
26.3) cos2
xy′
+ y = 1 ; y(0) = −3 26.4)
dy
dx
=
y
y − x
; y(5) = 2
26.5)
dy
dx
+ y tan x = sec x ; y(0) = −1 26.6) xdy + (xy + 2y − 2e−x
)dx = 0 ; y(1) = 0
26.7) y′
+ 2y + x(e3x
− e2x
) = 0 ; y(0) = 2 26.8)
dy
dx
−
2y
x + 1
= (x + 1)3
; y(0) = 1
26.9) ty′
+ (t + 1)y = t ; y(log 2) = 1 26.10)
dy
dx
+
2
x
y =
cos x
x2
; y(π) = 0
27. Resuelva los dos siguientes problemas, como una aplicaci´on de las ecuaciones diferenciales lineales.
27.1) Hallar la ecuaci´on de curva que pasa por el punto (1, 0) y cuya pendiente en un punto cualquiera es igual
2y + x + 1
x
.
27.2) Hallar la ecuaci´on de curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en un punto cualquiera es igual
y2
ln x − y
x
.

9. 9
28. Considere el PVI
y′
+
1
4
y = 2 cos x , y(0) = −1
Encuentre las coordenadas del primer punto m´aximo local para x > 0.
29. Considere el PVI
y′
+
2
3
y = 1 −
1
2
t , y(0) = y0
Encuentre el valor de y0, para el cual la soluci´on toca al eje t sin cruzarlo.
30. Considere el PVI
y′
+
1
4
y = 3 + 2 cos 2x , y(0) = 0
Encuentre la soluci´on de este PVI y determine su comportamiento para x grande y adem´as, determine el valor de x, para el
cual la soluci´on corta por primera vez a la recta y = 12.
31. Sea y = y1(x), una soluci´on de
y′
+ p(x)y = 0
y sea y = y2(x), una soluci´on de
y′
+ p(x)y = q(x) (2)
Demuestre que y = y1(x) + y2(x), tambi´en es una soluci´on de la ecuaci´on (2).
32. Demuestre que si a y λ son constantes positivas y b es cualquier n´umero real, entonces, toda soluci´on de la ecuaci´on
y′
+ ay = be−λx
tiene la propiedad de que y → 0, cuando x → ∞.
33. Considere la ecuaci´on diferencial dada por:
dy
dt
= ay − b
e intentemos un m´etodo alternativo para resolver dicha ecuaci´on. M´etodo de los Coeficientes Indeterminados:
33.1) Resuelva la ecuaci´on mas sencilla:
dy
dt
= ay y llame a esta soluci´on y1(t).
33.2) Observe que la diferencia entre la ecuaci´on original y la resuelta es el t´ermino −b. Por tanto es razonable suponer que
las soluciones de ambas ecuaciones difieran en una constante. En base a esta suposici´on, encuentre una constante k, tal que
y(t) = y1(t) + k, sea soluci´on de la ecuaci´on original.
34. Considere la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden general dada por:
dy
dt
+ p(t)y = g(t) (3)
e intentemos un m´etodo alternativo para resolver dicha ecuaci´on. M´etodo de Variaci´on de Par´ametros:
34.1) Demuestre que y(t) = Ae
−
∫
p(t)dt
, si hacemos g(t) = 0 en (3), donde A es una constante arbitraria.
34.2) Si g(t) no es nula en todo punto de I, entonces, suponga que la soluci´on es de la forma
y(t) = A(t)e
−
∫
p(t)dt
(4)
donde A es ahora una funci´on de t. Demuestre que A(t), debe satisfacer la ecuaci´on: A′
(t) = g(t)e
∫
p(t)dt
.
34.3) Encuentre A(t) mediante la ecuaci´on anterior, luego sustituya A(t) en la ecuaci´on (4)y determine a y(t). Verifique que
la soluci´on obtenida concuerda con la dada por el m´etodo del factor de integraci´on.
34.3) Utilice el m´etodo descrito para resolver las ecuaciones siguientes:
(a) ty′
+ 2y = sen t , t > 0 (b) y′
+
1
t
y = 3 cos 2t , t > 0 (c) y′
− 2y = x2
e2x

10. 10
⋆ Ecuaciones Reducibles a Lineales
⋆ Ecuaci´on de Bernoulli
35. Considere la ecuaci´on diferencial:
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)yn
(5)
donde n es cualquier n´umero real.
35.1) Encuentre la soluci´on para n = 0.
35.2) Encuentre la soluci´on para n = 1.
35.3) Si n ̸= 0 y n ̸= 1. Demuestre que el cambio de variable u = y1−n
, transforma dicha ecuaci´on en una ecuaci´on lineal
de primer orden no homog´enea.
La ecuaci´on (5), se conoce como ecuaci´on de Bernoulli.
36. Resuelva la ecuaci´on de Bernoulli dada:
36.1) x
dy
dx
+ y =
1
y2
36.2)
dy
dx
− y = ex
y2
36.3) y′
= y(xy3
− 1)
36.4) x
dy
dx
− (1 + x)y = xy3
36.5) x2 dy
dx
+ y2
= xy 36.6) 3(1 + x2
)
dy
dx
= 2xy(y3
− 1)
36.7) (2xt2
ln x + 1) =
2xdt
tdx
36.8) (x + 2y3
)
dy
dx
= y 36.9) x2
y − x3 dy
dx
= y4
cos x
36.10)
dx
dy
=
2y3
x2
+ x2
y2
− 2x
2y + 1
36.11)
dy
dx
=
3x2
x3 + y + 1
36.12)
dy
dx
= (2 − y)(y − 5)
37. Resuelva la ecuaci´on diferencial de Bernoulli dada sujeta a la condici´on que se indica
37.1) x2 dy
dx
− 2xy = 3y4
; y(1) = 1 37.2) y1/2 dy
dx
+ y3/2
= 1 ; y(0) = 4
37.3) xy(1 + xy2
)
dy
dx
= 1 ; y(1) = 0 37.4) 2
dy
dx
=
y
x
−
x
y2
; y(1) = 1
38. Responda cada uno de los planteamientos dados a continuaci´on.
(38.1) Demuestre que la funci´on y(x) = C1e−3x
+ C2e2x
, es soluci´on de la EDO de segundo orden: y′′
+ y′
− 6y = 0.
(38.2) Determine las constantes C1 y C2 del apartado anterior, considerando las condiciones iniciales y(0) = 15 y y′
(0) = 5.
(38.3) Determine la soluci´on de la EDO de primer orden: y′
+ ym
− xyn
= 0, donde m y n, satisfacen el sistema
{
C1C2 = 10n
C1 + C2 = 15m
donde C1 y C2, son las constantes obtenidas en (1.2).
39. Resuelva la ecuaci´on: (x2
+ y2
+ 1)dy + xy dx = 0.
40. Resuelva la ecuaci´on: 2y′
sen x + y cos x = y3
(x cos x − sen x).
41. Resuelva la ecuaci´on:
y′
+ y
x + 1
2
x2 + x + 1
=
(1 − x2
)y2
(x2 + x + 1)3/2
42. Resuelva la ecuaci´on y′
= ry − ky2
, con r, k > 0, Esta ecuaci´on es importante en la din´amica de poblaciones.
43. Resuelva la ecuaci´on y′
= εy − σy3
, con ε, σ > 0. Esta ecuaci´on se presenta en la estabilidad del flujo de fluidos.
44. Resuelva la ecuaci´on y′
= (Γ cos t + T)y − y3
, donde Γ y T son constantes. Esta ecuaci´on tambi´en se presenta en la
estabilidad del flujo de fluidos.

11. 11
⋆ Ecuaci´on de Ricatti
45. La ecuaci´on diferencial:
dy
dx
= p(x)y2
+ q(x)y + g(x) (6)
se denomina ecuaci´on de Ricatti. Suponga que se conoce una soluci´on particular y1(x), de esta ecuaci´on.
Demuestre que la sustituci´on
y = y1(x) +
1
v(x)
transforma la ecuaci´on (6), en la ecuaci´on lineal:
dv
dx
+ [q(x) + 2y1(x)p(x)]v = −p(x).
46. Utilice el m´etodo del problema 32, para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, dado que y1, es una
soluci´on conocida en cada una de las ecuaciones.
46.1) y′
+ y2
= 1 + x2
; y1(x) = x 46.2) y′
+ 2xy = 1 + x2
+ y2
; y1(x) = x
46.3)
dy
dx
= −
4
x2
−
1
x
y + y2
; y1(x) =
2
x
46.4)
dy
dx
= e2x
+ (1 + 2ex
) + y2
; y1(x) = −ex
46.5)
dy
dx
= 2x2
+
1
x
y − 2y2
; y1(x) = x 46.6)
dy
dx
= sec2
x − y tan x + y2
; y1(x) = tan x
46.7)
dy
dx
= 1 + x2
− 2xy + y2
; y1(x) = x 46.8)
dy
dx
= −
1
x2
−
y
x
+ y2
; y1(x) =
1
x
46.9)
dy
dx
=
2 cos2
x − sen2
x + y2
2 cos x
; y1(x) = sen x 46.10) (1 + x3
)
dy
dx
+ 2xy2
+ x2
y + 1 = 0 ; y1(x) = −x
46.11)
dy
dx
=
1 − x + y2
2
√
x
; y1(x) =
√
x 46.12) y′
− ex
= y2
− (1 + ex
)y + ex
; y1(x) = ?
47. Dada la E.D.O.
dy
dx
+ 2x2
y − x3
= xy2
+ 1
47.1) Hallar los valores de a y b para que y1 = ax + b sea soluci´on.
47.2) Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on dada.
48. La propagaci´on de una acci´on particular en una poblaci´on grande (por ejemplo que los conductores, enciendan las luces
de su autom´ovil al atardecer) a menudo depende en parte de circunstancias externas (la creciente oscuridad) y en parte de
una tendencia a imitar a otros que ya han realizado la acci´on en cuesti´on. En este caso, la proporci´on y(t) de personas que
han realizado la acci´on puede ser descrita por la ecuaci´on:
dy
dt
= (1 − y)[x(t) + by]
donde x(t) mide el est´ımulo externo y b es el coeficiente de imitaci´on. Entonces:
(a) Observe que la ecuaci´on anterior es una ecuaci´on de Ricatti. Encuentre la ecuaci´on lineal que satisface v(t).
(b) Encuentre v(t) en el caso en que x(t) = at, donde a es constante. Exprese la respuesta en forma de una integral.
⋆ Otros casos
49. Considere la ecuaci´on diferencial:
y′
+ p(x)y = q(x)y ln y (7)
Demuestre que haciendo la sustituci´on u = ln y, en la ecuaci´on (7), se obtiene la siguiente ecuaci´on diferencial lineal
u′
+ p(x) = q(x)u

12. 12
Use este hecho para resolver la siguiente ecuaci´on diferencial
xy′
− 4x2
y + 2y ln y = 0
50. Demuestre que la sustituci´on u = tan y, reduce la EDO: y′
+ x sen 2y = xe−x2
cos2
y, a una EDO lineal.
51. Demuestre que la ecuaci´on: x2
yy′′
= (y − xy′
)2
, se transforma en una ecuaci´on lineal de primer orden si consideramos
la sustituci´on y = e
∫
z(x) dx
, donde z es una funci´on dependiente de x.
52. Realice una sustituci´on conveniente, para transformar la siguiente ecuaci´on diferencial: y′
+ sen y + x cos y + x = 0, en
una ecuaci´on lineal y resu´elvala.

13. 13
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 2
Aplicaciones de las E.D.O. de primer orden Prof. Andr´es P´erez
Parte I: Aplicaciones geom´etricas
⋆ M´etodo de las Isoclinas
1. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuaci´on diferencial y′
= f(x, y), es ´util observar que la
pendiente y′
de la soluci´on tiene el valor constante c en todos los puntos de la curva f(x, y) = c. Estas curvas se denominan
Isoclinas. Para ecuaciones relativamente simples, es posible trazar el campo direccional, dibujando unas cuantas isoclinas y
luego insertar los segmentos rectil´ıneos tangentes a la soluci´on en varios puntos de cada una. En cada uno de los problemas
dados a continuaci´on, determine las isoclinas y despu´es ´uselas para trazar el campo direccional.
1.1) y′
= 3 − 2y 1.2) y′
= −y(1 + y2
) 1.3) y′
= (1 − y)(2 − y) 1.4) y′
= 2x − 3y
1.5) y′
= x2
+ y2
1.6) y′
= 1 − xy
⋆ Trayectorias Ortogonales
2. Halle las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas.
2.1) y2
= 4ax 2.2) x2
− y2
= k 2.3) xy = k
2.4) (x − 1)2
+ y2
+ kx = 0 2.5) y2
= kx, pasa por P(−2, 3) 2.6) x2
= y2
+ ky3
2.7) y2
= x2
+ ky, pasa por P(1, −2) 2.8) x + y = key
, pasa por P(0, 10) 2.9) y = kx2
⋆ Trayectorias Isogonales
3. Halle la familia de curvas isogonales a la familia dad con el ´angulo indicado.
3.1) y = kx, α = 30◦
3.2) y = kx, α = 45◦
3.3) y2
= kx, α = 60◦
3.4) x2
+ y2
= kx, α = 30◦
4. Halle la trayectoria isogonal que intercepta a la familia dada con un ´angulo de 45◦
y que pasa por el punto indicado.
4.1) y = kex
+ 1, (−1, 1) 4.2) y = ke−x
, (1, −1) 4.3) ex+y
(1 − y) = k, (1, 1) 4.4) 2y3
+ 3y = −3x + k, (1, 1)
Parte II: Decaimiento radiactivo y poblaciones ∼ epidemias
5. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 bacterias. Cuando ha transcurrido una hora la cantidad medida de bacterias
es 3
2 N0. Si la raz´on de reproducci´on es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para
triplicar la cantidad inicial de microorganismos.
6. Suponga que la tasa de crecimiento de determinada poblaci´on var´ıa a una raz´on equivalente a la quinta parte de r(t)y,
tal que r(t) = 1
2 + sen t. Entonces,
(a) Si y(0) = 1, calcule o estime el tiempo τ en que la poblaci´on se duplica. Elija otras condiciones iniciales y determine
si el tiempo de duplicaci´on τ depende de la poblaci´on inicial.
(b) Suponga que en la tasa de crecimiento se sustituye el factor sen t por sen 2πt, es decir, la variaci´on de la tasa de
crecimiento tiene una frecuencia sustancialmente mayor. ¿Qu´e efecto tiene esto en el tiempo de duplicaci´on τ?

