El documento define la elipse geométricamente como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Explica los elementos básicos de la elipse como focos, ejes, centro y radios vectores. Luego presenta las ecuaciones canónicas de la elipse en diferentes configuraciones, incluyendo ejemplos numéricos para ilustrar su uso. Finalmente, introduce la ecuación general de la elipse.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U.E Colegio “Del Santísimo”
Barquisimeto-Edo Lara
Integrantes :
Daniela Castañeda #12
Michelle vasquez#18
Leonardo peña#32

2. Definición de la Elipse
 La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un
plano tales que la suma de las distancia a dos puntos
dados de dicho plano, llamado focos, es constante.
Para ilustrar la definición anterior, se mostrara la siguiente
grafica:
Es decir, si P es un punto de la elipse, entonces PF = PF’

3. Elementos de la Elipse
 Focos
 Eje focal
 Eje secundario
 Centro
 Radios vectores
 Distancia focal
 Vértices
 Eje mayor
 Eje menor
 Ejes de simetría
 Centro de simetría

4. La elipse puede construirse empleando una cuerda y
dos clavos. Se coloca un clavo en cada foco y los
extremo de una cuerda de longitud 2ª se fijan a los
clavos, luego, con lápiz o algo que permita hacer el
trazo, se mantiene la cuerda tirante y se va desplazando
para describir la cuerda. En todo momento, la suma de
la distancia del punto a cada foco es igual a la longitud
de la cuerda: 2a

5. Ecuación canónica de la Elipse con vértice en (0,0) y
eje focal sobre el eje “x”.
 Se considera inicialmente una elipse con centro en el
origen del sistema coordenado, y con el eje focal
coincidiendo con el eje x
Los focos f y f’ están sobre el eje x y como el origen es
punto medio del segmento ff’, las coordenadas de f y f’
son , respectivamente, (c,0) y (-c,0), c un numero real
positivo.

6. Según la definición, para cualquier punto p(x,y), de la
elipse se tiene:
Por la formula de distancia entre dos puntos, obtenida
anteriormente.
Remplazando estas dos expresiones en (1). Se obtiene:

7. Se divide por 4:
Ahora, elevando de nuevo al cuadrado se consigue una
expresión mas simple:

8. Reordenando y factorizando:
(2)
Como a > c, entonces por lo
Tanto, esta diferencia puede
Ser remplazado por un
Numero b2, asi..

9. Y al sustituir este valor en la ecuación (2) :

10. La cual puede dividirse por a2 b2 para obtener
finalmente:
Que es la ecuación canónica de una elipse con centro
en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x

11. Ecuación canónica de la Elipse con vértice en (0,0) y
eje focal sobre el eje “y”.
 Si la grafica de la elipse muestra su eje focal sobre el eje
Y, y las coordenadas de los focos son (0,c) y (0,-c),
 Donde a es la longitud del semieje mayor y b es la
longitud del semieje menor, ligados mediante la
relación:

12. De modo semejante, puede obtenerse la ecuación de
la elipse con centro en el origen y cuyo eje focal
coincide con el eje y , en cuyo caso la coordenadas
de lo focos son (0,c) y f(-c,0) y la ecuación que se
obtiene es:

13. Ecuación canónica de la Elipse con vértice en (h,k)
y eje focal paralelo al eje “x”.
Ahora, se considera una elipse con centro en el punto
P(h,k) y eje focal paralelo con el eje x sean 2ª y 2b las
longitudes de los ejes mayor y menor respectivamente.
Si se trasladan los ejes coordenados de modo que el
nuevo origen o’ coincida con el punto P(h,k), entonces,
la ecuación de la elipse referida al sistema coordenado
x’ y’ es

14. Como ahora la elipse tiene su centro en el origen o’,
empleando las ecuaciones de traslación se refiere la
elipse al sistema x y, y así se habrá obtenido la
ecuación en el sistema de coordenadas original.
X = x’ + h, y = y’ + k
Por tanto :
x’ = x – h, y’ = y – k
Remplazando se obtiene:

15. Ecuación canónica de la Elipse con vértice en (h,k) y
eje focal paralelo al eje “y”.
Esta ecuación corresponde a una elipse de centro (h,k)
y eje principal paralelo al eje x. de la misma manera
puede deducir la ecuación de la elipse de centro (h,k) y
eje principal paralelo con el eje y

16. Ejercicio de Ecuación canónica de la Elipse con
vértice en (0,0) y eje focal sobre el eje “x”.
• La orbita de la tierra es una elipse con el sol en
uno de sus focos. La longitud del eje mayor es de
299.274.000km y la excentricidad es 0,00167.
hallar las distancia de los extremos del eje mayor
al sol (máximo y mínima distancia de la tierra al
sol).

17. C/A = 0,0167
De donde:
C = A x 0,0167
Y como a es la mitad de la longitud del eje mayor, se
tiene:
C = 299.274.000/2 x 0.0167 = 2.498.937km
La distancia máxima será igual a la longitud del
semieje mayor mas la distancia del centro al sol (foco),
y la mínima es igual a la longitud del semieje mayor
menor la distancia del centro al sol

18. Distancia máxima de la tierra al sol: 149.637.000 +
2.498.937.9 = 152.135.937.9 km.
Distancia mínima de la tierra al sol: 149.637.000 –
2.498.937.9 = 147.188.062.1 km

19. Ejercicio de Ecuación canónica de la Elipse con vértice
en (0,0) y eje focal sobre el eje “y”.
Hallar la ecuación de la elipse cuyo vértices son los
puntos (0,8), (0,-8) y cuyos focos son los puntos (0,6)
y (0,-6)
Como los vértices equidistan del origen corresponde
a una elipse de centro al origen de coordenadas y
como los focos están sobre el eje y, su eje principal
coincide con el eje y, por consiguiente, se emplea la
ecuación, con a=8, b=6 y, por tanto:
B2 =(64 – 36) = 28

20. En consecuencia, la ecuación es:
En la ecuacion 16x(2) + 25y(2) = 400 hallar las
coordenadas de los vertices y de los focos, las
longitudes de los ejes mayor y menor y la longitud
del lado recto. Tranzan una curva.

21. Primero se lleva la ecuación a la forma canónica,
para ello se divide en ambos miembros de la igualdad
por 400:
De donde a:5, b:4 y la elipse tiene su eje sobre el eje
x( el cuadrado del semieje mayor es el denominador
de x2). Por consiguiente, c=3 y asi las coordenadas
de los vertices son (5,0) y (5,0); las cordenadas de
los focos son (3,0) y (-3,0)

22. La longitud del eje mayor es 10, la longitud del eje
menor 8 y la longitud del lado recto:

23. Ecuación general de la Elipse
Esta es la ecuación general de la elipse:
cuando el centro de una elipse horizontal o vertical se
halla en el origen, su ecuación adopta la forma mas
sencilla: