Este documento presenta información sobre la elipse, incluyendo su definición, elementos, propiedades y ecuaciones. Explica cómo encontrar los elementos de una elipse dada su ecuación, y cómo hallar la ecuación dado algunos elementos. Incluye ejemplos resueltos y una prueba formativa con problemas sobre elipses. El objetivo es analizar el concepto de elipse y sus características para estudiantes de quinto año de bachillerato en ciencias.

1. UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTA Y TECNOLOGÍA MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA MATEMÁTICA EDUCATIVA Y NUEVAS TECNOLOGÍAS LA ELIPSE POR: ROBERTO ARIAS RAQUEL ATENCIO EDILMA HIDALGO NIVIA LEZCANO ÁNGEL SOSA A CONSIDERACIÓN DEL MAGÍSTER PAULINO MURILLO 13 DE NOVIEMBRE DE 2004

2. ¡Joven! La figura geométrica a estudiar la podrás relacionar con objetos y realidades presentes en tu entorno.

3. El presente tema el cual titulamos “La Elipse” está elaborado para ustedes jóvenes que cursan el V año del Bachillerato en Ciencias , y el desarrollo del mismo tendrá una duración de una semana, atendiendo las dudas e interrogantes que surjan en el desarrollo y comprensión del tema. Nos enmarcamos en los siguientes objetivos: DESCRIPCIÓN

4. OBJETIVO GENERAL Analizar el concepto de elipse, sus elementos y propiedades.

5. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Definir elipse, sus elementos y propiedades. Encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, dados ciertos elementos y viceversa. Graficar la elipse con centro en el origen, dados ciertos elementos.

6. CONTENIDO La elipse Definición Elementos Propiedades Ecuación de la elipse con centro en el origen. Ejercicios Gráfica Prueba Formativa

7. ACTIVIDADES Lee el texto sobre la elipse sus propiedades y elementos. Indica los elementos de la elipse dada la ecuación con centro en el origen. Menciona algunas propiedades de la elipse. Halla la ecuación de la elipse con centro en el origen, dados ciertos elementos. Dibuja la elipse con centro en el origen.

8. DEFINICIONES DE LA ELIPSE DEFINICIÓN 1 Es la curva que se observa al cortar un cono recto con un plano oblicuo.

9. DEFINICIÓN 2 Es el conjunto de puntos P de un plano cuya suma de las distancias de dos puntos fijos F’ y F es una cantidad constante que se representa por 2a. En otras palabras PF + PF’ = 2a F’ F P

10. ELEMENTOS DE LA ELIPSE Los Puntos F y F’ reciben el nombre de focos. Los puntos de corte de la elipse por la recta que pasa por los focos, V y V’ se llaman vértices. La cuerda que une los vértices se denomina eje mayor, y su punto medio C se denomina centro de la elipse que se denota por C (h , k). La distancia del centro de la elipse a un vértice, CV ó CV’ se llama semieje mayor. La distancia entre los focos FF’ se llama distancia focal. La distancia que separa al centro de cada foco, CF ó CF’ se llama semi distancia focal La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro recibe el nombre de eje menor BB’ La distancia del centro a un extremo menor, CB o CB’ se denomina semieje menor. Las cuerdas que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son los lados rectos de la elipse. Las rectas que están a cada lado de los vértices se denominan directrices, D y D’ V’ V B B’ F’ F C D’ D

11. NOTACIONES Para una mejor comprensión de la elipse utilizaremos las siguientes notaciones: C(0,0) centro el origen, donde h = 0 y k = 0 CF’ = CF= c semi distancia focal FF’= 2c distancia focal CV’= CV = a semi eje mayor VV’ = 2a eje mayor CB’=CB= b semi eje menor BB’ = 2b eje menor B(0,b) B’(0, -b) V(a,0) V’(-a,0) C(0,0) F’(-c,0) F (c,0)

12. PROPIEDADES Algunas de las propiedades de la elipse son: La suma de las distancias que separan un punto P (x, y) de la elipse, de los focos es igual a la longitud del eje mayor. PF + PF’ = 2a Para que haya elipse es necesario que 2a > 2c , o sea, a>c. Es decir, que la distancia de los vértices sea mayor que la distancia de los focos. El cuadrado del semieje mayor es igual a la suma de los cuadrados del semieje menor y de la semi distancia focal. Es decir que: Esta propiedad es importante, pues a través de ella si conocemos dos valores de a , b o c , podemos hallar el tercer valor desconocido.

13. OTRAS PROPIEDADES La longitud del lado recto se designa por: El cociente entre la distancia focal y el eje mayor se denomina excentricidad (achatamiento de la elipse) con la condición de 0< e < 1

14. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE MAYOR SOBRE EL EJE X C(0, 0) F’( -c,0) y F( c,0) V’( -a,0) y V(a,0) B’(0, -b) y B(0,b) Ecuaciones de la directriz: Para D’ es x=-a/e Para D es x= a/e B (o, b) B’(0, -b) V’ (-a, 0) V (a, 0) F’(-c,0) F( c,0) D’ D C(0,0)

15. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE MAYOR SOBRE EL EJE Y C(0, 0) F’(0, -c) y F( 0,c) V’( 0,-a) y V(0,a) B’(-b,0) y B(b,0) Ecuaciones de la directriz: Para D’ es y=-a/e Para D es y= a/e C(0,0) F(0, c) F’( 0, -c) V(0, a) V’(0, -a) B’(-b, 0) B( b, 0) D’ D

