2. Una elipse se entiende como aquellas formas
geométricas que están formadas por curvas planas
resultantes de la intersección entre una forma
cónica y un plano. Una elipse no es un circulo, si no
que se compone de dos trazos perpendiculares
entre sí de los cuales uno es mayor y otro meno, que
por lo general el trazo vertical es el menor ya que la
elipse suele ser mas extensa horizontal que
verticalmente.
3.
4. Centro: Como su nombre lo indica, es el punto central de la elipse y es donde se intersecan los
ejes mayor y menor.
Focos: Son dos puntos localizados sobre el Eje mayor, no son arbitrarios y entre más parecida sea
una elipse a una circunferencia, la distancia entre ellos se reduce. Si dicha distancia es cero,
entonces la curva es una circunferencia.
Eje mayor: Segmento de recta localizado entre los vértices de la Elipse. Su longitud equivale a la
suma de la distancia de cada foco a un punto cualquiera de la elipse, lo que da pauta a la definición
de este lugar geométrico.
Eje menor: Segmento de recta perpendicular al eje mayor cuyos extremos se localizan sobre la
elipse. Su valor es necesario como dato para poder obtener la ecuación de la elipse.
Lado: Recto Segmento de recta perpendicular al eje mayor, contiene a un foco (cualquiera de los
dos) y sus extremos se localizan sobre la elipse. La longitud del lado recto se denomina ancho
focal.
Vértices: Puntos extremos del eje mayor. Algunos autores también denominan como vértices a los
extremos del eje menor aunque no es muy utilizado.
Excentricidad: Es una cantidad constante para cada elipse, se interpreta como una medida de qué
tan “achatada” es la elipse. Se calcula dividiendo la semidistancia focal (de foco a centro) entre la
longitud del semieje mayor.
5.
6.
7. Supongamos que tienes un telescopio con una forma específica de espejo parabólico, y
deseas diseñar un nuevo espejo elíptico con el vértice en el origen (0,0). La ecuación estándar
de una elipse con el vértice en el origen es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde 𝑎 y 𝑏 son las longitudes de los semiejes mayor y menor respectivamente. En este caso,
el problema es determinar los valores de 𝑎 y 𝑏 que cumplen con las especificaciones para el
nuevo espejo elíptico.
8. Imagina que estás diseñando una pista de atletismo elíptica en un parque, y decides que la
pista debe tener un perímetro de 400 metros. La ecuación estándar de una elipse con el vértice
en el origen es la misma que en el problema anterior:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Pero ahora, el perímetro de la elipse se puede expresar como:
𝑃 = 4𝑎 1 −
𝑏2
𝑎2
1/2
El problema es determinar los valores de 𝑎 y 𝑏 que satisfacen la ecuación de la elipse y al
mismo tiempo cumplen con el requisito del perímetro de 400 metros. Esto implica resolver un
sistema de ecuaciones que combina la ecuación de la elipse y la ecuación del perímetro.
9. Diseñar una piscina elíptica en un patio, con el vértice en el punto (3, −2), y con semiejes de
longitud 𝑎 = 5 y 𝑏 = 3.
La ecuación de una elipse con el vértice en el punto (ℎ, 𝑘) es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
En este caso, con ℎ = 3,𝑘 = −2, 𝑎 = 5 y 𝑏 = 3 la ecuación de la elipse sería:
(𝑥 − 3)2
25
=
(𝑦 + 2)2
9
= 1
Esta ecuación describe la forma de la piscina elíptica en el patio, donde el vértice se encuentra
en el punto (3, −2) y los semiejes tienen longitudes específicas. Puedes ajustar los valores de
ℎ, 𝑘, 𝑎 y 𝑏 según los requisitos específicos del diseño de la piscina.
10. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes elipses.
•
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1
• 𝑦2
+ 4𝑦2
= 16
• 25𝑥2
+ 4𝑦2
− 18𝑦 − 216 = 0
Halla la ecuación de la elipse conociendo:
• 𝐶 0,0 ; 𝐹 2,0 ; 𝐴(3,0)
• 𝐶 −3,2 ; 𝐹 −1,2 ; 𝐴(2,2)
• Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el punto
2,1 y cuyo eje menor mide 4 y se encuentra sobre el eje 𝑌.
• Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:
1,
3
2
; ( 2,
2
2
)
11. Coordenadas de cuerdas de la elipse
• Hallar las coordenadas de la cuerda que intercepta la recta: 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 en la elipse de
ecuación: 𝑥2 + 3𝑦2 = 5.
• Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta: 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
en la elipse de ecuación: 𝑥2 + 2𝑦2 = 3.
