Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica las definiciones, gráficas, dominios y campos de valores de funciones exponenciales de la forma f(x) = abx, donde a y b son constantes. También cubre propiedades básicas como que todas las gráficas pasan por el punto (0,1) y que el eje x es una asíntota horizontal. Además, presenta aplicaciones como el crecimiento bacteriano exponencial y el decaimiento radiactivo. Por último, define funciones logarít
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la forma estándar de funciones exponenciales y logarítmicas, sus gráficas y comportamientos, dominio y rango, propiedades básicas, leyes de exponentes, y aplicaciones como el crecimiento bacteriano y decaimiento radiactivo.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales. Explica qué son pares ordenados, el plano cartesiano, producto cartesiano, relaciones binarias y funciones. Define dominio, rango y regla de correspondencia para funciones. Finalmente, muestra cómo calcular el dominio y rango de funciones reales de variable real.
El documento explica conceptos básicos sobre polinomios como su definición, grado, raíces, división y factorización. Describe métodos para factorizar polinomios incluyendo el uso de raíces reales y complejas, y el método de Ruffini para encontrar raíces enteras. Finalmente, indica que no existe una fórmula general para resolver ecuaciones de grado superior a cuatro.
Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra como constantes, variables, expresiones matemáticas, notación matemática y polinomios. Explica que un polinomio es una expresión que combina variables y/o constantes mediante adiciones, sustracciones, multiplicaciones y potenciaciones donde los exponentes de las variables son enteros positivos. También define polinomios de una y más variables, así como polinomios lineales y cuadráticos.
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x según un polinomio. Detalla las funciones polinómicas básicas de grado 0 a 3 y presenta ejercicios de ecuaciones polinómicas. Luego describe las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, incluyendo sus características como dominio, recorrido y asintotas. Finalmente explica cómo encontrar la función inversa
Este documento presenta varios temas relacionados con cálculo I. Incluye problemas sobre números reales como decimales periódicos, números racionales e irracionales. También cubre conceptos de funciones como dominio, imagen, continuidad y límites. Finalmente, introduce temas de continuidad como puntos fijos, ecuaciones y gráficas de funciones.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la forma estándar de funciones exponenciales y logarítmicas, sus gráficas y comportamientos, dominio y rango, propiedades básicas, leyes de exponentes, y aplicaciones como el crecimiento bacteriano y decaimiento radiactivo.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales. Explica qué son pares ordenados, el plano cartesiano, producto cartesiano, relaciones binarias y funciones. Define dominio, rango y regla de correspondencia para funciones. Finalmente, muestra cómo calcular el dominio y rango de funciones reales de variable real.
El documento explica conceptos básicos sobre polinomios como su definición, grado, raíces, división y factorización. Describe métodos para factorizar polinomios incluyendo el uso de raíces reales y complejas, y el método de Ruffini para encontrar raíces enteras. Finalmente, indica que no existe una fórmula general para resolver ecuaciones de grado superior a cuatro.
Este documento trata sobre conceptos básicos de álgebra como constantes, variables, expresiones matemáticas, notación matemática y polinomios. Explica que un polinomio es una expresión que combina variables y/o constantes mediante adiciones, sustracciones, multiplicaciones y potenciaciones donde los exponentes de las variables son enteros positivos. También define polinomios de una y más variables, así como polinomios lineales y cuadráticos.
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x según un polinomio. Detalla las funciones polinómicas básicas de grado 0 a 3 y presenta ejercicios de ecuaciones polinómicas. Luego describe las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, incluyendo sus características como dominio, recorrido y asintotas. Finalmente explica cómo encontrar la función inversa
Este documento presenta varios temas relacionados con cálculo I. Incluye problemas sobre números reales como decimales periódicos, números racionales e irracionales. También cubre conceptos de funciones como dominio, imagen, continuidad y límites. Finalmente, introduce temas de continuidad como puntos fijos, ecuaciones y gráficas de funciones.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones par e impar, funciones polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas. Explica que una función par cumple f(x)=f(-x), mientras una función impar cumple f(-x)=-f(x). También define funciones polinómicas como aquellas de la forma f(x)=P(x) donde P(x) es un polinomio, y funciones racionales como f(x)=P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x
Este documento introduce las funciones exponenciales y logarítmicas. Primero analiza las funciones exponenciales mediante el ejemplo de crecimiento poblacional. Luego introduce las ecuaciones exponenciales y la función logarítmica como la función inversa de la exponencial. Finalmente, presenta ejemplos y actividades para practicar el uso de estas funciones.
El documento resume las leyes de exponentes. 1) Explica que los exponentes se rigen por normas llamadas leyes de exponentes. 2) Divide las leyes en tres partes: leyes de exponentes I, II y III. 3) Detalla algunas leyes como la del exponente cero, uno, de exponentes, negativo y potencia de potencia. El objetivo es capacitar al estudiante en el uso de las leyes de exponentes para resolver problemas.
1) El documento describe diferentes tipos de funciones como funciones inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas inversas. 2) Incluye definiciones de funciones inversas y cómo determinar si dos funciones son inversas, así como ejemplos y gráficas. 3) También explica conceptos como funciones logarítmicas, funciones exponenciales y sus inversas, y cómo resolver ecuaciones que involucran estas funciones.
Este documento presenta las cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos a través de definiciones, ejemplos y ejercicios. Las leyes describen las operaciones de multiplicación, división, elevación a potencia y radicación que se pueden realizar con términos exponentes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar correctamente estas leyes al resolver operaciones algebraicas.
1) El documento define una expresión algebraica y proporciona ejemplos de diferentes tipos de expresiones.
2) Explica que un término es cada parte de una expresión separada por signos de suma o resta, y que términos semejantes comparten las mismas variables con los mismos grados.
3) Describe cómo sumar y restar expresiones algebraicas combinando términos semejantes, y cómo multiplicar expresiones usando la propiedad distributiva.
Este documento describe las propiedades fundamentales de los números reales. Primero, enumera nueve axiomas (A1-A9) que definen a los números reales como un cuerpo algebraico. Luego, presenta cuatro axiomas adicionales (B1-B4) que describen el orden de los números reales. Finalmente, enuncia el axioma de completitud, el cual establece que todo subconjunto no vacío acotado superiormente de números reales tiene un supremo.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la factorización de polinomios, incluyendo la factorización de números naturales, la definición de polinomios reductibles e irreducibles, y los diferentes tipos de factores como factores algebraicos, primos y comunes. Además, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar los métodos de factorización como la obtención de factores comunes y la factorización de la diferencia de cuadrados.
Este documento presenta información sobre ecuaciones exponenciales. Explica diferentes tipos de ecuaciones exponenciales como ecuaciones con potencias, radicales, sumas y productos de bases iguales y bases diferentes. También incluye ejemplos resueltos de cada tipo y una sección de problemas para practicar la resolución de ecuaciones exponenciales.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define qué son las expresiones algebraicas y cómo se clasifican en racionales e irracionales. Explica qué son los polinomios, cómo se denotan y cómo calcular el valor numérico de un polinomio al reemplazar valores en las variables. Proporciona ejemplos de diferentes tipos de problemas para obtener el valor numérico.
Este documento describe 7 leyes de exponentes. Resume las leyes principales de la siguiente manera:
1) La primera ley establece que cuando se multiplican potencias con la misma base, se suma los exponentes.
2) La segunda ley indica que cuando se dividen potencias con la misma base, se restan los exponentes.
3) La tercera ley expresa que cualquier base elevada a la potencia cero es igual a uno.
Este documento describe las funciones inyectivas y sus funciones inversas. Explica que una función es inyectiva si cada valor de salida tiene un único valor de entrada correspondiente. Muestra cómo encontrar la función inversa de una función uno a uno intercambiando las variables x e y. También define la función logarítmica, sus propiedades y leyes logarítmicas.
1) Las expresiones exponenciales describen el crecimiento exponencial de células al dividirse, como 2x células en la reproducción x. Las funciones exponenciales y logarítmicas están relacionadas, donde el logaritmo representa el exponente al que se eleva la base para obtener el número.
2) Las propiedades clave de las funciones exponenciales y logarítmicas incluyen sumar exponentes, dividir bases elevadas a exponentes, y cambiar entre sistemas logarítmicos usando las bases 10, e,
Este documento presenta un resumen de los números complejos. En primer lugar, introduce los números complejos, definidos como números de la forma a + bi, donde a es la parte real y b la parte imaginaria. Luego, clasifica los números complejos y explica cómo representarlos de forma cartesiana y polar. Finalmente, resume las operaciones básicas que se pueden realizar con números complejos, como adición, multiplicación, división y potenciación.
El documento presenta los conceptos fundamentales de la derivación, incluyendo la definición de tangente y pendiente, las reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales, y ejemplos de problemas de derivación.
Este documento presenta 16 problemas sobre números reales y conjuntos de números reales. Los problemas incluyen demostraciones sobre la racionalidad e irracionalidad de expresiones, propiedades de conjuntos acotados y sus supremos e ínfimos, y funciones definidas sobre subconjuntos de los reales.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Luego presenta la historia del desarrollo de los diferentes tipos de números como naturales, racionales e irracionales por diferentes civilizaciones. Finalmente, define los principales axiomas y teoremas relacionados con los números reales.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para evaluar las destrezas previas de los estudiantes en estándares como numeración y operaciones, medición y álgebra. Los ejercicios incluyen clasificar números, graficar en rectas numéricas, efectuar operaciones, identificar propiedades, simplificar expresiones, resolver ecuaciones y problemas de la vida real. El documento provee las respuestas a los ejercicios para que los estudiantes puedan evaluar su comprensión de los conceptos matemáticos fundamentales.
Prontuario mate en accion reglamento internetCarmen Batiz
Este documento contiene la información sobre un curso de matemáticas en la Escuela University Gardens. El curso se centra en el álgebra y se impartirá durante un semestre. Cubrirá temas como funciones cuadráticas, polinómicas, exponenciales y logarítmicas. El curso tendrá énfasis en la resolución de problemas y representaciones matemáticas. Los estudiantes serán evaluados a través de pruebas individuales y proyectos, y se espera que obtengan objetivos relacionados con conceptos algebraicos y de geome
El documento presenta el contenido de la unidad sobre triángulos rectángulos. Introduce el teorema de Pitágoras y cómo demostrarlo geométrica y algebraicamente. Explica cómo determinar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo usando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. También define distintos triángulos especiales como el 300-600-900 y el 450-450-900 y sus propiedades.
Este documento contiene la información sobre un curso de Álgebra Superior en la Escuela University Gardens. Incluye una descripción del curso, objetivos, contenido dividido en seis unidades principales, sistema de evaluación basado en pruebas individuales y assesssment, curva de calificaciones, materiales necesarios, y reglamentos para los estudiantes y el registro de calificaciones.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones par e impar, funciones polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas. Explica que una función par cumple f(x)=f(-x), mientras una función impar cumple f(-x)=-f(x). También define funciones polinómicas como aquellas de la forma f(x)=P(x) donde P(x) es un polinomio, y funciones racionales como f(x)=P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x
Este documento introduce las funciones exponenciales y logarítmicas. Primero analiza las funciones exponenciales mediante el ejemplo de crecimiento poblacional. Luego introduce las ecuaciones exponenciales y la función logarítmica como la función inversa de la exponencial. Finalmente, presenta ejemplos y actividades para practicar el uso de estas funciones.
El documento resume las leyes de exponentes. 1) Explica que los exponentes se rigen por normas llamadas leyes de exponentes. 2) Divide las leyes en tres partes: leyes de exponentes I, II y III. 3) Detalla algunas leyes como la del exponente cero, uno, de exponentes, negativo y potencia de potencia. El objetivo es capacitar al estudiante en el uso de las leyes de exponentes para resolver problemas.
1) El documento describe diferentes tipos de funciones como funciones inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas inversas. 2) Incluye definiciones de funciones inversas y cómo determinar si dos funciones son inversas, así como ejemplos y gráficas. 3) También explica conceptos como funciones logarítmicas, funciones exponenciales y sus inversas, y cómo resolver ecuaciones que involucran estas funciones.
Este documento presenta las cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos a través de definiciones, ejemplos y ejercicios. Las leyes describen las operaciones de multiplicación, división, elevación a potencia y radicación que se pueden realizar con términos exponentes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar correctamente estas leyes al resolver operaciones algebraicas.
1) El documento define una expresión algebraica y proporciona ejemplos de diferentes tipos de expresiones.
2) Explica que un término es cada parte de una expresión separada por signos de suma o resta, y que términos semejantes comparten las mismas variables con los mismos grados.
3) Describe cómo sumar y restar expresiones algebraicas combinando términos semejantes, y cómo multiplicar expresiones usando la propiedad distributiva.
Este documento describe las propiedades fundamentales de los números reales. Primero, enumera nueve axiomas (A1-A9) que definen a los números reales como un cuerpo algebraico. Luego, presenta cuatro axiomas adicionales (B1-B4) que describen el orden de los números reales. Finalmente, enuncia el axioma de completitud, el cual establece que todo subconjunto no vacío acotado superiormente de números reales tiene un supremo.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la factorización de polinomios, incluyendo la factorización de números naturales, la definición de polinomios reductibles e irreducibles, y los diferentes tipos de factores como factores algebraicos, primos y comunes. Además, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar los métodos de factorización como la obtención de factores comunes y la factorización de la diferencia de cuadrados.
Este documento presenta información sobre ecuaciones exponenciales. Explica diferentes tipos de ecuaciones exponenciales como ecuaciones con potencias, radicales, sumas y productos de bases iguales y bases diferentes. También incluye ejemplos resueltos de cada tipo y una sección de problemas para practicar la resolución de ecuaciones exponenciales.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define qué son las expresiones algebraicas y cómo se clasifican en racionales e irracionales. Explica qué son los polinomios, cómo se denotan y cómo calcular el valor numérico de un polinomio al reemplazar valores en las variables. Proporciona ejemplos de diferentes tipos de problemas para obtener el valor numérico.
Este documento describe 7 leyes de exponentes. Resume las leyes principales de la siguiente manera:
1) La primera ley establece que cuando se multiplican potencias con la misma base, se suma los exponentes.
2) La segunda ley indica que cuando se dividen potencias con la misma base, se restan los exponentes.
3) La tercera ley expresa que cualquier base elevada a la potencia cero es igual a uno.
Este documento describe las funciones inyectivas y sus funciones inversas. Explica que una función es inyectiva si cada valor de salida tiene un único valor de entrada correspondiente. Muestra cómo encontrar la función inversa de una función uno a uno intercambiando las variables x e y. También define la función logarítmica, sus propiedades y leyes logarítmicas.
1) Las expresiones exponenciales describen el crecimiento exponencial de células al dividirse, como 2x células en la reproducción x. Las funciones exponenciales y logarítmicas están relacionadas, donde el logaritmo representa el exponente al que se eleva la base para obtener el número.
2) Las propiedades clave de las funciones exponenciales y logarítmicas incluyen sumar exponentes, dividir bases elevadas a exponentes, y cambiar entre sistemas logarítmicos usando las bases 10, e,
Este documento presenta un resumen de los números complejos. En primer lugar, introduce los números complejos, definidos como números de la forma a + bi, donde a es la parte real y b la parte imaginaria. Luego, clasifica los números complejos y explica cómo representarlos de forma cartesiana y polar. Finalmente, resume las operaciones básicas que se pueden realizar con números complejos, como adición, multiplicación, división y potenciación.
El documento presenta los conceptos fundamentales de la derivación, incluyendo la definición de tangente y pendiente, las reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales, y ejemplos de problemas de derivación.
Este documento presenta 16 problemas sobre números reales y conjuntos de números reales. Los problemas incluyen demostraciones sobre la racionalidad e irracionalidad de expresiones, propiedades de conjuntos acotados y sus supremos e ínfimos, y funciones definidas sobre subconjuntos de los reales.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Luego presenta la historia del desarrollo de los diferentes tipos de números como naturales, racionales e irracionales por diferentes civilizaciones. Finalmente, define los principales axiomas y teoremas relacionados con los números reales.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para evaluar las destrezas previas de los estudiantes en estándares como numeración y operaciones, medición y álgebra. Los ejercicios incluyen clasificar números, graficar en rectas numéricas, efectuar operaciones, identificar propiedades, simplificar expresiones, resolver ecuaciones y problemas de la vida real. El documento provee las respuestas a los ejercicios para que los estudiantes puedan evaluar su comprensión de los conceptos matemáticos fundamentales.
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Este documento contiene la información sobre un curso de matemáticas en la Escuela University Gardens. El curso se centra en el álgebra y se impartirá durante un semestre. Cubrirá temas como funciones cuadráticas, polinómicas, exponenciales y logarítmicas. El curso tendrá énfasis en la resolución de problemas y representaciones matemáticas. Los estudiantes serán evaluados a través de pruebas individuales y proyectos, y se espera que obtengan objetivos relacionados con conceptos algebraicos y de geome
El documento presenta el contenido de la unidad sobre triángulos rectángulos. Introduce el teorema de Pitágoras y cómo demostrarlo geométrica y algebraicamente. Explica cómo determinar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo usando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. También define distintos triángulos especiales como el 300-600-900 y el 450-450-900 y sus propiedades.
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El documento describe un proyecto educativo implementado en el jardín de infantes Cristóbal Colón en Montería, Colombia. El proyecto, titulado "Mi Entorno social y cultural", busca que los estudiantes exploren y aprendan sobre su barrio, ciudad y cultura a través de visitas, actividades y tareas colaborativas. El proyecto se implementa a lo largo de varias fases que incluyen la planificación, ejecución y evaluación de actividades para promover un aprendizaje integral de los estudiantes.
Beautiful Mind Preguntas Sobre La PelíCulaCarmen Batiz
La película Beautiful Mind narra la vida del matemático John Forbes Nash Jr. desde la década de 1940 hasta mediados de la década de 1990. La trama se desarrolla principalmente en la Universidad de Princeton, donde Nash realizó contribuciones pioneras en teoría de juegos y economía. Sin embargo, también luchó contra la esquizofrenia paranoide durante gran parte de su vida, lo que afectó su trabajo y relaciones personales. A pesar de sus desafíos mentales, Nash finalmente recibió el Premio Nobel de Economía en 1994 por sus
Este documento presenta un repaso acumulativo de matemáticas que incluye 12 pares de ecuaciones y gráficas para emparejar, y una fecha límite para la entrega del trabajo. El estudiante debe mostrar todos los cálculos en una hoja aparte y de forma ordenada.
El documento describe los criterios de evaluación para un portafolio de matemáticas que los estudiantes deben crear. Los estudiantes incluirán una autobiografía, reflexiones sobre los temas cubiertos en clase, trabajos y exámenes. El portafolio será evaluado en áreas como presentación, organización, contenido y relevancia con la carrera profesional del estudiante.
Este documento describe las funciones racionales. Define una función racional como una expresión donde el numerador y denominador son polinomios y el denominador no es cero. Explica el dominio, simplificación, multiplicación, división, suma y resta de funciones racionales, y cómo resolver ecuaciones y graficar funciones racionales.
Este documento presenta las propiedades y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Se explican las formas estándar y vértice de una ecuación cuadrática, así como métodos para resolverlas como factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También se cubren conceptos como discriminante, raíces reales e imaginarias. Por último, incluye ejercicios para practicar la resolución de ecuaciones cuadráticas y el análisis de gráficas cuadráticas.
Este documento presenta varios teoremas y fórmulas relacionados con triángulos rectángulos. Explica la fórmula de Pitágoras para calcular la hipotenusa a partir de los catetos, y el teorema de triángulos rectángulos semejantes. También presenta fórmulas para calcular distancias y resolver problemas sobre triángulos rectángulos, rombos y ejercicios de práctica.
El documento lista varias secciones y ejercicios propuestos de un libro de álgebra y trigonometría de Raymond Barnett, incluyendo exponentes, radicales, operaciones con radicales y ecuaciones con radicales. Todas las secciones citadas provienen del mismo libro de texto.
Los números complejos incluyen números reales y números imaginarios de la forma a + bi. Se pueden simplificar y realizar operaciones con ellos usando propiedades como la suma y multiplicación. El documento proporciona ejemplos de simplificación, suma, diferencia, multiplicación y división de números complejos, así como el cálculo de raíces cuadradas.
Este documento presenta ejercicios de práctica sobre triángulos especiales. Incluye problemas para calcular medidas desconocidas en triángulos rectángulos, equiláteros y de ángulos de 45 grados usando propiedades de ángulos y lados. También incluye las respuestas a los ejercicios.
Este documento presenta un examen diagnóstico de matemáticas para estudiantes de tercer grado de primaria en Perú. Consiste en 10 problemas que evalúan diferentes competencias matemáticas como números, operaciones básicas, geometría y resolución de problemas. Los estudiantes deben leer cada problema y seleccionar la respuesta correcta entre las alternativas provistas.
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICO de Matemática 3° Grado.Marly Rodriguez
Este documento contiene 20 preguntas de evaluación diagnóstica de matemáticas para tercer grado. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como números enteros, operaciones aritméticas, medición y conversión de unidades. Los estudiantes deben marcar la respuesta correcta a cada pregunta seleccionando una de las opciones proporcionadas.
Este documento proporciona una introducción a las desigualdades y los intervalos. Explica las diferentes simbologías de las desigualdades como >, <, ≥ y ≤. Luego describe las propiedades de las desigualdades como la adición, sustracción, multiplicación y división de términos. Finalmente, introduce los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, y cómo representarlos gráficamente. El documento incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Evaluacion diagnostica 4 grado primariaEditorial MD
Evaluación Diagnóstica 4 Grado de Primaria material que se utiliza al iniciar tu ciclo escolar, con lo cual obtendrás resultados al momento de evaluar a los alumnos, el profesor analiza los conocimientos y el nivel que el salón de clase tiene del año anterior.
Una vez aplicada la evaluación diagnóstica el profesor está preparado para realizar su planeación de cuarto grado de primaria con las competencias que se tienen que trabajar detectando con ello necesidades específicas que tiene el alumno.
Toda la información que recabamos cuando realizamos el diagnóstico no es de utilidad para todo el ciclo escolar, para determinar las situaciones de aprendizaje y las competencias a desarrollar, para contrastar los siguientes periodos de evaluación el avance o retroceso de cada uno de los alumnos y en los periodos de evaluación sustentar las observaciones que realizamos, tambien para que cuando se tenga junta con padres de familia tengamos evidencias de lo que el alumno domina, lo que le cuesta trabajo, lo que tiene en proceso así como sus áreas de oportunidad y los puntos donde requiere apoyo extra.
Este documento describe las propiedades de los números reales. 1) Los números reales forman un campo ordenado completo donde se cumplen propiedades como asociatividad, conmutatividad y distributividad. 2) Los números reales pueden dividirse en intervalos como abiertos, cerrados y semiinfinitos. 3) Cualquier subconjunto acotado superiormente de números reales tiene una mínima cota superior.