14. 14
7. Suponga que determinada poblaci´on satisface el problema con valor inicial
dy
dt
= r(t)y − k
donde la tasa de crecimiento r(t), est´a dada por r(t) = 1
5 (1 + sen t) y k representa la tasa de depredaci´on. Determine el
tiempo τ en que la poblaci´on tiende a la extinci´on , tomando k = 1
5 .
8. La transferencia de calor de un cuerpo a sus alrededores por radiaci´on, con base en la ley de Stefan-Boltzmann, est´a
descrita por la ecuaci´on diferencial
du
dt
= −α(u4
− T4
)
donde u(t) es la temperatura absoluta del cuerpo en el instante t, T es la temperatura absoluta de los alrededores y α es una
constante que depende de los par´ametros f´ısicos del cuerpo. Sin embargo, si u es mucho mayor que T, entonces las soluciones
de la ecuaci´on anterior se aproximan con las soluciones de la ecuaci´on mas simple
du
dt
= −αu4
Suponga que un cuerpo con temperatura inicial de 2000 K, est´a rodeado por un medio con temperatura de 300 K y que
α = 2 × 10−12
K−3
/seg. Determine la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo.
9. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el n´umero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al
cabo de 60 d´ıas el n´umero N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el n´umero 200N es considerado como el l´ımite saludable.
A los cu´antos d´ıas, despu´es de elaborado, vence el alimento?.
10. Un material radiactivo como el is´otopo torio 234, se desintegra a una raz´on proporcional a la cantidad presente del
is´otopo. Entonces, si 100 mg de torio 234 decaen a 82.04 mg en una semana, determine la tasa de decaimiento k y encuentre
una expresi´on para la cantidad de torio presente en cualquier instante de tiempo t. Por ´ultimo determine el tiempo necesario
para que el torio 234 decaiga a la mitad de su cantidad original.
11. La vida media o semivida de un material radiactivo se define como el tiempo requerido para que una cantidad de este
materia, decaiga a la mitad de su valor original. Demuestre que para cualquier material radiactivo que decae, la vida media
τ y la tasa de decaimiento k, satisfacen la ecuaci´on kτ = log 2.
12. El radio 226, tiene una vida media de 1620 a˜nos. Encuentre el per´ıodo durante el cual una cantidad dada de este is´otopo
se reduce a una cuarta parte.
13. Un reactor de cr´ıa convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un is´otopo radioactivo. Al cabo de
15 a˜nos, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial A0 de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de este
is´otopo, si la raz´on de desintegraci´on es proporcional a la cantidad presente.
14. Se analiz´o un hueso fosilizado y se encontr´o que conten´ıa la cent´esima parte de C-14. Determine la edad del f´osil,
asumiendo que el per´ıodo de vida media del C-14 es de aproximadamente 5600 a˜nos.
15. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela donde hay 1000 estudiantes. Si se
supone que la raz´on con que se propaga el virus es proporcional no s´olo a la cantidad de alumnos infectados, sino tambi´en a
la cantidad de alumnos sanos, determine la cantidad de alumnos infectados pasados seis dias, si se observa que a los cuatro
dias ya hab´ıan 50.
16. Hace algunos a˜nos (no precisar´e cuantos, ya que podr´ıan ser muchos), unos arque´ologos usaron unos trozos de madera
quemada (enti´endase chamuscada), es decir, de carb´on vegetal (pero no para hacer parrilla), para fechar las pinturas pre-
hist´oricas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Seg´un estos tipos, las pinturas esas eran
“burda” de bonitas. Determine entonces, cu´antos a˜nos ten´ıan estos trozos de carb´on, si ellos lograron observar que hab´ıan
perdido el 85.5% del carbono C − 14.
17. Muchos creen que el sudario de Tur´ın que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucificado es la mortaja de
Jes´us de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorg´o autorizaci´on para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios
cient´ıficos independientes llegaron a la conclusi´on de que el manto tiene unos 660 a˜nos. Edad que coincide con su aparici´on
hist´orica. Con ´esta edad, determine qu´e porcentaje de la cantidad original de C − 14 le quedaba en 1988.
Ayuda: Recuerde que el periodo de vida media es de aproximadamente 5600 a˜nos.
18. El is´otopo radiactivo I-131 se usa en el tratamiento de la hipertiroides. El I-131 administrado a un paciente se acumula
en forma natural en la gl´andula tiroides, en donde se desintegra y reduce parte de la gl´andula.

15. 15
(a) Suponga que se requieren 72 horas para enviar el I-131 del productor al hospital. ¿Qu´e porcentaje de la cantidad
originalmente enviada llega al hospital?
(b) Si el I-131 es almacenado en el hospital 48 horas adicionales antes de ser utilizado, ¿qu´e tanto queda de la cantidad
original enviada por el productor cuando el material radioactivo se utilice?
(c) ¿Qu´e tiempo le tomar´a al I-131 para desintegrarse completamente, de manera que el hospital pueda deshacerse de los
residuos sin precauciones especiales?
Nota: La vida media del I-131 es de 8 dias.
19. Suponga que el modelo log´ıstico de una poblaci´on espec´ıfica, se reduce a la siguiente ecuaci´on
dP
dt
= 0.4
(
1 −
P
230
)
P
(a) ¿Para qu´e valores de t est´a en equilibrio la poblaci´on? (b) ¿Para qu´e valores est´a creciendo la poblaci´on? (c) ¿Para qu´e
valores de t est´a decreciendo la poblaci´on?. Realice un an´alisis gr´afico de la situaci´on.
20. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el n´umero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete.
Al cabo de 60 d´ıas el n´umero N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el n´umero 200N es considerado como el l´ımite
saludable. A los cu´antos d´ıas, despu´es de elaborado, vence el alimento?.
21. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamos
que un fabricante estima que un nuevo operario producir´a A objetos el primer d´ıa de trabajo, y que a medida que va
adquiriendo experiencia, producir´a los objetos m´as r´apidamente hasta que produzca un m´aximo de M objetos por d´ıa. Sea
f(t), la cantidad de art´ıculos producidos el d´ıa t, para t ≥ 1. Suponga que el ritmo de producci´on f′
, es proporcional a
M − f(t). Entonces:
21.1) Deduzca una f´ormula para calcular la cantidad de art´ıculos producidos en un d´ıa cualquiera.
21.2) Suponiendo que M = 30, f(1) = 5 y f(2) = 8. Estime el n´umero de art´ıculos producidos el vig´esimo d´ıa.
22. Suponga que se invierte una suma S0 a una tasa de rendimiento anual r que se compone de manera continua.
(a) Encuentre el tiempo T necesario para que la suma inicial duplique su valor como una funci´on de r.
(b) Determine T, si r = 7%.
(c) Encuentre la tasa de rendimiento que debe obtenerse si la inversi´on inicial debe duplicarse en 8 a˜nos.
Parte III:Temperatura (Ley de enfriamiento de Newton)
23. Una peque˜na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20◦
C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo.
Calcule el tiempo que dicha barra demorar´a en alcanzar los 90◦
C, si se sabe que aument´o 2◦
C en un segundo. ¿Cu´anto
demorar´a la barra en alcanzar los 98◦
C?
24. Suponga que el d´ıa de ayer fu´e al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo, las bolsas y todas esas cosas, se le
ocurri´o la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en las propagandas de T.V (cosa que nadie
cree que es malta). El portu de la esquina, le vendi´o una fr´ıa y la otra caliente, ya que se le da˜no la nevera. En realidad,
la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de 23◦
C. Cuando usted lleg´o a su casa, lo primero que
hizo fu´e introducirla en el “freezer” (enti´endase parte superior de su nevera), que se encontraba como Dios manda a una
temperatura de envidiables 2◦
C bajo cero. Como usted ten´ıa mucha sed, abri´o la nevera a los 10 minutos y se percat´o que
la lata a´un estaba en los 10◦
C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumoza, si la
mejor temperatura para ingerirla es de 4◦
C.
25. Un term´ometro que est´a en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5◦
F.
Despu´es de un minuto el term´ometro marca 55◦
F y al segundo minuto marca 30◦
F. ¿Cu´al es la temperatura inicial de la
habitaci´on?
26. Durante un d´ıa claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar,
inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45
pm. y que la temperatura se encuentra a 23◦
C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba

16. 16
muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27◦
C. Interrogando a los curiosos del lugar
(que nunca faltan) encontr´o a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polic´ıa le dijo: “al pasar una hora de escuchar los
disparos sal´ı con mi term´ometro y Juansito ten´ıa 35◦
C y la lengua afuera, no ten´ıa zapatos y faltaba su cartera”. Al escuchar
el relato fu´e directamente donde el detective y le dijo: “ya s´e a que hora muri´o el occiso”. Determine aproximadamente, a
qu´e hora muri´o Juansito.
27. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300◦
F. Tres minutos despu´es, su temperatura es de 200◦
F. ¿Cu´anto
demorar´a en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70◦
F?
28. Un term´ometro que indica una temperatura de 70◦
F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A
trav´es de una ventana de vidrio del horno, un observador se percata que la temperatura que registra el term´ometro despu´es
de 1
2 minuto es de 110◦
F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145◦
F. ¿A qu´e temperatura est´a el horno?
29. A las 9:00 am. un term´ometro marca 70◦
F, se lleva al aire libre donde la temperatura es 15◦
F. A las 9:05 am. marca
45◦
F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitaci´on donde la temperatura se mantiene a 70◦
F ¿Cu´anto
marca a las 9:20 am.?
Parte IV:Mec´anica ∼ Cinem´atica
30. En la escena de un accidente, el investigador de la polic´ıa determina que tan r´apido iba el conductor a partir de las marcas
dejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro fren´o con una desaceleraci´on de 15 m
s2 . ¿A qu´e velocidad iba
el auto cuando aplic´o los frenos, si recorri´o 75 m antes de detenerse?
31. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produce
una desaceleraci´on constante, ¿cu´al es esa desaceleraci´on? ¿Durante cu´antos segundos continuar´a el derrape?-
32. Un auto patina 15 metros cuando los frenos son aplicados y est´a movi´endose a 50 Km/h. Supongamos que el auto, tiene
la misma desaceleraci´on constante. ¿cu´anto patinar´a si se mueve a 100 Km/h, cuando los frenos son aplicados?
33. Se est´a remolcando una barca a una velocidad de 12 millas por hora. En el momento (t = 0) que se suelta la cuerda
de remolque, un hombre que est´a en la barca, comienza a remar siguiendo la direcci´on del movimiento y ejerciendo una
fuerza de 20 lb. Si el peso conjunto del hombre es de 480 lb y la resistencia en libras es de 1.75v, donde v est´a medido en
pies/segundo, hallar la velocidad de la barca despu´es de 1
2 minuto.
Observaci´on: Recuerde que el factor de conversi´on de millas a pies es 5280 y la aceleraci´on en este sistema es 32 pies/seg2
.
34. Un resorte de peso despreciable est´a suspendido verticalmente. En su extremo libre se ha sujetado una masa de m
kilogramos. Si la masa se mueve con velocidad v0 m/seg, cuando el resorte est´a sin alargar, hallar la velocidad v como una
funci´on del alargamiento x en metros.
Parte V:Mezclas qu´ımicas (mezclas homog´eneas)
35. Cierto producto qu´ımico se disuelve en agua a una velocidad proporcional a la cantidad a´un no disuelta y a la diferencia
entre la concentraci´on en una soluci´on saturada y la concenraci´on en la soluci´on real. Se sabe que en 100 gramos de una
soluci´on saturada est´an disueltos 50 gramos de la sustancia. Si se agitan 30 gramos del producto qu´ımico con 100 gramos de
agua, en dos horas se disuelven 10 gramos. ¿Cu´antos se disuelven en 5 horas?
36. Unos vagabundos estafadores en un barrio de Caracas, intentan embaucar a algunos incautos, vendiendo una panela de
papel´on fantasma (recuerden que no hay az´ucar), seg´un nos inform´o una fuente que no quiso revelar su nombre. Para ello,
combinan dos sustancias que llamaremos A y B (ya que la ley RESORTE nos proh´ıbe colocar nombres exactos). Al principio
del negocio, comenzaron con 40 kilogramos de A y 50 kilogramos de B, en tanto que por cada kilo de B, se consumen 2 de
A (all´ı justamente es donde est´a la estafa, ya que A es de mucha menor calidad y se consigue a precio de gallina flaca en el
mercado de Catia). Se observa entonces, que a los diez minutos se han formado 10 kilos de la panela fraudulenta. ¿Cu´antos
kilos de panela tendr´an al cabo de 20 minutos de trabajo?
37. Cuando se combinan dos sustancias qu´ımicas A y B se forma un compuesto C. La reacci´on entre ambas es tal que, por
cada gramo de A, se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C, calcule
la cantidad de C, en funci´on del tiempo si la velocidad de la reacci´on es proporcional a las cantidades de A y B que quedan
y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qu´e cantidad del compuesto C hay a los 15 minutos?. Analice la
situaci´on cuando t → ∞.
38. Un tanque contiene originalmente 100 gal de agua dulce. Despu´es en el tanque se vierte agua que contiene 1
2 lb de sal
por gal´on, con un gasto de 2 gal/min, y se permite que la mezcla salga con el mismo gasto. Luego de 10 min, el proceso

17. 17
se detiene y se vierte agua dulce en el tanque con un gasto de 2 gal/min, la mezcla sale nuevamente con el mismo gasto.
Encuentre la cantidad de sal en el tanque luego de un lapso adicional de 10 min.
39. A un tanque de de 60 gal. de agua pura comienza a entrar salmuera con 1 libra de sal por gal´on a 2 gal/min y sale a 3
gal/min. ¿Qu´e cantidad de sal contiene cuando el volumen se ha reducido a la mitad? ¿Cu´al es la m´axima cantidad de sal
que llega a contener el tanque?
40. Un tanque de 100 litros, contiene 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia adentro a 5 lib/seg y
la mezcla homog´enea, se extrae con la misma raz´on. ¿Cu´anto tiempo pasar´a antes que queden solamente 10 kg de sal en el
tanque?
41. Un tanque con capacidad de 500 gal, contiene originalmente 200 gal de agua con 100 lb de sal en soluci´on. En ´el se vierte
agua con 1 lb de sal por gal´on con un gasto de 3 gal/min y la mezcla resultante se hace salir del tanque con un gasto de 2
gtal/min: Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo, antes del instante en que la soluci´on
comience a derramarse.
Parte VI: Circuitos El´ectricos (R − C ∼ L − R)
La segunda ley de Kirchhoff (circuito L − R − C), establece que las sumas de las ca´ıdas de
voltaje a trav´es del inductor (Ldi
dt ), del resistor (iR) y del capacitor 1
C q es igual al voltaje
aplicado (E(t)).
Si consideramos por L (henrys) a la inductancia, R (ohmios) la resistencia, a C (faradios)
a la capacitancia, i (amperios) la corriente, q (coulombs) a la carga y E (voltios) la fuerza
electromotriz (con R, C y L constantes), entonces lo anterior queda fielmente expresado,
como sigue
L
di
dt
+ Ri +
1
C
q = E(t) (8)
Entonces en un circuito L − R (no hay capacitor), la ecuaci´on (8), nos queda
L
di
dt
+ Ri = E(t) (9)
Sabemos que i(t) = dq
dt , luego en un circuito R − C (no hay inductor), la ecuaci´on (8), nos queda
R
dq
dt
+
1
C
q = E(t) (10)
42. Resolver la ecuaci´on (9), considerando E(t) = E0 y la corriente inicial i0.
43. Resolver la ecuaci´on (9) considerando, L = 3 henrys, R = 15 ohmios, y E(t) una
onda sinusoidal de amplitud 110 voltios y ciclo 60, e i = 0 para t = 0.
44. Utilice la ecuaci´on (10), para hallar la corriente y la corriente de r´egimen estable a los 2 segundos si R = 8 Ω, q(0) = 0,
C = 1
6 f y la entrada de voltaje es sinusoidal con amplitud 10 y per´ıodo π/64.
45. Un acumulador de 30 voltios, se conecta a un circuito en serie L − R con una inductancia de 0.1 henry y una resistencia
de 50 ohms. Determine la intensidad de corriente si la corriente inicial es cero. Halle la corriente cuando t → ∞.
46. Hallar el tiempo en que la corriente alcanza el 96 % de su valor l´ımite si la entrada de voltaje es constante, con R = 20 Ω,
L = 1 h y no hay corriente inicialmente.
47. Halle el voltaje constante aplicado a un circuito con R = 10 Ω y L = 2 h, de forma que la corriente alcance 97 % de su
valor l´ımite al segundo, si la corriente inicial es 2 amp. Calcule la corriente transitoria al cabo de medio segundo.
48. Hallar la corriente inicial tal que al medio segundo la corriente sea 6 amp, si R = 30 Ω, L = 4 h y se conecta a una
bater´ıa de 110 voltios.
49. Hallar la resistencia, tal que, a los 2 segundos, la corriente alcanza el 0.6 % de su valor inicial, si C = 1
6 f y la entrada
de voltaje es constante.

18. 18
50. Calcule la corriente de estado estable y la corriente a los 5 segundos, si R = 8 Ω, L = 6 h, i(0) = 0 y E(t) = 80 sen 100t.
Parte VII: Vaciado de tanques (Ley de Torricelli)
51. Un tanque cil´ındrico de 5 pies de largo y 3 pies de radio, tiene un agujero en el fondo de 1 pie de radio y el tanque
inicialmente, contiene 3/4 partes de l´ıquido. ¿Cu´anto demorar´a en contener solamente 1/4 parte del l´ıquido? (k = 0.62)
52. Un tanque tiene forma de cubo con arista de 2 metros y en su base hay un agujero de en forma de cuadrado de 1/10 de
unidad de di´ametro. Si inicialmente el tanque est´a lleno en un 75 %, ¿cu´ando contendr´a la mitad de su capacidad? (k = 0.5)
53. A un tanque c´onico invertido de 16 pies de altura que est´a lleno de agua se le hace un agujero de ´area 0.5 unidades en el
v´ertice. Hallar el tiempo de vaciado, si el ´angulo entre dos generatrices cualesquiera sobre un mismo plano es 60◦
. (k = 0.6)
Parte VIII: Otra tanda mezcladita
54. Al final de un d´ıa oscuro y lluvioso (6:30 pm aprox.), unas personas que se encontraban caminando por la Gran Avenida,
avistan a una persona que yace en el pavimento (Seguramente fue v´ıctima del hampa, a pesar del mega plan CARACAS
SEGURA murmuran los ociosos). Entre ellas, se encontraba el Dr. Yanohaguanto Chinkamiza, una eminencia en eso de la
anatom´ıa patol´ogica. Este le tom´o la temperatura al cad´aver y era de 29.4◦
C (recuerden que estos tipos siempre tienen unos
relojes ultrawao). A las dos horas que lo encontraron la temperatura del occiso era de 23.3◦
C, considerando una temperatura
ambiente de unos 20◦
C aproximadamente (seg´un el super reloj del man este). Determine:
(a) La hora de la muerte del hombre, asumiendo que vivo ten´ıa una temperatura de 37◦
C.
(b) Halle la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo, si asume que despu´es cae un palo de agua que hace
variar la temperatura del ambiente de la forma: Tm(t) = 20 − e− t
4 . (k es la misma)
55. El lago Erie (EEUU - Canad´a) tiene un volumen de 458 km3
(¡¡ y una superficie igual a la Rep´ublica de Macedonia !!).
El flujo de entrada y salida se realizan ambos a raz´on de 175 km3
por a˜no. Suponga que para el a˜no 2000, su concentraci´on
de contaminaci´on era de 0.05% y que un tiempo despu´es, la concentraci´on de contaminantes que ingresa en el agua es de
0.01%. Suponiendo que el agua se mezcla perfectamente dentro del lago, calcule la fecha en la que la concentraci´on de
contaminantes se reduce al 0.02%.
56. Hace poco, una comitiva de la ONU visit´o la c´arcel de Guant´anamo en Cuba, donde se encontraban unas 587 personas,
entre presos y personal de custodia. La comitiva, estaba integrada por 15 personas (incluida Miss Universe -in English-). La
se˜norita en cuesti´on, mas roba c´amara que pol´ıtico en campa˜na, estaba infectada con mononucleosis infecciosa (tambi´en
conocida como enfermedad del beso, fiebre glandular o enfermedad de Pfeiffer, causada por el virus Epstein-Barr - VEB
-). Al llegar la se˜norita en cuesti´on, empez´o con su majader´ıa y su abrazadera (seguro pensaba que estaba haciendo su
entrada en el Teatro Kodak de Los Angeles) y por supuesto beso pa’ to el mundo. Determine cu´antas personas estaban
infectadas hasta que los presos se molestaron y echaron a esa loca despu´es de una hebd´omada, conociendo el hecho de que
al d´ıa siguiente de llegar, ya hab´ıan 158 enfermos.
57. Suponga que despu´es de un caluroso partido de Softball, usted que se encuentra en envidiables condiciones f´ısicas (pero
hediondo a mono) se hallaba lo suficientemente sediento, como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la
que su respectiva progenitora lo ha rega˜nado toda la vida). Al llegar a la cocina y abrir la nevera, se da cuenta que el agua
que asumimos es filtrada, no estaba muy fr´ıa (unos 15◦
C), toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intensi´on
de que otro beba su saliva. A los 5 minutos, vuelve a abrir la nevera e ingiere un sorbo del ya no tan preciado l´ıquido, que
estaba un poco m´as fr´ıo (unos 10◦
C). Pasados otros cinco minutos, realiza un ´ultimo intento y el agua ya se encontraba a
8◦
C. ¿A qu´e temperatura se encontraba la nevera?, asumiendo que la variaci´on de la temperatura del agua durante el tiempo
que estuvo pegada a su boca es despreciable y el abre - cierra de la nevera, tampoco afect´o la temperatura de la misma.
58. Cierto d´ıa del mes de julio, la familia Zambrano se encontraba de picnic en el Junquito (vulgar atrangante de cochino
frito con hallaquitas). En el deguste de tan suculento manjar, se les olvido que no cerraron las llaves del fregadero y lleg´o el
agua cuando ellos estaban de paseo (a todo pobre .... le pasa eso). Al llegar a su hogar, se dieron cuenta que su cocina se
hab´ıa inundado, un espacio de unos 15 m2
, donde el agua alcanz´o una altura de 20 cm. Procedieron a destapar el desag¨ue
(circular por supuesto!!!), cuyo di´ametro, es de aproximadamente 10 cm. Determine el tiempo que tard´o en vaciarse la cocina,
para proceder al coletazo final, suponiendo que la constante de fricci´on es 0.5.
59. Un acumulador de 30 voltios, se conecta a un circuito en serie L− R con una inductancia de 0.1 henrios y una resistencia
de 50 ohms. Determine la intensidad de corriente si la corriente inicial es cero. Halle la corriente cuando t → ∞.

19. 19
60. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edificios, contrata a una “matraca” de gordo de unos 160
Kg., donde, el arn´es al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, despu´es de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250
gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) se
parti´o en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vac´ıo (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos
3.5 m). Determine aproximadamente, el tiempo que tard´o el gordo en volverse papilla, considerando que la resistencia al
aire de tama˜na humanidad es de 2 veces la velocidad instant´anea.
61. Determine la corriente de estado estable, en un circuito cuya resistencia es de 5Ω, la capacitancia es de un sexto de
faradio (f), la carga inicial es nula y la fuerza electromotriz, est´a dada por
E(t) = 15 sen 60t voltios
62. Sabemos que en las c´arceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un dia haciendo una pesquisa en Yare
I, determinaron que en el pabell´on de la muerte (Pabell´on B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal oliente
que sople mueren de asfixia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca seg´un el chavo) y este dec´ıa, que le
hab´ıa pasado algo con la tensi´on. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39.5◦
C, lo cambiaron
al pabell´on de las locas (Pabell´on G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuy´o en 2◦
C. ¿A q´e temperatura se
encontraba el Pabell´on G?
63. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro como
bandera. Un cierto d´ıa, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado “Er Chino” (se parec´ıa a Yoshi Toshia - el de
la propaganda -). Este, ven´ıa de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga),
bueno, el asunto es que el tipo ven´ıa super amotinado y se encontro a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le
ha metido la mam´a de las patadas, por supuesto, el perro estir´o la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia “Er iluminao”
(no era Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canad´a (estuvo preso), subiendo las escaleras, mir´o al matorral y hallo
bien flaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, dec´ıa: Chamo pana mio, te dieron bollo. Este antisocial, era
bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle el
C14 al c´anido en cuesti´on y determin´o con sus equipos rudimentarios que hab´ıa perdido el 0.0015% del “C-catolce” (como el
dec´ıa). Adivine usted hace cu´anto “Er Chino” le di´o bollo al perro?
64. En este pa´ıs, ´ultimamente hasta los chinos est´an pelando y nos damos cuenta, ya que, se est´a vendiendo una salsa de
soya “chimba” en un conocido mercado popular. Estos, utilizan un tanque que inicialmente contiene 200 litros de un l´ıquido
al cual llaman, receta secreta (chin secleto) y donde se disuelven 40 gramos de un polvo granulado semejante a la sal (pero
de un aspecto poco agradable). Una mezcla que tiene un gramo del polvo por litro se bombea al tanque con una rapidez de
3 litros por minuto; la soluci´on homog´enea (salsa de soya medio rara) se bombea hacia afuera con la rapidez de 4 litros por
minuto. Encuentre la cantidad de gramos de polvo que parece sal, que hay en el tanque a los 30 minutos.
65. Erase una vez una famosa discoteca en un d´ıa que es mejor no recordar, llegaron unos tipos limpios a rumbear. Estos
como no ten´ıan dinero, compraban un trago y de cada trago tomaban cuatro personas, una de ellas (el que bebe y se rasca
primero - s´olo bebi´o una vez -) ten´ıa un extra˜no virus que comenz´o a propagarse. A la media hora hab´ıan 10 limpios
infectados. Determine cu´antos tragos hab´ıan comprado a la hora, cuando sacaron a ese poco de gente al hospital. Asuma,
que los tragos se compraban en forma progresiva, ya que la entrada a la discoteca se hace en grupos de cuatro, fueron
cuarenta limpios y uno de los infectados tomaba un trago del nuevo grupo.
66. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los d´ıas. Para ir a la construcci´on, este se˜nor debe abordar el
tren del metro en la estaci´on Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estaci´on
Sabana Grande. Como todos sabemos, el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una ´epoca del
a˜no donde los calorones son propios de menop´ausica prematura. El obrero, aborda el vag´on en el que el aire no funciona y
con toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al se˜nor, le da una “yeyera” entre Colegio de Ingenieros
y Plaza Venezuela, debiendo accionar la alarma respectiva, muy a pesar de los insultos de los dem´as viajeros. Cuando es
atendido dentro del mismo vag´on (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontraba
en los 39◦
C y el operador de la estaci´on (ir´onico el muchacho) le manifiesta que realmente est´a enfermo, ya que el vag´on se
encuentra a unos confortables 19◦
C. A los 5 minutos, ya el se˜nor ten´ıa 39.5◦
C. Determine si el se˜nor estaba quebrantado de
salud al entrar al vag´on.
67. Una persona infectada con un virus muy raro, ingresa al vag´on del metro en Propatria y estornuda, volando g´ermenes
por todo el vag´on (como la mujer de la propaganda). Es de hacer notar, que seg´un informaciones de la gente del metro en
un vag´on caben aproximadamente 120 personas (yo creo que m´as -preg´untenle a la gente en Capitolio-) y este ven´ıa full. A
los seis minutos, el tren se detiene entre Plaza Sucre y Gato Negro y se escuchan 5 estornudos mas en diferentes puntos.
Asumiendo, que entre estaciones el tren se demora 2 minutos y nunca se baj´o nadie, determine la cantidad de personas que
adquirieron una peste brutal al llegar a Chacaito.