16. PROBLEMAS RESUELTOS A continuación participarás de la resolución de algunos problemas. En la medida que se explica si no haz captado ciertos conceptos pregunta, ¡ no te quedes con dudas.! EJEMPLO 1: D ada la ecuación de la elipse encuentra los principales elementos. ¿Cuál es el centro de la elipse? Observa la ecuación y te ayudará a obtener la respuesta. Si haz analizado, el centro está en el origen, o sea, C(0, 0) Compara la ecuación de la elipse con la ecuación dada. ¿Qué observas? ¿Qué puedes decir al respecto?, ¿ Recuerdas que el semieje mayor tiene mayor longitud que el semieje menor?, o sea, a > b , luego, Por lo tanto, y entonces a = 4 (longitud del semieje mayor) 2a = 8 (longitud del eje mayor ) y b = 3 (longitud del semieje menor) 2b= 6 (longitud del eje menor)

17. CONTINUACIÓN Hay que hallar el valor de la semidistancia focal c. ¿Cuál propiedad crees que te ayudará? Si haz estudiado bien el texto te darás cuenta que a través de la propiedad encontrarás la respuesta. Es decir y es la semidistancia focal Luego, es la distancia focal.

18. SIGAMOS CON EL CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS: Ahora con los valores de a , b y c podemos calcular los demás elementos. Como ya sabes que el eje mayor está sobre el eje x, los vértices y los focos son: V(-a, 0) , V(a, 0) y F(-c, 0), F(c, 0) respectivamente. Es decir: V(-4, 0) , V(4, 0) y F(- 2.6 , 0) , F(2.6 , 0) Las intersecciones con el eje menor son: B(0, -b) y B(0, b), es decir B(0, -3) y B(0, 3) Excentricidad e = c/a , o sea , e = 2.6/4 = 0.6 Lado recto luego Las ecuaciones de las directrices cuando el eje mayor está sobre el eje x son: Si reemplazas los valores de a y e y resuelves encontramos que: De esta forma hemos resuelto el ejercicio. ¡VÍSTES QUÉ FÁCIL!

19. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE MÉTODO DE PUNTOS Te invitamos a dibujar la elipse . Necesitas hoja cuadriculada compás regla lápiz y mucho entusiasmo

20. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE MÉTODO DE LOS PUNTOS A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse dividimos el eje mayor VV’ en segmentos complementarios cuya suma es 2a. V1 + 1V’ = V2 +2V’ = V3 + 3V’ = 2a De un mismo punto. Hallamos los puntos que distan V1 de un foco y 1V’ del otro, y así con los demás segmentos. Luego unimos los puntos manualmente, hasta dibujar la elipse V V’ B’ B F F’ 1 2 3

21. AL APLICAR EL MÉTODO DE PUNTOS PASO A PASO Y CON AYUDA DEL CENTRO, LOS VÉRTICES , FOCOS Y LOS EXTREMOS DEL EJE MENOR, OBTENEMOS LA GRÁFICA DEL EJEMPLO 1 DESARROLLADO PREVIAMENTE. V’(-4,0) v(4, 0) B(0,3) B’(0,-3) C(0,0) F’(-2.6,0) F(2.6,0) x y X=-6.6 X= 6.6

22. CON HOJA DE PAPEL TAMBIÉN PODEMOS CONSTRUIR LA ELIPSE. Construye la elipse utilizando papel blanco encerado. ¡Hazlo, anímate ! Aquí están los pasos. Dibuja una circunferencia en una hoja de papel. Dibuja un punto dentro de la circunferencia (que no coincida con el centro). Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado. Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El punto dibujado es uno de los focos, el otro foco es el centro de la circunferencia. ¡ MUY BIEN ! , ¿ VEZ QUE PUDISTES ?

23. EJEMPLO 2 Encuentra la ecuación de la elipse de forma que satisfaga la siguiente condición. Focos F’(0,-8) y F(0,8),vértices V’(0,-17) y V(0, 17) Observa las formas de los focos y de los vértices. ¿A qué ecuación de la elipse corresponden? ¿Qué opinas? Si analizas son de la forma. F’(0,-c) , F’(0,c) y V’(0,-a), V(0, a) donde el eje mayor está sobre el eje de las Y. Por lo que la ecuación es de la forma: Si ya tienes las coordenadas de los focos y los vértices entonces Cuáles son los valores de a y de c ? ¡Claro!, son a = 17 y c = 8 Calculamos a través de la fórmula Por lo tanto la ecuación pedida es:,

24. PRUEBA FORMATIVA Después de haber realizado la lectura sobre la elipse con centro en el origen, resuelve los siguientes problemas: I. Hallar los elementos de las siguientes elipses (centro, vértices, extremos del eje menor, focos, lado recto, excentricidad, directrices), y dibuja la curva correspondiente. 1) 2) II. Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dados los siguientes elementos. 3) Tiene centro el origen y un vértice en V(-3,0) y un extremo del eje menor en B(0,2) 4) Tiene centro en el origen, y uno de sus vértices es el punto V(0, 8) y el lado recto es 4; y el eje mayor está sobre el eje Y. 5) Los focos están en F(0, -5) y F(0, 5), y la suma de las distancias a los focos desde un punto cualquiera de la elipse es 14 Si has tenido alguna dificultad, ¡no te desanimes! Vuelve a leer el texto . En caso contrario , sigue adelante . ¡ FELICIDADES!

25. BIBLIOGRAFÍA KINDLE, H Joseph, GEOMETRÍA ANALÍTICA , McGraw-Hill impreso en México 1991, 150 Págs. FUENLEBRADA, Samuel, GEOMETRÍA ANALÍTICA , McGraw-Hill, segunda edición, impreso en México 2000, 221 Págs. http:// soko.com.ar/mctem/matematica/conicas.htm http://www.dynamics.unam.edu/preparatoria8/conicas/elipse