MATEMATICAS PARA CIENCIAS BIOLOGICAS (I Bimestre Abril Agosto 2011) Videoconferencias UTPL
1. El documento presenta conceptos fundamentales de álgebra como números reales, exponentes, radicales, expresiones algebraicas y ecuaciones. 2. Explica tipos de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas y cómo graficarlas. 3. Proporciona ejemplos de problemas aplicados relacionados con estas ideas matemáticas.
Este documento presenta 15 problemas de ecuaciones diferenciales relacionados con temas como crecimiento poblacional, enfriamiento de objetos, descomposición de sustancias y modelado matemático de variaciones. Los problemas incluyen ecuaciones diferenciales separables, de primer orden, lineales y no lineales, y piden determinar funciones, constantes, tiempos y valores relacionados con los modelos.
1) El documento describe las funciones trigonométricas seno y coseno, incluyendo sus definiciones geométricas y gráficas. También explica cómo estas funciones están relacionadas a través de identidades trigonométricas fundamentales.
2) Luego, describe las funciones exponenciales con base b, incluyendo sus propiedades y ejemplos. Finalmente, introduce la función exponencial natural con base e.
3) Las funciones exponenciales y trigonométricas son funciones importantes que aparecen con frecuencia en matemáticas, ci
Este documento contiene 20 ejercicios de práctica de matemática para ingeniería civil que involucran el uso de métodos numéricos como punto fijo, bisección, Newton y Raphson para resolver ecuaciones. Los ejercicios piden localizar raíces gráficamente, estimar iteraciones de métodos, aplicar métodos a ecuaciones específicas, derivar el método de Newton, comparar convergencia de métodos, y modelar problemas de ingeniería civil como crecimiento de poblaciones y oscilaciones armónicas usando métodos numéricos
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar su uso en diversos contextos como crecimiento bacteriano, inversiones y medición de sismos.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, ecuaciones y gráficas. Explica las propiedades de funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar conceptos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. También define ecuaciones matemáticas y describe tipos de gráficas lineales y cuadráticas.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como el teorema de Pitágoras y las identidades trigonométricas. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos de su aplicación en áreas como el crecimiento bacteriano y la ley de enfriamiento de Newton. También define conceptos como la pendiente de una recta y tipos de gráficas lineales y cuadráticas.
1. El documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye calcular límites, estudiar la continuidad de funciones, clasificar tipos de discontinuidad y demostrar propiedades de funciones.
2. Se piden calcular límites como el comportamiento de funciones cuando la variable tiende a cierto valor o al infinito, y analizar la existencia de límites.
3. También se estudia la continuidad de funciones en diferentes puntos, clasificando discontinuidades como puntual, lateral o absoluta.
1. El documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites, derivadas y funciones trigonométricas.
2. Se piden resolver ecuaciones de círculos dados sus centros y radios, hallar límites de funciones, derivar funciones y encontrar puntos donde la derivada es igual a la función.
3. También incluye hallar incrementos de funciones, derivar funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y exponenciales.
Este documento trata sobre las relaciones y funciones. Explica conceptos como el producto cartesiano, reglas de correspondencia, dominio, codominio y tipos de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. También introduce gráficos de funciones y propiedades de funciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento presenta 20 problemas y ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral, incluyendo el cálculo de límites, derivadas, integrales definidas e indefinidas, series, teoremas como el valor medio, valores extremos y puntos críticos, aproximaciones de Taylor, ecuaciones diferenciales y condiciones de Lipschitz. Los problemas cubren una variedad de funciones y métodos para aplicar los conceptos fundamentales del cálculo.
El documento describe dos casos de la función exponencial f(x)=b^x dependiendo del valor de b: 1) Cuando 0<b<1, la función exponencial decrece hacia 0 a medida que x aumenta. 2) Cuando b>1, la función exponencial crece sin límite a medida que x aumenta. Se proveen ejemplos gráficos y se explican propiedades como su relación con el crecimiento bacteriano.
Este documento presenta diferentes operaciones básicas sobre números reales, incluyendo potencias, radicación y potencias fraccionarias. Define formalmente cada operación y sus propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso correcto de estas operaciones y propiedades. El objetivo es que los estudiantes conozcan y apliquen estas operaciones al resolver problemas matemáticos.
El documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, pertenencia y notaciones. Explica formas de determinar conjuntos como por extensión o por comprensión. También describe clases de conjuntos como finitos, infinitos y especiales como el conjunto vacío y unitario. Finalmente, presenta ejemplos de cuantificadores y proposiciones cuantificacionales sobre conjuntos.
El documento presenta una introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que se estudiarán funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas, comenzando con las funciones exponenciales y luego las ecuaciones exponenciales, lo que lleva a definir la función logaritmo para resolver dichas ecuaciones. También analiza un modelo matemático para describir la evolución de una población usando una función exponencial.
R.m. 4to.grado-teoría de exponentes-polinomios-logaritmoLuis Cañedo Cortez
1. El documento presenta información sobre exponentes, radicación y polinomios. Incluye definiciones, teoremas y ejemplos sobre potenciación, raíces y diferentes tipos de expresiones algebraicas.
2. También explica conceptos como grado de polinomios, términos semejantes, y polinomios especiales como los mónicos y ordenados.
3. Finalmente, proporciona una serie de ejercicios para practicar los diferentes temas cubiertos.
1) El documento presenta definiciones y propiedades básicas de números reales, operaciones, desigualdades y valor absoluto.
2) También introduce conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y derivadas.
3) El documento proporciona esta información fundamental de manera concisa para servir de referencia en cálculo.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con funciones y conjuntos numerables. En particular, explora propiedades de funciones como ser inyectiva, suryectiva o biyectiva, y prueba teoremas sobre conjuntos finitos e infinitos usando principios como el de inducción y el buen orden. Finalmente, introduce conceptos como números algebraicos y trascendentes.