20. UNIDAD II
Pr´acticas: 3 - 4
Ecuaciones de orden superior
• Conjunto Fundamental de Soluciones
• EDO de segundo orden
• M´etodo de los Coeficientes Indeterminados
• M´etodo de Variaci´on de Par´ametros
“Un individuo exitoso, es un so~nador
que cree en sus sue~nos”
An´onimo

21. 21
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 3
Conjunto Fundamental de Soluciones Prof. Andr´es P´erez
Comprobaci´on e independencia de Soluciones
1. En los siguientes problemas, la familia de funciones dada es soluci´on de la ecuaci´on diferencial planteada. Halle las
constantes para escoger a un miembro de la familia que verifique el P.V.I.
1.1) y = c1ex
+ c2e−x
; (−∞, ∞) ; y′′
− y = 0 ; y(0) = 0 ; y′
(0) = 1
1.2) y = c1e4x
+ c2e−x
; (−∞, ∞) ; y′′
− 3y′
− 4y = 0 ; y(0) = 1 ; y′
(0) = 2
1.3) y = c1x + c2x ln x ; (0, ∞) ; x2
y′′
− xy′
+ y = 0 ; y(1) = 3 ; y′
(1) = −1
2. Si y(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt, es la soluci´on general de y′′
+ ω2
y = 0 en el intervalo (−∞, ∞), demuestre que una
soluci´on que satisface las condiciones iniciales y(0) = y0 y y′
(0) = y1, es justamente
y(t) = y0 cos ωt +
y1
ω
sen ωt
3. Use la soluci´on general del problema anterior para demostrar que la soluci´on que satisfaga las condiciones iniciales
y(t0) = y0 y y′
(t0) = y1, es exactamente la soluci´on del problema anterior desplazada t0 unidades.
4. Compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independientes (L.I.) en el intervalo (−∞, ∞).
4.1) f1(x) = x ; f2(x) = x2
; f3(x) = 4x − 3x2
4.2) f1(x) = 0 ; f2(x) = x ; f3(x) = ex
4.3) f1(x) = 5 ; f2(x) = cos2
x ; f3(x) = sen2
x
4.4) f1(x) = cos 2x ; f2(x) = 1 ; f3(x) = cos2
x
4.5) f1(x) = x ; f2(x) = x − 1 ; f3(x) = x + 3
4.6) f1(x) = 2 + x ; f2(x) = 2 + |x|
5. Responda las siguientes preguntas:
(a) Si el wronskiano W(f, g) es 3e4t
y si f(t) = e2t
, encuentre g(t).
(b) Si el wronskiano W(f, g) es t2
et
y si f(t) = t, encuentre g(t).
(c) Si W(f, g) es el wronskiano de f y g y si u = 2f − g y v = f + 2g, encuentre el wronskiano W(u, v) de u y v en t´erminos
de W(f, g).
(d) Si el wronskiano W(f, g) es t cos t − sen t y si u = f + 3g y v = f − g, encuentre W(u, v).
6. Verifique que y1(t) = t2
y y2(t) = t−1
, son soluciones de la ecuaci´on diferencial t2
y′′
− 2y = 0, para t > 0. Luego,
demuestre que C1t2
+ C2t−1
, es tambi´en una soluci´on de la ecuaci´on diferencial para cualesquiera C1 y C2.
7. Verifique que y1(t) = 1 y y2(t) =
√
t, son soluciones de la ecuaci´on diferencial yy′′
+ (y′
)2
= 0, para t > 0. Luego,
demuestre que C1 + C2
√
t, no es en general una soluci´on de la ecuaci´on diferencial. Explique por qu´e este resultado no
contradice el principio de superposici´on.

22. 22
8. Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on diferencial dada en el
intervalo indicado. Forme la soluci´on general.
8.1) y′′
− y′
− 12y = 0 ; e−3x
; e4x
; (−∞, ∞)
8.2) y′′
− 4y′
= 0 ; cosh 2x ; senh 2x ; (−∞, ∞)
8.3) y′′
− 2y′
+ 5y = 0 ; ex
cos 2x ; ex
sen 2x ; (−∞, ∞)
8.4) 4y′′
− 4y′
+ y = 0 ; ex/2
; xex/2
; (−∞, ∞)
8.5) x2
y′′
− 6xy′
+ 12y = 0 ; x3
; x4
; (0, ∞)
8.6) x2
y′′
+ xy′
+ y = 0 ; cos(ln x) ; sen(ln x) ; (0, ∞)
8.7) y′′
+ 4y = 0 ; cos 2t ; sen 2t ; (−∞, ∞)
8.8) y′′
− 2y′
+ y = 0 ; et
; tet
; (−∞, ∞)
8.9) x2
y′′
− x(x + 2)y′
+ (x + 2)y = 0 ; x ; xex
; (0, ∞)
8.10) (1 − x cotan x)y′′
− xy′
+ y = 0 ; x ; sen x ; (0, π)
9. Considere la ecuaci´on: y′′
− y′
− 2y = 0
(a) Demuestre que y1(t) = e−t
y y2(t) = e2t
, forman un conjunto fundamental de soluciones.
(b) Sean y3(t) = −2e2t
, y4(t) = y1(t) + 2y2(t) y y5(t) = 2y1(t) − 2y3(t). ¿Son tambi´en y3(t), y4(t) y y5(t) soluciones de
la ecuaci´on diferencial dada?
(c) Determine si cada uno de los siguientes pares, forma un conjunto fundamental de soluciones: {y1(t), y3(t)}, {y2(t), y3(t)},
{y1(t), y4(t)} y {y4(t), y5(t)}
10. Compruebe que cada una de las familias biparam´etricas de funciones dadas en los siguientes problemas, sea la soluci´on
general de la ecuaci´on diferencial no homog´enea en el intervalo indicado.
10.1) y′′
− 7y′
+ 10y = 24ex
; y = c1e2x
+ c2e5x
+ 6ex
; (−∞, ∞)
10.2) y′′
+ y = 2 sec x ; y = c1 cos x + c2 sen x + x sen x + cos x ln(cos x) ; (−π
2 , π
2 )
10.3) y′′
− 4y′
+ 4y = 2e2x
+ 4x − 12 ; y = c1e2x
+ c2xe2x
+ x2
e2x
+ x − 2 ; (−∞, ∞)
10.4) 2x2
y′′
+ 5xy′
+ y = x2
− x ; y = c1x−1/2
+ c2x−1
+ 1
15 x2
− 1
6 x ; (0, ∞)
11.
11.1) Compruebe que yp1
= 3e2x
y yp2
= x2
+ 3x son, respectivamente, soluciones particulares de
y′′
− 6y′
+ 5y = −9e2x
y y′′
− 6y′
+ 5y = 5x2
+ 3x − 16
11.2) Use la parte anterior para hallar soluciones particulares de
y′′
− 6y′
+ 5y = 5x2
+ 3x − 16 − 9e2x
y y′′
− 6y′
+ 5y = −10x2
− 6x + 32 + e2x
12.
12.1) Halle por simple inspecci´on una soluci´on particular de y′′
+ 2y = 10.
12.2) Halle por simple inspecci´on una soluci´on particular de y′′
+ 2y = −4x.
12.3) Halle una soluci´on particular de y′′
+ 2y = 10 − 4x.
12.4) Determine una soluci´on particular de y′′
+ 2y = 8x + 5.

23. 23
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 4
EDO de segundo orden homog´eneas y no homog´eneas Prof. Andr´es P´erez
Parte I: Reducci´on de Orden
1. La funci´on y1(x) es una soluci´on en los siguientes problemas. Use la reducci´on de orden para encontrar una segunda
soluci´on y2(x).
1.1) y′′
− 4y′
+ 4y = 0 ; y1 = e2x
1.2) y′′
+ 2y′
+ y = 0 ; y1 = xe−x
1.3) y′′
+ 16y = 0 ; y1 = cos 4x 1.4) y′′
+ 9y = 0 ; y1 = sen 3x
1.5) y′′
− y = 0 ; y1 = cosh x 1.6) y′′
− 25y = 0 ; y1 = e5x
1.7) 9y′′
− 12y′
+ 4y = 0 ; y1 = e2x/3
1.8) 6y′′
+ y′
− y = 0 ; y1 = ex/3
1.9) x2
y′′
− 7xy′
+ 16y = 0 ; y1 = x4
1.10) x2
y′′
+ 2xy′
− 6y = 0 ; y1 = x2
1.11) xy′′
+ y′
= 0 ; y1 = ln x 1.12) 4x2
y′′
+ y = 0 ; y1 = x1/2
ln x
1.13) x2
y′′
− xy′
+ 2y = 0 ; y1 = x sen(ln x) 1.14) x2
y′′
− 3xy′
+ 5y = 0 ; y1 = x2
sen(ln x)
1.15) xy′′
− y′
+ 4x3
y = 0 ; y1 = sen x2
1.16) x2
y′′
− (x − 0.1875)y = 0 ; y1 = x1/4
e2
√
x
2. La funci´on y1(x) indicada es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada. Aplique el m´etodo de reducci´on de
orden para determinar una segunda soluci´on, y2(x), de la ecuaci´on homog´enea y una soluci´on particular de la ecuaci´on no
homog´enea dada.
2.1) y′′
− 4y′
= 2 ; y1 = e−2x
2.2) y′′
+ y′
= 1 ; y1 = 1
2.3) y′′
− 3y′
+ 2y = 5e3x
; y1 = ex
2.4) y′′
− 4y′
+ 3y = x ; y1 = ex
Parte II: Ecuaciones Homog´eneas
3. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial dada.
3.1) 4y′′
+ y′
= 0 3.2) 2y′′
− 5y′
= 0 3.3) y′′
− 36y′
= 0 3.4) y′′
+ 8y′
+ 16y = 0
3.5) y′′
− y′
= 0 3.6) y′′
+ 9y′
= 0 3.7) 3y′′
+ y′
= 0 3.8) y′′
− 4y′
+ 5y = 0
3.9) y′′
− y′
− 6y = 0 3.10) y′′
− 3y′
+ 2y = 0 3.11)
d2
y
dx2
+ 8
dy
dx
+ 16y = 0 3.12) y′′
+ 9y = 0
3.13) y′′
+ 3y′
− 5y = 0 3.14)
d2
y
dx2
− 10
dy
dx
+ 25y = 0 3.15) y′′
+ 4y′
− y = 0 3.16) y′′
− 36y = 0
3.17) 12y′′
− 5y′
− 2y = 0 3.18) 3y′′
+ 2y′
+ y = 0 3.19) 2y′′
+ 2y′
+ y = 0 3.20) 3y′′
+ 2y′
+ y = 0

