Este documento describe las características geométricas de una elipse. Explica que una elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos fijos es constante. Define términos como centro, vértices, focos, ejes de simetría, excentricidad y presenta las ecuaciones canónicas de una elipse horizontal y vertical. Además, resuelve un ejemplo completo determinando estas características para una elipse dada.

1. LA ELIPSE
Por:
Andrés Felipe Domínguez Velasco
Dumer Guzmán Peña
Juan Manuel Fonseca Chirivi
Ledy Margoth Chilito Mamian
Nikol Selene Quintero Klinge
Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
presentado a:
Karina Tello
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Diciembre 2023

2. SECCIÓN CÓNICA
Se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las
diferentes intersecciones entre un cono y un plano.

3. ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las
distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
 El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor 𝐶=(ℎ,𝑘)
 Vértice: Cada punto final del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices) y cada
punto final del eje menor es un covértice de la elipse 𝑣1=(ℎ−𝑎,𝑘) 𝑣2=(ℎ+𝑎,𝑘) 𝑣3=(𝑘−𝑏,ℎ) 𝑣
4=(𝑘+𝑏,ℎ)
 Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. 𝐹
1=(ℎ−𝑐,𝑘) 𝐹2=(ℎ+𝑐,𝑘)
 Ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor, y el eje más corto se llama eje
menor
 La excentricidad ε (épsilon) es la razón entre su semidistancia focal, denominada por la
letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno. 𝑒 =
𝑐
𝑎

4. Es la expresión algebraica de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la
recta corta a cada uno de los ejes coordenados.
𝒙
𝒂
+
𝒚
𝒃
= 𝟏
Ejemplo:
𝒙𝟐
𝟏𝟔
+
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟏
ECUACIÓN CANÓNICA

5. ELIPSES HORIZONTALES
La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, (0, 0), y en la
que su eje mayor es paralelo al eje x es:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Ejemplo:
(𝑥−6)2
60
+
(𝑦+9)2
30
= 1

6. ELIPSES VERTICALES
La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, (0, 0), y en la
que su eje mayor es paralelo al eje y es:
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
Ejemplo:
(𝑥−12)2
4
+
(𝑦+8)2
24
= 1

7. EJEMPLO
Dada la siguiente elipse dar, en cada caso, las
coordenadas del centro, de los vértices, los focos,
la excentricidad y la gráfica
(𝑥 − 5)2
16
+
(𝑦 + 2)2
25
= 1

8. SOLUCIÓN
(𝑥 − 5)2
16
+
(𝑦 + 2)2
25
= 1
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 + 𝑘)2
𝑎2
= 1 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑎2 = 25
𝑎 = 25
𝑎 = 5
Centro
𝐶 = ℎ, 𝑘
𝐶 = 5, −2
𝑏2 = 16
𝑏 = 16
𝑏 = 4
Semieje mayor: 𝑎 = 5
Semieje menor: 𝑏 = 4
ℎ = 5
𝑘 = −2

9. VERTICES
𝑣1 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎)
𝑣1 = (5, −2 − 5)
𝑣1 = (5, −7)
𝑣2 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎)
𝑣2 = (5, −2 + 5)
𝑣2 = (5,3)
𝑣3 = (ℎ − 𝑏, 𝑘)
𝑣3 = (5 − 4, −2)
𝑣3 = (1, −2)
𝑣4 = (ℎ + 𝑏, 𝑘)
𝑣4 = (5 + 4, −2)
𝑣4 = (9, −2)

10. FOCOS
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝒄𝟐 = (𝟓)𝟐−(𝟒)𝟐
𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔
𝒄𝟐
= 𝟗
𝒄 = 𝟗
𝒄 = 𝟑
𝑭𝟏 = (𝒉, 𝒌 − 𝒄)
𝑭𝟏 = (𝟓, −𝟐 − 𝟑)
𝑭𝟏 = (𝟓, −𝟓)
𝑭𝟐 = (𝒉, 𝒌 + 𝒄)
𝑭𝟐 = (𝟓, −𝟐 + 𝟑)
𝑭𝟐 = (𝟓, 𝟏)

11. EXCENTRICIDAD
𝑒 =
𝑐
𝑎
𝑒 =
3
5
𝑒 = 0.6

12. GRAFICA

13. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Real, M. (2010). Secciones
Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.
Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas
237 – 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583

14. GRACIAS