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y cómo evaluarlas. Luego introduce la función exponencial natural y cómo evaluarla. Finalmente, cubre definiciones y propiedades de funciones logarítmicas, incluidas leyes de logarítmos y cómo usarlas para evaluar y combinar expresiones logarítmicas.
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Este documento presenta diferentes tipos de números. Incluye números complejos como -4i, 2i y 3 + 2i, así como números cardinales como 1, 2 y números naturales como 0, 1, 2.
Funciones Exponenciales Y LogaríTmicasCarmen Batiz
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la definición, gráficas, dominio y campo de valores de funciones exponenciales de la forma f(x) = abx, donde a y b son constantes. También cubre aplicaciones como el crecimiento bacteriano exponencial y decaimiento radiactivo. Finalmente, introduce funciones logarítmicas, definiendo la forma logarítmica y exponencial equivalente, y cubriendo conversiones, resolución de ecuaciones y propiedades de funciones logarít
El documento explica las funciones trigonométricas sen, cos y tan a través de un triángulo rectángulo con ángulo θ, cateto opuesto c.o., cateto adyacente c.a. y hipotenusa h=1. Se puede cambiar el valor de θ para observar cómo cambian los valores de las funciones trigonométricas en relación con la gráfica del triángulo.
Este documento presenta conceptos clave sobre el círculo unitario y funciones trigonométricas. Explica cómo convertir entre grados y radianes, y cómo usar el círculo unitario para evaluar funciones trigonométricas mediante el uso de ángulos de referencia. Proporciona ejemplos para practicar la conversión de unidades y la evaluación de funciones trigonométricas.
Este documento define conceptos básicos relacionados con círculos y funciones trigonométricas. Explica las partes de un círculo como la circunferencia, el radio, el diámetro y más. También define el círculo unitario y explica la medición de ángulos en grados y radianes, así como conceptos como ángulos cuadrantales, de referencia y coterminales.
Este documento presenta información sobre funciones polinomiales. Explica que las funciones polinomiales son funciones que involucran potencias de variables. También cubre temas como gráficas de funciones polinomiales, raíces y factores de polinomios. El documento parece ser un folleto de trabajo o apuntes tomados de un libro de pre-cálculo que cubre este importante tema de álgebra.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la forma estándar de funciones exponenciales y=abx, y describe el comportamiento y dominio de valores de funciones exponenciales para diferentes valores de a y b. También cubre propiedades básicas de funciones exponenciales y logarítmicas, como leyes de exponentes y cómo escribir expresiones entre formas exponenciales y logarítmicas. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios de práctica sobre ecuaciones con exponentes y log
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la forma estándar de funciones exponenciales y=abx, y describe el comportamiento y dominio de valores de funciones exponenciales para diferentes valores de a y b. También cubre propiedades básicas de funciones exponenciales y logarítmicas, como leyes de exponentes y cómo escribir expresiones entre formas exponenciales y logarítmicas. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios de práctica sobre ecuaciones con exponentes y log
Este documento resume conceptos básicos sobre funciones polinómicas. Explica que una función polinómica es aquella donde hay varios términos con grados sumados o restados y una constante. También proporciona ejemplos de cómo escribir funciones polinómicas en forma estándar e identificar sus coeficientes. Finalmente, asigna ejercicios de práctica relacionados con funciones polinómicas.
Este documento describe funciones racionales y cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Explica que una función racional es una expresión racional igualada a y, y que su dominio excluye valores que den cero en el denominador. Detalla que una asíntota es una línea a la que la gráfica se acerca pero nunca toca, y cómo obtener asíntotas verticales u horizontales. Además, cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de expresiones racionales, y los pasos para resolver ecuaciones racionales.
El documento presenta información sobre triángulos rectángulos. Explica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo usando el Teorema de Pitágoras. También cubre conceptos como triángulos rectángulos semejantes y relaciones entre los ángulos y lados de triángulos rectángulos con ángulos de 45°, 60° y 90°. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el uso de estas propiedades para calcular lados desconocidos.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
Este documento presenta una serie de ejercicios prácticos relacionados con funciones lineales. Incluye emparejar gráficas con ecuaciones, graficar ecuaciones, determinar dominios y campos de valores, evaluar funciones, identificar si puntos son soluciones de ecuaciones, y hallar pendientes e interceptos. El documento fue preparado por la profesora Carmen Batiz para su clase de funciones lineales.
Este documento presenta un acertijo creado por Albert Einstein que involucra a 5 casas de diferentes colores ordenadas de izquierda a derecha, cada una habitada por una persona de diferente nacionalidad que bebe una bebida distinta, fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota única. Se pide determinar quién es el dueño del pez a partir de 15 pistas que relacionan los colores de las casas, sus vecinos, bebidas, cigarrillos y mascotas de cada persona.
Este documento presenta una introducción a los números complejos. Define un número complejo como un número que se escribe en la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la raíz cuadrada de -1. Explica las partes real e imaginaria de un número complejo y proporciona ejemplos. Además, describe operaciones básicas con números complejos como suma y multiplicación. Finalmente, sugiere ejercicios para la resolución de ecuaciones que involucran números complejos.
En este documento analizamos ciertos conceptos relacionados con la ficha 1 y 2. Y concluimos, dando el porque es importante desarrollar nuestras habilidades de pensamiento.
Sara Sofia Bedoya Montezuma.
9-1.
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1. Funciones Exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales
Definición: f(x) = abx b > 0 , b ≠ 1, a ≠ 0 donde a y b son constante, b llamada
base, a coeficiente y x puede asumir cualquier valor real.
A. Gráfica
y = (1/2)x = 2-x
y = 2x y = bx y = bx
0 <b<1 b>1
D = {-∞,∞) CV = (0, ∞)
B. Dominio y Campo de valores
Dominio de f es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de
valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere
que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2
C. Propiedades básicas de f(x) = bx b > 0 , b ≠ 1
1. Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1
2. Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos.