24. 24
4. Resuelava los siguientes P.V.I.
4.1) y′′
+ 16y = 0 ; y(0) = 2 ; y′
(0) = −2 4.2)
d2
y
dθ2
+ y = 0 ; y
(π
3
)
= 0 ; y′
(π
3
)
= 2
4.3) 4y′′
− 4y′
− 3y = 0 ; y(0)1 ; y′
(0) = 5 4.4)
d2
y
dt2
− 4
dy
dt
− 5y = 0 ; y (1) = 0 ; y′
(1) = 2
5. Para cada una de las siguientes funciones, determine una ecuaci´on diferencial de segundo orden con coeficientes constantes
cuya soluci´on sea la funci´on dada.
5.1) y = c1e3x
+ c2e−4x
5.2) y = c1 senh 4x + c2 cosh 4x
5.3) y = c1 sen 2x + c2 cos 2x 5.4) y = c1ex
+ c2xex
5.5) y = e3x
(c1 sen 4x + c2 cos 4x) 5.6) y = c1e2x
+ c2xe2x
+ c3x2
e2x
Parte III: Ecuaciones no Homog´eneas (Coeficientes Indeterminados)
6. Encuentre la soluci´on general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas.
6.1) y′′
+ y = cos 2x 6.2) 2y′′
− 14y′
= 10x − 6 6.3) y′′
− y = senh 2x
6.4) y′′
− 3y′
+ 2y = 2e−x
6.5) y′′
+ 2y′
+ 5y = 3 sen x 6.6) y′′
+ 2y′
+ y = cos x + 3 sen 2x
6.7) y′′
− 4y′
+ 3y = xe2x
6.8) 2y′′
+ 4y′
+ 2y = e2x
cos 2x 6.9) y′′
+ 4y = xex
− ex
+ 2e3x
6.10) y′′
− 9y′
= 5e−3x
6.11) y′′
+ 4y′
+ 5y = 10e−2x
cos x 6.12) y′′
− 2my′
+ m2
y = sen mx
6.13) y′′
+ 3y = x2
sen x 6.14) y′′
+ y = cos2
2x + sen2 x
2
6.15) y′′
− 3y′
+ 2y = (x2
+ x)e3x
6.16) y′′
+ y = 4x cos x 6.17) y′′
+ 2y′
+ 5y = e−x
(2x + sen 2x) 6.18) y′′
+ 5y′
+ 4y = 8x2
+ 3 + 2 cos 2x
6.19) y′′
+ 9y = x3
+ 6 6.20) y′′
+ 2y′
− 24y = 16 − (x + 2)e4x
6.21) y′′
− 5y′
= 2x3
− 4x2
− x + 6
Parte IV: Ecuaciones no Homog´eneas (Variaci´on de Par´ametros)
7. Utilice el m´etodo de variaci´on de par´ametros para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
7.1) y′′
+ y = sec x 7.2) y′′
+ y = tan x 7.3) y′′
− 2y′
+ y =
ex
1 + x2
7.4) y′′
− 4y =
e2x
x
7.5) y′′
+ 3y′
+ 2y = sen ex
7.6) y′′
+ 2y′
+ y = e−x
ln x
7.7) 3y′′
− 6y′
+ 6y = ex
sec x 7.8) 2y′′
+ 2y′
+ y = 4
√
x 7.9) 4y′′
− 4y′
+ y = ex/2
√
1 − x2
7.10) y′′
+ 2y = sec x tan x 7.11) y′′
− 2y′
+ y = ex
arctan x 7.12) y′′
− y = senh 2x

25. 25
Parte V: Ecuaciones de Cauchy - Euler
8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homog´eneas de Cauchy - Euler.
8.1) x2
y′′
− 2y = 0 8.2) 4x2
y′′
+ y = 0 8.3) x2
y′′
+ xy′
+ 4y = 0
8.4) x2
y′′
− 3xy′
− 2y = 0 8.5) 3x2
y′′
+ 6xy′
+ 2y = 0 8.6) 2x2
y′′
+ 2xy′
+ y = 0
8.7) x2
y′′
+ 5xy′
+ 4y = 0 8.8) x2
y′′
+ 8xy′
+ 6y = 0 8.9) x2
y′′
− 7xy′
+ 41y = 0
9. Utilice el m´etodo de variaci´on de par´ametros para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy - Euler.
9.1) x2
y′′
− 4xy′
= x4
9.2) 2x2
y′′
+ 5xy′
+ y = x2
− x
9.3) x2
y′′
− xy′
+ y = 2x 9.4) x2
y′′
− 2xy′
+ 2y = x4
ex
10. Use la sustituci´on x = et
, para transformar la respectiva ecuaci´on de Cauchy - Euler, en una ecuaci´on con coeficientes
constantes. Resuelva la ecuaci´on original a trav´es de la nueva ecuaci´on.
10.1) x2
y′′
+ 9xy′
− 20y = 0 10.2) x2
y′′
− 9xy′
+ 25y = 0
10.3) x2
y′′
+ 10xy′
+ 8y = x2
10.4) x2
y′′
− 3xy′
+ 4y = ln x
10.5) x2
y′′
+ 7xy′
+ 5y = x
Parte VI: Otra tanda de ecuaciones de orden dos
11. Ecuaciones en la que falta y: En una ecuaci´on diferencial de segundo orden de la forma y′′
= f(x, y), la sustituci´on
u =
dy
dx
y
du
dx
=
d2
y
dx2
, genera una ecuaci´on de primer orden de la forma
du
dx
= f(x, u).
11.1) x2
y′′
+ 2xy′
− 1 = 0 ; x > 0 11.2) xy′′
+ y′
= 1
11.3) y′′
+ x(y′
)2
= 0 11.4) 2x2
y′′
+ (y′
)3
= 2xy′
; x > 0
11.5) y′′
+ y′
= e−x
11.6) x2
y′′
= (y′
)2
; x > 0
12. Ecuaciones en la que falta x: Si una ecuaci´on diferencial de segundo orden tiene la forma y′′
= f(y, y′
), la variable
independiente x no aparece expl´ıcitamente, s´olo a trav´es de la variable dependiente y. Si se realiza la sustituci´on u =
dy
dx
,
entonces se obtiene
du
dx
= f(y, u).
12.1) yy′′
+ (y′
)2
= 0 12.2) y′′
+ y = 0 12.3) y′′
+ y(y′
)3
= 0
12.4) 2y2
y′′
+ 2y(y′
)2
= 1 12.5) yy′′
− (y′
)3
= 0 12.6) y′′
+ (y′
)2
= 2e−y
13. En los siguientes problemas de valor inicial, resuelva aplicando los m´etodos de los ejercicios (12) y (13).
13.1) y′
y′′
= 2 ; y(0) = 1 ; y′
(0) = 1
13.2) y′′
− 3y2
= 0 ; y(0) = 2 ; y′
(0) = 4
13.3) (1 + x2
)y′′
+ 2xy′
+ 3x−2
= 0 ; y(1) = 2 ; y′
(1) = −1
13.4) y′
y′′
− x = 0 ; y(1) = 2 ; y′
(1) = 1

26. 26
14. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas de segundo orden, con coeficientes constantes.
14.1) y′′
− y = 0 ; y(0) = 1 ; y′
(0) = 0 14.2) y′′
− 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y′
(0) = 0
14.3) y′′
− y′
− 30y = 0 14.4) y′′
+ 6y′
+ 9y = 0
14.5) y′′
− 2y′
+ y = 0 ; y(0) = 1 ; y′
(1) = 1 14.6) y′′
+ 2y′
+ 3y = 0
14.7) y′′
+ y = 0 14.8) y′′
− 3y′
− 5y = 0
14.9) y′′
+ 2y′
+ 2y = 0 14.10) y′′
+ y′
+ 1
4 y = 0 ; y(0) = 2 ; y′
(1) = 1
15. En cada uno de los siguientes problemas, halle la soluci´on de la ecuaci´on diferencial dada.
15.1) y′′
− 2y′
− 3y = 3e2x
15.2) y′′
+ 2y′
+ 5y = 3 sen 2x
15.3) y′′
− 2y′
− 3y = 3xe−x
15.4) y′′
+ 2y′
= 3 + 4ex
sen 2x
15.5) y′′
+ 9y = x2
e3x
+ 6x 15.6) y′′
+ 2y′
+ y = 2e−x
15.7) 2y′′
+ 3y′
+ y = x2
+ 3 cos x 15.8) y′′
+ y = 3 sen 2x + x cos 2x
16. En cada uno de los problemas, encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial dada. En los problemas (16.7) y
(16.8), g(x) es una funci´on continua arbitraria.
16.1) y′′
+ y′
= tan x ; 0 < x <
π
2
16.2) y′′
+ 9y = sec2
3x ; 0 < x <
π
6
16.3) y′′
+ 4y′
+ 4y = x−2
e−2x
; x > 0 16.4) y′′
+ 4y = 3 cosec 2x ; 0 < x <
π
2
16.5) 4y′′
+ y = 2 sec
x
2
; −π < x < π 16.6) y′′
− 2y′
+ y =
ex
1 + x2
16.7) y′′
− 5y′
+ 6y = g(x) 16.8) y′′
+ 4y = g(x)
17. En cada uno de los problemas, compruebe que las funciones dadas y1 y y2 satisfacen la ecuaci´on homog´enea asociada;
entonces encuentre una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea dada. En los problemas (17.7) y (17.8), g(x) es una
funci´on continua arbitraria.
17.1) x2
y′′
− 2y = 3x2
− 1 ; x > 0 ; y1(x) = x2
; y2(x) = x−1
17.2) x2
y′′
− x(x + 2)y′
+ (x + 2)y = 2x3
; x > 0 ; y1(x) = x ; y2(x) = xex
17.3) xy′′
− (1 + x)y′
+ y = x2
e2x
; x > 0 ; y1(x) = 1 + x ; y2(x) = ex
17.4) (1 − x)y′′
+ xy′
− y = 2(x − 1)2
e−x
; 0 < x < 1 ; y1(x) = x ; y2(x) = ex
17.5) x2
y′′
− 3xy′
+ 4y = x2
ln x ; x > 0 ; y1(x) = x2
; y2(x) = x2
ln x
17.6) x2
y′′
+ xy′
+ (x2
− 1
4 )y = 3x3/2
sen x ; x > 0 ; y1(x) = x−1/2
; y2(x) = x−1/2
sen x
17.7) x2
y′′
+ xy′
+ (x2
− 1
4 )y = g(x) ; x > 0 ; y1(x) = x−1/2
sen x ; y2(x) = x−1/2
cos x
17.8) (1 − x)y′′
+ xy′
− y = g(x) ; 0 < x < 1 ; y1(x) = x ; y2(x) = ex

27. 27
18. Resuelva las siguientes ecuaciones de Cauchy - Euler.
18.1) x2
y′′
+ 10xy′
+ 8y = x2
18.2) x2
y′′
− 4xy′
+ 6y = ln x2
18.3) 2x2
y′′
− 3xy′
− 3y = 1 + 2x + x2
18.4) x2
y′′
− 3xy′
+ 13y = 4 + 3x
18.5) x2
y′′
+ 9xy′
− 20y =
5
x3
18.6) x3
y′′′
− 3x2
y′′
+ 6xy′
− 6y = 3 + ln x3
18.7) x2
y′′
+ xy′
+ 4y = sen(log x) 18.8) x2
y′′
− 2xy′
+ 2y = 3x2
+ 2 log x

28. UNIDAD III
Pr´acticas: 5 - 6 - 7
Sucesiones y Series
• Repaso de L´ımites
• Sucesiones Num´ericas
• Series Num´ericas
• Series de Potencias
• Series de Taylor y Maclaurin
“Despu´es de escalar una monta~na muy alta,
descubrimos que hay muchas monta~nas por escalar”
Nelson Mandela

29. 29
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 5
Repaso de L´ımites Prof. Andr´es P´erez
1. En los siguientes ejercicios grafique una funci´on f(x), que cumpla con los siguientes requerimientos en t´erminos de los
l´ımites presentados:
1.1)



lim
x→a+
f(x) = ∞
lim
x→a−
f(x) = ∞
lim
x→∞
f(x) = 0
lim
x→−∞
f(x) = −∞
1.2)



lim
x→a+
f(x) = L+
lim
x→a−
f(x) = L−
lim
x→∞
f(x) = L+
lim
x→−∞
f(x) = L−
1.3)



lim
x→0+
f(x) = L−
lim
x→0−
f(x) = L−
lim
x→∞
f(x) = ∞
lim
x→−∞
f(x) = K−
1.4)



lim
x→−3+
f(x) = −∞
lim
x→−3−
f(x) = ∞
lim
x→∞
f(x) = ∞
lim
x→−∞
f(x) = 0+
1.5)



lim
x→0+
f(x) = 0+
lim
x→0−
f(x) = 0+
lim
x→∞
f(x) = −3+
lim
x→−∞
f(x) = −3+
1.6)



lim
x→0+
f(x) = −2−
lim
x→0−
f(x) = 2+
lim
x→∞
f(x) = −1+
lim
x→−∞
f(x) = 1−
1.7)



lim
x→−2+
f(x) = −2−
lim
x→−2−
f(x) = 3+
lim
x→1−
f(x) = 3
lim
x→1+
f(x) = −2+
lim
x→−∞
f(x) = −∞
lim
x→2
f(x) = −2
1.8)



lim
x→−2+
f(x) = 2−
lim
x→−2−
f(x) = 2+
lim
x→1−
f(x) = −1+
lim
x→1+
f(x) = −1−
lim
x→−∞
f(x) = −2+
lim
x→2
f(x) = −2−
1.9)



lim
x→2
f(x) = 0
lim
x→−2
f(x) = 0+
lim
x→0−
f(x) = 0+
lim
x→0+
f(x) = 0−
lim
x→−∞
f(x) = ∞
lim
x→∞
f(x) = 0+
2. Halle los siguientes l´ımites, simplemente sustituyendo el valor al que tiende x en la funci´on:
2.1) lim
x→2
(3x + 4)5
2.2) lim
x→−2
5x3
+ 3x2
− 6 2.3) lim
x→3
5x2
+ 2x + 1
4x3 − 7
2.4) lim
x→8
x2/3
+ 3
√
x
4 − (16/x)
2.5) lim
x→5
3
√
3x2 − 4x + 9 2.6) lim
x→
√
2
x3
− 4x2
+ 3x − 12
2.7) lim
x→3
3
√
2 + 5x − 3x3
x2 − 1
2.8) lim
x→1
(
√
x +
1
√
x
)6
2.9) lim
x→5+
1 +
√
2x − 10
x + 3
2.10) lim
x→−8
16x2/3
4 − x4/3
2.11) lim
x→−5−
√
x2 − 25 + 3 2.12) lim
x→−10+
x + 10
√
(x + 10)2
2.13) lim
x→0
x2
−
cos x
10.000
2.14) lim
x→ π
4
tan x − sen x
x − π
2
2.15) lim
x→0
x − sen x
1 − x
2.16) lim
x→3
[[x]] 2.17) lim
x→ π
3
tan x
x
2.18∗
) lim
x→0
ex
− (1 + x)
x2

30. 30
3. Encuentre el l´ımite indicado, haciendo un poco de manipulaciones algebraicas:
3.1) lim
x→1
x2
+ 3x − 4
x − 1
3.2) lim
x→−3
2x3
+ 5x2
− 3x
x + 3
3.3) lim
x→9
x − 9
√
x − 3
3.4) lim
x→3
x2
− 2x − 3
x − 3
3.5) lim
x→0
4 −
√
16 + x
x
3.6) lim
x→2
x − 2
x3 − 8
3.7) lim
x→−2
x3
+ 8
x4 − 16
3.8) lim
x→1
1
x − 1
x − 1
3.9) lim
x→2
x2
− 5x + 6
10 + x − 3x2
3.10) lim
x→a
x2
− (a + 1)x + a
x3 − a3
3.11) lim
x→8
3
√
x − 2
x − 8
3.12) lim
x→64
√
x − 8
3
√
x − 4
3.13) lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
3.14) lim
x→2
x3
− 8
3
√
x − 2
3.15) lim
x→0
√
x + h −
√
h
x
3.16) lim
x→4
3 −
√
5 + x
1 −
√
5 − x
3.17) lim
x→7
2 −
√
x − 3
x2 − 49
3.18) lim
x→0
√
x + 1 − 1
3
√
x + 1 − 1
3.19) lim
x→0
√
−x + 1 − 1
√
−x + 4 − 2
3.20) lim
x→−1
√
7x2 + 2 − 3
√
3 + 2x + x
3.21) lim
x→1
√
x2 + 3 −
√
3x + 1
√
5x + 4 −
√
2x2 + 7
4. Encuentre los siguientes l´ımites, cuando x tiende a ∞:
4.1) lim
x→∞
x2
+ 3
x − 1
4.2) lim
x→−∞
2 − 3x
x2 + 3
4.3) lim
x→∞
x3
− 9x2
+ 6x − 100
x2 − 10x + 5
4.4) lim
x→−∞
−x3
− 2x − 3
x3 − 3x2 + 6x − 1000
4.5) lim
x→∞
0.001x3
− 4
2x3 + 156
4.6) lim
x→−∞
3 − 2x3
+ 4x
x − 2x2 + x4
4.7) lim
x→∞
0.001x3
+ 8
x2 − 16
4.8) lim
x→−∞
−10 + x−10
x−6 + 1.15
4.9) lim
x→−∞
x2
− 10x + 6 − x3
x3 − 3x2 + 6x − 100
4.10) lim
x→∞
(x2
− 2)3
x3 + 7
4.11) lim
x→∞
(3x2
− 4)3
(x3 − 8)2
4.12) lim
x→−∞
(−3x2
− 2)3
(−6x3 + 10)2
4.13) lim
x→−∞
x2
− 1
6x + 2
−
x + 2
x2 + 1
4.14) lim
x→∞
3x2
+ 1
4x + 2
−
x + 2
x + 6
4.15) lim
x→∞
x2
− 1
3x + 2
−
2 − x3
x2 + 6
4.16) lim
x→∞
x2
− 1
x + 2
−
x3
+ 2
x2 + 6
4.17) lim
x→−∞
x2
− 2 + 1−x
x+3
x3 + 49
4.18) lim
x→∞
x2
− 2 + 1−x6
x+3
x3 + 7
4.19) lim
x→∞
x + 2 + 1−x
x+3
2x + 5
4.20) lim
x→−∞
3x2
+ 5x + 6 − 3−x4
3x+1
4x3 + 5x2 + 3x + 8
4.21) lim
x→∞
x2
− 2 − 1−x4
x+3
x3 + 7
− x2
4.22) lim
x→∞
earctan x
+ earctan(−x)
+ 1
arctan(ex) + arctan(e−x) + π
4.23) lim
x→−∞
−ex
sen( 3
√
x + 2)
7x3 + 2x
4.24) lim
x→∞
x3
− 3x − 1−x3
x2+3
x5 + 7x − 2
− x2

31. 31
5. Halle los siguientes l´ımites asumiendo que lim
x→0
sen x
x
= 1:
5.1) lim
x→0
sen 5x
x
5.2) lim
x→−3
sen (x + 3)
x + 3
5.3) lim
x→0
tan x
x
5.4) lim
x→0
1 − cos x
x
5.5) lim
x→0
1 − cos x
x2
5.6) lim
x→0
1 −
√
cos x
x2
5.7) lim
x→0
sen x − sen x cos x
x
5.8) lim
x→0
sen2
x
x
5.9) lim
x→0
sen mx
sen nx
5.10) lim
x→0
√
1 + sen x −
√
1 − sen x
x
5.11) lim
x→0
cos mx − cos nx
x2
5.12) lim
x→0
tan 3x
sen 2x
5.13) lim
x→π
1 + cos x
sen 2x
5.14) lim
x→0
sen(3x2
)
x
5.15) lim
x→0
x cos x
sen x + x2
5.16) lim
x→ π
3
√
3 − 2 sen x
x − π
3
5.17) lim
x→a
sen2
(3x) − sen2
(3a)
x − a
5.18) lim
x→0
3
√
sen x − 3
√
tan x
sen x
6. Calcule los siguientes l´ımites, considerando que lim
x→∞
(
1 +
k
x
)x
= ek
:
6.1) lim
x→∞
(
x − 1
x + 1
)x
6.2) lim
x→∞
(
x − 1
x + 3
)x+2
6.3) lim
x→∞
(
x
x + 1
)x
6.4) lim
x→0
(1 + x)
1
x 6.5) lim
x→∞
(
2x − 1
2x + 3
)x+1
6.6) lim
x→∞
(
x2
+ 1
3x2 − 3
)x2
7. Utilice la Regla de L’Hopital, para hallar los siguientes l´ımites.
7.1) lim
x→0
sen x
x
7.2) lim
x→0
1 − cos x
x
7.3) lim
x→0
1 − cos x
x2
7.4) lim
x→3
x2
− 9
x2 − x − 6
7.5) lim
x→0
ln(1 + x)
x
7.6) lim
x→0
ex
− 1
x
7.7) lim
x→0
sen x − x
x3
7.8) lim
x→0
sen x − tan x
x2 sen x
7.9) lim
x→0−
sen x + tan x
ex + e−x − 2
7.10) lim
x→∞
ex2
− cos x
x2
7.11) lim
x→0
(
1 +
k
x
)x
7.12) lim
x→∞
x
1
x
7.13) lim
x→0
x2
sen(1/x)
tan x
7.14) lim
x→0+
ln x
cotan x
7.15) lim
x→∞
xa
ex
, a > 0
7.16) lim
x→ π
2
tan x ln(sen x) 7.17) lim
x→1+
(
x
x − 1
−
1
ln x
)
7.18) lim
x→0+
(x + 1)cotan x
7.19) lim
x→ π
2
−
(tan x)cos x
7.20) lim
x→∞
ln(x + k)
xa
, a > 0 7.21) lim
x→0
(sen x
x
) sen x
x−sen x

32. 32
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 6
Sucesiones num´ericas Prof. Andr´es P´erez
1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la f´ormula del t´ermino n-´esimo an, e indique para que valor de n inicia
dicha f´ormula.
1.1) 1, 2, 3, 4, . . . 1.2) 1, 3, 5, 7, . . . 1.3) 2, 4, 6, 8, . . . 1.4) 3, 6, 9, 12, . . .
1.5) 3, 5, 7, 9, . . . 1.6) 1, 8, 27, 64, . . . 1.7) 1,
1
4
,
1
9
,
1
16
, . . . 1.8)
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . .
1.9) 7, 9, 11, 13, . . . 1.10) 0, 1, 0, 1, 0, . . . 1.11) 2, 6, 18, 54, . . . 1.12) 2, 3, 5, 8, 11, . . .
1.13∗
) −
1
2
, 0,
2
17
,
6
65
, . . . 1.14)
1
3
, −
4
5
,
9
7
, −
16
9
, . . . 1.15∗
) 3, −5,
7
2
, −
9
6
,
11
24
, . . . 1.16)
5
2
,
7
4
,
9
6
,
11
8
, . . .
1.17)
1
2
,
1
6
,
1
12
,
1
20
, . . . 1.18∗
) − 1,
2
3
, −
1
3
,
4
27
, −
5
81
, . . . 1.19)
4
7
,
7
9
,
10
11
,
13
13
, . . . 1.20∗
) 2, 1,
8
9
, 1,
32
25
, . . .
1.21)
1
2 · 5
,
1
5 · 8
,
1
8 · 11
, . . . 1.22)
2
1 · 3
,
4
2 · 5
,
6
3 · 7
, . . . 1.23) 1 · 3, 2 · 9, 3 · 27, . . . 1.24∗
) − 5, 10, −17, 26, . . .
2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza una
altura equivalente a 2
3 de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-´esimo rebote.
3. Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies durante
el segundo instante de tiempo, 80 pies durante el tercero y as´ı sucesivamente. ¿Cu´anto recorre el objeto durante el sexto
segundo?
4. Sea {an}n≥1, una sucesi´on infinita con t´ermino general an. Determine cual de las siguientes sucesiones converge o diverge
y en caso de que converjan halle su l´ımite.
4.1) an =
1
5n
4.2) an = 4
√
n 4.3) an =
n2
− 1
n2 + 1
4.4) an =
4n − 3
3n + 4
4.5) an =
n2
n + 1
4.6) an = arctan 2n 4.7) an = cos
(nπ
2
)
4.8) an = (−1)n n2
1 + n3
4.9) an =
(π
3
)n
4.10) an =
3 + (−1)n
n2
4.11) an = n2
(
1 − cos
1
n
)
4.12) an =
4n3
+ 3n2
+ 1
5n3 + 3
4.13) an = n2−n
4.14) an =
ln(2 + en
)
3n
4.15) an = 1 + (−1)n
4.16) an =
sen n2
n
4.17) an =
√
n + 8 −
√
n 4.18) an =
cos2
n
2n
4.19) an =
2n
3n + 1
4.20) an =
5 − 2−n
6 + 4−n
4.21) an = ln(n + 1) − ln n 4.22) an =
(
1 −
4
n
)n
4.23) an =
en
− e−n
en + e−n
4.24) an = 5 +
5n
3n

33. 33
4.25) an = 10(n+1)/n
4.26) an = n
√
n 4.27) an = n2/(n+1)
4.28) an =
√
n(
√
n + 1 −
√
n)
4.29) an =
cos 2nπ
n
4.30) an =
en
n4
4.31) an = (−1)n cos n
n2
4.32) an =
(
3 m
√
n
m
√
2m(n + 1)
)nm
4.33) an = n
(
n + 2
2n − 3
) 1
n
− 1 4.34) an =
(
n + 1
n − 1
)2n−1
4
4.35) an =
2n
n!
4.36) an =
(
n − 7
n − 2
)n+1
4.37) an =
∫n
1
1
xp
dx 4.38) an = π− sen 2nπ
n 4.39) an =
ln2
n
n
4.40) an =
13
+ 23
+ · · · + n3
n4
4.41) an =
(
1
2
+
1
6n
)n
4.42) an =
ln 2n
ln 3n
4.43) an =
sen n
3n
4.44) an =
1
n2
+
2
n2
+ · · · +
n − 1
n2
4.45) an =
n2/3
sen n!
n + 1
4.46) an = n3
sen
(
2
n3
)
4.47) an = (2n + 1)
1
n 4.48) an =
n
√
n2 + n
5. Sucesi´on de Fibonacci:
5.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es f´ertil al mes.
Si comenzamos con una pareja de reci´en nacidos. Demuestre que si F1 = 1 y F2 = 1, entonces la sucesi´on de Fibonacci, {Fn}
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
est´a dada por la f´ormula recurrente
Fn+1 = Fn + Fn−1, n ≥ 3
5.2) Verifique que el t´ermino general de la sucesi´on es
Fn =
1
√
5
(
1 +
√
5
2
)n
−
1
√
5
(
1 −
√
5
2
)n
demostrando que esta expresi´on satisface la f´ormula recurrente.
5.3) Sea fn =
Fn+1
Fn
. Demuestre que fn−1 = 1 +
1
fn−2
.
5.4) Sea {Fn} la sucesi´on de Fibonacci, dada en (5.2). Demuestre que
lim
n→∞
Fn+1
Fn
=
1 +
√
5
2
6. Calcule el l´ımite de la siguiente sucesi´on
{
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
7. Se˜nale si las siguientes sucesiones son mon´otonas.
7.1) an =
1
3n + 5
7.2) an = 3 +
(−1)n
n
7.3) an =
n − 2
n + 2
7.4) an =
√
n + 1
5n + 3
8. Demuestre que si xn+1 = 1
2
(
xn + 2
xn
)
, para n ≥ 1 y adem´as, lim
n→∞
xn existe, entonces la sucesi´on {xn} converge a
√
2 o
bien a −
√
2.

34. 34
9. Si a1 = 3 y an+1 = 1
an
, para todo n ≥ 1. Calcule lim
n→∞
an.
10. Si a1 =
√
2 y an+1 =
√
1 + an, para todo n ≥ 1. Calcule lim
n→∞
an.
11. Si a1 = 2 y an+1 = 1
2 (an + 4), para todo n ≥ 1. Calcule lim
n→∞
an.
12. Demostrar que {
√
2,
√
2 +
√
2,
√
2 +
√
2 +
√
2, . . .
}
converge a 2.
13. Demostrar que si {an} es una sucesi´on que converge a cero y {bn} es una sucesi´on acotada, entonces {anbn}, converge a
cero.
14. Sean {an}, {bn} y {cn} sucesiones tales que lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = 1 y an ≤ bn ≤ cn, para todo n. Demostrar que
lim
n→∞
bn = 1.
15. Demuestre que si {an} y {bn} son dos sucesiones divergentes, entonces la sucesi´on {an + bn}, tambi´en diverge.
16. Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentes. Demostrar que
lim
n→∞
(an + bn) = lim
n→∞
an + lim
n→∞
bn
17. Dar ejemplos de sucesiones {an} y {bn} tales que lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = 0, pero
17.1) lim
n→∞
an
bn
= 0 17.2) lim
n→∞
an
bn
= +∞ 17.3) lim
n→∞
an
bn
no existe 17.4) lim
n→∞
an
bn
= −∞
18. Demostrar que si {an} es una sucesi´on convergente y {bn} es una sucesi´on tal que bn ̸= 0, para todo n y lim
n→∞
bn = ∞,
entonces
lim
n→∞
an
bn
= 0
19. Demostrar que la sucesi´on
{
n!
nn
}
n≥1
, converge a cero.
20. Utilice el teorema de sucesiones mon´otonas y acotadas para hacer un estudio de la convergencia de las siguientes
sucesiones
20.1)
{
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2nn!
}
n≥1
20.2)
{
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
}
n≥0
21∗
. Considere la sucesi´on dada en (20.2) y demuestre que la misma converge a cero. Ayuda: Observe a la sucesi´on, como
una recurrente.
22. Dada la sucesi´on {an} definida por an = arn−1
, donde a y r son constantes. Se define la sucesi´on {Sn} por
Sn = a1 + a2 + · · · + an (11)
22.1) Deducir que: Sn =
a − arn
1 − r
22.2) Demostrar que {Sn} converge si y s´olo si |r| < 1.
23∗∗
. Demuestre que la sucesi´on, cuyo t´ermino general est´a dado por: bn =
n∏
k=1
2k√
2, converge a 2.
24. Consideremos la sucesi´on {an}, cuyo t´ermino general est´a dado por an =
1
2n−1
, con n ≥ 1. Definamos la sucesi´on {Sn},
de la forma (11)
(a) Deduzca que: Sn =
1 − 1
2n
1 − 1
2
(b) Verifique que {Sn} converge, halle su valor l´ımite y utilice el resultado para calcular
lim
n→∞
(
1 + 1
2 + 1
4 + 1
8 + · · ·
)
· n2
3n2 + 2n − 4

35. 35
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 7
Series num´ericas ∼ Series de Potencias ∼ Taylor y Maclaurin Prof. Andr´es P´erez
Parte I: Series Num´ericas
1. Verifique que las siguientes series son divergentes.
1.1)
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+ . . . 1.2)
∞∑
n=1
3n
n + 1
1.3)
∞∑
n=1
n
2n + 3
1.4)
∞∑
n=1
n2
n2 + 1
1.5) 3 −
9
2
+
27
4
−
81
8
+ . . . 1.6)
∞∑
n=1
(
4
3
)n
1.7)
∞∑
n=1
2n
+ 1
2n+1
1.8)
∞∑
n=1
n
√
n2 + 1
2. Verifique que las siguientes series son convergentes.
2.1) 2 +
3
2
+
9
8
+
27
32
+ . . . 2.2)
∞∑
n=1
(0.9)n
2.3) 2 − 1 +
1
2
−
1
4
+
1
8
− . . . 2.4)
∞∑
n=1
(−0.6)n
3. Demuestre que la serie
∞∑
n=1
1
n(n + 1)
converge y determine su suma.
4. ¿Qu´e est´a mal en la siguiente “demostraci´on” de que la serie geom´etrica
∞∑
n=1
(−1)n+1
tiene por suma 0.
∞∑
n=1
(−1)n+1
= [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · · + [1 + (−1)] + · · ·
= 0 + 0 + · · · + 0 + · · · = 0
5. Muestre que
∞∑
n=1
(−1)n−1
diverge.
6. Muestre que
∞∑
n=1
1
(n + 2)(n + 3)
=
1
3
. (Sugerencia: use el ejercicio 3)
7. Demuestre que la serie
∞∑
n=1
(
7
n(n + 1)
−
2
3n−1
)
converge y determine su suma.
8. Encuentre una f´ormula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando lim
n→∞
Sn.
8.1)
∞∑
n=1
1
4n2 − 1
8.2)
∞∑
n=1
ln
(
n
n + 1
)
8.3)
∞∑
n=1
−1
9n2 + 3n − 2
8.4)
∞∑
n=1
1
√
n + 1 +
√
n
9. Determine si la serie
∞∑
n=1
(
1
5n
+
1
n
)
converge o diverge.
10. Demuestre o de un contraejemplo: “Si
∞∑
n=1
an y
∞∑
n=1
bn divergen, entonces
∞∑
n=1
(an + bn) diverge”.
11. Supongamos que lim
n→∞
(an+1 − an) existe. Demostrar la siguiente versi´on para sumas telesc´opicas
∞∑
n=1
(an+1 − 2an + an−1) = a0 − a1 + lim
n→∞
(an+1 − an)

36. 36
12. Determine si las siguientes series telesc´opicas convergen o divergen.
12.1)
∞∑
n=2
log [(1 + 1/n)n
(1 + n)]
log nn [log(n + 1)n+1]
12.2)
∞∑
n=1
2n + 1
n2(n + 1)2
12.3)
∞∑
n=1
(
√
n + 2 − 2
√
n + 1 +
√
n)
12.4)
∞∑
n=1
ln
(
n2
− 1
n2
)
12.5)
∞∑
n=1
arctan
(
1
n2 + n + 1
)
12.6)
∞∑
n=1
arctan
2
n2
Nota: En los ejercicios (12.5) y (12.6) utilice la siguiente f´ormula: arctan α ± arctan β = arctan
(
α ± β
1 ∓ αβ
)
13. Suponga que {an} es una sucesi´on de t´erminos positivos, donde a2 =
√
3 y adem´as se cumple que lim
n→∞
an = ∞.
Entonces, calcule la suma de
∞∑
n=2
arctan
(
an+1 − an
1 + an+1an
)
14. Demuestre que
∞∑
n=1
sen
(
1
2n(n + 1)
)
· cos
(
2n + 1
2n(n + 1)
)
=
sen(1)
2
15. Demuestre que la serie:
∞∑
n=1
∫n+1
n
e−
√
x
dx
es telesc´opica y calcule su suma.
16. Demuestre que la serie
∞∑
n=1
arctan(2n2
)
(√
n + 1 −
√
n
√
n2 + n
)
es convergente.
17. Aplique el criterio mas conveniente para determinar si las siguientes series convergen o divergen.
17.1)
∞∑
n=1
1
n
√
e
17.2)
∞∑
n=1
(
5
n + 2
−
5
n + 3
)
17.3)
∞∑
n=1
n
ln(n + 1)
17.4)
∞∑
n=1
ln
(
2n
7n − 5
)
17.5)
∞∑
n=1
[(
3
2
)n
+
(
2
3
)n]
17.6)
∞∑
n=1
(
1
n(n + 1)
−
4
n
)
17.7)
∞∑
n=2
(ln n)−2
n
17.8)
∞∑
n=1
2 + sen n
3
√
n4 + 1
17.9)
∞∑
n=1
1
√
(n + 1)(n + 2)
17.10)
∞∑
n=1
3
2 + sen n
17.11)
∞∑
n=1
2n
n!
17.12)
∞∑
n=1
arctan n
n2 + 1
17.13)
∞∑
n=1
2n + 1
n
√
n ln n
17.14)
∞∑
n=1
4n−1
n3n+2
17.15)
∞∑
n=1
n3
2n+3
7n−1
17.16)
∞∑
n=1
n + ln n
n3 + 2n − 1
17.17)
∞∑
n=1
sen(1/n)
n
17.18)
∞∑
n=1
1
nn
17.19)
∞∑
n=1
(
ne
n + 1
)−n
17.20)
∞∑
n=1
n!
(2n)!
17.21)
∞∑
n=1
(
n
n + 1
)n2
17.22)
∞∑
n=1
5n2
+ n + n−1
2n3 + 2n2 + 8
17.23)
∞∑
n=1
(
1 −
2
n
)n
17.24)
∞∑
n=1
(2n)!
n!(2n)n
17.25)
∞∑
n=1
log n
n
√
n + 1
(Comp. B´asica y Cond. de Cauchy) 17.26)
∞∑
n=1
log
(
n sen
1
n
) (
Compare con −
∞∑
n=1
1
n2
)

37. 37
18. Determine los valores positivos de p, para los cuales converge la serie indicada
18.1)
∞∑
n=1
n.pn
18.2)
∞∑
n=1
n2
(
2
p
)n
19. Determine los valores reales de p, para los cuales converge la serie indicada
19.1)
∞∑
n=1
np
n!
19.2)
∞∑
n=1
ln n
np
20. Sea {Fn} la sucesi´on de Fibonacci, dada en el problema 5 de la Pr´actica 1 (Sucesiones Num´ericas). Demuestre que la
serie
1
1
+
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
8
+ · · · =
∞∑
n=1
1
Fn
es convergente.
21. Use el criterio de series alternadas para determinar si las siguientes series son convergentes.
21.1)
∞∑
n=2
(−1)n+1
n + 2
21.2)
∞∑
n=1
(−1)n−1
√
n
21.3)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
n2 + 1
21.4)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n + 2
n3
21.5)
∞∑
n=2
(−1)n+1 n
n + 2
21.6)
∞∑
n=1
(−1)n−1 3n − 1
n + 5
21.7)
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
1
n
+
1
3n
)
21.8)
∞∑
n=1
(−1)n n + 1
4n
21.9)
∞∑
n=2
(−1)n+1 4
√
n
2n + 3
21.10)
∞∑
n=1
cos nπ
√
n2 + 1
n3
21.11)
∞∑
n=1
(−1)n+1 ln n
n
21.12)
∞∑
n=1
(−1)n+1 ln n10
n2
22. Determine si las siguientes series son absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes o divergentes.
22.1)
∞∑
n=2
(−1)n+1
2n + 3
22.2)
∞∑
n=1
(−1)n
[
1
n + 1
+
1
n
]
22.3)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
5n
22.4)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n!
nn
22.5)
∞∑
n=2
(−1)n+1
sen
(
1
n
)
22.6)
∞∑
n=1
(−1)n−1
[
√
n + 1 −
√
n] 22.7)
∞∑
n=1
(−1)n−1
(
2
3
)n
22.8)
∞∑
n=1
(−1)n (n!)2
(2n)!
Parte II: Series de Potencias - Series de Taylor y Maclaurin
23. Encuentre el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
23.1)
∞∑
n=1
(−1)n xn
3n(n + 1)
23.2)
∞∑
n=1
(−1)n x2n
2n!
23.3)
∞∑
n=1
(x − 5)n
n2
23.4)
∞∑
n=1
xn
n
23.5)
∞∑
n=1
(2n + 1)!
n3
(x − 2)n
23.6)
∞∑
n=1
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
23.7)
∞∑
n=1
(−1)n+1 xn
n ln2
n
23.8)
∞∑
n=1
(2x − 3)n
42n
23.9)
∞∑
n=1
πn
(x − 1)2n
(2n + 1)!
23.10)
∞∑
n=1
(−2)n xn+1
n + 1
23.11)
∞∑
n=1
(−1)n+1 xn
n2 + 1
23.12)
∞∑
n=1
n! xn
23.13)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
xn
23.14)
∞∑
n=1
(−1)n x2n
2n − 1
23.15)
∞∑
n=1
(5x − 3)n
n 23.16)
∞∑
n=1
(2n)!
n!
xn
23.17)
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x − 2)n
n2
23.18)
∞∑
n=1
(
x2
+ 1
5
)n
23.19)
∞∑
n=1
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
n!
xn
23.20)
∞∑
n=1
n
x−2n

38. 38
24. Halle el intervalo de convergencia de la serie
∞∑
n=1
(x − a)n
bn
; b > 0.
25. Encuentre el radio de convergencia de
∞∑
n=1
(pn)!
(n!)p
xn
; con p > 0 y p un n´umero entero.
26. Hallar el radio de convergencia de
∞∑
n=1
(p + n)!
n!(n + q)!
xn
; donde p y q son enteros positivos.
27. Dada la serie
1 −
1
2
(x − 3) +
1
3
(x − 3)2
−
1
4
(x − 3)3
+ · · ·
Hallar el t´ermino n-´esimo y comprobar que el intervalo de convergencia es (2, 4].
28. Encuentre una representaci´on en series de potencias y especifique su radio de convergencia
28.1) f(x) =
1
1 − x
28.2) f(x) =
1
1 − 5x
28.3) f(x) =
1
2 − 3x
28.4) f(x) =
x
2 − 3x
28.5) f(x) =
x3
4 + x3
28.6) f(x) =
1
(1 − x)2
28.7) f(x) = ln(1 + x) 28.8) f(x) = arctan x
Ayuda: Halle la serie para cada ejercicio, conociendo la serie para
1
1 − x
y para
1
1 + x
y use derivaci´on o integraci´on de
series.
29. Determine la serie de Maclaurin asociada a las siguientes funciones.
29.1) f(x) = e2x
29.2) f(x) = 10x
29.3) f(x) = ln(1 + x) 29.4) f(x) =
1
1 + x
29.5) f(x) = arctan 2x 29.6) f(x) =
(
1
2
)x
29.7) f(x) = (1 + x)p
29.8) f(x) = sen x
29.9) f(x) = cos x 29.10) f(x) = senh x 29.11) f(x) = cosh x 29.12) f(x) = sen nx
30. Conociendo una serie para ex
, comprobar que
30.1) eix
= cos x + i sen x 30.2) e−ix
= cos x − i sen x
30.3) sen x =
eix
− e−ix
2
30.4) cos x =
eix
+ e−ix
2
siendo i =
√
−1.
31. Calcule
√
e, con cinco cifras decimales de exactitud.
32. Hallar el valor de sen 62◦
, con cinco cifras decimales.
33. Halle una serie para f(x) = ln x y aproxime ln 0.97, con siete cifras de exactitud.
34. Calcule
∫0.4
0
√
1 + x4 dx, con cinco cifras decimales.
35. Comprobar que:
∫x
0
e−y2
dy = x−
x3
3 · 1!
+
x5
5 · 2!
−
x7
7 · 3!
+· · · , para todos los valores positivos de x, y ´usela para calcular:
∫1
0
e−x2
dx. Ayuda: Halle primero el t´ermino n-´esimo.
36. Demuestre las siguientes igualdades
36.1)
∫x
0
sen t
t
dt =
∞∑
n=0
x2n+1
(2n + 1)(2n + 1)!
36.2)
∫x
0
cos t
t
dt =
∞∑
n=0
x2n
(2n)(2n)!