3. El eje x es una asíntota horizontal.
4. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6. La función de f es uno a uno.
D. Otras propiedades
Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales:
Leyes de exponentes
1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy 3. (ab)x = axbx
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 1
2. x
a ax ax
4. = x 5. x = a x − y
b b a
x y
6. a = a si y sólo si x = y
7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí a = b
Ejemplo: 4x-3 = 8
(22)x – 3 = 23 se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2
22x – 6 = 23 (ax)y = axy
2x – 6 = 3 Propiedad 2
2x = 9
x=4½
E. Aplicación P = población en el tiempo t
P0 = población en el tiempo t = 0
1. Crecimiento demográfico d = tiempo de duplicación
La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se Cuando t = d P = P02t/d = P02
encuentra naturalmente en los intestinos de
muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el
tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento
comienza con una población de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el
tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes:
a. en 10 minutos ? b. en 5 horas? = 300 minutos
P0 = 1,000 minutos d = 25 minutos
a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. colí
b. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 = 4.1 x 106 E. colí
1. Decaimiento radiactivo
A = cantidad al tiempo t
198
El oro radiactivo 198( Au) que se usa en A0 = cantidad al tiempo t = 0
las radiografías del hígado tiene una vida h = vida media
media de 2.67 días. Si se empieza con 50
miligramos del isótopo, ¿Cuántos A = A02-t/h
miligramos quedarán después de:
a. ½ día? b. una semana?
A0 = 50 mg h = 2.67 días
a. A = 50(2-.5/2.67) = 50 = 43.9 mg
2.5/2.67
-7/2.67
b. A = 50(2 ) = 50 = 8.12 mg
2 7/2.67
2. Interés compuesto A = cuenta al final del año t años
P = capital
Si se invierten $1,000 en una cuenta que r = interés compuesto
paga el 10% de interés compuesto n = cantidad al año
mensualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta
después de 10 años? Redondea a la r
centésima más cercana. A = P (1 + ) nt
n
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 2
3. P = $1,000 r = .10 n = 12 t = 10 años
.10 (12)(10)
A = 1,000(1 + ) = $2,707.04
12
Ejercicios 4.1
Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 3
4. Funciones Exponenciales de base e
A. Definición
f(x) = ex x es un número real
B. Gráfica
y = 4 – ex/2
y = ex y = e-x
y = 4 asíntota horizontal
x → ∞ ex/2 → 0 y 4 y → 4
C. Aplicación N= número de bacterias presentes después
de t horas
1. Medicina -Crecimiento bacteriano N0 = número de bacterias presentes
El cólera es una enfermedad intestinal cuando t = 0
causada por la bacteria del cólera que se t = tiempo de duplicación
multiplica exponencialmente por la
división de células modelada por la N = N0e1.386t
fórmula presentada. Si se empieza con
una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas? Calcule sus
respuestas con tres dígitos significativos.
N0 = 1 t = 5 horas a. N = 1 e(1.386) (5) = e(1..386) (5) = 1,020
t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 .
2. Cálculo de fechas conel carbono 14
A = cantidad al carbono 14 presente
El bombardeo de rayos-cósmicos de la en t años
atmósfera produce neutrones, los que al A0 = cantidad al tiempo t = 0
regresar reaccionan con el nitrógeno y t = tiempo
producen carbono 14 radiactivo. El carbono
14 radiactivo penetra en los tejidos de todos A = A0e-0.000124t
los seres vivos a través del dióxido de carbono, el cual es absorbido primero por las plantas.
Mientras que la planta o el animal esté vivo, el nivel de carbono 14 en el organismo se
mantiene constante, Una vez que el organismo muere, el carbono 14 disminuye de acuerdo
con la ecuación. Si 1000 mg de carbono 14 están presentes en un inicio, ¿cuántos miligramos
estarán presentes en:
a. 10,000 años b. 50,000 años?
4
5. A0 = 1,000 mg a. A = 1000e-0.000124(10,000) = 289 mg
b. A =
1000e-0.000124(50,000) = 2.03 mg A = cuenta al final del año t años
3. Interés compuesto continuo P = capital invertido a una tasa anual r
r = tasa anual
Si se invierten $100 a una tasa anual del t = cantidad al año
8% de interés compuesto continuamente,
¿qué cantidad, aproximada al centésimo A = Pe rt
más cercano, estará en la cuenta después
de 2 años?
P = $100 r = .08 t = 2 años
= $117.35
A = 100e (.08)( 2 )
D. Crecimiento y decaimiento exponencial
Crecimiento sin límite y = cekt c, k > 0 Decaimiento exponencial y = ce-kt c, k > 0
y y
c t c c
t c y
c
t
c
Crecimiento de la población a corto plazo Decaimiento radiactivo, absorción de luz
(personas, bacterias, etcétera; crecimiento de en agua, vidrio, etcétera; presión
dinero a un interés compuesto continuo. atmosférica.
M
Crecimiento limitado y = c(1- e-kt ) c, k > 0 Crecimiento logístico y = c, k , M > 0
1 + ce − kt
y y
c M
t c
t c
Habilidades de aprendizaje, últimas Crecimiento de la población a largo plazo;
ventas; crecimiento de la compañía; epidemias, ventas de nuevos productos;
circuitos eléctricos. crecimiento de una compañía.