39. UNIDAD IV
Pr´acticas: 8 - 9 - 10
• Geometr´ıa del Espacio:
∼ Vectores - Rectas y Planos
• Superficies
• Sistemas de Coordenadas
• Curvas en el espacio
• Integrales de L´ınea
“Hay una fuerza motriz mas poderosa que el vapor, la electricidad
y la energ´ıa at´omica: LA VOLUNTAD”
Albert Einstein

40. 40
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´aticas II (8207) 2012
Pr´actica 8
Geometr´ıa del espacio: Vectores - Rectas y Planos Prof. Andr´es P´erez
1. Una caja rectangular tiene sus caras paralelas a los planos coordenados y los extremos de su diagonal principal son (2, 3, 4)
y (5, −2, 0). Dibuje la caja y encuentre las coordenadas de los restantes seis v´ertices.
2. Demuestre que (4, 5, 2), (1, 7, 3) y (2, 4, 5) son v´ertices de un tri´angulo equil´atero.
3. Sean P y Q puntos del espacio, el vector con punto inicial P y punto final Q, se denota por
−→
PQ. Halle las componentes
de
−→
PQ si:
3.1) P(−3, 0, 1), Q(3, 4, 5) 3.2) P(−1, −1, 3), Q(
√
2, 1, 0) 3.3) P(0, 0, 1), Q(−1, 0, 0)
4. Verifique que el punto
M =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
es el punto medio del segmento P1P2, donde P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2). Debe verificar que M, est´a en el segmento P1P2
y adem´as que equidista tanto de P1 como de P2.
5. En cada caso determine: 2u + v, u · v, |u − v| y
v
|v|
5.1) u = (2, 5, −4), v = (3, 3, 0) 5.2) u = (−1, 1, 0), v = (−2, 1, 3)
5.3) u = (
√
2, 1, 1), v =
(1
2 , 2
3 , 0
)
5.4) u = (−3, 2, −1), v = (−1, 0, 2)
6. Sean u = (2, 2, −1) y v = (−1, 3, 2), entonces:
6.1) Encuentre un vector unitario (es decir de longitud 1), que tenga la misma direcci´on que v.
6.2) Encuentre el ´angulo que forman u y v.
6.3) Encuentre el vector de longitud 2 en direcci´on opuesta a u.
7. ¿Cu´ales de las siguientes expresiones no tiene sentido?
7.1) u · (v · w) 7.2) |u|(v · w) 7.3) (|u|v) · w
7.4) u · v + 2v 7.5) u · v + 2 7.6) |u|v
8. Sean a y b n´umeros reales. Compruebe que el vector k es ortogonal (perpendicular) a ai + bj.
9. Demuestre que el vector u = (1, 2, −3), es ortogonal a av + bw, donde v = (2, 2, 2) y w = (−1, 2, 1) y a y b son n´umeros
reales. De una interpretaci´on geom´etrica de este hecho.
10. Sean u y v vectores cualesquiera. Compruebe que |v|u + |u|v y |v|u − |u|v son ortogonales.
11. Se denominan ´angulos directores de un vector v a los ´angulos α, β y γ que forma v con i, j y k respectivamente. Halle
cos α, cos β y cos γ, en t´erminos de las componentes de v y compruebe que cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1.
12. Sean los puntos A(3, 2, −1) y P(x, y, z) y el vector n = (−1, 0, 4). Use el producto escalar como ayuda para escribir una
ecuaci´on en x, y y z que establezca que n y
−→
AP son ortogonales.
13. Halle el valor de k de tal manera que v − ku sea ortogonal a u:
13.1) u = (2, −1, 2), v = (3, 1, 2) 13.2) u = (0, 0, 1), v = (9, 12, 0)

41. 41
14. Sea u = (2, 3, −2) y v = (1, 2, 0). Exprese u como la suma de un vector a paralelo a v y un vector b ortogonal a v.
15. Halle todos los vectores que son ortogonales a (1, 2, 3) y (−1, 2, 0) simult´aneamente.
16. Una mol´ecula de metano CH4, est´a formada por cuatro ´atomos de hidrogeno
en los v´ertices de un tetraedro regular y el ´atomo de carbono en el centroide. El ´angulo
de enlace es el que forma la combinaci´on H − C − H y es el ´angulo entre los segmentos
que unen el ´atomo de carbono con los ´atomos de hidr´ogeno. Calcule el ´angulo de enlace.
Sugerencia: Considere los v´ertices del tetraedro como (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y (1,1,1)
como se muestra en la figura y considere el centroide como el punto
(1
2 , 1
2 , 1
2
)
17. Determine u × v, y demuestre que es ortogonal a u y a v:
17.1) u = (−2, 3, 1), v = (3, −4, 0) 17.2) u = (−2, 0, 1), v = (−6, 0, 3) 17.3) u = (
√
2, 1, 1), v = (3,
√
2, 1)
17.4) u = 2i + 3j + k, v = −i + j + k 17.5) u = (2, −3, 1), v = (1, −2, 1) 17.6) u = (−1, 1, 2), v = (0, 1, 0)
17.7) u = i + j + k, v = 2i + j − k 17.8) u = (−10, 0, 6), v = (7, 0, 0) 17.9) u = −3i + 2j − 5k, v =
(
1
2
, −
3
4
, 1
)
18. Si u = (4, −2, 1), v = (2, −3, 2) y w = (1, −4, 2), determine:
18.1) u × v + w 18.2) u · (v × w) 18.3) u × (v + w) 18.4) u × (v × w)
19. Calcule el producto triple escalar:
19.1) u = i, v = j, w = k 19.2) u = (1, 1, 1), v = (2, 1, 0), w = (0, 0, 1) 19.3) u = (2, 0, 1), v = (0, 3, 0), w = (1, 1, 1)
20. Demuestre las siguientes propiedades del producto vectorial:
20.1) u × v = −v × u 20.2) (λu) × v = u × (λv) = λ(u × v), (λ ∈ R) 20.3) u × (v + w) = u × v + u × w
21. Determine el ´area del tri´angulo con v´ertices: P(1, −1, 2), Q(3, 0, 3) y R(−2, 0, 1).
22. Muestre que el ´area del tri´angulo en el plano con v´ertices (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), tiene ´area igual a la mitad del
valor absoluto del determinante:
1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3
23. Suponga que P y Q son puntos en una recta l del espacio. Sea A un punto que no est´a en l.
23.1) Calcule de dos formas distintas el ´area del tri´angulo APQ para mostrar que la distancia perpendicular de A a la recta
l es:
d =
−→
AP ×
−−→
AQ
−→
PQ
23.2) Utilice est´a f´ormula para calcular la distancia del punto A(1, 0, 1) a la recta que pasa por los puntos P(2, 3, 1) y
Q(−3, 1, 4).
24. Escriba las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto P y es paralela al vector v:
24.1) P(4, −6, 3), v = (2, −1, 5) 24.2) P(3, −4, 5), v = (−2, 7, 3)
24.3) P(4, −13, −3), v = (2, 0, −3) 24.4) P(−1, 3, 2), v = (4, 2, −1)

42. 42
25. Escriba las ecuaciones param´etricas y sim´etricas de la recta que pasa por los puntos P y Q:
25.1) P(0, 0, 0), Q(−6, 3, 5) 25.2) P(3, 5, 7), Q(6, −8, 10)
25.3) P(−2, 0, 3), Q(3, −3, 1)
26. Encuentre las ecuaciones param´etricas y una forma sim´etrica de la recta l, tal que:
26.1) Pasa por los puntos: P(2, 3, 5) y Q(6, −1, 7)
26.2) Pasa por los puntos: P(1, 4, −9) y R(10, 14, −2)
26.3) Pasa por el punto P(−1, 3, 4) y es paralela al vector u = (1, −1, 2)
26.4) Pasa por el punto P(3, −1, −2) y es paralela al vector a = (−12, 13, 2)
26.5) Pasa por el punto P(−1, 2, −3) y es paralela a la recta
x + 2
2
=
y − 1
3
=
z
4
26.6) Pasa por el punto P(−1, 2, −3) y es paralela al eje y
26.7) Pasa por el punto Q(3, 1, −1) y es perpendicular al plano xy
26.8) Pasa por el punto R(1, 4, 1) y es perpendicular a los vectores u = (2, 1, 2) y v = (2, −3, 4)
26.9) Pasa por el punto P(4, 0, 6) y es perpendicular al plano x − 5y + 2z = 10
27. Escriba las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano con ecuaci´on x+y+z = 1.
28. Escriba las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto P(2, −3, 4) y es paralela a la recta con ecuaciones
sim´etricas
x − 1
2
= y − 3 =
z + 1
−1
29. Escriba la ecuaci´on del plano que pasa por P(10, 4, −3) con vector normal n = (7, 11, 0).
30. Escriba la ecuaci´on del plano que pasa por los puntos A(1, 0, −1), B(3, −2, 1) y C(4, −2, 0).
31. Determine las ecuaciones param´etricas de la recta que resulta de la intersecci´on de los planos 2x+y+z = 4 y 3x−y+z = 3.
32. Determine una ecuaci´on para el plano que pasa por P(1, 3, −2) y que contiene a la recta de intersecci´on de los planos
x + y − 3z = 7 y 3x − 2y + 3z − 5 = 0.
33. Sea P un punto en un plano con vector normal n y Q un punto fuera del plano. Pruebe que la distancia de Q al plano
est´a dada por
d =
−→
PQ · n
|n|
luego use este hecho para calcular la distancia del punto Q(1, −
√
3, 0) al plano x + 2y + z = 1.
34. Un tetraedro es un s´olido con cuatro v´ertices P, Q, R y S y cuatro caras triangulares. Suponga que que el tetraedro de
la figura tiene un v´ertice trirectangular S (esto significa que los tres ´angulos de S son rectos).
Sean A, B y C las ´areas de las tres caras que coinciden con S y sea D
el ´area de la cara PQR. Muestre que:
D2
= A2
+ B2
+ C2
(Esta es una versi´on tridimensional del teorema de Pit´agoras)

43. 43
35. Encuentre la ecuaci´on del plano tal que:
35.1) Pasa por el punto P(3, 2, 2) y su vector normal es n = 2i + 3j − k
35.2) Pasa por el punto P(4, 1, −2) y es perpendicular al vector n = (2, 1, 4)
35.3) Pasa por el punto Q(−1, −3, −4) y es perpendicular al vector u = (2, 1, 3)
35.4) Pasa por el punto P(3, 2, 2) y es perpendicular a la recta dada por
x − 1
4
= y + 2 =
z − 3
−3
35.5) Pasa por el punto Q(2, 5, 6) y es perpendicular a la recta dada por x = 2 + 2t, y = 3 + 2t, z = 1 + t, t ∈ R.
35.6) Pasa por los puntos P(0, 0, 0); Q(1, 2, 3) y R(−2, 3, 3)
35.7) Pasa por los puntos P(1, 2, −3); Q(2, 3, 1) y R(0, −2, −1)
35.8) Pasa por los puntos P(1, 2, 3); Q(3, 2, 1) y R(−1, −2, 2)
35.9) Contiene a las rectas:
x − 1
−2
= y − 4 = z y
x − 2
−3
=
y − 1
4
=
z − 2
−1
35.10) Contiene a las rectas:



x = 4t + 2
y = 3 , t ∈ R
z = 1 − t
y



x = 3t + 1
y = 2t + 4 , t ∈ R
z = 1 − t
35.11) Pasa por el punto P(3, 2, 1) y es paralelo a las rectas:



x = 3 + 2t
y = −5 + t , t ∈ R
z = −2 + 4t
y



x = 1 − 3t
y = 1 + 4t , t ∈ R
z = 4 + 2t
35.12) Contiene a la recta



x = 1 + 2t
y = −1 + 3t , t ∈ R
z = 4 + t
y al punto P(1, −1, 5).
35.13) Contiene a la recta



x = 3t
y = 1 + t , t ∈ R
z = 2t
y es paralelo a la intersecci´on de los planos y + z + 1 = 0 y 2x − y + z = 0.
35.14) Pasa por la recta de intersecci´on de los planos
x − z = 1 y y + 2z = 3
y es perpendicular al plano x + y − 2z = 1.
35.15) Pasa por la recta de intersecci´on de los planos
x + y − z = 2 y 2x − y + 3z = 1
y pasa por el punto P(−1, 2, 1).