Ejercicios p. 301-302
Ejercicios p. 292-293
Tomado del libro Pre-Cálculo 5
Funciones y sus Gráficas –
Barnett-Ziegler-Byleen
6. Funciones logarítmicas
A. Definición
forma logarítmica forma exponencial
y = log b x equivalente x = by si b > 0 y b ≠ 1
y = log 10 x x = 10y
y = loge x x = ex
y = 2x y=x
B. Gráfica
x= 2y = f-1
D (f) = (-∞,∞) = CV de f-1
CV de f = (0, ∞) = D de f-1
C. Conversiones logarítmicas a exponenciales
Ejemplos : a. log 2 8 = 3 b. log 25 5 = ½ c. log 2 ¼ = -2
8 = 23 5 = 251/2 ¼ = 2-2
Ejemplos : a. 49 = 72 b. 3 = 9 c. 1/5 = 5-1
log 7 49 = 2 log 9 3 = ½ log 5 (1/5)= -1
D. Resolviendo ecuaciones con logarítmos
Ejemplos: Encuentra y : y = log 9 27
27 = 9y cambiando a forma exponencial
33 =32y escribir cada número con la misma base
3 = 2y propiedad de exponentes
3/2 = y
E. Propiedades de las funciones logarítmicas
Si b, M y N son números reales positivos, b ≠1, y p y x son números reales, entonces:
1. log b 1 = 0 5. log b MN = log b M + log b N
2. log b b = 1 M
6. log b = log b M − log b N
3. log b bx = x N
4. blogb x = x , x > 0 7. log b Mp = p log b M
8. log b M = log b N si y sólo si M = N
6
7. Ejemplos: a. log 10 10-5 = -5 propiedad # 3
b. log 5 25 = log 5 52 = 2 propiedad #3
c. log 10 1 =0 propiedad #1
m+n
d. log e e = m+n propiedad #3
e. 10 log104 = 4 propiedad #4
f. eloge(x4 + 1) = x4 + 1 propiedad #4
r
g. log b = logb r - (logb u + logbv) = logb r - logb u - logbv Prop
uv
5y6
3/ 5
m
h. log b = (3/5) (logb m - logb n) Prop 6 y 7
n
u1/ 3
i. log b 5 = (1/3) logb u - 5 logb v Prop 6 y 7
v
510
j. log e 5 = 1.609 y log e 8 = 2.079, encuentre log e
8
510
log e = 10 loge 5 - loge 8 = 10(1.609) – 2.079 = 14.01
8
8
k. log e 5 = 1.609 y log e 8 = 2.079, encuentre log e 4
5
8
(si ¼ = .25 ) log e 4 = .25 (loge 8 - loge 5) = .25 (2.079 - 1.609)
5
= 0.1175
l. Encuentre x, tal que log b x = 2/3 log b 8 + ½ log b 9 – log b 6 sin
usar calculadora o tabla.
log b x = 2/3 log b 8 + ½ log b 9 – log b 6
= log b 8 2/3 + log b 91/2 – log b 6
= log b 4 + log b 3 – log b 6
(4 ⋅ 3) 82 / 3 = 3 82 = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4
= log b
6
91/ 2 = 9 = 3
log b x = log b 2
x=2
Errores comunes :
log b M
1. ≠ log b M − log b N
log b N
Ejercicios p. 312-313
2. log b ( M + N ) ≠ log b M + log b N
7
8. Logaritmos communes y naturales
A. Definición
log x = log10 x logaritmo común
ln x = loge x logaritmo natural
B. Uso de la calculadora para hallar logaritmos
Ejemplos: Utiliza la calculadora para evaluar cada una con seis cifras decimales.
a. log 3184
Utilizando la techa 10x entra 3184 = 3.502973
b. ln 0.000349
Utilizando la techa ex entra 0.000349 = -7.960439
c. log(-3.24) = error
ln 3
d. = 14.27549
ln 1.08
3
e. ln = 1.02165
1.08
f. ln 3 – ln 1.08 = 1.02165
C. Relaciones logarítmicas y exponenciales
Log x = y es equivalente a x = 10x
Ln x = y es equivalente a x = ex
Ejemplos: Encuentre x con tres dígitos significativos, dados los logaritmos indicados.
a. log x = -9.315
x = 10-9.315
x = 4.84 x 10-10
b. ln x = 2.386
x = e2.386
x = 10.9
8
9. D = nivel de decibeles del sonido
I = intensidad del sonido
Io = 10-12 w/m2 (estandarizado)
D. Aplicaciones
D = 10 log I
1. Intensidad del sonido I0
Encuentra el número de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de
5.20 x 10-10 watt por metro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras
decimales.
D = 10 log I D = 10 log 5.20 x 10-10
I0 10-12
= 10 log (5.20 x 102)
= 10 (log 5.20 + log 102)
= 10 (0.716 +2)
= 27.16 decibeles
2. Intensidad de un terremoto
M = magnitud en la escala Richter
El terremoto de 1985 en Chile liberó E = energía liberada por el terremoto
aproximadamente 1.26 x 1016 joules de Eo = 104.40 joules (estandarizado)
energía. ¿cuál fue su magnitud en la escala de
Richter? Calcule la respuesta con dos cifras 2 E
M = log
decimales? 3 E0
2 E 2 1.26 x1016
M = log M = log
3 E0 3 10 4.40
2
M = log1.26 x1011.60
3
2
M = (log1.26 + log 10 )
11.60
3
2
M = (0.100 + 11.60) = 7.80
3
3. Teoría de vuelo de un cohete
v = velocidad de un cohete al apagarse cuando
se agota el combustible
En una etapa típica, el combustible sólido de un c = velocidad de escape de motor del cohete
cohete puede tener una razón de peso W1/Wb = W1 = peso de partida (combustible, estructura y
18.7 y una velocidad de escape c = 2.38 km/s. carga útil)
¿Alcanzaría este cohete una velocidad de Wb = peso consumido (estructura y carga útil)
lanzamiento de 9.0 km/s
W1
v = c ln
W1 Wb
v = c ln v = 2.38 ln 18.7
Wb
v = 6.97 km/s
No alcanzará llegar a la órbita por ser menor a 9.0 km/s
Ejercicios de Práctica
Tomado del libro: Pre- Cálculo Ejercicios p. 321- 322
Funciones y Gráficas
Barnett – Ziegler-Byleen 9
10. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Libro: Pre-Cálculo Funciones y sus Gráficas
Barnett, Ziegler y Byleen
10